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Curso 159981 Aula 11 v2
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Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
Aula 11
20 de Fevereiro de 2021
Sumário
1. Função exponencial.................................................................................................................................... 4
1.5.2. Por que a base deve ser maior do que zero e diferente de 1? .......................................... 27
2.7.3. Gráfico.......................................................................................................................................... 57
Lista de questões........................................................................................................................................... 90
Gabarito .......................................................................................................................................................... 99
APRESENTAÇÃO DA AULA
Olá, você!
É muito bom estar contigo para darmos continuidade ao nosso curso, em uma preparação estratégica rumo
à sua aprovação!
Hoje analisaremos os tópicos Função Exponencial e Função Logarítmica. Esses assuntos não são muito
cobrados em concursos públicos, porém o conhecimento é útil em vários assuntos da matemática, como é o
caso dos Juros Compostos.
1. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Antes mesmo de começarmos a matéria propriamente dita, faremos uma breve revisão das propriedades da
potenciação e da radiciação. O domínio dessas ferramentas é fundamental para a boa compreensão da aula.
O primeiro ponto a ser lembrado é a noção básica da potenciação: trata-se de uma multiplicação escrita de
uma forma simplificada.
𝑎0 = 1
{𝒂 = ⏟
𝒏
𝑎 × 𝑎 ×𝑎 ×…× 𝑎
𝒏 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔
𝒂 é a base e 𝒏 é o expoente
Temos as seguintes propriedades para a potenciação, que são válidas para 𝒂, 𝒎 e 𝒏 reais (não só naturais).
# Propriedade Exemplo
P1 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 53 × 52 = 53+2 = 55
𝒂𝒎 75
P2
𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏 = 75−4 = 71
𝒂 74
P3 (𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎×𝒏 (33 )2 = 33×2 = 36
P4 (𝒂 × 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 × 𝒃𝒏 (3 × 5)3 = 33 × 53
𝒂 𝒏 𝒂𝒏 5 11 511
P5 ( ) = 𝒏 ( ) = 11
𝒃 𝒃 7 7
1 1 1
Quando o expoente for negativo, temos que 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛. Exemplo: 2−4 = 24 = 16.
1.1.2. Radiciação
A ideia da radiciação é encontrarmos um número 𝑏 tal que 𝑏 𝑛 = 𝑎. De modo genérico, representa-se essa
operação do seguinte modo:
𝒏
𝑏 = √𝒂
𝒂 é o radicando e 𝒏 é o índice
Apresentaremos todas as propriedades da radiciação, porém adianto que a propriedade que você realmente
precisa saber é a seguinte:
𝒏
𝒎
√𝒂𝒎 = 𝒂 𝒏
Isso porque essa propriedade transforma a radiciação em uma potência e, feita a transformação, pode-se
trabalhar somente com as propriedades da potenciação.
Vamos às propriedades:
𝒏 𝒎 𝒏 3 4 3 3 4 𝑷𝟔 1 4 𝑷𝟑 1 4 𝑷𝟔 3
P9 ( √𝒂) = √𝒂𝒎 ( √10) = √104 ( √10) = ⏞ 103×4 = 103 =
⏞ (103 ) = ⏞ √104
1
𝒏 𝒎 4 3 4 3 𝑷𝟔 4 1 𝑷𝟔
4 1 1 𝑷𝟑 1 1 𝑷𝟔
P10 √ √𝒂 = 𝒏×𝒎
√𝒂 √ √5 = 4×3
√5 = √5
12
⏞ √53 =
√ √5 = ⏞ (53 ) =⏞ 5 3×4 = 512 =
12
⏞ √5
Muito provavelmente você já deve ter ouvido falar do número irracional 𝜋 = 3,141592 …
Assim como o número 𝜋, o número de Euler (𝒆) também é um número irracional cujo valor é dado por
𝑒 = 2,7182818284 …
Esse número apresenta diversas aplicações nos mais variados ramos da ciência. Para fins de concursos
públicos, a única coisa que você precisa saber (decorar) é que esse número é aproximadamente 2,72.
𝒆 ≅ 𝟐, 𝟕𝟐
5𝒙 = 625;
24𝒙+1 = 1024;
5 3
√ √81𝒙 = 27;
4𝒙 + 6𝒙 = 2 × 9𝒙 .
Para encontrar o valor da incógnita, deve-se reduzir os termos da equação a uma base comum. Isso porque,
sendo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, temos:
𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 𝑏 = 𝑐
A redução das potências a uma base comum ocorre por meio do uso conveniente das propriedades da
potenciação.
Vamos resolver diversos exemplos para ficarmos prontos para qualquer problema.
𝑥 = −2
O conjunto solução é 𝑆 = {−2}.
Quando nos depararmos com números decimais, basta transformá-los em uma fração para, em seguida,
reduzir os termos a uma base comum.
5
O conjunto solução é 𝑆 = {− 3}.
4𝑥 = −3
3
𝑥=−
4
3
O conjunto solução é 𝑆 = {− 4}.
Em algumas equações exponenciais temos a presença da radiciação. Nesses casos, podemos transformar
todas as raízes em potências para, em seguida, trabalhar somente com as propriedades da exponenciação.
𝟑 𝒙 𝟓
Resolva a equação ( √𝟓) = 𝟓 𝟑
.
√ √𝟓
Pessoal, vamos resolvendo com calma até reduzir os termos em potências de base 5.
3 𝑥 5
( √5) = 5 3
√ √5
1 𝑥 5
(53 ) =
5
√513
1 5
53 × 𝑥 = 1
1 5
(53 )
𝑥 5
53 = 1 1
53×5
𝑥 51
53 = 1
515
𝑥 1
53 = 51−15
𝑥 14
53 = 515
Obtemos a base comum 5. Basta agora igualarmos os expoentes:
𝑥 14
=
3 15
14
𝑥=
5
14
O conjunto solução é 𝑆 = { 5 }.
𝟏 𝟓 𝟗
Resolva a equação 𝟓 = √( √𝟑) .
√ 𝟑√𝟖𝟏𝒙
1 5 9
5 3
= √( √3)
√ √81𝑥
1 1 9
= √(35 )
5 3
√ √(34 )𝑥
1
1 1 9 2
= ((35 ) )
5 1
√((34 )𝑥 )3
1
1 1 9 2
1 = ((35 ) )
1 5
(((34 )𝑥 )3 )
1 1 1
1 1 = 35×9×2
34 ×𝑥 ×3×5
1 9
4𝑥 = 310
315
4𝑥 9
3−15 = 310
4𝑥 9
− =
15 10
27
𝑥= −
8
27
O conjunto solução é 𝑆 = {− 8 }.
Após encontrarmos a base comum, pode ocorrer que a igualde dos expoentes nos retorne uma equação do
primeiro ou do segundo grau.
𝟏
Resolva a equação 𝟖𝟑−𝟓𝒙 = 𝟏𝟔𝟑𝒙 .
1
83−5𝑥 =
163𝑥
1
(23 )3−5𝑥 =
(24 )3𝑥
1
23×(3−5𝑥) =
212𝑥
29−15𝑥 = 2−12𝑥
9 − 15𝑥 = −12𝑥
9 = 15𝑥 − 12𝑥
9 = 3𝑥
𝑥=3
O conjunto solução é 𝑆 = {3}.
𝟑
√𝟏𝟔𝟐𝒙
Resolva a equação 𝟓𝟏𝟐𝒙 = .
𝟒𝒙−𝟏
3
√162𝑥
𝑥
512 = 𝑥−1
4
3
√(24 )2𝑥
(29 )𝑥 =
(22 )𝑥−1
1
((24 )2𝑥 )3
29𝑥 = 2 ×(𝑥−1)
2
1
24 ×2𝑥 ×3
29𝑥 = 2𝑥−2
2
8𝑥
29𝑥 = 2 3 −(2𝑥−2)
8𝑥
9𝑥 = − 2𝑥 + 2
3
8𝑥
11𝑥 − =2
3
25𝑥
=2
3
6
𝑥=
25
6
O conjunto solução é 𝑆 = {25}.
𝟏
Resolva a equação (𝟐𝒙 )𝒙−𝟓 = 𝟔𝟒.
1
(2𝑥 )𝑥−5 =
64
1
2𝑥 ×(𝑥−5) = 6
2
2 −5𝑥
2𝑥 = 2−6
𝑥 2 − 5𝑥 = −6
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
A soma das raízes da equação do segundo grau é 5 e o produto é 6. Logo, 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 3.
O conjunto solução é 𝑆 = {2; 3}.
𝟐 +𝟏
Resolva a equação 𝟐𝟕𝒙 = 𝟗𝟓𝒙 .
2 +1
27𝑥 = 95𝑥
2 +1
(33 )𝑥 = (32 )5𝑥
2 +1)
33 ×(𝑥 = 32 × 5𝑥
2 +3
33𝑥 = 310𝑥
3𝑥 2 + 3 = 10𝑥
3𝑥 2 − 10𝑥 + 3 = 0
−(−10) ± √(−10)2 − 4 × 3 × 3
𝑥=
2×3
10 ± √100 − 36
𝑥=
6
10 ± 8
𝑥=
6
1
𝑥1 = ; 𝑥2 = 3
3
1
O conjunto solução é 𝑆 = {3 ; 3}.
𝟒 𝒙 𝟒𝒙
Resolva a equação √𝟐𝟓𝒙−𝟐 × √𝟓𝟒𝒙−𝟏𝟎 − √𝟐𝟓𝟑𝒙−𝟐 = 𝟎.
4 𝑥 4𝑥
√25𝑥−2 × √54𝑥−10 − √253𝑥−2 = 0
4 𝑥 4𝑥
√25𝑥−2 × √54𝑥−10 = √253𝑥−2
1 1 1
(25𝑥−2 )4 × (54𝑥−10 )𝑥 = (253𝑥−2 )4𝑥
1 1 1
((52 )𝑥−2 )4 × (54𝑥−10 )𝑥 = ((52 )3𝑥−2 )4𝑥
1 4𝑥−10 1
52 ×(𝑥−2)×4 × 5 𝑥 = 52 ×(3𝑥−2)×4𝑥
𝑥−2 4𝑥−10 3𝑥−2
5 2 ×5 𝑥 =5 2𝑥
𝑥 − 2 4𝑥 − 10 3𝑥 − 2
+ =
2 𝑥 2𝑥
2
𝑥 − 2𝑥 + 8𝑥 − 20 3𝑥 − 2
=
2𝑥 2𝑥
𝑥 2 + 6𝑥 − 20 = 3𝑥 − 2
𝑥 2 + 3𝑥 − 18 = 0
𝑥=7
O conjunto solução é 𝑆 = {7}.
Resolva a equação 𝟖 × 𝟓𝟑𝒙−𝟑 + 𝟑 × 𝟓𝟑𝒙−𝟐 − 𝟓𝟑𝒙 + 𝟓𝟑𝒙+𝟏 = 𝟐𝟔𝟏𝟓
A potência de menor expoente é 53𝑥−3. Vamos reescrever 3 × 53𝑥−2 , 53𝑥 e 53𝑥+1 em termos de 53𝑥−3 .
Temos que:
• 𝟑 × 𝟓𝟑𝒙−𝟐 = 3 × 51+3𝑥−3 = 3 × 51 × 53𝑥−3 = 𝟏𝟓 × 𝟑𝟑𝒙−𝟑
• 𝟓𝟑𝒙 = 53+3𝑥−3 = 53 × 53𝑥−3 = 𝟏𝟐𝟓 × 𝟑𝟑𝒙−𝟑
• 𝟓𝟑𝒙+𝟏 = 54+3𝑥−3 = 54 × 53𝑥−3 = 𝟔𝟐𝟓 × 𝟑𝟑𝒙−𝟑
Logo:
8 × 53𝑥−3 + 𝟑 × 𝟓𝟑𝒙−𝟐 − 𝟓𝟑𝒙 + 𝟓𝟑𝒙+𝟏 = 2615
8 × 53𝑥−3 + 𝟏𝟓 × 𝟓𝟑𝒙−𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 × 𝟓𝟑𝒙−𝟑 + 𝟔𝟐𝟓 × 𝟓𝟑𝒙−𝟑 = 2615
Colocando 53𝑥−3 em evidência:
53𝑥−3 (8 + 15 − 125 + 625) = 2615
53𝑥−3 × 523 = 2615
53𝑥−3 = 51
3𝑥 − 3 = 1
4
𝑥=
3
4
O conjunto solução é 𝑆 = {3}.
Em alguns problemas pode ser interessante realizar uma substituição de variável. Vejamos alguns exemplos:
Para finalizar a teoria de equações exponenciais, vamos resolver uma questão que envolve diferentes bases.
Nesse tipo de questão, a dica é dividir ambos os lados da equação por (3𝑥 )2 ou por (5𝑥 )2. Vamos, então,
realizar a divisão por (5𝑥 )2 :
(3𝑥 )2 + 3𝑥 × 5𝑥 2 × (5𝑥 )2
=
(5𝑥 )2 (5𝑥 )2
(3𝑥 )2 3𝑥
+ =2
(5𝑥 )2 5𝑥
2
3 𝑥 3 𝑥
(( ) ) + ( ) − 2 = 0
5 5
3 𝑥
Realizando a substituição 𝑦 = (5) , obtém-se:
𝑦2 + 𝑦 − 2 = 0
A soma das raízes da equação do segundo grau é −1 e o produto é −2. Logo:
𝑦1 = −2 e 𝑦2 = 1
Retornando à variável 𝑥, temos:
3 𝑥 3 𝑥
(5) = −2 → Não existe 𝑥 que satisfaça a igualdade, pois (5) > 0.
3 𝑥 3 𝑥 3 0
(5) = 1 → (5) = (5) → 𝑥 = 0
1
52𝑥+3 × (52 )2𝑥+1 = √5 × (532−2𝑥 )2
1
1 2
52𝑥+3 × 54𝑥+2 = (5 × (532−2𝑥 )2 )
1 1
5(2𝑥+3)+(4𝑥+2) = 52 × (532−2𝑥 )4
1 1
56𝑥+5 = 52 × 5(32−2𝑥)×4
1 𝑥
56𝑥+5 = 52 × 58−2
1 𝑥
56𝑥+5 = 52+(8−2)
17 𝑥
56𝑥+5 = 5 2 −2
17 𝑥
6𝑥 + 5 = −
2 2
𝑥 17
6𝑥 + = −5
2 2
13 7
𝑥=
2 2
7
𝑥=
13
Gabarito: Letra C.
𝟐 −𝟖𝒙+𝟏𝟐
(Pref. Campo Verde/2010) Qual é a soma dos valores de 𝒙 que verifica a equação 𝟑𝒙 = (𝟗𝒙+𝟏 )𝒙−𝟔 ?
A) 5
B) 2
C) 3
D) 8
E) 4
Comentários:
Vamos transformar ambos os lados da equação em potências de base 3.
2 −8𝑥+12
3𝑥 = (9𝑥+1 )𝑥−6
2 −8𝑥+12
3𝑥 = ((32 )𝑥+1 )𝑥−6
2 −8𝑥+12
3𝑥 = 32×(𝑥+1)×(𝑥−6)
𝑥 2 − 8𝑥 + 12 = 2 × (𝑥 + 1) × (𝑥 − 6)
Veja que as raízes de 𝑥 2 − 8𝑥 + 12 tem soma 8 e produto 12. Logo, suas raízes são 2 e 6. Podemos escrever
esse termo como (𝑥 − 2)(𝑥 − 6).
(𝑥 − 2)(𝑥 − 6) = 2 × (𝑥 + 1) × (𝑥 − 6)
Uma das raízes dessa equação é 𝒙𝟏 = 𝟔. Simplificando (𝑥 − 6) dos dois lados da equação, obtemos:
𝑥 − 2 = 2 × (𝑥 + 1)
𝑥 − 2 = 2𝑥 + 2
−2 − 2 = 2𝑥 − 𝑥
𝒙𝟐 = −𝟒
Logo, a soma dos possíveis valores de 𝑥 é 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟔 − 𝟒 = 𝟐.
Gabarito: Letra B.
(SEAD Passo Fundo/2016) Resolvendo a equação: 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙+𝟐 + 𝟐𝒙+𝟑 = 𝟏𝟎𝟒 no conjunto dos números
reais, obtemos como solução:
47
A) 3
B) 8
C) 3
D) 2
Comentários:
Vamos colocar o termo de menor potência em evidência.
2𝑥 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 104
2𝑥 + 22 × 2𝑥 + 23 × 2𝑥 = 104
2𝑥 (1 + 22 + 23 ) = 104
2𝑥 (1 + 4 + 8) = 104
2𝑥 × 13 = 104
2𝑥 = 8
2𝑥 = 23
𝑥=3
Gabarito: Letra C.
(PM-SP/2012) É correto afirmar que a solução da equação exponencial 𝟑. 𝟗𝒙 − 𝟒. 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟎 é:
A) 𝑆 = {0,1}.
B) 𝑆 = {−1,0}.
C) 𝑆 = {−2,1}.
1
D) 𝑆 = {3 , 1}.
Comentários:
3 × 9𝑥 − 4 × 3𝑥 + 1 = 0
3 × (32 )𝑥 − 4.3𝑥 + 1 = 0
3 × (3𝑥 )2 − 4.3𝑥 + 1 = 0
Realizando a substituição 𝑦 = 3𝑥 , obtém-se:
3𝑦 2 − 4𝑦 + 1 = 0
−(−4) ± √(−4)2 − 4 × 3 × 1
𝑦=
2×3
4±2
𝑦=
6
1
𝑦1 = 1 ; 𝑦2 =
3
Retornando à variável 𝑥, temos:
3𝑥 = 1 → 3𝑥 = 30 → 𝑥 = 0
1
3𝑥 = → 3𝑥 = 3−1 → 𝑥 = −1
3
Logo, o conjunto solução da equação exponencial é 𝑆 = {−1,0}.
Gabarito: Letra B.
5𝒙 > 625
24𝒙+1 ≤ 1024 ;
4𝒙 + 6𝒙 > 2 × 9𝒙 ;
5 3
√ √81𝒙 > 27.
Para resolver as inequações exponenciais, devemos reduzir os termos da inequação a uma base comum.
Vamos ver o que acontece com a desigualdade para todos dos casos em que 𝑎 > 0 com 𝑎 ≠ 1.
Isso significa que, para resolver uma inequação exponencial, devemos seguir os seguintes passos:
2
𝑥≤−
5
2 2
O conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ − 5 } = ] − ∞; − 5].
𝟏 𝟐𝒙+𝟏 𝟏
Resolva a inequação (𝟑) ≥ 𝟗.
1 2𝑥+1 1
( ) ≥
3 9
1 2𝑥+1 1 2
( ) ≥( )
3 3
1
Como a base 3 está entre 0 e 1, inverte-se a desigualdade para os expoentes:
2𝑥 + 1 ≤ 2
2𝑥 ≤ 1
1
𝑥≤
2
1 1
O conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 2 } = ] − ∞; 2].
𝒙
𝟏 𝟐
Resolva a inequação (𝒆 ) ≥ 𝒆−𝟑 .
𝑥
1 2
( ) ≥ 𝑒 −3
𝑒
𝑥
1 2
( ) ≥ (𝑒 −1 )3
𝑒
𝑥
1 2 1 3
( ) ≥( )
𝑒 𝑒
1 1 1
A base 𝑒 é aproximadamente 2,72. Isso significa que está entre 0 e 1. Nesse caso, inverte-se a desigualdade
𝑒
para os expoentes:
𝑥
≤3
2
𝑥≤6
O conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 6 } = ] − ∞; 6].
1
Uma outra forma de resolver o problema seria utilizar a base comum 𝑒 ao invés de 𝑒. Vejamos:
𝑥
1 2
( ) ≥ 𝑒 −3
𝑒
𝑥
(𝑒 −1 )2 ≥ 𝑒 −3
𝑥
𝑒 −2 ≥ 𝑒 −3
A base 𝑒 é aproximadamente 2,72 e, portanto, é maior do que 1. Nesse caso, mantém-se a desigualdade
para os expoentes:
𝑥
− ≥ −3
2
𝑥
≤3
2
𝑥≤6
Note que chegamos na mesma resposta.
Resolva a inequação 𝟑𝒙 − 𝟓 × 𝟑𝒙+𝟏 + 𝟐 × 𝟑𝒙+𝟐 > 𝟑𝟔
A potência de menor expoente é 3𝑥 . Vamos reescrever 5 × 3𝑥+1 e 2 × 3𝑥+2 em termos de 3𝑥 . Temos que:
• 𝟓 × 𝟑𝒙+𝟏 = 5 × 31 × 3𝑥 = 𝟏𝟓 × 𝟑𝒙
• 𝟐 × 𝟑𝒙+𝟐 = 2 × 32 × 3𝑥 = 𝟏𝟖 × 𝟑𝒙
Logo:
3𝑥 − 𝟓 × 𝟑𝒙+𝟏 + 𝟐 × 𝟑𝒙+𝟐 > 36
3𝑥 − 𝟏𝟓 × 𝟑𝒙 + 𝟏𝟖 × 𝟑𝒙 > 36
Colocando 3𝑥 em evidência:
3𝑥 (1 − 15 + 18) > 36
3𝑥 × 4 > 36
3𝑥 > 9
3𝑥 > 32
Como a base 3 é maior do que 1, mantém-se a desigualdade para os expoentes:
𝑥>2
O conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 2} =]2; +∞[.
Em alguns casos pode ser necessária a análise do sinal da função obtida após a redução à base comum.
Vejamos dois exemplos:
𝟏𝟒 𝒙𝟐
Resolva a inequação √(𝝅) ≤ 𝝅−𝟏 .
Pessoal, o 𝜋 é um número como qualquer outro. Para o nosso caso, basta saber que ele é aproximadamente
3,14.
4 𝑥2
√( 1 ) ≤ 𝜋 −1
𝜋
1
2
1 𝑥 4 1
(( ) ) ≤ ( )
𝜋 𝜋
𝑥2
1 4 1 1
( ) ≤( )
𝜋 𝜋
1 1 1
A base 𝜋 é aproximadamente 3,14. Isso significa que está entre 0 e 1. Nesse caso, inverte-se a desigualdade
𝜋
para os expoentes:
𝑥2
≥1
4
𝑥2 ≥ 4
𝑥2 − 4 ≥ 0
As raízes da função 𝑥 2 − 4 são 2 e −2. Vamos analisar o sinal:
Note que, para que 𝑥 2 − 4 seja maior ou igual a zero, devemos ter:
𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2
O conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 2} = ] − ∞; −2] U [2; +∞[.
𝒙−𝟏 𝟑
√𝟓𝒙+𝟏
Resolva a inequação 𝒙+𝟏 > 𝟓𝟐 .
√𝟓𝒙−𝟏
𝑥−1
√5𝑥+1 3
𝑥+1 > 52
√5𝑥−1
𝑥+1
5𝑥−1 3
𝑥−1 > 52
5𝑥+1
𝑥+1 𝑥−1 3
5𝑥−1−𝑥+1 > 52
Como a base 5 é maior do que 1, mantém-se a desigualdade para os expoentes:
𝑥+1 𝑥−1 3
− >
𝑥−1 𝑥+1 2
𝑥+1 𝑥−1 3
− − >0
𝑥−1 𝑥+1 2
2(𝑥 + 1)2 − 2(𝑥 − 1)2 − 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
>0
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
2[(𝑥 + 1)2 − (𝑥 − 1)2 ] − 3(𝑥 2 − 1)
>0
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
2[4𝑥] − 3𝑥 2 + 3
>0
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
−3𝑥 2 + 8𝑥 + 3
>0
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
1
As raízes da função −3𝑥 2 + 8𝑥 + 3 são − 3 e 3, e essa função apresenta concavidade virada para baixo.
−3𝑥 2 +8𝑥+3
Vamos analisar o sinal de cada parcela da expressão 2(𝑥−1)(𝑥+1) e verificar quando que ela é positiva.
−3𝑥 2 +8𝑥+3
Portanto, 2(𝑥−1)(𝑥+1) > 0 para:
1
−1 < 𝑥 < − 3 ou 1 < 𝑥 < 3
1
O conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 < − 3 ou 1 < 𝑥 < 3}.
1
Também podemos escrever 𝑆 =] − 1; − 3 [ U ]1 ; 3[.
Assim como nas equações exponenciais, em alguns problemas de inequações pode ser interessante realizar
uma substituição de variável.
(ALESP/2002) Se 𝒙 é um número real tal que [(𝟐−𝒙 )(𝟒𝒙 )] < 𝟖𝒙+𝟏 , então:
3
A) 𝑥 > − 2
3
B) 𝑥 < 2
C) 𝑥 = 0
D) 𝑥 = 1
RESOLUÇÃO:
Vamos transformar os termos inequação em potências de base 2.
[(2−𝑥 ) × (4𝑥 )] < 8𝑥+1
2−𝑥 × (22 )𝑥 < (23 )𝑥+1
2−𝑥 × 22𝑥 < 23𝑥+3
2−𝑥+2𝑥 < 23𝑥+3
2𝑥 < 23𝑥+3
Como a base 2 é maior do que 1, mantém-se a desigualdade para os expoentes:
𝑥 < 3𝑥 + 3
−3 < 3𝑥 − 𝑥
−3 < 2𝑥
2𝑥 > −3
3
𝑥>−
2
Gabarito: Letra A.
𝟑 𝒙 𝟏𝟐𝟓
(Pref. Itaquaquecetuba/2012) Qual o conjunto solução da inequação exponencial (𝟓) ≥ ?
𝟐𝟕
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ 𝑥 < −3}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ 𝑥 > −3}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ 𝑥 ≥ −3}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ 𝑥 ≤ −3}
Comentários:
3 𝑥 125
( ) ≥
5 27
3 𝑥 53
( ) ≥ 3
5 3
3 𝑥 5 3
( ) ≥( )
5 3
3 𝑥 3 −3
( ) ≥( )
5 5
3
Como a base 5 está entre 0 e 1, inverte-se a desigualdade para os expoentes:
𝑥 ≤ −3
Logo, o conjunto solução da inequação é 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∣ 𝑥 ≤ −3}.
Gabarito: Letra D.
(Pref. Matias Olímpio/2016/Adaptada) O conjunto solução da seguinte inequação 𝟑 × 𝟐𝒙+𝟐 − 𝟐𝟐𝒙 > 𝟑𝟐 é:
A) ]4, 8[
B) ]2, 3[
C) ]2, 8[
D) ]1, 3[
RESOLUÇÃO:
Vamos transformar ambos os lados da inequação em potências de base 2.
3 × 2𝑥+2 − 22𝑥 > 32
3 × 22 × 2𝑥 − (2𝑥 )2 > 32
0 > (2𝑥 )2 − 12 × (2𝑥 ) + 32
(2𝑥 )2 − 12 × (2𝑥 ) + 32 < 0
Realizando a substituição 𝑦 = 2𝑥 , obtém-se:
𝑦 2 − 12𝑦 + 32 < 0
A soma das raízes de 𝑦 2 − 12𝑦 + 32 é 12 e o produto é 32. Logo, 𝑦1 = 4 e 𝑦2 = 8.
Vamos fazer o estudo do sinal dessa função do segundo grau e verificar para quais valores é ela é menor do
que zero.
A função exponencial é uma função 𝑓 que associa uma variável 𝒙 pertencente ao conjunto dos números
reais (𝑥 ∈ ℝ) ao valor 𝒂𝒙 pertencente ao conjunto dos reais positivos (𝑎 𝑥 ∈ ℝ∗+ ). Ademais, é necessário que
a base 𝒂 seja maior do que zero e diferente de 1.
𝑓: ℝ → ℝ∗+
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
𝑎 >0e𝑎 ≠1
1.5.2. Por que a base deve ser maior do que zero e diferente de 1?
Vamos entender o porquê da base 𝑎 ser maior do que zero e diferente de 1. Para tanto, analisaremos o que
aconteceria caso ela fosse igual a 1, igual a zero ou menor do que zero.
1.5.2.1. 𝒂 = 𝟏
𝑓(𝑥) = 1𝑥
Veja que, nesse caso, trata-se de uma função constante. Isso porque, para qualquer valor de 𝑥, teríamos
𝑓(𝑥) = 1𝑥 = 1.
1.5.2.2. 𝒂 = 𝟎
𝑓(𝑥) = 0𝑥
Note que:
Para 𝑥 > 0, teríamos a função constante 𝑓(𝑥) = 0.
Exemplo: para 𝑥 = 3, tem-se 𝑓(3) = 03 = 0
1.5.2.3. 𝒂 < 𝟎
Por fim, caso tivéssemos uma base menor do que 0, alguns valores racionais de 𝑥 fariam com que a função
retornasse um valor que não pertence ao conjunto dos números reais. Por exemplo, se a função 𝑓(𝑥) fosse
1
(−2)𝑥 , 𝑥 = nos retornaria o seguinte:
2
1 1
𝑓 ( ) = (−2)2 = √−2
2
Trata-se de um número complexo, que não pertence ao conjunto dos números reais.
Agora que temos bem consolidado o fato de que precisamos ter 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, vamos verificar os gráficos
básicos e as propriedades da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Para tanto, dividiremos a seção em três tópicos:
Para o caso em que a base é maior do que 1, a função exponencial tem o seguinte formato:
Para 𝒂 > 𝟏, à medida em que se diminui o valor de 𝒙, a função exponencial 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 se aproxima
cada vez mais do valor zero sem nunca chegar a ser zero.
Note que, para o caso em que 𝑎 > 1, quanto menor o valor de 𝑥, mais próximo de zero a função
exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 fica.
Veja também que a função nunca será zero, ou seja, nunca tocará a reta 𝑦 = 0. Podemos dizer que
essa função tende a zero quando 𝒙 tende a menos infinito.
Em outras palavras, 𝒚 = 𝟎 é uma assíntota horizontal quando 𝒙 tende a menos infinito (−∞).
Exemplo: suponha que a nossa função exponencial com 𝑎 > 1 seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 . Vamos verificar o
valor de 𝑓(𝑥) para valores cada vez menores de 𝑥.
𝒙 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙
−1 2−1 = 0,5
−5 2−5 = 0,03125
Para o caso em que a base está entre 0 e 1, a função exponencial tem o seguinte formato:
Para 𝟎 < 𝒂 < 𝟏, à medida em que se aumenta o valor de 𝒙, a função exponencial 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 se
aproxima cada vez mais do valor zero sem nunca chegar a ser zero.
Note que, para o caso em que 0 < 𝑎 < 1, quanto maior o valor de 𝑥, mais próximo de zero a função
exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 fica.
Veja também que a função nunca será zero, ou seja, nunca tocará a reta 𝑦 = 0. Podemos dizer que
essa função tende a zero quando 𝒙 tende a mais infinito.
Em outras palavras, 𝒚 = 𝟎 é uma assíntota horizontal quando 𝒙 tende a mais infinito (+∞).
1 𝑥
Exemplo: suponha que a nossa função exponencial com 0 < 𝑎 < 1 seja 𝑓(𝑥) = (2) . Vamos verificar
o valor de 𝑓(𝑥) para valores cada vez maiores de 𝑥.
𝒙 𝒇(𝒙) = (𝟏/𝟐)𝒙
1 (1/2)1 = 0,5
5 (1/2)5 = 0,03125
10 (1/2)10 = 0,00098
15 (1/2)15 = 0,00003
Além das propriedades já apresentadas, temos as seguintes que valem tanto para o caso 𝑎 > 1 quanto para
o caso em que 0 < 𝑎 < 1.
Comentários:
Vamos avaliar cada afirmação.
I. 𝒇(𝟎) = 𝟏.
3 0
CORRETO. Basta notar que 𝑓(0) = (5) = 1.
II: f é crescente.
ERRADO. 𝑓 é uma função exponencial com base entre 0 e 1. Trata-se, portanto, de uma função estritamente
decrescente.
A partir dos gráficos básicos apresentados para 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , podemos construir diversas variantes dessa
função.
Ao somar ou subtrair uma constante de uma função qualquer, estamos transladando verticalmente para
cima ou para baixo o gráfico dessa função. Vejamos dois exemplos para o caso da função exponencial:
Obtenha o gráfico de 𝟐𝒙 + 𝟐
Para construir o gráfico de 2𝑥 + 2, basta representar o gráfico de 2𝑥 e transladá-lo verticalmente duas
unidades para cima.
Note que, nesse caso, a assíntota também se desloca de 𝑦 = 0 para 𝑦 = 2, uma vez que a nova função tende
a 2 quando 𝑥 tende a menos infinito (−∞).
Além disso, a imagem, que era 𝑅+∗ = ]0; +∞[, passa a ser ]2, +∞[.
𝟏 𝒙
Obtenha o gráfico de (𝟐) − 𝟏
1 𝑥 1 𝑥
Para construir o gráfico de (2) − 1, basta representar o gráfico de (2) e transladá-lo verticalmente uma
unidade para baixo.
Note que, nesse caso, a assíntota também se deslocou de 𝑦 = 0 para 𝑦 = −1, uma vez que a nova função
tende a −1 quando 𝑥 tende a mais infinito (+∞).
Além disso, a imagem, que era 𝑅+∗ = ]0; +∞[, passa a ser ] − 1, +∞[.
Ao somar ou subtrair uma constante da variável 𝒙 de uma função qualquer, estamos transladando
horizontalmente para a esquerda ou para a direita o gráfico dessa função. Vejamos dois exemplos para o
caso da função exponencial:
𝟏 𝒙+𝟏
Obtenha o gráfico de (𝟑)
1 𝑥+1 1 𝑥
Para construir o gráfico de (3) , basta representar o gráfico de (3) e transladá-lo para a esquerda uma
unidade. Note que a assíntota se mantém em 𝑦 = 0 e a imagem se mantém 𝑅+∗ = ]0; +∞[.
Ao se multiplicar ou se dividir por uma constante positiva a função exponencial básica 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , via de
regra o gráfico da nova função não se trata de uma simples translação horizontal, pois outros efeitos são
adicionados ao formato curva.
Exceção a essa regra ocorre quando a constante que multiplica ou divide 𝑎 𝑥 é uma potência da própria base
𝑎, pois, nesses casos, temos somente translação horizontal. Exemplos:
22 × 2𝑥 = 2𝑥+2 → translação horizontal para a esquerda
1
× 5𝑥 = 5𝑥−3 → translação horizontal para a direita
53
Vamos verificar qualitativamente o que acontece com os gráficos de 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 para dois casos
Base 𝑎 > 1; e
Base 𝑎 entre 0 e 1.
Base 𝒂 > 𝟏
A multiplicação por uma constante 𝐶 > 1 faz com que o gráfico seja deslocado para a esquerda,
podendo haver também alteração no formato da curva.
A multiplicação por uma constante 𝐶 com 0 < 𝐶 < 1 − ou seja, a divisão por uma constante maior
do que 1 − faz com que o gráfico seja deslocado para a direita, podendo haver também alteração no
formato da curva.
Base 𝒂 entre 0 e 1
A multiplicação por uma constante 𝐶 > 1 faz com que o gráfico seja deslocado para a direita,
podendo haver também alteração no formato da curva.
A multiplicação por uma constante 𝐶 com 0 < 𝐶 < 1 − ou seja, a divisão por uma constante maior
do que 1 − faz com que o gráfico seja deslocado para a esquerda, podendo haver também alteração
no formato da curva.
Vamos verificar qualitativamente o que acontece com os gráficos de 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 quando multiplicamos ou
dividimos a variável 𝒙 por uma constante 𝐶. Para todos os dois possíveis da base 𝑎 (maior do que 1 e entre
0 e 1), temos os seguintes efeitos
A multiplicação da variável 𝒙 por uma constante 𝑪 > 𝟏 faz com que a curva tenha uma inclinação
mais acentuada.
A multiplicação da variável 𝒙 por uma constante 𝐶 com 𝟎 < 𝑪 < 𝟏 − ou seja, a divisão por uma
constante maior do que 1 − faz com que a curva tenha uma inclinação menos acentuada.
Base 𝒂 > 𝟏
Base 𝒂 entre 0 e 1
Ao se multiplicar uma função por −1, o gráfico da nova função é o exato "espelho" da original com relação
ao eixo 𝑥. Vejamos dois exemplos para o caso da função exponencial:
𝟏 𝒙
Obtenha o gráfico de − (𝟑)
1 𝑥
Para construir o gráfico de − (3) , basta representar o gráfico de 2𝑥 e espelhá-lo com relação ao eixo 𝑥.
𝟏 |𝒙|
Obtenha o gráfico de (𝟐)
1 |𝑥| 1 𝑥
Note que, para 𝑥 ≥ 0, o gráfico de (2) é exatamente igual ao gráfico de (2) . Já para os valores negativos
de 𝑥, o gráfico é um espelho, com relação ao eixo 𝑦, do caso 𝑥 ≥ 0.
Agora que estamos munidos de diversas ferramentas para a obtenção de gráficos derivados de 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 ,
vamos realizar um exemplo mais completo.
𝟏 |𝒙−𝟏|
Obtenha o gráfico de − (𝟐) +𝟐
𝟏 |𝒙| 𝟏 𝒙
Obtenção de (𝟐) a partir de (𝟐) .
1 |𝑥| 1 𝑥
Note que, para 𝑥 ≥ 0, o gráfico de (2) é exatamente igual ao gráfico de (2) . Já para os valores negativos
de 𝑥, o gráfico é um espelho, com relação ao eixo 𝑦, do caso 𝑥 ≥ 0.
==1c0117==
𝟏 |𝒙| 𝟏 |𝒙|
Obtenção de − (𝟐) a partir de (𝟐) .
1 |𝑥| 1 |𝑥|
Para construir o gráfico de − (2) , basta representar o gráfico de (2) e espelhá-lo com relação ao eixo 𝑥.
𝟏 |𝒙−𝟏| 𝟏 |𝒙|
Obtenção de − (𝟐) a partir de − (𝟐)
𝟏 |𝒙−𝟏| 𝟏 |𝒙|
Para construir o gráfico de − (𝟐) , basta representar o gráfico de − (𝟐) e transladá-lo para a direita
uma unidade.
𝟏 |𝒙−𝟏| 𝟏 |𝒙−𝟏|
Obtenção de − (𝟐) + 𝟐 a partir de − (𝟐)
𝟏 |𝒙−𝟏| 𝟏 |𝒙−𝟏|
Finalmente, para construir o gráfico de − (𝟐) + 𝟐 , basta representar o gráfico de − (𝟐) e transladá-
lo verticalmente duas unidades para cima.
B)
C)
D)
RESOLUÇÃO:
Veja que a função que se quer obter é 𝑓(𝑥) = −2 + 3𝑥 , que pode ser reescrita como 3𝑥 − 2.
Para obter o gráfico de 3𝑥 − 2, partimos de 3𝑥 para, em seguida, transladar o gráfico verticalmente duas
unidades para baixo.
(TJ PR/2019) Um investimento em que os juros são capitalizados a cada momento é exemplo de aplicação
da função exponencial expressa pela equação 𝒚 = 𝒇(𝒕) = 𝑪 × 𝒃𝒕 , em que 𝑪 > 𝟎 é o capital inicial, 𝒕 é
o tempo e 𝒃 > 𝟏 é um número real. Assinale a opção em que o gráfico apresentado pode representar a
função 𝒚 = 𝒇(𝒕) dada, definida para todo 𝒕 real.
A)
B)
C)
D)
E)
RESOLUÇÃO:
A questão pergunta pelo gráfico de 𝑓(𝑡) = 𝐶 × 𝑏 𝑡 , onde 𝐶 > 0, 𝑏 > 1 e a variável 𝒕 é real.
A resposta correta é a letra E, pois 𝑏 𝑡 corresponde a uma função exponencial clássica com base maior do
que 1 e a constante positiva 𝐶, que multiplica essa exponencial, desloca a curva e altera o seu formato sem,
no entanto, mudar significantemente o "jeito" da função .
Vamos comentar as demais alternativas:
A) Trata-se de uma função do primeiro grau da forma 𝑦 = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 0.
Para valores positivos de 𝒙, o gráfico de uma função exponencial com base 𝒂 > 𝟎 pode se parecer, em
certos intervalos de valores, com uma função do segundo grau. Veja, por exemplo, a comparação entre as
funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 .
Apesar da similaridade, não se pode afirmar que a função exponencial descreve uma parábola, nem sequer
quando considerado um pequeno intervalo. Isso porque a palavra parábola, na matemática, apresenta um
significado preciso.
Para o nosso curso não convém apresentarmos a definição de parábola: basta saber que a função quadrática
(ou função do segundo grau) descreve uma parábola e a função exponencial não.
(INSS/2003) Suponha que a arrecadação líquida e os gastos da previdência com benefícios, em bilhões de
reais, sejam dados respectivamente pelas funções 𝒇(𝒕) = 𝒎𝒕 + 𝒏 e 𝒈(𝒕) = 𝒄𝟐𝒌𝒕 , em que 𝒕 é o numero
de anos transcorridos desde 2000, 𝒎, 𝒏, 𝒄 e 𝒌 são constantes reais.
Nessa situação julgue o item.
Em um plano cartesiano de coordenadas 𝑡 x 𝑦, o gráfico da função 𝑔 para 0 ≤ 𝑡 ≤ 5, é um arco de
parábola.
RESOLUÇÃO:
Note que 𝑔 é uma função exponencial. Portanto, ela não descreve uma parábola, uma vez que não se trata
de uma função quadrática.
Gabarito: ERRADO.
2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Considere dois números reais positivos a e b, com a ≠ 0. O logaritmo de b na base a é o número x se, e
somente se, a elevado a x for igual ao número b.
Enfatizo que essa expressão só está definida se obedecer às condições: 1) a > 0 e a ≠ 0; e 2) b > 0.
Para calcular um logaritmo, temos que procurar um número que, quando elevamos à base, resulte no
logaritmando. Isso vai exigir de nós o domínio de equações exponenciais.
Por exemplo, ao escrevermos 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟖 (lê-se logaritmo de 8 na base 2), estamos buscando o número a que
devemos elevar o 2 para que a resposta seja igual a 8:
log 2 8 = 3, 𝑝𝑜𝑖𝑠 23 = 8
Esse caso foi bem simples, mas na maioria das vezes o cálculo envolve mais trabalho, os quais se resumem à
aplicação de dois passos. Vamos aprendê-los determinando o valor de log3 243:
3𝑥 = 35 → 𝒙 = 𝟓
𝟏
Agora, calculemos o 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟖. Seguindo os dois passos do exemplo anterior, vamos aplicar a definição e tentar
igualar as bases:
1
log 2 =𝑥
8
1
2𝑥 =
8
2𝑥 = 8−1
2𝑥 = (23 )−1
2𝑥 = 2−3 → 𝒙 = −𝟑
b) log 100 = 2, pois 10² = 100 (Quando a base de um logaritmo for omitida, significa que seu valor é igual a
10. Este tipo de logaritmo é chamado de logaritmo decimal).
1) O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, tem como resultado 0, ou seja, loga 1 = 0.
Por exemplo, log9 1 = 0, pois 90 =1.
2) Quando o logaritmando é igual à base, o logaritmo será igual a 1, assim, loga a = 1. Por exemplo, log5 5 =
1, pois 51 = 5.
3) Quando o logaritmo de a na base a possui uma potência m, ele será igual ao expoente m, ou seja loga am
= m. Por exemplo, log3 35 = 5.
4) Quando dois logaritmos com a mesma base são iguais, os logaritmandos também serão iguais, ou seja,
loga b = loga c ⇔ b = c.
5) A potência de base a e expoente loga b será igual a b, ou seja, temos que 𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 = 𝒃.
(Pref. Ângulo/2020) Assinale a alternativa que apresenta corretamente o resultado da expressão √𝟖𝟏 +
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎 + (𝟏𝟎 ÷ 𝟐) + 𝟑 × 𝟒.
a) 20 b) 25 c) 28 d) 30
RESOLUÇÃO:
O nosso objetivo consiste em resolver uma expressão que possui a soma de quatro valores. Podemos calcular
cada um deles separadamente:
√81 = 9
log 100
Temos um logaritmo decimal (a base é igual a 10). Aplicando a definição para transformar o logaritmo em
uma equação exponencial:
𝑆𝑒𝑗𝑎 log10 100 = 𝑥, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 10𝑥 = 100
Agora, igualamos as bases:
10𝑥 = 102 → 𝒙 = 𝟐
Assim, concluímos que o logaritmo de 100 é igual a 2.
10 ÷ 2 = 5
3 × 4 = 12
Substituindo os valores, obtemos:
√81 + log 100 + (10 ÷ 2) + 3 × 4
= 9 + 2 + 5 + 12
= 𝟐𝟖
Gabarito: C.
(SECITEC-MT/2018) Para incentivar seus alunos, um professor de Matemática registra as notas das provas
por logaritmos. Se, em uma dessas provas, a nota corresponde ao logaritmo de 4 na base raiz cúbica de 2,
então essa nota é igual a:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
RESOLUÇÃO:
Em linguagem matemática, o logaritmo de 4 na base raiz cúbica de 2 é dado por:
log 3√2 4 = 𝑥
Aplicando a definição para transformar o logaritmo em uma equação exponencial:
3 𝑥
( √2) = 4
Agora, igualamos as bases:
1⁄ 𝑥
(2 3) = 22
𝑥⁄
2 3 = 22
Igualando os expoentes, teremos:
𝑥
=2 → 𝒙=𝟔
3
Gabarito: C.
Existem casos em que a simples aplicação da definição não é suficiente para resolvê-los, então, para isso,
foram desenvolvidas algumas propriedades que facilitam essa resolução. O domínio dessas ferramentas é
essencial para a solucionar tais problemas sobre o tema e para utilizar-se de logaritmos a fim de solucionar
equações exponenciais de bases diferentes.
É igual à multiplicação do 𝟏
4) Base elevada a uma 𝐥𝐨𝐠 𝒂𝒏 𝒃 = . 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃
inverso do expoente dessa 𝒏
potência ⬚
base
𝟏
e) 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟓 𝟏𝟎 = 𝟓 . 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟏𝟎
(Pref. Salvador/2019) Sabe-se que log3 (x) + log3 (y) = 4. O valor do produto xy é
a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81
RESOLUÇÃO:
Como temos bases iguais, a soma dos logaritmos de mesma base corresponde ao logaritmo do produto:
log 3 𝑥 + log 3 𝑦 = 4
log 3 (𝑥 . 𝑦) = 4
A definição de logaritmo estabelece que loga b = x ⇔ b = ax. Com isso, temos:
𝒙𝒚 = 34 = 𝟖𝟏
Gabarito: E.
(Pref. Sapucaia do Sul/2019) Sabendo que o valor aproximado de log (5) é 0,698, o valor de log (50) será:
a) 1,698 b) 2,698 c) 3,698 d) 4,698 e) 10,698
RESOLUÇÃO:
Veja que a base dos logaritmos foi omitida. Isso significa que seu valor é igual a 10. O nosso objetivo consiste
em determinar log 50 ou log (5 . 10). Como o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos:
= log 5 + log 10
Como log 5 = 0,698 e log 10 = 1, temos 0,698 + 1 = 1,698.
Gabarito: A.
O logaritmo neperiano nada mais é do que um logaritmo cuja base é o número de Euler. Se tivermos um
logaritmando qualquer dado por b, com b > 0, o logaritmo neperiano de b pode ser representado de duas
formas:
loge b ou ln b
Por exemplo, o logaritmo neperiano de 2 pode ser representado por loge 2 ou por ln 2.
2.4. Cologaritmo
𝐜𝐨𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = − 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃
colog 𝑎 𝑏 = − log 𝑎 𝑏
colog 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑏 −1
𝟏
𝐜𝐨𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 ( )
𝒃
Dessa forma, concluímos que o cologaritmo de um número é o logaritmo do seu inverso, na mesma base.
2.5. Antilogaritmo
Sendo a e b números reais positivos (a > 0, a ≠ 1 e b > 0), se o logaritmo de b na base a é x, então b é o
antilogaritmo de x na base a:
loga b = x ⇔ antiloga x = b ⇔ ax = b
1) Qual o antilog3 2?
Seja x o antilog3 2. Então, temos:
32 = x x = 9
Assim, o antilog3 2 = 9, pois log3 9 = 2.
2) Calcule o valor da expressão antilog3 (log1/2 16).
Inicialmente, vamos calcular o valor de log1/2 16:
log1/2 16 = x
(1/2)x = 16
(2−1)x = 16
2−x = 24
−x = 4
x = −4
Substituindo na expressão apresentada, temos:
antilog3 (log1/2 16) = antilog3 (−4)
antilog3 (−4) = k
3−4 = k
k = (1/3)4 = 1/81
Equações são sentenças matemáticas que utilizam números e letras ou somente letras na sua composição,
seguida de sinais operatórios. O principal objetivo das equações é determinar o valor desconhecido através
de resoluções que atendam regras matemáticas.
No caso das equações logarítmicas, temos que a incógnita está presente no logaritmando ou na base. A
resolução é feita utilizando as regras e propriedades operatórias envolvendo logaritmos, até que a equação
chegue a dois possíveis casos:
1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base. Daí, basta igualar aos logaritmandos:
loga b = loga c → b = c
2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real. Daí, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:
loga b = x ↔ ax = b
2) x + 2 1 x −1
3) 2x² + x > 0 x . (2x + 1) > 0 x > 0 e 2x + 1 > 0 x > 0 e x < −1/2
Aplicando a definição de logaritmos, temos:
(𝑥 + 2)1 = 2𝑥 2 + 𝑥
2𝑥 2 = 2
𝑥2 = 1
𝒙 = ±√1 = ±𝟏
De acordo com as restrições entre os resultados x’ = 1 e x’’ = –1, temos que considerar somente x = 1, de
forma a tornar o conjunto solução verdadeiro.
2.7.1. Definição
É a função real no conjunto dos números reais definida por f(x) = loga x, com a > 0 e a 1, tendo como sua
inversa a função exponencial.
f(x) = log3 x
f(x) = log2 (x – 1)
f(x) = log10 x
f(x) = log0,5 x
O domínio da função logarítmica integra o conjunto dos números reais positivos, excluindo o zero (𝑹∗+ ). Ou
seja, o logaritmando deve ser real e positivo. Além disso, a base deve ser real, positiva e diferente de 1.
Essa função assume todas as soluções reais, por isso dizemos que o seu conjunto imagem é dado por:
Im = R.
a) f(x) = log (x – 2)
Inicialmente, precisamos determinar (x – 2) > 0, pois é uma das condições de existência do logaritmo. Em
seguida, basta resolver a inequação:
𝑥– 2 > 0 → 𝒙 > 𝟐
b) f(x) = log(x – 2) (4 – x)
2) 𝑥 – 2 > 0 → 𝒙 > 𝟐
3) 𝑥 – 2 ≠ 1 → 𝑥 ≠ 1 + 2 → 𝒙 ≠ 𝟑
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. Dessa forma,
concluímos que D = {x ∈ R | 2 < x < 3 e 3 < x < 4}.
O domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais positivos e f(8) = 27.
RESOLUÇÃO:
O item está certo ao afirmar que o domínio de f(x) é o conjunto dos números reais positivos.
Agora, precisamos verificar se f(8) = 27. Para isso, substituímos x por 8 em f(x):
f(8) = 30 − log2 8 = 30 − log2 23 = 30 − 3 . log2 2 = 30 − 3 . 1 = 27
Gabarito: CERTO.
(Pref. Riacho da Cruz/2017) O domínio da função f(x) = log (x+2)(5x²-26x+5) é dado por
S = {x ∈ R / −2 < x < 15 ou x > 5 e x ≠ −1}.
RESOLUÇÃO:
Na função f(x) = loga x, o logaritmando x e a base a são necessariamente reais positivos, e a base ainda deve
ser diferente de 1. Com essas restrições em mente, devemos analisar os intervalos para a função
f(x) = log(x + 2) (5x² − 26x + 5).
1) x + 2 > 0 x > −2
2) x + 2 1 x −1
3) 5x2 − 26x + 5 > 0. Nesse caso, precisamos encontrar as raízes de 5x2 − 26x + 5 = 0:
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
∆= (−26)2 − 4 . 5 . 5 = 676 − 100 = 576
−𝑏 ± √∆
𝑥=
2𝑎
26 + 24 50
−(−26) ± √576 26 ± 24 𝑥1 = 10 = 10 = 5
𝑥= = {
2 .5 10 26 − 24 2 1
𝑥2 = = =
10 10 5
Como o coeficiente a é positivo, a parábola que descreve a equação tem concavidade voltada para cima.
Assim, a equação será positiva apenas para x < 1/5 ou para x > 5.
Portanto, conjugando todos os intervalos encontrados, concluímos que o domínio da função enunciada será:
𝟏
𝑺 = {𝒙 ∈ 𝑹| − 𝟐 < 𝒙 < 𝒐𝒖 𝒙 > 𝟓 𝒆 𝒙 ≠ −𝟏}
𝟓
Gabarito: CERTO.
2.7.3. Gráfico
O gráfico da função logarítmica é uma curva, construída em razão dos valores aplicados em x e os respectivos
resultados calculados para f(x).
Para a base a maior que 1 (x1 < x2 ↔ loga x1 < loga x2), a função logarítmica é dita crescente, já que à medida
que x aumenta acontece o mesmo com o f(x). Ou seja, trata-se de uma curva que cresce em virtude do
aumento de x.
Quando estipulamos valores reais positivos para x e encontramos imagens, que podem ser todos os tipos de
reais, inclusive os negativos, o gráfico crescente é da seguinte forma:
Por outro lado, para a base 0 < a < 1, a função é dita decrescente em todo o seu domínio
(x1 < x2 ↔ loga x1 > loga x2). Isso ocorre porque à medida que x aumenta, a imagem diminui. Essa relação
inversamente proporcional origina a seguinte representação gráfica:
(Pref. Areal/2020 - Adaptada) Considere a função f: R → R cujo gráfico está esboçado abaixo.
(Pref. São José de Ubá/2010) Para quantos valores de k inteiros a função y = log(2k-5) x é decrescente?
a) 1 b) 2 c) 3 d) Infinitos e) Nenhum
RESOLUÇÃO:
A função logarítmica apresentada é do tipo y = loga x, com a > 0 e a ≠ 1, a qual será decrescente se 0 < a < 1.
No caso da função y = log(2k-5) x, ela será decrescente se:
𝟓
a) 2𝑘 − 5 > 0 → 2𝑘 > 5 → 𝒌 > 𝟐
b) 2𝑘 − 5 < 1 → 2𝑘 < 6 → 𝒌<𝟑
Fazendo a intersecção desses dois intervalos, temos:
𝟓
<𝒌<𝟑
𝟐
Portanto, essa função é decrescente quando o valor de k estiver entre 2,5 e 3, ou seja, não existe nenhum
valor inteiro para os quais y seja decrescente.
Gabarito: E.
QUESTÕES COMENTADAS
Texto para as questões 1 e 2
Para avaliar a resposta dos motoristas a uma campanha educativa promovida pela PRF, foi proposta a
função 𝒇(𝒙) = 𝟑𝟓𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝒆−𝒙 , que modela a quantidade de acidentes de trânsito com vítimas fatais
ocorridos em cada ano. Nessa função, 𝒙 ≥ 𝟎 indica o número de anos decorridos após o início da
campanha.
CESPE/PRF/2019
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
De acordo com o modelo, no final do primeiro ano da campanha, apesar do decréscimo com relação ao ano
anterior, ainda ocorreram mais de 400 acidentes de trânsito com vítimas fatais.
RESOLUÇÃO:
Observe que a função que modela a quantidade de acidentes com vítimas fatais é descrita por:
1
𝑓(𝑥) = 350 + 150
𝑒𝑥
150
𝑓(𝑥) = 350 +
𝑒𝑥
Note que 𝑒 𝑥 é uma função exponencial cuja base é o número de Euler (𝑒 ≅ 2,72). No primeiro ano de
campanha temos 𝑥 = 1 e, portanto, temos o seguinte número aproximado de acidentes com vítimas fatais:
150
𝑓(1) ≅ 350 + ≅ 405
2,721
Gabarito: CERTO.
CESPE/PRF/2019
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
Segundo o modelo apresentado, após dez anos de campanha educativa, haverá, em cada um dos anos
seguintes, menos de 300 acidentes de trânsito com vítimas fatais.
RESOLUÇÃO:
Observe que a função que modela a quantidade de acidentes com vítimas fatais é descrita por:
150
𝑓(𝑥) = 350 +
𝑒𝑥
Note que 𝑒 𝑥 é uma função exponencial cuja base é o número de Euler (𝑒 ≅ 2,72). Essa função exponencial
será sempre um número positivo.
150
Veja, portanto, que a parcela também será sempre um número positivo. No pior dos casos, quando 𝑒 𝑥
𝑒𝑥
150
se tornar um número muito grande, se tornará um número muito próximo de zero.
𝑒𝑥
150
Temos então que a função 𝑓(𝑥) = 350 + corresponde à soma de duas parcelas:
𝑒𝑥
𝟏𝟓𝟎
𝑓(𝑥) = 350 +
⏟𝒆𝒙
Número positivo que,
no pior dos casos,
é muito próximo de zero
Isso significa que a função 𝑓(𝑥) sempre será maior do que 350 para qualquer valor de 𝑥. Logo, é errado
afirmar que após dez anos de campanha educativa, haverá, em cada um dos anos seguintes, menos de 300
acidentes de trânsito com vítimas fatais.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/PM AL/2012
De acordo com as informações do texto, é correto inferir que a temperatura do referido corpo, uma hora
após o primeiro registro da temperatura, era igual a:
a) 30°C.
b) 25°C.
c) 24°C.
d) 22°C.
e) 20°C.
RESOLUÇÃO:
Após uma hora do primeiro registro de temperatura, temos 𝑡 = 1. A temperatura do corpo, portanto, é igual
a 𝜃(1).
𝜃(1) = 20 + 10 × 2−1
1
= 20 + 10 ×
21
= 25
Gabarito: Letra B.
CESPE/PM AL/2012
Considere que a temperatura do corpo de uma pessoa viva e saudável seja de 37 °C, que a vítima em questão
estivesse nessas condições antes de morrer e que a temperatura do seu corpo passou a ser expressa por
𝜃(𝑡) imediatamente após a sua morte. Nesse caso, considerando 4,1 e 3,3 como valores aproximados para
log 2 17 e log 2 10, respectivamente, é correto inferir que a morte da esposa do cidadão ocorreu às
a) 18 horas e 12 minutos.
b) 18 horas e 48 minutos.
c) 19 horas e 12 minutos.
d) 19 horas e 20 minutos.
e) 19 horas e 48 minutos.
RESOLUÇÃO:
Note que:
Vamos considerar que no horário da morte, anterior às 20h, a variável tempo é igual a 𝒕∗ . Nesse tempo
específico, temos que a temperatura é de 37 °C:
𝜃(𝑡 ∗ ) = 37
∗
20 + 10 × 2−𝑡 = 37
∗
10 × 2−𝑡 = 37 − 20
∗ 17
2−𝑡 =
10
∗ 17
log 2 2−𝑡 = log 2
10
−𝑡 ∗ × 1 = 4,1 − 3,3
−𝑡 ∗ = 0,8
𝒕∗ = −𝟎, 𝟖
Como uma unidade da variável 𝑡 corresponde a 1 hora, temos que 0,8 corresponde a:
Isso significa que a morte ocorreu 48 minutos antes das 20h, isto é, ocorreu às 19 horas e 12 minutos.
Gabarito: Letra C.
CESPE/BB/2007
A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano xOy, em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas,
foi utilizada a mesma unidade de medida. No sistema da esquerda, está representado o gráfico da função
𝑓(𝑥) = 2𝑥 , no qual estão marcados os pontos de abcissas 𝑥 = 𝑘 e 𝑥 = 2𝑘. No sistema da direita, está
representado o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑥 e os pontos que têm as mesmas ordenadas daqueles marcados
no gráfico do sistema da esquerda. Sabe-se que a distância entre as abcissas dos pontos marcados no gráfico
à direita é igual a 56.
Considerando essas informações, julgue o item abaixo.
Na situação apresentada, o valor do número real 𝑘 é tal que 30 < 𝑘 3 + 𝑘 + 1 < 32.
RESOLUÇÃO:
Na função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , as abcissas 𝑥 = 𝑘 e 𝑥 = 2𝑘 correspondem, respectivamente, às ordenadas 𝒚 = 𝟐𝒌 e
𝒚 = 𝟐𝟐𝒌 .
Considere que para a função 𝑔(𝑥) = 𝑥 temos que as abcissas 𝑥1 e 𝑥2 correspondam, respectivamente, a
essas ordenadas 2𝑘 e 22𝑘 .
A soma das raízes é 1 e o produto é −56. Logo, as raízes são 𝑡1 − 7 e 𝑡2 = 8. Retornando para 𝑘, temos:
2𝑘 = 8 → 2𝑘 = 23 → 𝒌 = 𝟑
2𝑘 = −7 → Não convém, pois 2𝑘 > 0
CESPE/BRB/2011
A população será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial.
RESOLUÇÃO:
Seja 𝑡 ∗ o tempo em que a população será de 30.000 indivíduos. Nesse caso, temos:
𝑃(𝑡 ∗ ) = 30.000
∗
5.000𝑒 0,18𝑡 = 30.000
∗ 30.000
𝑒 0,18𝑡 =
5.000
∗
𝑒 0,18𝑡 = 6
0,18𝑡 ∗ × ln 𝑒 = ln 6
0,18𝑡 ∗ × 1 = 1,8
1,8
𝑡∗ =
0,18
𝑡 ∗ = 10
Logo, a população será de 30.000 indivíduos somente 10 anos após a contagem inicial.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/BRB/2011
Um ano após a contagem inicial, a população da comunidade aumentou em 20%.
RESOLUÇÃO:
A população inicial da comunidade ocorre em 𝑡 = 0 e é dada por 𝑃(0). Já a população após um ano ocorre
em 𝑡 = 1 e é dada por 𝑃(1).
O aumento percentual da população após um ano é dado pela razão entre a variação da população,
𝑃(1) − 𝑃(0), e a população inicial 𝑃(0):
𝑃(1) − 𝑃(0)
𝑃(0)
𝑃(1)
= −1
𝑃(0)
5.000𝑒 0,18×1
= −1
5.000𝑒 0,18×0
𝑒 0,18×1
= −1
𝑒 0,18×0
𝑒 0,18
= 0 −1
𝑒
1,2
= −1
1
= 0,2 = 20%
Gabarito: CERTO.
CESPE/PC ES/2011
Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado que o animal morreu há 25.000 anos. Nesse
caso, a quantidade de carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era superior a 4% da
quantidade no instante da morte.
RESOLUÇÃO:
Se o animal morreu há 25.000 anos, temos que 𝜏 = 25.000 e que a quantidade de carbono 14 existente
nessa ossada é de 𝑄(25.000).
= 𝑄(0)𝑒 −3
= 𝑄(0) × 0,05
= 5% × 𝑄(0)
= 5% de Q(0)
Gabarito: CERTO.
CESPE/PC ES/2011
Se, em uma ossada, o perito constatou que a quantidade de carbono 14 presente era 9% da quantidade no
instante da morte do animal, então é correto afirmar que o animal morreu a menos de 19.000 anos.
RESOLUÇÃO:
Vamos supor que, com a constatação de que a quantidade de carbono 14 era de 9% da quantidade presente
no instante da morte do animal, o tempo transcorrido em anos tenha sido de 𝜏 ∗ .
Nesse caso, a quantidade de carbono 14 após esses anos é de 𝑄(𝜏 ∗ ), que corresponde a 9% de 𝑄(0).
𝑄(𝜏 ∗ ) = 9% × 𝑄(0)
∗
𝑄(0)𝑒 −0,00012×𝜏 = 0,09𝑄(0)
∗
𝑒 −0,00012×𝜏 = 0,09
−0,00012 × 𝜏 ∗ × ln 𝑒 = −2,4
−0,00012 × 𝜏 ∗ × 1 = −2,4
−2,4
𝜏∗ =
−0,00012
𝜏 ∗ = 20.000
Logo, o animal morreu há 20.000 anos, valor este superior a 19.000 anos.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/PM-DF/2005
Considere que 120.000 bactérias sofreram um processo de deterioração exponencial. Se 20.000 bactérias
restaram ao final do processo, 40 minutos após o seu início, então, em cada instante 𝑡, 𝑄(𝑡) = 120.000𝑒 −𝑘𝑡 ,
ln 6
em que 𝑘 = 40 .
RESOLUÇÃO:
O texto afirma que para o decrescimento o expoente é negativo. Logo, usaremos a segunda função
apresentada. Como no início a população era 120.000, então 𝑄(0) = 120.000. Portanto:
𝑄(0) = 𝑄0 × 𝑒 −𝑘×0
120.000 = 𝑄0 × 𝑒 0
𝑄0 = 120.000
40 minutos após o início temos 20.000 bactérias. Logo, 𝑄(40) = 20.000. Portanto:
𝑄(40) = 𝑄0 × 𝑒 −𝑘×40
1 120.000
=
e−40k 20.000
𝑒 40𝑘 = 6
Aplicando o logaritmo neperiano dos dois lados da igualdade, obtemos:
ln 𝑒 40𝑘 = ln 6
40𝑘 × ln 𝑒 = ln 6
40𝑘 = ln 6
ln 6
𝑘=
40
𝐥𝐧 𝟔
Note então que, de fato, 𝑸(𝒕) = 𝑄0 𝑒 −𝑘𝑡 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒆−𝒌𝒕 com 𝒌 = .
𝟒𝟎
Gabarito: CERTO.
CESPE/PM-DF/2005
Considere que em uma situação de crescimento exponencial inicialmente existiam 2.000 bactérias e, 20
minutos depois, 6.000. Nessa situação, após uma hora, existirão mais de 60.000 bactérias.
RESOLUÇÃO:
O texto afirma que para o crescimento o expoente é positivo. Logo, usaremos a primeira função apresentada.
Como no início a população era 2.000, então 𝑄(0) = 2.000. Portanto:
𝑄(0) = 𝑄0 × 𝑒 𝑘×0
2.000 = 𝑄0 × 𝑒 0
𝑄0 = 2.000
20 minutos após o início temos 6.000 bactérias. Logo, 𝑄(20) = 6.000. Portanto:
𝑄(20) = 𝑄0 × 𝑒 𝑘×20
6.000
𝑒 20𝑘 =
2.000
𝑒 20𝑘 = 3
Aplicando o logaritmo neperiano dos dois lados da igualdade, obtemos:
𝑙𝑛 𝑒 20𝑘 = 𝑙𝑛 3
20𝑘 × 𝑙𝑛 𝑒 = 𝑙𝑛 3
𝑙𝑛 3
𝑘=
20
Agora que temos as constantes 𝑄0 e 𝑘, sabemos que o crescimento em questão é dado por:
𝑄(𝑡) = 𝑄0 × 𝑒 𝑘𝑡
𝒍𝒏 𝟑
𝑸(𝒕) = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 × 𝒆 𝟐𝟎 𝒕
Devemos obter o número de bactérias após 1 hora. Sabendo-se que 1ℎ = 60𝑚𝑖𝑛, devemos usar 𝑡 = 60 na
função acima.
𝑙𝑛 3
2.000 × 𝑒 20 60
= 2.000 × 𝑒 3 ln 3
𝟑)
= 2.000 × 𝑒 ln(𝟑
3 2
Lembre-se que 𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 = 𝒃. Portanto, 𝑒 ln 3 = 𝑒 loge 3 = 33 .
𝑄(60) = 2.000 × 𝟑𝟑
= 2.000 × 27
= 54.000
Logo, após 1h hora, existirão 54.000 bactérias, número menor do que 60.000.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/PETROBRAS/2004
Os empregados do departamento comercial de uma empresa foram submetidos a um teste e posteriormente
examinados novamente, a cada mês, por meio de exames equivalentes. A nota média acumulada desses
empregados, em uma escala de 100 pontos, foi modelada pela função 𝑴(𝒕) = 𝟖𝟎 − 𝟏𝟒 𝑳𝒏(𝒕 + 𝟏), para
𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟐, em que t é o tempo, em meses, decorrido desde a aplicação do primeiro teste. Com base
nessas informações e considerando 𝑳𝒏(𝟓) = 𝟏, 𝟔, julgue o item a seguir.
A nota média obtida pelos empregados no exame original foi igual a 66.
RESOLUÇÃO:
Calculando o valor de 𝑀(𝑡) = 80 − 14 𝐿𝑛(𝑡 + 1), para o caso do exame original (𝑡 = 0):
𝑀(𝑡) = 80 − 14 𝐿𝑛(𝑡 + 1)
𝑀(0) = 80 − 14 𝐿𝑛(0 + 1)
𝑀(0) = 80 − 14 𝐿𝑛(1)
Sabemos que todo o logaritmo com logaritmando 1 tem por resultado 0, independentemente da base.
𝑀(0) = 80 − 14 × 0
𝑀(0) = 80 pontos
Logo, a nota média obtida pelos empregados no exame original foi igual a 80.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/IEMA-ES/2004
Se a região tem a forma de um quadrado de lado medindo 1.000 m, então o aparelho fornecerá ao
agrimensor a leitura log10 𝐴 = 6.
RESOLUÇÃO:
log10 𝐴 =
= log10 106
= 6 × log10 10
=6
Logo, a resposta do aparelho retornada ao agrimensor está CERTA.
Gabarito: CERTO.
CESPE/IEMA-ES/2004
Considere que a região a ser medida tem a forma de um triângulo retângulo com catetos a e b. Se a = 1 km
e log10 𝐴 = 0, então b = 1 km.
RESOLUÇÃO:
100 = 𝐴
𝐴 = 1 𝑚2
Note que, segundo o enunciado, a área A obtida pelo aparelho é em metros quadrados.
Sabemos que o cateto 𝑎 corresponde a 1𝑘𝑚, ou seja, 1.000 m. Aplicamos a fórmula de cálculo de área (A)
de um triângulo retângulo para encontrar o cateto b:
𝑎×𝑏
𝐴=
2
1000 × 𝑏
1=
2
2
𝑏=
1000
𝑏 = 0,002 m
O cateto b vale 0,002 𝑚 (0,000002 𝐾𝑚), e não 1 km. Logo, o item está ERRADO.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/GDF/2006
Mesmo com todas as técnicas pedagógicas disponíveis, a experiência do professor em sala de aula é
fundamental. Considere que a relação entre experiência do professor e o aproveitamento dos alunos em
𝒕
sala de aula possa ser modelada por uma função do tipo 𝑵(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝒆−𝟐𝟎 , em que N(t) é a
porcentagem da aula que foi aproveitada pela classe, e t, medido em anos, é o tempo de experiência do
𝟏
professor. Com base nessas informações e considerando 𝒆 = 𝟎, 𝟑𝟕, julgue o item que se segue.
Escrevendo-se 𝑁(𝑡) = 𝑦 e com base no modelo apresentado, é possível obter-se uma nova expressão para
o modelo em que o tempo t pode ser expresso por uma função de y, de acordo com a relação
50 20
𝑡 = ln (100−𝑦) .
RESOLUÇÃO:
𝑡
Como 𝑦 = 𝑁(𝑡) e 𝑁(𝑡) é descrito por 100 − 50𝑒 −20 , temos:
𝑡
𝑦 = 100 − 50𝑒 −20
𝑡
50𝑒 −20 = 100 − 𝑦
𝑡 100 − 𝑦
𝑒 −20 =
50
Aplicando o logaritmo de base 𝑒 em ambos os lados da equação, temos:
𝑡 100 − 𝑦
ln (𝑒 −20 ) = ln ( )
50
𝑡 100 − 𝑦
− ln 𝑒 = ln ( )
20 50
1 100 − 𝑦
𝑡 × (− ) × 1 = ln ( )
20 50
100 − 𝑦
𝑡 = −20 × ln ( )
50
100 − 𝑦 −20
𝑡 = ln ( )
50
20
100 − 𝑦 −1
𝑡 = ln (( ) )
50
20
50
𝑡 = ln ( )
100 − 𝑦
Gabarito: CERTO.
CESPE/SEDU-ES/2012
De acordo com o modelo de crescimento populacional do economista e demógrafo inglês Thomas Rober
Malthus, a quantidade de indivíduos de uma população no instante 𝒕 pode ser estimada pela função 𝑷(𝒕) =
𝑷𝟎 𝒆𝒓𝒕 , em que 𝑷𝟎 é a quantidade de indivíduos na população no instante 𝒕 = 𝟎 − que, dependendo da
população, pode ser segundos, minutos, horas, anos – e 𝒓 é a taxa de crescimento vegetativo. Considerando
𝟏
as populações 𝑷𝟏 (𝒕) = 𝑷𝟎 𝒆𝒓𝒕 e 𝑷𝟐 (𝒕) = 𝟑 𝑷𝟎 𝒆𝟐𝒓𝒕 , em que 𝒓 > 𝟎 e 𝒕 é dado em anos, julgue o item seguinte.
1
No instante 𝑡, tal que 𝑡 = 𝑟 ln 3, as populações 𝑃1 e 𝑃2 terão a mesma quantidade de indivíduos.
RESOLUÇÃO:
Se 𝑃1 e 𝑃2 apresentarem a mesma quantidade de indivíduos no tempo 𝑡 ∗ , então:
𝑃1 (𝑡 ∗ ) = 𝑃2 (𝑡 ∗ )
∗ 1 ∗
𝑃0 𝑒 𝑟𝑡 = 𝑃0 𝑒 2𝑟𝑡
3
∗ 1 2𝑟𝑡 ∗
𝑒 𝑟𝑡 = 𝑒
3
∗
𝑒 2𝑟𝑡
3 = 𝑟𝑡 ∗
𝑒
∗
𝑒 𝑟𝑡 = 3
Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da igualdade, obtemos:
∗
ln 𝑒 𝑟𝑡 = ln 3
𝑟𝑡 ∗ = 𝑙𝑛3
1
𝑡∗ = 𝑙𝑛3
𝑟
1
Logo, em 𝑡 ∗ = 𝑟 ln 3, as populações 𝑃1 e 𝑃2 terão a mesma quantidade de indivíduos.
Gabarito: CERTO.
CESPE/SEDUC-MT/2006
A modelagem matemática pode ser considerada tanto como um método científico de pesquisa quanto como
uma estratégia de ensino aprendizagem da matemática. Segundo Bassanezi, ela consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando-se suas
soluções na linguagem do mundo real.
Entre os modelos que podem ser utilizados para resolver problemas relacionados à estimativa do
crescimento de determinada população, estão aqueles que envolvem funções exponenciais e logarítmicas,
tal qual o apresentado a seguir, em que a população 𝑃(𝑡) em determinada região de um país é expressa em
termos de 𝑡 anos a partir de 2005, ou seja, 𝑡 = 0 corresponde ao ano 2005, 𝑡 = 1, ao ano 2006 etc.
Suponha que:
200.000
𝑃(𝑡) =
1 + 0,25𝑒 𝑘𝑡
em que k é um número real.
Considerando-se ainda as informações do texto e sabendo-se que a população modelada por P(t), em 2006,
era igual a 120.000 habitantes, então o valor de k na expressão apresentada é igual a :
ln 3
A) ln 2
2 ln 2
B) 3 ln 3
C) 3 ln 3 − ln 2
D) 3 ln 2 − ln 3
RESOLUÇÃO:
O ano de 2006 corresponde a 𝑡 = 1, e neste ano tem-se uma população de 120.000 habitantes. Portanto,
𝑃(1) = 120.000. Logo:
200.000
𝑃(1) =
1 + 0,25𝑒 𝑘×1
200.000
120.000 =
1 + 0,25𝑒 𝑘
200.000
1 + 0,25𝑒 𝑘 =
120.000
1 𝑘 5
𝑒 = −1
4 3
1 𝑘 2
𝑒 =
4 3
8
𝑒𝑘 =
3
Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da igualdade, obtemos:
8
ln 𝑒 𝑘 = ln
3
𝑘 × ln 𝑒 = ln 8 − ln 3
𝑘 × 1 = ln 23 − ln 3
𝑘 = 3 ln 2 − ln 3
Gabarito: Letra D.
Texto para as questões 18 e 19
Considere que o tamanho da população mundial feminina possa ser expresso, em bilhões de habitantes,
pela função 𝑷(𝑻) = 𝟔(𝟏 – 𝒆–𝟎,𝟎𝟐𝑻 ) + 𝟑, em que 𝑻 = 𝟎 representa o ano de 2008, 𝑻 = 𝟏, o ano de
2009, e assim por diante. Com base nesse modelo, julgue o item seguinte.
CESPE/BB/2008
Em 2058, a população feminina mundial será superior a 7 bilhões de habitantes.
RESOLUÇÃO:
Como 𝑇 = 0 representa o ano de 2008, o ano de 2058 é representado por:
𝑇 = 2093 − 2058
𝑇 = 50
Logo, a população mundial feminina, em bilhões de habitantes, será:
𝑃(50) = 6(1 − 𝑒 −0,02×50 ) + 3
= 6(1 − 𝑒 −1 ) + 3
1
= 6 (1 − ) + 3
𝑒
6
=6− +3
𝑒
6
=9−
𝑒
CESPE/BB/2008
Tomando 1,7 como valor aproximado para ln 6, é correto afirmar que em 2093 a população mundial feminina
será igual a 8 bilhões de habitantes.
RESOLUÇÃO:
Como 𝑇 = 0 representa o ano de 2008, o ano de 2093 é representado por:
𝑇 = 2093 − 2008
𝑇 = 85
Logo, a população mundial feminina, em bilhões de habitantes, será:
𝑃(85) = 6(1 − 𝑒 −0,02×85 ) + 3
= 6(1 − 𝑒 −𝟏,𝟕 ) + 3
Como 1,7 é o valor aproximado de ln 6, temos:
𝑃(85) = 6(1 − 𝑒 −𝒍𝒏 𝟔 ) + 3
−𝟏 )
= 6(1 − 𝑒 𝒍𝒏 (𝟔 )+3
−1 −1
Lembre-se que 𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 = 𝒃. Portanto, 𝑒 ln 6 = 𝑒 loge 6 = 6−1. Logo:
1
= 6 (1 − ) + 3
6
=6−1+3
=8
Logo, de fato em 2093 a população mundial feminina será igual a 8 bilhões de habitantes.
Gabarito: CERTO.
Texto para as questões 20 a 24
𝒕
As fundações de estudos econômicos K e S, utilizando as funções 𝑲(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟕𝒕 + 𝟒𝟎 e 𝑺(𝒕) = 𝟑𝒆𝟐 ,
respectivamente, fizeram, em 1990, previsões sobre a evolução das reservas monetárias do país X, para
os próximos 22 anos. Em ambas, 𝒕 = – 𝟏𝟎 corresponde ao ano de 1990, 𝒕 = – 𝟗, ao ano de 1991, e assim
sucessivamente, e 𝑲(𝒕) e 𝑺(𝒕), em bilhões de dólares, representam, segundo cada fundação, as reservas
do país X no ano t.
A partir das informações acima, julgue os itens a seguir.
CESPE/BB/2008
De acordo com a previsão da fundação S, em 1994 o país X gastaria além de sua poupança, fazendo que suas
reservas ficassem negativas.
RESOLUÇÃO:
Note que a previsão das reservas do país X feita pela fundação S é dada por uma função exponencial:
𝑡
𝑆(𝑡) = 3𝑒 2
Essa função nunca será negativa para qualquer valor de 𝑡. Logo, é errado dizer que, segundo a fundação S,
em 1994 o país X teria reservas negativas.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/BB/2008
As reservas do país X, em 2006, segundo as previsões da fundação S, seriam inferiores a 81 bilhões de dólares.
RESOLUÇÃO:
Como 𝑡 = −10 corresponde ao ano de 1990, o ano de 2006 corresponde a:
𝑡 = −10 + (2006 − 1990)
𝑡 = −10 + 16
𝑡=6
Portanto, a previsão da fundação S para o ano de 2006 é dada por 𝑆(6).
6
𝑆(6) = 3𝑒 2
= 3𝑒 3
O número de Euler é aproximadamente 2,72. Logo:
𝑆(6) ≅ 3(2,72)3
≅ 3 × 20,12
= 60,36
Logo, temos o valor aproximado de 60,36 bilhões, que é inferior a 81 bilhões.
Gabarito: CERTO.
CESPE/BB/2008
De acordo com as previsões da fundação S, no período de 1990 a 2010, as reservas do país X atingiriam seu
pior resultado em 1990.
RESOLUÇÃO:
CESPE/BB/2008
Os gráficos das funções K(t) e S(t) são parábolas com concavidades voltadas para cima.
RESOLUÇÃO:
A função 𝑲(𝒕) = 𝑡 2 + 7𝑡 + 40 é uma função do segundo grau e, portanto de fato descreve uma parábola.
Sua parábola tem concavidade voltada para cima, pois se descrevermos 𝐾(𝑡) como 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐, o
coeficiente 𝒂 é 1 e, portanto, é positivo.
Por outro lado, 𝑺(𝒕) é uma função exponencial. Logo, não se trata de uma parábola.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/BB/2008
As fundações K e S previram resultados idênticos para as reservas monetárias do país X em, pelo menos,
duas ocasiões no período de 1990 a 2010.
RESOLUÇÃO:
Uma forma de se encontrar quantas vezes 𝐾(𝑡) e 𝑆(𝑡) apresentam resultados idênticos para um mesmo
valor de 𝑡 seria igualar as duas funções e encontrar os valores de 𝑡 para os quais a igualdade acontece. Ocorre
que não conseguimos obter o valor de 𝒕 realizando a igualdade. Veja:
𝐾(𝑡) = 𝑆(𝑡)
𝒕
𝒕𝟐 + 𝟕𝒕 + 𝟒𝟎 = 𝟑𝒆𝟐
Não é possível resolver essa equação.
Nesse caso, o que podemos fazer para responder a questão é esboçar os gráficos de 𝐾(𝑡) e de 𝑆(𝑡) e verificar
se eles se interceptam duas vezes.
Dados para desenhar 𝑲(𝒕)
Primeiramente, vamos obter dados para desenhar 𝐾(𝑡). Para tanto, utilizaremos conhecimentos
relacionados à função quadrática.
Veja que se trata de uma parábola com concavidade voltada para cima, pois 𝑎 = 1 > 0.
Além disso, para essa função quadrática:
𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = 72 − 4 × 1 × 40
𝛥 = 49 − 160
𝛥 = −111
A função não apresenta raízes, pois 𝛥 < 0.
𝑲(𝒕) corta o eixo 𝒚 em (𝒙; 𝒚) = (𝟎; 𝟒𝟎), pois:
𝐾(0) = 02 + 7 × 0 + 40 = 40
Observe, portanto, que as funções irão se interceptar uma única vez no primeiro quadrante do plano 𝑥
versus 𝑦.
O gabarito, portanto, é ERRADO.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/PM-DF/2008
A meia-vida T de uma substância radioativa pode ser expressa, em função da constante k, por
𝑇 = 𝑘 −1 × ln 2.
RESOLUÇÃO:
A amostra inicial é dada por 𝑌0 , pois 𝑌(0) = 𝑌0 𝑒 −𝑘×0 = 𝑌0 × 1 = Y0 . Devemos obter o tempo de meia-vida,
𝑌
isto é, o tempo 𝑇 em que a quantidade da substância é a metade da inicial ( 20 ).
𝑌(𝑇) = 𝑌0 𝑒 −𝑘𝑇
𝑌0
= 𝑌0 𝑒 −𝑘𝑇
2
1
= 𝑒 −𝑘𝑇
2
1
ln = ln 𝑒 −𝑘𝑇
2
ln 2−1 = (−𝑘𝑇) × ln 𝑒
(−1) × ln 2 = (−𝑘𝑇) × 1
𝑘𝑇 = ln 2
𝑇 = 𝑘 −1 ln 2
Gabarito: CERTO.
CESPE/PM-DF/2008
Se 𝑌1 = 𝑌(𝑡1 ) e 𝑌2 = 𝑌(𝑡2 ) são as quantidades de uma substância radioativa presentes em dois instantes 𝑡1
𝑡 −𝑡
e 𝑡2 , então a meia-vida T dessa substância pode ser expressa por 2 𝑌11 × ln 2.
ln
𝑌2
RESOLUÇÃO:
Veja que, na questão anterior, obtemos que a meia-vida T é dada por 𝑇 = 𝑘 −1 ln 2. A assertiva pergunta,
𝑡 −𝑡
portanto, se 𝑘 −1 pode ser descrito por 2 𝑌11.
ln
𝑌2
Note que:
𝑌1 = 𝑌0 𝑒 −𝑘𝑡1
𝑌2 = 𝑌0 𝑒 −𝑘𝑡2
Ao dividir as duas equações, obtemos:
𝑌1 𝑌0 𝑒 −𝑘𝑡1
=
𝑌2 𝑌0 𝑒 −𝑘𝑡2
𝑌1 𝑒 −𝑘𝑡1
=
𝑌2 𝑒 −𝑘𝑡2
𝑌1
= 𝑒 (−𝑘𝑡1 )−(−𝑘𝑡2 )
𝑌2
𝑌1
= 𝑒 (−𝑘𝑡1 )−(−𝑘𝑡2 )
𝑌2
𝑌1
= 𝑒 𝑘(𝑡2 −𝑡1 )
𝑌2
Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da igualdade, obtemos:
𝑌1
ln = ln 𝑒 𝑘(𝑡2 −𝑡1 )
𝑌2
𝑌1
ln = 𝑘(𝑡2 − 𝑡1 ) × ln 𝑒
𝑌2
𝑌1
ln = 𝑘(𝑡2 − 𝑡1 )
𝑌2
1 (𝑡2 − 𝑡1 )
=
𝑘 𝑌
ln 𝑌1
2
(𝑡2 − 𝑡1 )
𝑘 −1 =
𝑌
ln 𝑌1
2
(𝑡2 −𝑡1 )
Logo, como 𝑘 −1 é dado por 𝑌 , de fato temos que o tempo de meia-vida é dado por:
ln 1
𝑌2
𝑇 = 𝑘 −1 × ln 2
𝑡2 − 𝑡1
𝑇= × ln 2
𝑌1
ln 𝑌
2
Gabarito: CERTO.
CESPE/PM-ES/2006
A taxa de crescimento per capita — T — de uma população é utilizada pelos biólogos para estudar o
crescimento populacional de determinado grupo de indivíduos. Ela é definida como a razão entre o tamanho
𝑵(𝒕+𝟏)
populacional em dois períodos consecutivos: = 𝑻, em que 𝑵(𝒕) é a população no instante
𝑵(𝒕)
𝟏 𝑵(𝒕)
𝒕 = 𝟐 𝒍𝒏 𝑵(𝟎). Com base nessas informações e considerando 𝒍𝒏 𝟐 = 𝟎, 𝟕, 𝒍𝒏 𝟑 = 𝟏, 𝟏 e 𝒍𝒏 𝟓 = 𝟏, 𝟔, julgue o
item subsequente.
Se a população inicial for de 600 indivíduos, então, no instante t = 10, haverá menos de 100.000 indivíduos.
RESOLUÇÃO:
1 𝑁(𝑡)
Veja que a relação entre o tempo 𝑡 e a população 𝑁(𝑡) é dada por 𝑡 = 2 𝑙𝑛 𝑁(0).
Como a população inicial é de 600 indivíduos, 𝑁(0) = 600. Para 𝑡 = 10, temos:
1 𝑁(𝑡)
𝑡 = 𝑙𝑛
2 𝑁(0)
1 𝑁(10)
10 = ln
2 600
𝑵(𝟏𝟎)
𝐥𝐧 = 𝟐𝟎
𝟔𝟎𝟎
𝐥𝐧 𝑁(10) − ln 600 = 20
𝐥𝐧 𝑁(10) = 20 + ln 600
𝐥𝐧 𝑁(10) = 20 + ln(23 × 3 × 52 )
𝐥𝐧 𝑁(10) = 20 + 3 ln 2 + ln 3 + 2 ln 5
𝐥𝐧 𝑁(10) = 20 + 3 × 0,7 + 1,1 + 2 × 1,6
ln 𝑁(10) = 20 + 2,1 + 1,1 + 3,2
𝐥𝐧 𝑵(𝟏𝟎) = 𝟐𝟔, 𝟒
Pela definição de logaritmo, temos que:
𝑵(𝟏𝟎) = 𝒆𝟐𝟔,𝟒
Esse número é maior muito maior do que 100.000. O gabarito, portanto, é errado, pois no instante 𝑡 = 10
haverá mais do que 100.000 indivíduos.
Se você não percebeu que 𝑒 26,4 é maior do que 100.000, lembre-se que 𝑒 é aproximadamente 2,72, que é
maior do que 2. Logo:
𝒆𝟐𝟔,𝟒 > 𝟐𝟐𝟔,𝟒
CESPE/BB/2008
Todo mundo quer ajudar a refrescar o planeta
Virou moda falar em aquecimento global. É preciso não esquecer que os recursos naturais da Terra também
estão em perigo.
O outro lado do processo: a China e a Índia, juntas, têm um terço da população mundial. Caso o consumo
dos dois países chegue aos níveis do consumo da Califórnia, o estado mais rico dos EUA, o resultado poderá
ser catastrófico para os recursos naturais do planeta.
As tabelas a seguir mostram esses dados.
Considere que campanhas mundiais de conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão de
CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 4 =
0,60, log 90 = 1,95 e log 85 = 1,93, conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para que os níveis de
emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.
RESOLUÇÃO:
Note que se há uma redução anual de 15%, então, a cada ano, a emissão de CO2 equivale a 100% − 15% =
85% = 0,85 da emissão anterior. Assim, na Califórnia, em d anos, a emissão será de 12 × (0,85)ᵈ
Analogamente, na China, a emissão daqui a d anos será de 3 × (0,9)ᵈ, uma vez que lá a redução foi de 10%.
Logo:
12 × (0,85)ᵈ = 3 × (0,9)ᵈ
12 (0,85)ᵈ
× = 1
3 (0,90)𝑑
(0,85)ᵈ
4 × = 1
(0,90)ᵈ
(0,85)ᵈ
𝑙𝑜𝑔 (4 × ) = 𝑙𝑜𝑔 1
(0,90)ᵈ
0,85 𝑑
𝑙𝑜𝑔 4 + log ( ) =0
0,9
0,85
𝑙𝑜𝑔 4 + 𝑑 × log =0
0,90
85
𝑙𝑜𝑔 4 + 𝑑 × log =0
90
− 0,02 𝑑 = − 0,60
𝑑 = 30 𝑎𝑛𝑜𝑠.
Gabarito: CERTO.
CESPE/CBM-ES/2007
Com relação a equações e funções de 1.º e 2.º graus e logaritmos, julgue o item que se segue.
A única solução da equação 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₂2 = 2 é 𝑥 = 2.
RESOLUÇÃO:
log₂x + 1 = 2
log₂x = 1
Pela definição de logaritmo, temos:
21 = 𝑥
Gabarito: CERTO.
CESPE/CTI/2008
Determinadas funções matemáticas são amplamente utilizadas na descrição de fenômenos físicos. Com base
em suas propriedades, julgue o item abaixo.
1 𝑥6
Dada a função 𝑓(𝑥) = log 3 15𝑥 + log 3 5 + log 3 (2187), então 𝑓(3) = 1.
RESOLUÇÃO:
2 −1
36
= log 3 (3 × 5) + log 3 5 + log 3 ( 7 )
3
= log 3 32 + log 3 5 + (−1) × log 3 5 + log 3 (3−1 )
= 2 × log 3 3 + log 3 5 − log 3 5 + (−1) × log 3 3
= 2 × 1 + 0 + (−1) × 1
=2−1
=1
Logo, de fato temos que 𝑓(3) = 1.
Gabarito: CERTO.
CESPE/CTI/2008
Determinadas funções matemáticas são amplamente utilizadas na descrição de fenômenos físicos. Com base
em suas propriedades, julgue o item abaixo.
𝐴
Dados ln A = 0,693 e ln B = 1,609, a solução da equação transcendental 𝑒 −3𝑡 = 𝐵 é, aproximadamente,
t ≈ − 0,144.
RESOLUÇÃO:
𝐴
Sabemos que 𝑒 −3𝑡 = 𝐵. Aplicando o logaritmo em base 𝑒 nos dois lados da equação, obtemos:
𝐴
log e 𝑒 −3𝑡 = log e
𝐵
−3𝑡 × log e 𝑒 = log 𝑒 𝐴 − log 𝑒 𝐵
−3𝑡 × 1 = ln 𝐴 − ln 𝐵
3𝑡 = ln 𝐵 − ln 𝐴
1,609 − 0,693
𝑡=
3
𝑡 ≈ 0,305
Logo, é ERRADO dizer que t ≈ − 0,144.
Gabarito: ERRADO.
CESPE/PM-ES/2010
Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca
desses números, julgue o item subsequente.
𝑏
A razão 𝑎 é igual a 10.
RESOLUÇÃO:
Sabendo que os logaritmos na base 10 dos números a e b são expressos como log a e log b, temos que
𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 0,01 e 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 0,1.
Pela definição de logaritmo, temos 𝑎 = 100,01 e 𝑏 = 100,1 .
Assim, a fração 𝑏/𝑎 fica:
𝑏 100,1
= 0,01
𝑎 10
= 100,1−0,01
= 100,09
Gabarito: ERRADO.
CESPE/PM-ES/2010
Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca
desses números, julgue o item subsequente.
O logaritmo na base 10 do número a⁵⁰. b³⁵ é igual a 4.
RESOLUÇÃO:
Sabendo que os logaritmos na base 10 dos números a e b são expressos como log a e log b, temos que
𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 0,01 e 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 0,1.
Pela definição de logaritmo, temos 𝑎 = 100,01 e 𝑏 = 100,1 .
Queremos saber quanto vale 𝑎⁵⁰. 𝑏³⁵ , logo:
𝑎50 . 𝑏 35 = (100,01 )50 × (100,1 )35
= 100,5 × 103,5
= 104
CESPE/BNB/2018
A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se segue.
As únicas soluções da equação (log 3 𝑥)2 = log 3 𝑥 + 6 são x = 1/9 e x = 27.
RESOLUÇÃO:
𝑦2 = 𝑦 + 6
𝑦2 − 𝑦 − 6 = 0
𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = (−1)2 − 4 × 1 × (−6) = 25
−𝑏 ± √∆
𝑦=
2𝑎
1+5
−(−1) ± √25 1 ± 5 =3 𝑦1 =
𝑦= = { 2
2 2 1−5
𝑦2 = = −2
2
log3 x = 3 e log3 x = −2
x = 33 = 27 e x = 3−2 = 1/9
Portanto, concluímos que as únicas soluções de (log3 x)2 = log3 x + 6 são 27 e 1/9.
Gabarito: CERTO.
Para 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, a função 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 pode também ser expressa como 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ln 𝑎 .
Comentários:
Temos que:
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
ln 𝑓(𝑥) = ln 𝑎 𝑥
ln 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑎
log 𝐞 𝑓(𝑥) = 𝒙 𝐥𝐧 𝒂
𝑓(𝑥) = 𝒆𝒙 𝐥𝐧 𝒂
Gabarito: CERTO.
RESOLUÇÃO:
Note que a questão nos apresenta uma função ln 𝑥, ou seja, uma função logarítmica cuja base é o número
de Euler (log e 𝑥). Em seguida, a questão nos apresenta corretamente a função inversa, dada por 𝑒 𝑥 . Devemos
julgar se é verdadeiro que:
Parte 1: 𝑥 = 𝑒 𝑓(𝑥) ; e
Parte 2: 𝑥 = ln 𝑔(𝑥).
Parte 1
Veja que:
𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑒 loge 𝑥
Lembre-se que potência de base a e expoente loga b será igual a b, ou seja, temos que 𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 = 𝒃. Aplicando
essa propriedade para o caso em questão, temos que 𝑒 loge 𝑥 = 𝑥. Portanto, a primeira parte está correta:
𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑒 loge 𝑥 = 𝑥
𝒙 = 𝒆𝒇(𝒙)
Parte 2
Note que:
ln 𝑔(𝑥) = log e 𝑒 𝑥
= 𝑥 log e 𝑒
=𝑥×1
=𝑥
Portanto, a segunda parte também está correta. Logo, é correto afirmar que 𝑥 = 𝑒 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥).
Gabarito: CERTO.
CESPE/SEDUC-AM/2011
A respeito de funções, julgue o item a seguir.
Se 𝑓(𝑥) = log 2 𝑥 e 𝑔(𝑥) = log10 𝑥, então 𝑓(𝑥) ln 10 = 𝑔(𝑥) ln 2, em que ln 𝑘 denota o logaritmo neperiano
de 𝑘.
RESOLUÇÃO:
Para comparar as expressões, vamos passar todos os logaritmos para uma mesma base. Para tanto,
utilizaremos a base 10.
Veja que 𝑓(𝑥) ln 10 pode ser descrito por:
𝑓(𝑥) ln 10 = log 2 𝑥 × ln 10
log 𝑥 log 10
= ×
log 2 log 𝑒
log 𝑥
=
log 2 × log 𝑒
Veja que 𝑔(𝑥) ln 2 pode ser descrito por:
𝑔(𝑥) ln 2 = log 𝑥 × ln 2
log 2
= log 𝑥 ×
log 𝑒
Note, portanto, que 𝑓(𝑥) ln 10 ≠ 𝑔(𝑥) ln 2, pois:
log 𝑥 log 2
≠ log 𝑥 ×
log 2 × log 𝑒 log 𝑒
Gabarito: ERRADO.
LISTA DE QUESTÕES
Texto para as questões 1 e 2
Para avaliar a resposta dos motoristas a uma campanha educativa promovida pela PRF, foi proposta a
função 𝒇(𝒙) = 𝟑𝟓𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝒆−𝒙 , que modela a quantidade de acidentes de trânsito com vítimas fatais
ocorridos em cada ano. Nessa função, 𝒙 ≥ 𝟎 indica o número de anos decorridos após o início da
campanha.
1. CESPE/PRF/2019
2. CESPE/PRF/2019
4. CESPE/PM AL/2012
Considere que a temperatura do corpo de uma pessoa viva e saudável seja de 37 °C, que a vítima em questão
estivesse nessas condições antes de morrer e que a temperatura do seu corpo passou a ser expressa por
𝜃(𝑡) imediatamente após a sua morte. Nesse caso, considerando 4,1 e 3,3 como valores aproximados para
log 2 17 e log 2 10, respectivamente, é correto inferir que a morte da esposa do cidadão ocorreu às
a) 18 horas e 12 minutos.
b) 18 horas e 48 minutos.
c) 19 horas e 12 minutos.
d) 19 horas e 20 minutos.
e) 19 horas e 48 minutos.
5. CESPE/BB/2007
A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano xOy, em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas,
foi utilizada a mesma unidade de medida. No sistema da esquerda, está representado o gráfico da função
𝑓(𝑥) = 2𝑥 , no qual estão marcados os pontos de abcissas 𝑥 = 𝑘 e 𝑥 = 2𝑘. No sistema da direita, está
representado o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑥 e os pontos que têm as mesmas ordenadas daqueles marcados
no gráfico do sistema da esquerda. Sabe-se que a distância entre as abcissas dos pontos marcados no gráfico
à direita é igual a 56.
Considerando essas informações, julgue o item abaixo.
Na situação apresentada, o valor do número real 𝑘 é tal que 30 < 𝑘 3 + 𝑘 + 1 < 32.
Texto para as questões 6 e 7
Um estudo constatou que a população de uma comunidade é expressa pela função 𝑷(𝒕) = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝒆𝟎,𝟏𝟖𝒕 ,
em que 𝑷(𝒕) é a população 𝒕 anos após a contagem inicial, que ocorreu em determinado ano, e
considerado 𝒕 = 𝟎. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 1,8 como os valores aproximados
para 𝒆𝟎,𝟏𝟖 e 𝒍𝒏 𝟔, respectivamente, julgue os itens a seguir.
6. CESPE/BRB/2011
A população será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial.
7. CESPE/BRB/2011
Um ano após a contagem inicial, a população da comunidade aumentou em 20%.
8. CESPE/PC ES/2011
Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado que o animal morreu há 25.000 anos. Nesse
caso, a quantidade de carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era superior a 4% da
quantidade no instante da morte.
9. CESPE/PC ES/2011
Se, em uma ossada, o perito constatou que a quantidade de carbono 14 presente era 9% da quantidade no
instante da morte do animal, então é correto afirmar que o animal morreu a menos de 19.000 anos.
10. CESPE/PM-DF/2005
Considere que 120.000 bactérias sofreram um processo de deterioração exponencial. Se 20.000 bactérias
restaram ao final do processo, 40 minutos após o seu início, então, em cada instante 𝑡, 𝑄(𝑡) = 120.000𝑒 −𝑘𝑡 ,
ln 6
em que 𝑘 = .
40
11. CESPE/PM-DF/2005
Considere que em uma situação de crescimento exponencial inicialmente existiam 2.000 bactérias e, 20
minutos depois, 6.000. Nessa situação, após uma hora, existirão mais de 60.000 bactérias.
12. CESPE/PETROBRAS/2004
Os empregados do departamento comercial de uma empresa foram submetidos a um teste e posteriormente
examinados novamente, a cada mês, por meio de exames equivalentes. A nota média acumulada desses
empregados, em uma escala de 100 pontos, foi modelada pela função 𝑴(𝒕) = 𝟖𝟎 − 𝟏𝟒 𝑳𝒏(𝒕 + 𝟏), para
𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟐, em que t é o tempo, em meses, decorrido desde a aplicação do primeiro teste. Com base
nessas informações e considerando 𝑳𝒏(𝟓) = 𝟏, 𝟔, julgue o item a seguir.
A nota média obtida pelos empregados no exame original foi igual a 66.
Texto para as questões 13 e 14
Um aparelho eletrônico é capaz de, após o registro de algumas medições, determinar a área A, em m² de
uma região, fornecendo ao agrimensor o valor 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝑨, o logaritmo na base 10 dessa área. Com base
nessas informações, julgue os itens subsequentes.
13. CESPE/IEMA-ES/2004
Se a região tem a forma de um quadrado de lado medindo 1.000 m, então o aparelho fornecerá ao
agrimensor a leitura log10 𝐴 = 6.
14. CESPE/IEMA-ES/2004
Considere que a região a ser medida tem a forma de um triângulo retângulo com catetos a e b. Se a = 1 km
e log10 𝐴 = 0, então b = 1 km.
15. CESPE/GDF/2006
Mesmo com todas as técnicas pedagógicas disponíveis, a experiência do professor em sala de aula é
fundamental. Considere que a relação entre experiência do professor e o aproveitamento dos alunos em
𝒕
sala de aula possa ser modelada por uma função do tipo 𝑵(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝒆−𝟐𝟎 , em que N(t) é a
porcentagem da aula que foi aproveitada pela classe, e t, medido em anos, é o tempo de experiência do
𝟏
professor. Com base nessas informações e considerando 𝒆 = 𝟎, 𝟑𝟕, julgue o item que se segue.
Escrevendo-se 𝑁(𝑡) = 𝑦 e com base no modelo apresentado, é possível obter-se uma nova expressão para
o modelo em que o tempo t pode ser expresso por uma função de y, de acordo com a relação
50 20
𝑡 = ln (100−𝑦) .
16. CESPE/SEDU-ES/2012
De acordo com o modelo de crescimento populacional do economista e demógrafo inglês Thomas Rober
Malthus, a quantidade de indivíduos de uma população no instante 𝒕 pode ser estimada pela função 𝑷(𝒕) =
𝑷𝟎 𝒆𝒓𝒕 , em que 𝑷𝟎 é a quantidade de indivíduos na população no instante 𝒕 = 𝟎 − que, dependendo da
população, pode ser segundos, minutos, horas, anos – e 𝒓 é a taxa de crescimento vegetativo. Considerando
𝟏
as populações 𝑷𝟏 (𝒕) = 𝑷𝟎 𝒆𝒓𝒕 e 𝑷𝟐 (𝒕) = 𝟑 𝑷𝟎 𝒆𝟐𝒓𝒕 , em que 𝒓 > 𝟎 e 𝒕 é dado em anos, julgue o item seguinte.
1
No instante 𝑡, tal que 𝑡 = 𝑟 ln 3, as populações 𝑃1 e 𝑃2 terão a mesma quantidade de indivíduos.
17. CESPE/SEDUC-MT/2006
A modelagem matemática pode ser considerada tanto como um método científico de pesquisa quanto como
uma estratégia de ensino aprendizagem da matemática. Segundo Bassanezi, ela consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando-se suas
soluções na linguagem do mundo real.
Entre os modelos que podem ser utilizados para resolver problemas relacionados à estimativa do
crescimento de determinada população, estão aqueles que envolvem funções exponenciais e logarítmicas,
tal qual o apresentado a seguir, em que a população 𝑃(𝑡) em determinada região de um país é expressa em
termos de 𝑡 anos a partir de 2005, ou seja, 𝑡 = 0 corresponde ao ano 2005, 𝑡 = 1, ao ano 2006 etc.
Suponha que:
200.000
𝑃(𝑡) =
1 + 0,25𝑒 𝑘𝑡
em que k é um número real.
Considerando-se ainda as informações do texto e sabendo-se que a população modelada por P(t), em 2006,
era igual a 120.000 habitantes, então o valor de k na expressão apresentada é igual a :
ln 3
A) ln 2
2 ln 2
B) 3 ln 3
C) 3 ln 3 − ln 2
D) 3 ln 2 − ln 3
19. CESPE/BB/2008
Tomando 1,7 como valor aproximado para ln 6, é correto afirmar que em 2093 a população mundial feminina
será igual a 8 bilhões de habitantes.
21. CESPE/BB/2008
As reservas do país X, em 2006, segundo as previsões da fundação S, seriam inferiores a 81 bilhões de dólares.
22. CESPE/BB/2008
De acordo com as previsões da fundação S, no período de 1990 a 2010, as reservas do país X atingiriam seu
pior resultado em 1990.
23. CESPE/BB/2008
Os gráficos das funções K(t) e S(t) são parábolas com concavidades voltadas para cima.
24. CESPE/BB/2008
As fundações K e S previram resultados idênticos para as reservas monetárias do país X em, pelo menos,
duas ocasiões no período de 1990 a 2010.
26. CESPE/PM-DF/2008
Se 𝑌1 = 𝑌(𝑡1 ) e 𝑌2 = 𝑌(𝑡2 ) são as quantidades de uma substância radioativa presentes em dois instantes 𝑡1
𝑡 −𝑡
e 𝑡2 , então a meia-vida T dessa substância pode ser expressa por 2 𝑌11 × ln 2.
ln
𝑌2
27. CESPE/PM-ES/2006
A taxa de crescimento per capita — T — de uma população é utilizada pelos biólogos para estudar o
crescimento populacional de determinado grupo de indivíduos. Ela é definida como a razão entre o tamanho
𝑵(𝒕+𝟏)
populacional em dois períodos consecutivos: 𝑵(𝒕) = 𝑻, em que 𝑵(𝒕) é a população no instante
𝟏 𝑵(𝒕)
𝒕 = 𝟐 𝒍𝒏 𝑵(𝟎). Com base nessas informações e considerando 𝒍𝒏 𝟐 = 𝟎, 𝟕, 𝒍𝒏 𝟑 = 𝟏, 𝟏 e 𝒍𝒏 𝟓 = 𝟏, 𝟔, julgue o
item subsequente.
Se a população inicial for de 600 indivíduos, então, no instante t = 10, haverá menos de 100.000 indivíduos.
28. CESPE/BB/2008
Todo mundo quer ajudar a refrescar o planeta
Virou moda falar em aquecimento global. É preciso não esquecer que os recursos naturais da Terra também
estão em perigo.
O outro lado do processo: a China e a Índia, juntas, têm um terço da população mundial. Caso o consumo
dos dois países chegue aos níveis do consumo da Califórnia, o estado mais rico dos EUA, o resultado poderá
ser catastrófico para os recursos naturais do planeta.
As tabelas a seguir mostram esses dados.
Considere que campanhas mundiais de conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão de
CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 4 =
0,60, log 90 = 1,95 e log 85 = 1,93, conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para que os níveis de
emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.
29. CESPE/CBM-ES/2007
Com relação a equações e funções de 1.º e 2.º graus e logaritmos, julgue o item que se segue.
A única solução da equação 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₂2 = 2 é 𝑥 = 2.
30. CESPE/CTI/2008
Determinadas funções matemáticas são amplamente utilizadas na descrição de fenômenos físicos. Com base
em suas propriedades, julgue o item abaixo.
1 𝑥6
Dada a função 𝑓(𝑥) = log 3 15𝑥 + log 3 5 + log 3 (2187), então 𝑓(3) = 1.
31. CESPE/CTI/2008
Determinadas funções matemáticas são amplamente utilizadas na descrição de fenômenos físicos. Com base
em suas propriedades, julgue o item abaixo.
𝐴
Dados ln A = 0,693 e ln B = 1,609, a solução da equação transcendental 𝑒 −3𝑡 = é, aproximadamente,
𝐵
t ≈ − 0,144.
32. CESPE/PM-ES/2010
Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca
desses números, julgue o item subsequente.
𝑏
A razão 𝑎 é igual a 10.
33. CESPE/PM-ES/2010
Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca
desses números, julgue o item subsequente.
O logaritmo na base 10 do número a⁵⁰. b³⁵ é igual a 4.
34. CESPE/BNB/2018
A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se segue.
As únicas soluções da equação (log 3 𝑥)2 = log 3 𝑥 + 6 são x = 1/9 e x = 27.
37. CESPE/SEDUC-AM/2011
A respeito de funções, julgue o item a seguir.
Se 𝑓(𝑥) = log 2 𝑥 e 𝑔(𝑥) = log10 𝑥, então 𝑓(𝑥) ln 10 = 𝑔(𝑥) ln 2, em que ln 𝑘 denota o logaritmo neperiano
de 𝑘.
GABARITO
1. CERTO. 14. ERRADO. 27. ERRADO.
2. ERRADO. 15. CERTO. 28. CERTO.
3. LETRA B. 16. CERTO. 29. CERTO.
4. LETRA C. 17. LETRA D. 30. CERTO.
5. CERTO. 18. ERRADO. 31. ERRADO.
6. ERRADO. 19. CERTO. 32. ERRADO.
7. CERTO. 20. ERRADO. 33. CERTO.
8. CERTO. 21. CERTO. 34. CERTO.
9. ERRADO. 22. CERTO. 35. CERTO.
10. CERTO. 23. ERRADO. 36. CERTO.
11. ERRADO. 24. ERRADO. 37. ERRADO.
12. ERRADO. 25. CERTO.
13. CERTO. 26. CERTO.