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Apostila V - Área - Triângulos
Apostila V - Área - Triângulos
Apostila V - Área - Triângulos
APOSTILA
V
MATEMÁTICA
Geometria Plana
Triângulos
Área de um triângulo qualquer
Circunferência circunscrita e inscrita
Semiperímetro: Fórmula de Heron
Triângulos equiláteros
2022
Triângulos Exemplo 2
Triângulo é um polígono de três lados. De acordo com a Determinar a medida da altura de um triângulo de área
medida de seus lados e ângulos recebem as seguintes 135 cm², cuja base mede 18 Ѵ5 cm.
denominações:
b*h 15 *8
S = = = 60cm 2
2 2
A área de sua superfície do ∆ ABC corresponde à metade Determinar a área do triângulo retângulo cuja
da área do retângulo ABCD. hipotenusa mede 20 cm, sendo 12 cm a sua base.
Observe que na figura a diagonal do retângulo divide h2 122 202 h2 400 144 256
esse polígono em dois triângulos congruentes, de mesma
área:
h 256 h 16cm
12 *16
S = = 96cm 2
2
Exemplo 5
S ABCD b.h
S ABC = =
2 2
b*h
S =
2
A altura h, perpendicular à base BC, divide essa base em
2 segmentos congruentes, de 6 cm cada um deles. Então
temos, por Pitágoras:
Exemplo 1
Teorema da área de um triângulo qualquer, dados Teorema da área do triângulo inscrito numa
dois lados e o ângulo formado entre eles circunferência
“Em qualquer ∆ ABC a área corresponde ao semiproduto “Em qualquer ∆ ABC inscrito numa circunferência, a área
de dois lados multiplicado pelo seno do ângulo que eles corresponde ao produto dos três lados a, b e c, dividido
formam.” pelo quádruplo do raio R dessa circunferência.”
h
sen = h = b.senÂ
b De acordo com a Lei dos Senos temos que:
Exemplo 6 a.b.c
S =
No ∆ ABC temos b =10 cm e c= 14 cm, formando ângulo 4R
de 45º entre eles. A área corresponde a:
Exemplo 8
6 *8*10 480
S= = = 24cm 2
4 *5 20
Exemplo 7
S = 6 2 *4 = 24 2cm2 P
P = a+b+c p =
2
a+b+c
p=
2
4
S= p. ( p − a ) . ( p − b ) . ( p − c )
Exemplo 10
Observe que, neste caso, não temos a medida do raio onde esse
triângulo está inscrito. Podemos, contudo, determinar o seu
A seguir, ao traçar os segmentos de reta a partir do
semiperímetro:
centro O até os vértices A, B e C, dividimos a área do
triângulo em 6 triângulos, sendo 2 a 2 congruentes:
P 12 + 10 + 8 30
p= = = = 15cm
AÔP AÔR; BÔP BÔQ; CÔQ CÔR 2 2 2
Esses pares de triângulos podem ser superpostos, Vamos confrontar o resultado do exemplo anterior,
formando 3 retângulos, conforme figura (II) que utilizando a Fórmula de Heron:
somados correspondem ao retângulo de base
[BQ+AP+CR] e altura r: S = 15 * (15 − 12 ) . (15 − 10 ) . (15 − 8 ) = 15 * 3* 5 * 7
BQ + AP + CR Exemplo 11
Figura (II)
Determinar a medida do raio da circunferência inscrita
num triângulo de dimensões 15 cm, 12 cm e 9 cm.
A medida dessa base corresponde ao semiperímetro do
∆ ABC, pois:
P 15 + 12 + 9 36
p= = = = 18cm
CQ CR BP BQ; AP AR ¨ 2 2 2
a+b+c
a + b + c = 2( BQ + AP + CR ) BQ + AP + CR =
2
S = 2916 = 22 36 = 2 * 27 = 54cm 2
A área desse retângulo é, portanto, equivalente à área
do triângulo ABC, que pode ser expressa, então, a partir
do seu semiperímetro p e do raio r da circunferência
circunscrita:
S = p.r
5
Vamos determinar a área do ∆ ABC, pela Fórmula de Vamos deduzir a fórmula da área S de um triângulo ABC
Heron: equilátero de lado a e altura h:
10 + 10 + 12
p=P p= = 16
2 2
Exemplo 15
( )
2
a2 . 3 2 3 . 3 4 *3* 3
S = 18. (18 − 10 ) . (18 − 12 ) . (18 − 14 ) = 18 *8 * 6 * 4 S= = = = 3 3cm 2
4 4 4
S= 2 * 32 * 23 * 2 * 3* 22 = 24 6cm2
b) de altura 4 Ѵ3 cm
Exemplo 14
a. 3 a. 3 8 3
h= 4 3= a 3 =8 3a = = 8cm
Determinar a área do triângulo: 2 2 3
82. 3 64 3
S= = = 16 3cm2
4 4
7 + 9 + 14
p=P p=
2
= 15 a = r. 3 = 2 3. 3 = 2 *3 = 6cm
2
S = 720 = 24 32 5 = 4 *3 5 = 12 5cm2
6
d) circunscrito a uma circunferência de raio 4 cm para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que
custa R$ 50,00 o m².
C De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais
usados na fabricação de um vitral?
A a/2 M
r 3 a 3 6r
tg 30º = = = 3r a =
a 3 2 3
2
6r 3
a= . a = 2r. 3
3 3 Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o
descrito, de tal modo que a menor das peças é um
Então, substituindo a medida do raio, podemos triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.
determinar a medida do lado a do triângulo equilátero: O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um
quadrado. A área do quadrado é:
Exercícios 9.
Determinar a área de um triângulo equilátero de lado
1. 12 cm.
Determinar a área de um triângulo de base 20 cm e
altura 15 cm.
10.Determinar a área de um triângulo equilátero de
altura 18 cm.
2.
Determinar a medida da base de um triângulo de altura
12 cm e área 240 cm². 11.Determinar a área de um triângulo equilátero de
apótema 4 √6 cm.
3.
Determinar a área de um triângulo retângulo de catetos
16 cm e 25 cm. 12.
Um triângulo equilátero está inscrito numa
circunferência de raio 20 √5 cm. Determinar a área
4. desse polígono.
Determinar a área de um triângulo isósceles de base
medindo 8 cm, sendo os lados congruentes de medida 6
cm. 13.
Um triângulo equilátero está circunscrito a uma
5. circunferência de raio 6 √3 cm. Determinar a área
Num ∆ ABC dois de seus lados medem respectivamente desse polígono.
12 cm e 8 cm, formando ângulo de 30º entre eles.
Determinar a sua área.
14.
6. A área de um triângulo ABC, dados os seus vértices no
Num triângulo de dimensões 15 cm, 14 cm e 12 cm, plano cartesiano, é igual à metade do módulo do
cujo raio da circunferência circunscrita mede 6 cm. determinante D, sendo a primeira coluna composta pelas
Determinar a sua área. abscissas dos seus vértices; a segunda coluna pelas suas
ordenadas e a terceira coluna de elementos iguais a 1:
7. D= 3 2 1
Num triângulo de área S = 96 cm² e perímetro P = 48 -1 -2 1
cm. Determinar a medida do raio de uma circunferência -2 3 1
nele inscrita.
Considerando que a unidade utilizada para construir esse
plano cartesiano é em cm, determinar a área desse
8.Determinar a área do ∆ ABC de dimensões 10 cm, polígono.
12 cm e 16 cm.