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RLM07
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Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
Aula 07
13 de Fevereiro de 2021
SUMÁRIO
1. Introdução .............................................................................................................................................. 2
8. Divisão Proporcional............................................................................................................................ 57
CESPE .................................................................................................................................................... 94
GABARITO................................................................................................................................................ 181
1. INTRODUÇÃO
Neste tópico, estudaremos o chamado Raciocínio Aritmético, amplamente cobrado em concursos dos
mais variados níveis. Aprenderemos o processo a ser aplicado na resolução de problemas matemáticos.
Veremos cada tópico em que geralmente é cobrado o presente assunto, por meio de uma teoria resumida
e muitas questões resolvidas. Iniciaremos por um tópico com o passo a passo de como se resolver um pro-
blema matemático, seguido dos tópicos mais presentes sobre raciocínio aritmético em provas de Raciocínio
Lógico. Buscamos então, para os fins deste curso, resumir desse grande conteúdo o que é mais provável de
aparecer em sua prova.
A primeira delas é a compreensão. Ou seja, inicialmente faz-se necessário entender o problema que está
diante de você:
Depois disso, vem a segunda etapa, que consiste na elaboração de um plano ou estratégia. Aqui se exige
do aluno realmente pensar no problema e ver qual é a maneira ideal para você abordá-lo e tentar resolvê-
lo. Achar conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares
ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou es-
tratégia de resolução do problema.
1
O processo de resolução de problemas matemáticos aqui retratado é inspirado no livro “A Arte de Resolver Problemas”, escrito
por George Polya.
2
• Você conhece um problema semelhante? Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
• Olhe para a incógnita! Agora tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita seme-
lhante.
• Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Você consegue aproveitá-
lo? Você pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de
modo a viabilizar esses objetivos?
• Você consegue enunciar o problema de outra maneira?
• Se você não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. Você conse-
gue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? Você consegue
resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe
o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? Você consegue obter alguma coisa dos dados?
Você consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incógnita? Você consegue alterar a in-
cógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próxi-
mos?
• Você está levando em conta todos os dados? E todas as condições?
Agora, chegou a terceira etapa, que envolve a execução desse plano. É você colocar a mão na massa e
resolver o problema, aplicando aquela estratégia que você pensou.
Nesse ponto, exige-se do aluno, além do conhecimento matemático, o uso da interpretação dos textos con-
tidos nos enunciados. É comum nos depararmos com problemas em que é cobrado do candidato mais o
entendimento do que se pede do que com os cálculos propriamente ditos.
Além disso, aqui enfrentaremos o desafio de converter a linguagem escrita em linguagem matemática, ou
seja, em expressões numéricas.
Enfim, são problemas que testam não somente o conhecimento das várias vertentes matemáticas, como
também a capacidade de interpretação de informações.
1) Qual é o número...?
Provavelmente você já deve ter visto essa pergunta. Quando ela aparece, significa que precisamos en-
contrar o valor de um número, então vamos logo chamá-lo de x. Portanto, já escreva:
x=?
2
Inspirado no artigo "Como interpretar problemas matemáticos?" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-
2019. Consultado em 02/09/2019 às 11:44. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/faq/interpretar.php
3
Aliás, geralmente quando aparecem perguntas envolvendo pronomes interrogativos (como "qual" e
"quanto"), significa que precisamos encontrar o x da questão.
𝟐 𝟐𝒙
.𝒙 =
𝟓 𝟓
Outra preposição que aparece bastante nos problemas matemáticos é a "por", que normalmente indica
uma operação de divisão. Inclusive essa preposição também está "escondida" dentro do sinal % ("por
2
cento"). Exemplo: 2 por 3 = 3.
3) Verbos
Verbos como "é", "tem" e "equivale" significam igualdade. Para exemplificar esse caso de traduções
para linguagem matemática, considere um problema em que é dito que Carlos e João têm juntos 50
anos. Aritmeticamente, traduzimos que:
C + J = 50
4) Antecessor e consecutivo
São outros termos bem frequentes nas questões matemáticas. E seu entendimento é bem simples:
- O antecessor de um número qualquer significa x – 1
- O consecutivo de um número qualquer significa x + 1
5) Oposto e inverso
Por fim, você pode encontrar também os seguintes termos:
- Oposto de um número qualquer significa -x
- Inverso de um número qualquer significa 1/x
Aprendidas essas dicas de interpretação de um problema, vamos executar a estratégia. Ao fazer isso, ana-
lise cada passo. Você consegue mostrar claramente que cada um deles está correto?
Em seguida, na quarta etapa vamos fazer a verificação de como executamos a estratégia elaborada.
Será que esse plano que você teve e a execução dele resultaram na resposta correta?
Por fim, na quinta e última etapa você irá simplesmente formular a resposta do problema. Ou seja, veja a
pergunta apresentada no enunciado. Pode respondê-la numa frase simples, objetiva e direta?
4
4) Verifique a execução do
5) Formule a resposta
plano
EXEMPLO 01
Laura é muito vaidosa e gosta de se vestir muito bem para qualquer ocasião. Para assistir às aulas do
seu curso preparatório, ela comprou uma saia vermelha e outra azul, uma camisa amarela, uma verde
e outra preta. Então, de quantas maneiras diferentes Laura poderá se vestir?
Estamos diante de uma típica questão de Raciocínio Matemático, de modo que teremos que aplicar as cinco
etapas para a resolução de um problema aritmético.
A primeira coisa a se fazer é compreender o problema. Para isso, fazemos uma boa leitura do enunciado
com vistas a entender bem as informações ali presentes.
Também precisamos separar os dados que o exercício nos forneceu daquilo que buscamos descobrir, isto é,
a incógnita. Bem, repare que queremos descobrir de quantas maneiras diferentes Laura poderá se vestir. E
quais dados o problema nos dá? Ele diz que ela comprou uma saia vermelha e outra azul, ou seja, duas saias,
e uma camisa amarela, uma verde e outra preta, isto é, três camisas. Logo, foram duas saias e três camisas.
Na segunda etapa, entra em cena a elaboração de um plano. Então, precisamos pensar se na resolução do
problema iremos adotar um esquema, ou uma tabela, ou uma equação, ou diagrama, ou então fazer um
desenho. Nesse caso, optaremos por fazer um desenho. Indicaremos as saias que ela comprou (uma verme-
lha e uma azul) combinando cada uma com as camisas (uma amarela, uma verde e uma preta):
Camisa amarela
Camisa preta
Camisa amarela
Camisa preta
Agora, chegou a terceira etapa, que corresponde à execução do plano. Veja que por meio do esquema que
fizemos já é possível resolver o problema. Com a saia vermelha, Laura pode combinar a camisa amarela, a
camisa verde e a camisa preta; e o mesmo acontece com a saia azul. Ou seja, ela tem à sua disposição três
opções com a saia vermelha e três opções com a saia azul, o que totaliza 3 + 3 = 6 maneiras diferentes de se
vestir. Dessa forma, conseguimos fazer a conversão da linguagem escrita em linguagem matemática, que
fica evidente por meio da operação de soma.
Terminamos de resolver o problema? Calma, falta muito pouco. Em seguida, temos a quarta etapa, em que
faremos a verificação da execução plano. A bem da verdade, já cumprimos essa etapa no momento em
que elaboramos o esquema anterior, que nos permite graficamente concluir que realmente o resultado da
operação descrita no enunciado é 6.
Nessa etapa, é oportuno avaliar se conseguiríamos resolver o problema de outra forma. Bem, nesse caso
conseguiríamos sim. De fato, eu poderia usar o princípio multiplicativo. Como seria isso? Bem, são duas
saias e três camisas, então era só fazer o produto entre 2 e 3 que daria certo também. Veja que essa resolu-
ção é até mais prática, porém é importante considerar outras maneiras de resolver o problema, nesse caso
usando um esquema. Até porque tem aluno que entende melhor por meio de desenho, outros têm mais
facilidade com a Matemática mais abstrata, de modo que é interessante dispor das diversas maneiras que
podemos solucionar um exercício.
Por fim, concluímos a resolução com a quinta e última etapa, na qual formularemos a resposta do pro-
blema. Nesse ponto, voltamos ao enunciado e verificamos qual a pergunta que foi feita a nós: “de quantas
maneiras diferentes Laura poderá se vestir?”. É nisso que precisamos nos concentrar para responder de forma
objetiva. Vamos fazer isso? A resposta será: Laura poderá se vestir de seis maneiras diferentes.
Geralmente, nos concursos precisamos marcar a alternativa correta dentre as opções dis-
poníveis de resposta, e aqui muitos “morrem na praia” após tanto esforço, simplesmente
por marcar a letra errada na pressa! Então, tenha foco do início ao fim!
EXEMPLO 02:
Fabiano levou para sua escola um saco de balas para dividir com os amigos. Aos primeiros que encon-
trou, deu metade das balas que trazia. Depois encontrou mais amigos e deu metade das que ainda ti-
nha. E foi assim que chegou à sala dele só com 20 balas. Quantas balas tinha no saco antes de Fabiano
o abrir?
Você compreendeu o exercício? Vamos adotar a estratégia de resolver esse problema do fim para o início.
Inclusive esse método de resolução é conhecido como princípio da regressão, a qual estudaremos com mais
detalhes nos princípios de contagem.
Veja que no final Fabiano acabou com 20 balas. Mas antes disso ele havia dado a metade das que possuía.
E quantas eram? Aqui precisamos converter a linguagem escrita na linguagem matemática. Isso é simples.
Pense conosco, se eu dei metade e ainda fiquei com vinte é porque anteriormente eu tinha 20 × 2 = 40 balas.
Continuamos o processo de executar as operações de trás para frente. E antes de ter essas 40 balas? Fabiano
tinha feito a mesma coisa, isto é, havia dado metade do que tinha inicialmente, de modo que ele possuía 40
× 2 = 80 balas no saco fechado. Chegamos ao resultado desejado!
Será que esse resultado faz sentido? Podemos verificá-lo seguindo agora o processo de resolução do início
para o fim das operações, usando o valor que encontramos como resposta, e estando atentos se acharemos
alguma contradição.
Inicialmente, havia 80 balas no saco (é essa a hipótese que estamos considerando). Como Fabiano deu a
metade das balas aos primeiros amigos, sobraram 80 ÷ 2 = 40 balas. Ao encontrar mais amigos, deu metade
das balas que tinha, de modo que ficou com 40 ÷ 2 = 20 balas. E foi exatamente essa a quantidade que ele
chegou à sala de aula.
Portanto, verificamos que a nossa estratégia, a execução aplicada e o resultado a que chegamos estão cor-
retos. Isso nos permite responder à pergunta do enunciado por afirmar que antes de abrir o saco Fabiano
dispunha de 80 balas.
EXEMPLO 03
Carlos comprou uma televisão no valor de R$ 950,00, dividida em 10 prestações iguais. Ao pagar a 4º pres-
tação, recebeu de presente de seu avô o restante do dinheiro para a quitação do aparelho. Quanto Carlos
recebeu?
Vamos chamar de x o valor que Carlos recebeu de presente de seu avô. Essa é a nossa incógnita, o valor que
desejamos calcular.
Quais foram os dados fornecidos? Bem, é dito que o valor do aparelho é igual a R$950,00. Também o enun-
ciado informa que Carlos resolveu dividir o televisor em 10 prestações iguais. Logo, obtemos o valor de cada
prestação fazendo a seguinte operação de divisão:
950
= 𝟗𝟓 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔
10
7
Sabemos que Carlos efetuou o pagamento de 4 prestações, de modo que ainda faltam ser pagas 10 – 4 = 6
prestações, as quais correspondem às que o avô de Carlos resolveu pagar. Elas valem 95 × 6 = 570 reais.
EXEMPLO 04
Quantas partes se obtêm dobrando uma folha ao meio por 8 vezes consecutivas?
Repare que o nosso objetivo consiste em determinar a quantidade de partes resultantes em se dobrar 8
vezes uma folha ao meio.
Vamos adotar a estratégia de descobrir uma regularidade ou padrão matemático no processo indicado, por
meio da construção de uma tabela. Nessa tabela, vamos associar o número de dobras realizadas com a
quantidade de partes obtida:
Dobras Partes
Concorda que se a folha não tem nenhuma dobra, então há apenas uma parte, que corresponde à superfície
dela? Vamos inserir essa informação na tabela:
Dobras Partes
0 1
Quando eu faço uma dobra ao meio na folha, ela vai ficar dividida em duas. Na próxima dobra, que é a se-
gunda consecutiva, a folha vai estar dividida em quatro partes. Na terceira dobra, a folha vai estar dividida
em oito partes. Ou seja:
Dobras Partes
0 1
1 2
2 4
3 8
Conseguiu perceber aqui uma regularidade? Sim, veja que os números contidos na coluna “partes” são for-
mados multiplicando 2 por eles próprios. Esse é um padrão que estará presente durante todo o processo de
dobra da folha! Assim, na quarta dobra, o que obteremos? Ora, seria o 2 multiplicado por ele mesmo quatro
vezes, resultando em 2 × 2 × 2 × 2 = 16 partes. Seguindo o padrão, na oitava dobra, teríamos o 2 multiplicado
por ele próprio oito vezes. Essa operação pode ser representada na forma de potência:
𝟐𝟖 = 𝟐𝟓𝟔
EXEMPLO 05
Suponha que há um certo número de coelhos e de gaviões em duas gaiolas diferentes, totalizando 7
cabeças e 22 patas. São quantos coelhos e quantos gaviões?
Qual a estratégia podemos aplicar na resolução desse problema? Vamos resolver associando-o a um pro-
blema análogo mais simples.
Desse modo, podemos simplesmente ignorar que tem coelhos, vamos tratar só dos gaviões. Sabemos que
são 7 cabeças, de forma que tem 7 animais lá dentro, concorda? Então seriam 7 gaviões, que têm 14 patas
ao todo.
Veja que isso está errado, porque eu preciso obter 22 patas. Ou seja, estão faltando 22 – 14 = 8 patas. Assim,
devemos distribuir essas oito patas pelos coelhos, que são animais com 4 patas.
Vamos substituir alguns dos gaviões por coelhos. Em cada gavião, já contabilizamos 2 patas, o que nos per-
mite deduzir que são quatro coelhos, com 4 × 4 = 16 patas ao todo. E são quantos gaviões? Como há sete
cabeças, vão ter que ser três gaviões.
Consideramos até aqui alguns modelos possíveis de problemas matemáticos nos quais aplicamos as cinco
etapas de resolução.
Ok, professor. Entendi as estratégias que utilizamos na resolução desses problemas. Mas, como isso cai em
prova?
Excelente pergunta. Foco é tudo! E o nosso alvo é sua aprovação! Na realidade, a capacidade de resolver
problemas é exigida em toda a matemática com o objetivo de testar sua capacidade de raciocínio, clareza
de ideias e habilidade para desenvolver e aplicar estratégias.
No âmbito do raciocínio aritmético, a análise das provas que cobram o assunto nos permite avaliar que a
resolução dos problemas exige o conhecimento de temas como operações com números inteiros, fracioná-
rios e decimais; MMC e MDC; número de elementos de conjuntos; equação do 1º grau; divisão proporcional;
regra de três; porcentagem etc.
Então, a partir de agora resolveremos problemas de cada um desses tópicos, apresentando inicialmente
uma teoria relacionada na forma de resumo. Para um maior detalhamento desses assuntos e de outros mais
sobre Aritmética, recomendamos um estudo mais aprofundado, como o do nosso livro Matemática Básica
9
Definitiva para Concursos, conforme citamos na introdução deste tópico. Contudo, acreditamos que o con-
teúdo que apresentaremos a seguir seja o que você muito provavelmente necessitará para fazer sua prova
de Raciocínio Lógico.
O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero.
Sucessor: é o número que está imediatamente à sua direita na reta. Em outras palavras, é o inteiro que
vem após o número dado.
Antecessor: é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta. Falando de outro modo, é o in-
teiro que vem antes do número dado.
Dois números inteiros são chamados simétricos quando a soma entre eles é zero. Por exemplo, 2 e −2
são simétricos um do outro.
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro corresponde à distância que o número está do zero,
e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |.
Adição: É a operação que une duas quantidades em um só número. Os termos da adição são chamados
parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.
Subtração: É a operação que tem por objetivo diminuir, de um número, o valor do outro. O primeiro termo de
uma subtração é chamado minuendo, o segundo é o subtraendo e o resultado da operação de subtração
é denominado resto ou diferença.
Multiplicação: É a operação que adiciona um número em função da quantidade unitária de outro, em que
seus termos são chamados fatores e o resultado da operação é denominado produto.
Divisão: É a operação matemática que tem por objetivo repartir um valor em partes iguais, correspon-
dendo ao inverso da multiplicação.
10
Regras de sinais:
+5 + 3 = +8
+5 − 3 = +2
−5 − 3 = −8
−5 + 3 = −2
Os números fracionários, ou simplesmente fração, representam uma ou mais partes de um inteiro que foi
dividido em partes iguais.
𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑫𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓
11
Soma e subtração:
Multiplicação:
Número misto: É a soma de um número inteiro com uma fração própria, geralmente representado sem
o sinal de adição. Para transformá-lo numa fração imprópria, multiplica-se o número inteiro pelo
denominador e ao resultado soma-se o numerador, obtendo-se assim, o numerador da fração. Por sua vez,
o denominador será o próprio denominador da fração dada.
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-exata de dois números in-
teiros. Correspondem, portanto, aos números que possuem “casas após a vírgula”.
Adição e subtração:
12
À medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para
a próxima adição/subtração (das casas logo à esquerda).
Multiplicação: aplicar o mesmo procedimento da multiplicação comum, sabendo que o número de casas
decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo
multiplicados.
13
O enunciado é claro ao afirmar que 15 policiais têm 10 anos ou mais de serviço (“no mínimo”).
Além disso, já que temos 20 policiais ao todo, chegamos à conclusão de que o restante tem menos de 10
anos de serviço. Ou seja:
20 − 15 = 5
Logo, 5 policiais têm menos de 10 anos de serviço. Assim, o item está errado, pois menos de 6 policiais
terão menos de 10 anos de serviço.
Gabarito: ERRADO.
(FCC/BACEN/2006) Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável pela venda de
títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo
vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é sempre um número múltiplo de
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Comentários:
Devemos considerar as hipóteses possíveis. Ora, se cada um dos três vendeu 4 ou 7 títulos, temos as seguin-
tes as possibilidades:
1) Todos vendem 4, total de títulos = 12
2) Todos vendem 7, total de títulos = 21
3) Dois vendem 4, um vende 7, total de títulos = 15
4) Dois vendem 7, um vende 4, total de títulos = 18
Percebe-se que todos estes números são múltiplos de 3.
Gabarito: Letra A.
(CESPE/SEFAZ-RS/2019) Uma repartição com 6 auditores fiscais responsabilizou-se por fiscalizar 18
empresas. Cada empresa foi fiscalizada por exatamente 4 auditores, e cada auditor fiscalizou
exatamente a mesma quantidade de empresas. Nessa situação, cada auditor fiscalizou
A) 8 empresas.
B) 10 empresas.
C) 12 empresas.
D) 14 empresas.
E) 16 empresas.
Comentários:
O enunciado informa que são 18 empresas, as quais devem ser fiscalizadas por 4 auditores, o que totaliza
18 × 4 = 72 fiscalizações.
14
É dito que a repartição conta com 6 auditores, de modo que cada um deles fiscalizou 72/6 = 12 empresas.
Gabarito: Letra C.
(CESPE/TRE-ES/2011) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção
eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para
votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais.
Comentários:
Seja n o número de seções eleitorais. O enunciado afirma que cada seção eleitoral possui apenas uma urna.
Logo, n também corresponde ao número de urnas.
Visto que cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então os 2.500 eleitores, se houvesse apenas uma
seção eleitoral, levariam:
2.500 𝑥 1,5 = 3.650 𝑚𝑖𝑛
Isso corresponde a:
3.650 𝑚𝑖𝑛
= 62,5ℎ
60𝑚𝑖𝑛
Como a questão nos diz que a votação dura 10 horas, então são necessárias no mínimo:
62,5ℎ
𝑛== 𝟔, 𝟐𝟓 𝒖𝒓𝒏𝒂𝒔
10ℎ
Devemos elevar esse número para o próximo inteiro (o número de urnas não pode ser fracionário), que é 7.
Assim, são necessárias no mínimo 7 seções eleitorais.
Gabarito: CERTO.
(FGV/IBGE/2017) Uma equipe de trabalhadores de determinada empresa tem o mesmo número de
mulheres e de homens. Certa manhã, 3/4 das mulheres e 2/3 dos homens dessa equipe saíram para um
atendimento externo. Desses que foram para o atendimento externo, a fração de mulheres é:
a) 3/4
b) 8/9
c) 5/7
d) 8/13
e) 9/17
Comentários:
O enunciado informa que a equipe tem o mesmo número de mulheres e de homens. Então, vamos supor
que a equipe tenha 24 pessoas, 12 mulheres e 12 homens.
É dito que 3/4 das 12 mulheres saíram para atendimento externo:
3/4 × 12
=3×3
=9
Em seguida, a questão fala que 2/3 dos 12 homens também saíram para atendimento externo:
15
2/3 × 12
=2×4
=8
Assim, saíram um total de 9 + 8 = 17 pessoas para atendimento externo, 9 mulheres e 8 homens.
Dividindo o número de mulheres que saíram para atendimento externo (9) pelo número total de pessoas
que saíram para atendimento externo (17), fica:
9/17
Portanto, dos que foram para atendimento externo, a fração de mulheres é igual a 9/17.
Gabarito: Letra E.
(FGV/IBGE/2017) Sérgio deve R$7,50 à sua amiga Fernanda. Ele tem um cofrinho cheio de moedas de
R$0,25, de R$0,50 e de R$1,00. A diferença entre a maior e a menor quantidade de moedas que ele pode
usar para pagar a ela é:
a) 22
b) 20
c) 17
d) 15
e) 12
Comentários:
A maior quantidade de moedas ocorre quando todas as moedas têm o menor valor, ou seja, são de 25 cen-
tavos.
Nesse caso, temos que n moedas de R$ 0,25 totalizam R$ 7,50:
0,25n = 7,5
n = 750/25 = 30
O número máximo de moedas que Sérgio pode ter é 30, todas de 25 centavos.
O número mínimo de moedas que Sérgio pode ter é 8:
7 moedas de 1 real (totalizando 7 reais)
mais 1 moeda de 50 centavos
Assim, a diferença entre a maior e a menor quantidade de moedas vale 30 – 8 = 22.
Gabarito: Letra A.
(FEPESE/Pref Tijucas/2017) Em uma escola as turmas A, B e C devem arrecadar 50 kg de alimentos não
perecíveis cada (totalizando 150 kg de alimentos). Em determinado momento verifica-se que a turma
A arrecadou 4/5 de sua meta, a turma B, 60% e a turma C arrecadou 1/4 do arrecadado pela turma A.
Portanto, o total de alimentos arrecadado até o momento da verificação é:
a) 60 kg.
b) 70 kg.
16
c) 80 kg.
d) 90 kg.
e) 100 kg.
Comentários:
O enunciado informa que a turma A arrecadou 4/5 de 50 kg:
4/5 × 50 = 40 kg
Por sua vez, é dito que a turma B arrecadou 60% de 50 kg:
0,6 × 50 = 30 kg
E a turma C arrecadou 1/4 do arrecadado pela turma A, isto é 40 kg:
1/4 × 40 = 10 kg
Dessa forma, as 3 turmas arrecadaram 40 + 30 + 10 = 80 kg de alimentos.
Gabarito: Letra C.
(FCC/TRF 4ª Região/2019) Na granja de Celso, há codornas, galinhas e patas. Por dia, Celso recolhe 15
ovos de codorna, 12 ovos de galinha e 9 ovos de pata. O menor número de dias necessários para Celso
ter certeza de que recolheu, pelo menos, 1 800 ovos de galinha e 1 500 de pata é
a) 150
b) 316
c) 156
d) 167
e) 100
Comentários:
O enunciado informa que Celso recolhe diariamente 12 ovos de galinha. Então, para recolher 1.800 ovos de
galinha, são necessários 1.800/12 = 150 dias.
Em seguida, é dito que ele recolhe diariamente 9 ovos de pata, de modo que para recolher 1.500 ovos de
pata, são necessários 1.500/9 = 166,6… dias.
Assim, Celso precisa de 166 dias e mais uma fração do próximo dia para atingir a meta de recolhimento dos
ovos de galinha e de pata simultaneamente.
Portanto, são necessários 167 dias para cumprir o objetivo.
Gabarito: Letra D.
(ESAF/ANEEL/2006) Pedro, Paulo e Luís trabalham em uma imobiliária. No mês de junho, Pedro
vendeu 2/3 e Paulo vendeu 1/6 do total de imóveis vendidos pela imobiliária. Sabe-se que, no mesmo
mês de junho, Luís vendeu 6 imóveis. Com essas informações, conclui-se que, no mês de junho, o
número de imóveis que a imobiliária vendeu foi igual a:
a) 42
b) 28
17
c) 32
d) 36
e) 52
Comentários:
Seja x a quantidade de móveis vendidos no mês de junho pela imobiliária.
O enunciado afirma que Pedro vendeu 2/3 de x, Paulo vendeu 1/6 de x e Luís vendeu 6 imóveis. Considerando
que Pedro, Paulo e Luís foram os únicos três corretores que venderam imóveis no mês de junho, temos que
a soma da quantidade de imóveis vendidos por cada um é igual a x. Logo:
2 1
.𝑥 + .𝑥 + 6 = 𝑥
3 6
Precisamos deixar os dois lados da equação com o mesmo denominador, a fim de efetuar as operações
devidas no numerador. Daí:
4𝑥 + 1𝑥 + 36 6𝑥
=
6 6
Podemos “cortar” os denominadores, já que nos dois lados da equação possuem o mesmo valor.
5𝑥 + 36 = 6𝑥
5𝑥 − 6𝑥 = −36
−𝑥 = −36
Multiplicando os dois lados da equação por (-1), temos:
𝒙 = 𝟑𝟔
Portanto, conclui-se que, no mês de junho, o número de imóveis que a imobiliária vendeu foi igual a 36.
Gabarito: Letra D.
(CESPE/TC-DF/2014) Em uma empresa, as férias de cada um dos 50 empregados podem ser marcadas
na forma de trinta dias ininterruptos, ou os trinta dias podem ser fracionados em dois períodos de
quinze dias ininterruptos ou, ainda, em três períodos de dez dias ininterruptos. Em 2013, depois de
marcadas as férias de todos os 50 empregados, constatou-se que 23, 20 e 28 deles marcaram os trinta
dias de férias ou parte deles para os meses de janeiro, fevereiro e junho, respectivamente. Constatou-
se, também, que, nesse ano, nenhum empregado marcou férias para algum mês diferente dos
mencionados.
Tendo como referência as informações acima, julgue o item que se segue.
Suponha que, em 2013, mais de 5/6 dos empregados que não marcaram férias para fevereiro eram do sexo
feminino e mais de 2/3 dos que não marcaram férias para janeiro eram do sexo masculino. Nessa situação,
é correto afirmar que, em 2013, havia na empresa no máximo 12 mulheres a mais que homens.
Comentários:
Sabemos que 50 – 20 = 30 pessoas não marcaram férias para fevereiro. Por sua vez, o enunciado afirma que
5/6 delas são mulheres. Logo:
5
. 30 = 25
6
18
19
4. MMC E MDC
Denominamos Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos ao menor
número positivo que seja múltiplo de todos os números dados.
Lembre-se de que no MMC não tem conversa: Todo mundo entra e com o maior expoente!
Por exemplo, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 15, 24 e 60.
Para determinar o MMC entre dois ou mais números por meio do método da decomposição simultânea
em fatores primos cumprimos as seguintes etapas:
Para este procedimento, decompomos, simultanemente, os números, dividindo sucesivamente pelo menor
fator primo e, no caso de algum dos números não ser divisível pelo fator primo, ele deve ser repetido no
algoritmo.
2º) Depois é só multiplicar os fatores, pois o MMC será o produto de todos os números primos
encontrados à direita.
Denominamos Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais números inteiros e não nulos ao maior dos
divisores comum a todos eles.
O método da decomposição simultânea em fatores primos é a principal e mais prática forma para
determinar o MDC entre dois ou mais números. Aplicaremos os seguintes passos:
FIQUE LIGADO!!!
120 2 200 2
140 2
60 2 100 2
70 2
30 2 50 2
35 5
15 3 25 5
7 7
5 5 5 5
1
1 1
140 = 22 x 5 x 7
120 = 23 x 3 x 5 200 = 23 x 52
21
2º passo: O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor expoente.
▪ 120 = 23 x 3 x 5
▪ 140 = 22 x 5 x 7
▪ 200 = 23 x 52
Até aqui fomos apresentados a um resumo que nos permite efetuar o cálculo do MDC e do MMC.
Entretanto, tarefa ainda mais importante é conseguir aplicar esse conhecimento a casos concretos,
cobrados em provas de concursos públicos no âmbito do raciocínio aritmético. Isto é, diante de um
problema matemático, quando se deve usar o MMC ou o MDC?
Assim, torna-se necessário sabermos as principais características dos valores a que estão relacionados o
MMC e o MDC, as quais detalharemos a partir de agora.
Em relação ao Máximo Divisor Comum (MDC), é possível perceber que nos seus valores está presente a
ideia de divisão. Além disso, o objetivo da questão consistirá em repartir uma quantidade em partes iguais
ou determinar o maior tamanho possível de determinado item.
Por sua vez, nos números relativos ao Mínimo Multiplo Comum (MMC) é marcante a ideia de tempo ou
período. De fato, é comum que os enunciados exijam do condidato o reconhecimento de coincidência
temporal ou mesmo quando determinado evento irá acontecer novamente.
22
MDC MMC
A fim de esquematizar o que foi analisado e propor um roteiro a ser observado diante de uma questão,
apresentamos o diagrama a seguir:
Suponha que dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente.
João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sa-
bendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coinci-
dirão novamente?
Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra
daqui a 27, e assim por diante.
Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc.
Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplo de 9 e também de 15, isto é,
múltiplos comuns de 9 e 15. Ou seja, estamos diante da necessidade de reconhecer uma coincidência
temporal ou quando determinado evento irá acontecer novamente, de modo que a estratégia de resolução
envolve uma aplicação do MMC.
De fato, a próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e
15, que é 45.
Agora, digamos que temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de
cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor
número de grupos possível?
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível.
23
Note que o objetivo da questão consiste em repartir uma quantidade em partes iguais ou determinar o
maior tamanho possível de determinado item, de forma que a estratégia de resolução envolve uma
aplicação do MDC.
Realmente, este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o Máximo
Divisor Comum entre 20 e 30.
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22 x 5. Temos também que 30 = 2 x 3 x 5. Portanto, MDC
(20,30) = 2 x 5 = 10.
Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com
10 gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5.
Considere que uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes
necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 cen-
tímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cor-
tasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?
Foi dito que o funcionário deveria cortar o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Fica
claro, portanto, que precisamos encontrar o MDC entre 156 e 254, pois tal valor corresponderá à medida do
comprimento desejado.
234 = 2 * 3 * 3 * 13
156 = 2 * 2 * 3 * 13
24
15, 20, 35 2
15, 10, 35 2
15, 5, 35 3
5, 5, 35 5
Ou seja, as três torneiras voltarão a pingar juntas 420 segundos ou 7 minutos após a primeira vez em que
isso ocorre. Dessa forma, o próximo horário em que as 3 torneiras voltarão a pingar juntas será às 8h e 54
min + 7 minutos= 9h e 01min.
Gabarito: Letra B.
(CESPE/IFF/2018) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de
bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8
dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem
trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente
juntos nesse voo ocorrerá daqui a
a) 30 dias.
b) 74 dias.
c) 120 dias.
d) 240 dias.
e) 960 dias.
25
Comentários:
Estamos diante da necessidade de reconhecer uma coincidência temporal, de modo que a estratégia de
resolução envolve uma aplicação do MMC.
Assim, o MMC entre os valores dos tempos em que cada comissário trabalha no voo é dado por:
8, 10, 12 2
4, 5, 6 2
2, 5, 3 2
1, 5, 3 3
1, 5, 1 5
26
32, 52, 82 2
16, 26, 41 2
8, 13, 41 2
4, 13, 41 2
2, 13, 41 2
1, 13, 41 13
1, 1, 41 41
1, 1, 1
Agora, multiplicamos os fatores em que houve divisão em todos os elementos, encontrando o MDC (256,
416, 656) = 24 = 16. Dessa maneira, teremos no máximo 16 pessoas em cada grupo.
Como cada grupo terá funcionários de uma mesma empresa, dividimos a quantidade de pessoas de cada
empresa pelo número máximo de pessoas que pode haver em cada grupo:
- A: 256 16 = 16
- B: 416 16 = 26
- C: 656 16 = 41
Portanto, serão formados 16 + 26 + 41 = 83 grupos.
Gabarito: Letra D.
(FCC/TRF 2ª Região/2007) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192
unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes
instruções:
- Todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com
a mesma quantidade de documentos;
- Cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo.
Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de
documentos que poderá ser colocada em cada caixa é
a) 8
b) 12
27
c) 24
d) 36
e) 48
Comentários:
Ora, precisamos achar um número que divida tanto o 192 quanto o 168 e que seja o maior possível. Estamos
falando do... MDC!
168, 192 2
84, 96 2
42, 48 2
21, 24 2
21, 12 2
Daí, o MDC (168, 192) = 23 x 3 = 24, que corresponde ao número máximo de documentos por caixa.
Gabarito: Letra C.
(UFMT/2014) Segundo a revista Exame, de 16/04/2014, o sistema ferroviário brasileiro está aquém das
necessidades do país, e, além disso, os trens brasileiros também são lentos. A figura abaixo apresenta
a velocidade média (adaptada) nas ferrovias, em quilômetros por hora, dos sistemas ferroviários da
China, dos Estados Unidos e do Brasil.
Qual é o quociente da divisão do mínimo múltiplo comum (MMC) das velocidades médias dos sistemas
ferroviários da China, dos Estados Unidos e do Brasil pela velocidade média do sistema ferroviário no
Brasil?
a) 15
b) 24
c) 12
d) 20
Comentários:
Inicialmente, calculamos o MMC entre as velocidades médias dos sistemas ferroviários da China, dos
Estados Unidos e do Brasil:
28
50, 40, 30 2
25, 20, 15 2
25, 10, 15 2
25, 5, 15 3
25, 5, 5 5
5, 1, 1 5
1, 1, 1
= 23 x 3 x 52 = 600
Assim, o MMC (50, 40, 30) = 600. Mas, o que precisamos determinar é a divisão do MMC pela velocidade
média do sistema ferroviário no Brasil, que corresponde a 600 ÷ 30 = 20.
Gabarito: Letra D.
(CESGRANRIO/IBGE/2006) Da rodoviária de uma cidade partem três linhas de ônibus. Os horários de
cada linha são apresentados na tabela abaixo.
Observando-se as informações da tabela, é correto concluir que ônibus das três linhas partirão juntos
do terminal às:
a) 7h 30min
b) 8h
c) 9h 36min
d) 10h 45min
e) 11h 30min
Comentários:
Primeiramente, temos que calcular o intervalo de tempo em que os ônibus das três linhas saem juntos. Para
determinar essa coincidência, recorremos ao MMC entre os momentos de saída de cada linha de ônibus:
15, 12, 10 2
15, 6, 5 2
15, 3, 5 3
5, 1, 5 5
1, 1, 1 = 22 x 3 x 5 = 60 29
Assim, a cada 60 minutos ou 1 hora os três ônibus saem juntos do terminal. E, visto que o ônibus da linha 3
é o último a sair, e isso ocorre às 7h, então podemos concluir que o próximo encontro para eles sairem
simultaneamente é às 8h.
Gabarito: Letra B.
Consideremos dois conjuntos A e B, de modo que o número de elementos (também chamado de cardinal)
do conjunto A seja n(A) e o número de elementos do conjunto B seja n(B). Agora, tomemos o número de
elementos da interseção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A ∪ B por n(A ∪ B). Assim,
podemos definir a seguinte equação:
Essa relação é tão importante que a chamaremos de equação fundamental dos conjuntos. Nesse sentido,
você verá como ela é útil na resolução de diversas questões. Portanto, fica claro que essa vale a pena deco-
rar!
Aliás, nem precisa decorar, é melhor entendê-la. De fato, o conceito de União de conjuntos indica que esta-
mos reunindo ou adicionando os elementos dos conjuntos envolvidos na operação, de modo que:
Entretanto, é preciso eliminar aqueles elementos que fazem parte, simultaneamente, dos dois conjuntos. E
é justamente por isso que existe a subtração da interseção na equação apresentada. Todavia, caso os con-
juntos em análise sejam disjuntos entre si, isto é A ∩ B = ∅, então utilizaremos a equação (I).
Além disso, caso tenhamos 3 (três) conjuntos, adicionando-se um conjunto C por meio do seu cardinal n(c),
a quantidade de elementos da união entre eles é dada pela seguinte equação:
Por fim, trazemos para você a seguinte equação que pode ser bastante útil na resolução das questões de
concursos públicos, por meio da qual obtemos a quantidade de elementos do conjunto diferença:
30
Por exemplo, de um grupo de 300 alunos de línguas, somente 170 estudam inglês e somente 180 estudam
espanhol. Considerando que, nesse grupo, ninguém estude qualquer outro idioma, quantos alunos dedi-
cam-se tanto ao estudo da língua de Shakespeare quanto ao da de Cervantes?
Esse é um típico modelo das questões que veremos a seguir e que você se deparará na sua prova. Diante da
importância desse tópico, mostraremos três formas diferentes de resolver este exercício. Ficará a seu cri-
tério escolher qual o mais apropriado, sendo que haverá casos que poderemos aplicar até mais de um desses
métodos. Ok? Vamos lá!
Considere o diagrama a seguir em que I representa o conjunto de todos os alunos que estudam Inglês e E, o
de todos os alunos que estudam Espanhol. O x representa o número de alunos que estudam os dois idiomas.
I E
Uma vez que x representa uma parte dos 170 alunos que estudam Inglês, restam 170 – x que estudam Inglês,
mas que não estudam Espanhol.
Do mesmo modo, x também representa parte dos 180 alunos que estudam Espanhol, restando 180 – x que
estudam Espanhol, mas não estudam Inglês.
I E
170 - x x 180 - x
350 – x = 300
X = 50
Se somarmos o número de alunos de inglês (170) com o de alunos de Espanhol (180), teremos 170 + 180 =
350, ou seja, 50 alunos a mais do que o total de alunos de línguas do grupo, que é 300.
Isso ocorreu porque, ao somarmos os dois números, acabamos tomando duas vezes o número daqueles que
se dedicam ao estudo dos dois idiomas, ou seja, trata-se de interseção entre os dois conjuntos. Logo, o
número de alunos que estudam Inglês e Espanhol é 50.
Sejam:
n(I ∩ E) = 50
Como era de esperar, usando os três métodos chegamos ao mesmo resultado. Você perceberá ao longo das
demais questões que, invariavelmente, utilizaremos um dos três métodos demonstrados.
32
(FCC/CL-DF/2018) Em uma escola com 150 alunos, são oferecidos cursos de Inglês e Francês. Conforme
um levantamento, 15 alunos desta escola não estão frequentando estes cursos e 90 frequentam o curso
de Inglês. Se 72 alunos frequentam o curso de Francês, então o número de alunos que frequenta um e
somente um dos cursos é igual a
a) 126
b) 144
c) 138
d) 132
e) 108
Comentários:
O enunciado informa que o total de pessoas que frequenta pelo menos um curso é 150 – 15 = 135.
Como 90 alunos frequentam o curso de inglês e 72, o de francês, temos:
n(F ou I) = n(F) + n(I) – n(F e I)
135 = 72 + 90 – n(F e I)
n(F e I) = 27
Assim, há 27 pessoas que frequentam os dois cursos.
Portanto, concluímos que 135 – 27 = 108 pessoas frequentam apenas um curso. Isso já nos permite marcar
a letra E como opção correta. Mas, vamos prosseguir para detalhar o número de alunos que frequentam
apenas o curso de francês e apenas o curso de inglês.
Já que 72 pessoas estudam francês, então 72 – 27 = 45 frequentam apenas o curso de francês.
Como 90 estudam inglês, então 90 – 27 = 63 frequentam apenas o curso de inglês.
Dessa forma, confirmamos que o total de pessoas que frequenta apenas um curso é igual a 45 + 63 = 108.
Gabarito: Letra E.
(FCC/Detran-MA/2018) Em relação a todos os agentes de trânsito de uma cidade, 40% possuem
diploma de curso superior e 15% pretendem se aposentar nos próximos dois anos. Sabe-se ainda que
os agentes com diploma de curso superior que pretendem se aposentar nos próximos dois anos
representam 10% do total de agentes. Dessa forma, o percentual de agentes de trânsito dessa cidade
que não possuem diploma de curso superior nem pretendem se aposentar nos próximos dois anos é
igual a
A) 35%.
B) 40%.
C) 45%.
D) 50%.
E) 55%.
Comentários:
33
Sejam A e B, respectivamente, o grupo de pessoas com diploma de curso superior e o grupo que pretende
se aposentar nos próximos dois anos. É dito que n(A) = 40% e n(B) = 15%.
É dito que os agentes com diploma de curso superior e que pretendem se aposentar nos próximos dois anos
representam 10% do total, ou seja, n (A ∩ B) = 10%.
No diagrama a seguir estão descritas essas informações:
A B
30% 10% 5%
Assim, fica claro que o total de pessoas com curso superior ou que pretendem se aposentar nos próximos
dois anos é de 45% (30% + 10% + 5%), de modo que 100 – 45 = 55% não atendem a nenhum desses dois
critérios.
Gabarito: Letra E.
(FCC/TRT 11ª Região/2017) Uma construtora convoca interessados em vagas de pedreiros e de
carpinteiros. No dia de apresentação, das 191 pessoas que se interessaram, 113 disseram serem aptas
para a função pedreiro e 144 disseram serem aptas para a função carpinteiro. A construtora contratou
apenas as pessoas que se declararam aptas em apenas uma dessas funções. Agindo dessa maneira, o
número de carpinteiros que a construtora contratou a mais do que o número de pedreiros foi igual a
A) 19.
B) 12.
C) 65.
D) 47.
E) 31.
Comentários:
Se somarmos as quantidades dos que se declararam pedreiros com os que se declararam carpinteiros, te-
mos 113 + 144 = 257. Obviamente, isso é MAIS do que 191, que é o total de pessoas.
Na realidade, a diferença 257 – 191 = 66 é o número de pessoas aptas às duas profissões, ou seja, corres-
ponde à quantidade de pessoas que se encontram na interseção!
Assim, os que são APENAS pedreiros somam 113 – 66 = 47, e os que são APENAS carpinteiros são 144 – 66
= 78.
Todavia, o objetivo da questão consiste em obtermos o número de carpinteiros que a construtora contratou
A MAIS do que o número de pedreiros, de modo que a diferença é de 78 - 47 = 31.
Gabarito: Letra E.
e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se
inscreveram para o cargo B.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item subsecutivo.
Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.
Comentários:
Definiremos os seguintes conjuntos:
A = conjuntos dos candidatos que se inscreveram para o cargo A;
B = conjuntos dos candidatos que se inscreveram para o cargo B.
Representaremos por um retângulo o conjunto universo da questão, que é formado por todos os candida-
tos ao concurso. E dentro dele, desenharemos os conjuntos A e B. Já o número 400, fora dos círculos, indica
o número de candidatos que não se inscreveram a nenhum dos cargos A e B.
A B
400
Ora, se são 1.200 candidatos no total e 400 deles se inscreveram para outros cargos, então:
1.200 – 400 = 800
Isso significa que 800 candidatos se inscreveram para A ou B, de forma que:
n(A ∪ B) = 800
Aplicando a fórmula do número de elementos da união:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
800 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
800 = 600 + 400 - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = 600 + 400 - 800 = 200
Portanto, 200 candidatos se inscreveram para A e B.
Gabarito: ERRADO.
(CESPE/PM-CE/2014) Uma pesquisa realizada com um grupo de turistas que visitaram, em Fortaleza, a
praia do Futuro (PF), o teatro José Alencar (TJA) e a catedral Metropolitana (CM) apresentou as
seguintes informações:
►70 turistas visitaram a PF;
35
PF
CM TJA
36
PF
CM TJA
20
Em seguida, é dito que 25 turistas visitaram PF e CM. Utilizando a técnica descrita no 1º método de resolu-
ção, precisamos subtrair a interseção (isto é, 20), a fim de encontrar turistas que visitaram exclusivamente
PF e CM. Logo:
PF
CM 5 TJA
20
Também foi informado que 50 turistas visitaram CM e TJA. Com a interseção já foram alocados 20 destes
50, de modo que faltam 30.
37
PF
CM 5 TJA
20
30
PF
30
CM TJA
5
20
30
Além disso, é dito que 70 visitaram a PF. Já alocamos 30 + 20 + 5 = 55. Faltam 15:
38
PF
30
CM TJA
5 15
20
30
A interseção entre os conjuntos dos turistas que visitaram PF e TJA apresenta 20 + 15 = 35 elementos. Logo,
35 pessoas visitaram a PF e o TJA.
Gabarito: CERTO.
a: coeficiente da equação
x: incógnita
b: termo independente
Note que se trata de equação devido ao fato de a incógnita estar igualada a um número, que nesse caso
corresponde a zero. Além disso, a equação descrita é do 1º grau porque a incógnita tem expoente igual a 1.
Inicialmente, perceba que estamos diante de uma equação do 1º grau, pois o expoente da incógnita x é igual
a 1.
Adicionalmente, precisamos ter em mente o significado da igualdade presente na expressão. Ela indica que
tudo que está do lado esquerdo (1º membro da equação) é igual ao conteúdo do lado direito (2º membro da
equação), que neste exemplo é igual a 0. Assim, substituindo o valor de x e fazendo as operações necessá-
rias, devemos ter como resultado o número que está do lado direito da igualdade.
39
Agora para definirmos os valores dos termos da equação, basta lembrarmos o seu formato genérico: ax + b
= 0. Dessa forma, comparando isso com a equação dada, concluímos que:
ax + b = 0
3x – 5 = 0
a = 3 e b = -5
O mais importante deste tópico é sabermos determinar o valor da incógnita, que é chamado raiz da equa-
ção.
Para isso, o nosso objetivo deve ser separar na igualdade a incógnita dos números (coeficiente e termo in-
dependente), invertendo a operação caso tenha havido alguma transferência de um lado para outro. Isto é,
caso de trate de uma multiplicação passa para o outro lado dividindo, e vice-versa; ao passo que se estiver
subtraindo, passa somando, e vice-versa.
Em outras palavras, queremos letras com letras de um lado da equação e números com números do outro
lado, mudando a operação caso aconteçam transferências entre lados!
Coeficiente
e
Incógnita
Termo
Independente
a) 8x – 15 = 3x
Primeiramente, vamos passar o -15 (que é um número) para o outro lado da igualdade. Para isso, devemos
alterar o seu sinal de negativo para positivo. Similarmente, passaremos o 3x (que é letra) para o outro lado,
mudando seu sinal de positivo para negativo. Logo:
8x – 3x = 15
5x = 15
Agora, precisamos passar o 5 (que é número) para o outro lado da igualdade. Qual é a operação que ele está
fazendo? Multiplicação, de modo que passará dividindo:
40
x = 15/5
x=3
Portanto, a raiz da equação é 3. Inclusive, muitas vezes esta solução é representada em forma de conjunto.
Assim, teríamos S = {3}, ou seja, o conjunto solução é formado pelo elemento 3.
6x + 2 – 18 + 6x = 20
Nesse momento, fazendo a transferência de todos os números para o outro lado da equação e fazemos as
operações resultantes:
12x = 20 – 2 + 18
12x = 36
Repare que o 12 está multiplicando a incógnita, de modo que deve passar para o outro lado dividindo:
x = 36 / 12 → x = 3
Neste caso todos os termos da equação estão na forma fracionária, com a incógnita (y) presente nos nume-
radores.
Além disso, os denominadores são diferentes entre si, de modo que devemos calcular o MMC entre eles,
para trabalharmos com um denominador comum:
2, 3, 6 2
1, 3, 3 3
1, 1, 1 = 2 ⨯ 3 = 6
Assim, o MMC entre 2, 3, 6 é igual a 6, o qual será o denominador comum da equação e deve substituir cada
denominador até então existente. Como faremos isso?
Em cada fração, iremos dividir o 6 pelo denominador inicial, e o resultado dessa operação será multiplicado
pelo numerador, obtendo o novo numerador. Veja:
3𝑦 − 9 12𝑦 − 20 2𝑦 − 1
+ =
6 6 6
Como os denominadores são todos iguais, podemos simplificar a equação por eliminá-los. Em seguida, con-
tinuamos as operações para encontrar a raiz da equação:
3𝑦 − 9 + 12𝑦 − 20 = 2𝑦 − 1
3𝑦 + 12𝑦 − 2𝑦 = −1 + 9 + 20
𝟐𝟖
13𝑦 = 28 → 𝒚 =
𝟏𝟑
Portanto, fica claro que a resolução de uma equação do 1º grau segue um processo prático, composto dos
seguintes passos:
Adicionalmente, precisamos conhecer as questões no âmbito do raciocínio aritmético que abordam este
assunto. Trata-se de quando temos um problema cuja solução é obtida por meio da solução de uma equação
do 1º grau.
Para auxiliá-lo, na tabela a seguir estão descritos alguns exemplos de expressões cotidianas que já aparece-
ram em questões de concursos e suas respectivas equivalências matemáticas, considerando a incógnita x
como o termo desconhecido.
42
1) A soma de dois números é 212 e a diferença é 24. Quais são esses números?
Comentários:
Como a diferença entre os números é 24, podemos dizer que o menor é x e o maior é x + 24.
x + (x + 24) = 212
2x + 24 = 212
2x = 188
x = 188/2 → x = 94
43
2) Lucas tem 28 anos a menos que o seu pai, o qual tem 3 vezes a idade de Lucas. Qual a idade de am-
bos?
Comentários:
Levando em conta que Lucas tem 28 anos a menos que o seu pai, dizemos que a idade de Lucas é y e a de
seu pai é y + 28. E como o pai de Lucas possui 3 vezes a idade de Lucas, temos:
y + 28 = 3y
3y – y = 28
y = 28/2 → y = 14
3) Francisco tem hoje 46 anos e o seu filho, 10 anos de idade. Daqui a quantos anos a idade do pai será
o quádruplo da idade do filho?
Comentários:
Se atualmente Francisco tem 46 anos de idade e o seu filho possui 10 anos, então após certo tempo terão:
Francisco: 46 + x
Filho de Francisco: 10 + x
Queremos saber quando a idade de Francisco será o quádruplo da idade de seu filho. Logo:
46 + x = 4(10 + x)
46 + x = 40 + 4x
4x – x = 46 – 40
3x = 6 → x = 2
Portanto, a idade de Francisco corresponderá a quatro vezes à do seu filho daqui a dois anos.
4) Considere que no mês de outubro, os estudantes Carlos e Artur haviam gastado, respectivamente,
dois terços e três quintos de suas mesadas. Embora a mesada de Carlos seja menor, ele gastou R$ 8,00
a mais que Artur. Se a soma dos valores das duas mesadas é R$ 810,00, qual é o valor monetário da
diferença entre os valores das duas mesadas?
Comentários:
44
Veja que o problema diz que Carlos e Artur haviam gastado, respectivamente, dois terços e três quintos de
suas mesadas; sendo que Carlos gastou R$ 8,00 a mais que Artur.
2 3
𝐶− 𝐴=8
3 5
Com essa fórmula, registramos o gasto que cada um dos estudantes teve bem como destacamos o fato de
as despesas de um deles ter superado a do outro em oito reais. Entendido até aqui?
Mas vamos tentar simplificar um pouco mais a equação a que chegamos por eliminar os denominadores.
Sabendo que o MMC entre 3 e 5 é 15, ficamos com:
10 9 120
𝐶− 𝐴=
15 15 15
Repare que chamamos a equação obtida de (I) apenas para organização dos dados.
Em seguida, o problema diz que a soma das duas mesadas é R$ 810,00. Logo:
𝐶 + 𝐴 = 810
𝑨 = 𝟖𝟏𝟎 − 𝑪 (𝑰𝑰)
Com a equação (II) obtemos uma equação que nos permite calcular o valor da mesada de Artur em função
da quantia de Carlos. Neste sentido, vamos substituir a equação (II) em (I):
Perceba que chegamos numa equação do 1º grau com apenas uma incógnita, isto é C, de modo que pode-
mos calcular a sua raiz:
7410
𝐶= → 𝑪 = 𝟑𝟗𝟎 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔
19
Agora substituímos este valor na equação (II), de forma a determinar a quantia que coube a Artur:
45
Assim, concluímos que a mesada de Artur é R$ 420,00, ao passo que a de Artur é R$ 390,00. Inclusive tais
quantias respeitam a descrição contida no problema, pois realmente a mesada de Carlos é menor que a de
Artur.
Mas, terminamos a solução do problema? Não! Pois o enunciado exige o valor da diferença entre o valor das
duas mesadas. Logo:
46
D) 12.
E) 16.
Comentários:
A questão apresenta três equações e três incógnitas. Assim:
x + y = 50
y = 50 – x (I)
x + z = 40
z = 40 – x (II)
48
Seja L o total de livros. De acordo com o informado no enunciado, para a biblioteca de matemática serão
doados 3/4 desses livros, sobrando 1/4 deles, ou L/4 livros. Deste restante, 1/3 vai para a biblioteca de física,
sobrando 2/3 de L/4:
23L4=2L12=L6
2/3 x L/4 = 2L/12 = L/6
Este restante corresponde aos 36 que vão para a biblioteca de química, portanto:
36 = L/6
L = 36 x 6
L = 216 livros
Os livros doados para a biblioteca de física são:
1/3 x L/4 = L/12 = 216/12 = 18 livros.
Gabarito: Letra C.
(VUNESP/MP-SP/2016) Um artesão produz três tipos de peças: A, B e C. Em um mesmo dia ele só
produz um desses tipos de peça, sendo que ele consegue produzir, por dia, 7 peças do tipo A, ou 10
peças do tipo B, ou 15 do tipo C. Em 30 dias de trabalho, ele produziu um total de 333 peças. O número
de dias que ele trabalhou produzindo peças do tipo B foi 13 a mais do que o número de dias trabalhados
produzindo peças do tipo A. Nesses 30 dias, o número de peças do tipo C que ele produziu foi
A) 165.
B) 150.
C) 120.
D) 180.
E) 135.
Comentários:
O enunciado informa que o número de dias que ele trabalhou produzindo peças do tipo B foi 13 a mais do
que o número de dias trabalhados produzindo peças do tipo A. Assim, se ele trabalhou n dias fazendo peças
A, então ele trabalhou n + 13 dias fazendo peças B, e trabalhou 30 – n – (n+13) = 17 – 2n dias produzindo
peças C.
O total de peças produzido é dado pela multiplicação do número de dias fazendo cada peça pela respectiva
capacidade de produção diária do artesão. Como ele consegue produzir, por dia, 7 peças do tipo A, ou 10
peças do tipo B, ou 15 do tipo C, temos:
333 = 7 x n + 10 x (n+13) + 15 x (17 – 2n)
333 = 7n + 10n + 130 + 255 – 30n
333 = -13n + 385
13n = 385 – 333
n = 52 / 13 = 4
Dessa maneira, o número de peças C produzidas é:
49
50
No parênteses da equação (I) temos a + j, quantia esta que corresponde a 2 + 2p, conforme equação (II).
Logo:
(2 + 2p) + p = 50
2 + 3p = 50
3p = 48
p = 16
Portanto, realmente Pedro confeccionará mais de 15 camisetas.
Gabarito: CERTO.
(CESPE/TCE-RS/2013) Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem
digitalizadas, são separadas e distribuídas entre 7 servidores — 4 servidores recém-contratados e 3
servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação.
Se as 28.000 páginas de um conjunto de processos foram digitalizadas pelos 7 servidores e se os servidores
antigos digitalizaram 5.000 páginas a mais que os recém-contratados, então os servidores antigos digitali-
zaram mais de 18.000 páginas.
Comentários:
Vamos chamar de a e n as quantidades de páginas digitalizadas pelos antigos e pelos novatos, respectiva-
mente.
O enunciado informa que o total de páginas digitalizadas é 28.000:
a + n = 28.000 (I)
Também é dito que os antigos digitalizaram 5.000 páginas a mais que os novatos:
a – n = 5.000 (II)
Somando as duas equações:
(a + n) + (a − n) = 33.000
2a = 33.000
a = 16.500
Portanto, os antigos não digitalizaram mais de 18.000 páginas.
Gabarito: ERRADO.
51
O primeiro passo é saber que a diferença das idades entre as pessoas envolvidas é sempre a mesma. Para
exemplificar, se eu sou mais velho que meu irmão 10 anos, eu também era 10 anos mais velho do que ele há
15 anos, como serei 10 anos mais velho que ele daqui a 50 anos. A diferença entre nossas idades não se altera
nunca.
O bom desse tipo de problema é que, ao acharmos a resposta, sempre poderemos conferir facilmente se a
resposta está correta, pois é só substituir as idades no enunciado do problema e provar se está correto ou
não.
(ESAF/MPOG/2009) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria
daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje?
a) 3 anos.
b) 2 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
Comentários:
Vamos chamar de x a idade da criança no dia de hoje.
Daqui a dez anos, ela terá: x + 10.
Há dois anos ela tinha: x – 2.
A idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade
da idade que ela tinha há dois anos:
𝑥 + 10 𝑥 − 2
𝑥= −
2 2
52
53
(FCC - Auxiliar/TCE-SP/2010) Sabe-se que daqui a 9 anos a soma da idade de Dagoberto com as de seus
pais será 155 anos. Assim sendo, há 5 anos atrás quantos anos totalizavam as idades dos três?
a) 96
b) 108
c) 113
d) 117
e) 121
Comentários:
Sejam as idades atuais de Dagoberto e seus pais x, y e z. Daqui a 9 anos serão x + 9, y + 9 e z + 9.
Sabendo que a soma deve resultar 155, temos:
(x + 9) + (y + 9) + (z + 9) = 155
(x + y + z) + 27 = 155
x + y + z = 155 - 27 = 128
Há 5 anos as idades eram x – 5, y – 5 e z – 5. Somando, temos:
(x – 5) + (y – 5) + (z – 5)
(x + y + z) – 5 – 5 – 5 = 128 – 15 = 113
Portanto, há 5 anos as idades dos três totalizavam 113 anos.
Gabarito: Letra C.
(FUNDATEC/ALERS/2018) Ana é oito anos mais velha que Carla. A diferença entre o quíntuplo da idade
de Ana e o dobro da idade de Carla é 124. A idade de Ana e Carla é respectivamente:
a) 30 e 22.
b) 16 e 8.
c) 36 e 28.
d) 48 e 40.
e) 44 e 36.
Comentários:
Vamos chamar de C a idade de Carla.
Como Ana é oito anos mais velha que Carla, A idade de Ana é C + 8.
O enunciado informa que a diferença entre o quíntuplo da idade de Ana e o dobro da idade de Carla vale
124:
5 × (8 + C) − 2C = 124
40 + 3C = 124
3C = 84
C = 28
54
360 – 3M = 2M
360 = 5M
M=72
Logo, F = 120 – 72 = 48.
Há X anos, a razão era igual a 3. Nesse caso, a minha idade era 72 – X, e a do meu filho era 48 – X:
(72 – X).(48 – X)=3
72 – X = 144 – 3X
2X = 72
X = 36
Logo, eu tinha 72 – 36 = 36 anos, e meu filho tinha 48 – 36 = 12 anos.
Gabarito: Letra D.
(FCC/TRF 4ª Região/2019) Maria tem 3 anos de diferença do seu irmão mais velho. Daqui a 9 anos o
produto das idades de ambos irá aumentar 288 unidades. A idade de Maria é
A) 10
B) 11
C) 20
D) 12
E) 9
Comentários:
Vamos chamar de M e V, respectivamente, a idade de Maria e a do seu irmão mais velho.
O enunciado informa que Maria tem 3 anos de diferença do seu irmão mais velho. Já que o irmão é mais
velho do que Maria, temos:
V = M + 3 (I)
Atualmente, o produto das idades deles hoje é MV, de modo que daqui a 9 anos a idade de Maria será (M +
9) anos e a de seu irmão mais velho será (V + 9) anos. Logo, daqui a 9 anos, o produto das idades será (M +
9) × (V + 9).
É dito que daqui a 9 anos o produto das idades de ambos irá aumentar 288 unidades. Ou seja:
(M + 9) × (V + 9) = MV + 288
MV + 9M + 9V + 81 = MV + 288
9M + 9V = 288 − 81
9 × (M + V) = 207
M + V = 23 (II)
Substituindo (I) em (II), obtemos:
M + M + 3 = 23
56
2M = 20
M = 10
Portanto, concluímos que Maria tem 10 anos de idade.
Gabarito: Letra A.
8. DIVISÃO PROPORCIONAL
Podemos definir Divisão Proporcional como sendo a partição de um determinado valor em partes dire-
tamente ou inversamente proporcionais a um grupo de números. Temos também o caso misto, em que
um valor pode ser dividido em partes diretamente proporcionais a um grupo de números e em partes inver-
samente proporcionais a um outro grupo de números.
De fato, dividir um número T em n partes diretamente proporcionais a um grupo de números dados, a1,
a2, a3, ... an, significa encontrar um outro grupo, X1, X2, X3, ..., Xn, que satisfaz o seguinte:
1º) As razões entre cada uma das partes procuradas e os respectivos membros do grupo proporcional de-
vem ser todas iguais:
𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝟑 𝐗𝐧
= = =⋯= =𝐤
𝐚𝟏 𝐚𝟐 𝐚𝟑 𝐚𝐧
2º) A soma das partes procuradas seve ser igual ao valor original:
𝐗𝟏 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟑 + ⋯ + 𝐗𝐧 = 𝐓
Depois de calculado o valor da constante k, basta substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as con-
tas para descobrir o valor de cada uma das partes.
Por exemplo, vamos dividir o número 72 em três partes diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5.
Sejam, a, b e c as três partes procuradas. Visto que a razão entre grandezas diretamente proporcionais é
uma constante, chamada constante de proporcionalidade k, podemos escrever:
𝑎 𝑏 𝑐
= = =𝑘
3 4 5
𝑎 = 3𝑘
𝑏 = 4𝑘
𝑐 = 5𝑘
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 72
3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 = 72
12𝑘 = 72
𝒌=𝟔
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta substituí-lo nas igualdades da
proporção e realizar as contas para descobrir o valor de cada uma das partes:
Valor de a: 3k = 3 . 6 = 𝟏𝟖
Valor de b: 4k = 4 . 6 = 𝟐𝟒
Valor de c: 5k = 5 . 6 = 𝟑𝟎
Agora, vamos dividir o número 320 em três partes diretamente proporcionais a 4, 12 e 16.
Sejam, A, B e C as três partes procuradas. Vamos adotar um outro caminho de resolução, que chamaremos
de método simplificado. Como funciona? Bem, na divisão diretamente proporcional, a grosso modo, basta
pegar o valor total e dividir pela soma das partes, comparando com cada incógnita dividida pela sua
parte.
Talvez pareça um pouco complicado olhando tão somente a definição, mas ficará mais claro aplicando o
método a um caso prático. E é isso o que vamos fazer agora!
Primeiramente, pegamos o valor total, que é 320, e dividimos pela soma das partes, ou seja, 4 + 12 + 16,
igualando à proporção formada por cada incógnita dividida pela sua parte:
320 𝐴 𝐵 𝐶
= = =
4 + 12 + 16 4 12 16
320 320
= = 𝟏𝟎
4 + 12 + 16 32
A B C
Agora é só comparar 10 com cada uma das igualdades 4 , 12 e 16, encontrando A, B e C um de cada vez:
58
A
Valor de A: 10 = ⇒ 𝐀 = 𝟒𝟎
4
B
Valor de B: 10 = 12 ⇒ 𝐁 = 𝟏𝟐𝟎
C
Valor de C: 10 = 16 ⇒ 𝐂 = 𝟏𝟔𝟎
De fato, dividir um número T em n partes inversamente proporcionais a um grupo de números dados, a1,
a2, a3, ... an, significa encontrar um outro grupo, X1, X2, X3, ..., Xn, que satisfaz o seguinte:
1º) As razões de cada uma das partes procuradas pelos respectivos inversos dos membros do grupo pro-
porcional devem ser todos iguais:
𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝒏
= = =⋯= =𝒌
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝒏
Repare que isso equivale a afirmar que os produtos de cada uma das partes procuradas pelos respectivos
membros do grupo proporcional devem ser todos iguais:
𝒂𝟏 . 𝑿𝟏 = 𝒂𝟐 . 𝑿𝟐 = 𝒂𝟑 . 𝑿𝟑 = ⋯ = 𝒂𝒏 . 𝑿𝒏 = 𝒌
2º) A soma das partes procuradas deve ser igual ao valor original:
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + ⋯ + 𝑿𝒏 = 𝑻
Assim como o caso da divisão diretamente proporcional, após calcularmos o valor da constante k, basta
substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as contas para descobrir o valor de cada uma das partes.
Note que a diferença entre a divisão diretamente proporcional e a inversamente proporcional é que nesta
temos de utilizar, como quantidade de parcelas a que cada parte tem direito, o inversamente proporcio-
nal do valor atribuído à parte. Assim, por exemplo, se a quantidade de parcelas for 4, então à parte caberá
1/4.
Além disso, na divisão diretamente proporcional, a parte que tem direito ao menor número de parcelas
fica com a menor parte da divisão. Por sua vez, na divisão inversamente proporcional, temos o contrário,
ou seja, a parte que tem direito ao maior número de parcelas é que fica com a menor parte da divisão.
Por exemplo, vamos dividir o número 72 em três partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12.
59
Sejam, a, b e c as três partes procuradas. Visto que o produto entre grandezas inversamente proporcio-
nais é uma constante, chamada constante de proporcionalidade k, podemos escrever:
𝑎 𝑏 𝑐
= = =𝑘
1 1 1
3 4 12
𝑘
𝑎=
3
𝑘
𝑏=
4
𝑘
𝑐=
12
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 72
𝑘 𝑘 𝑘
+ + = 72
3 4 12
4𝑘 + 3𝑘 + 𝑘
= 72
12
72 . 12
𝑘= = 𝟏𝟎𝟖
8
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta substituí-lo nas igualdades da
proporção e realizar as contas para descobrir o valor de cada uma das partes:
𝑘 108
Valor de a: 3 = = 𝟑𝟔
3
𝑘 108
Valor de b: 4 = = 𝟐𝟕
4
𝑘 108
Valor de c: 12 = =𝟗
12
Podemos utilizar este exemplo para demonstrar a você que também há um método simplificado de reso-
lução no caso de questões de divisão inversamente proporcional. É feito de modo bem parecido com o da
divisão diretamente proporcional, mas como o próprio nome diz, em vez de colocarmos diretamente os
valores das partes na equação, colocamos os inversos destes valores.
60
Assim, na divisão inversamente proporcional, basta pegar o valor total e dividir pelo inverso da soma das
partes, comparando com cada incógnita dividida pelo inverso da sua parte.
1
Primeiramente, pegamos o valor total, que é 120, e dividimos pelo inverso da soma das partes, ou seja, 2 +
1
, igualando à proporção formada por cada incógnita dividida pelo inverso da sua parte:
3
120 𝐴 𝐵
= =
1 1 1 1
2+3 2 3
120 120 6
= = 120 . = 𝟏𝟒𝟒
1 1 5 5
2+3 6
𝐴 𝐵
Agora é só comparar 144 com cada uma das igualdades 1 e 1 , encontrando A e B um de cada vez:
2 3
𝐴
Parte A: 144 = 1 ⇒ 𝑨 = 𝟕𝟐
2
𝐵
Parte B: 144 = 1 ⇒ 𝑩 = 𝟒𝟖
3
Note que a soma das partes também tem que dar o todo, ou seja, 72 + 48 = 120.
O conceito misto implica a divisão de um número em certa quantidade de partes, de tal forma que cada
uma dessas partes seja, ao mesmo tempo, diretamente proporcional a pelo menos uma sucessão de nú-
meros dados e inversamente proporcional a pelo menos uma outra.
Assim, a fim de dividirmos um número T em n partes que sejam diretamente proporcionais à sucessão
(a1, a2, ..., an) e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional à sucessão (b1, b2, ..., bn), devemos encon-
trar a sucessão de números (x1, x2, ..., xn), de tal forma que:
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝒏
= =⋯= =𝒌
𝒂𝟏 /𝒃𝟏 𝒂𝟐 /𝒃𝟐 𝒂𝒏 /𝒃𝒏
Dessa maneira, fica claro que dividir um número, ao mesmo tempo, de forma direta e inversamente pro-
porcional a outros significa dividi-lo de forma diretamente proporcional ao produto entre as parcelas di-
retas e as parcelas inversas de cada uma das partes.
61
Em outras palavras, no numerador de cada igualdade da proporção ficarão as partes procuradas, e no de-
nominador teremos uma fração, em que a parte dividida diretamente proporcional (DP) de cada um fica
“em cima” e a inversamente proporcional (IP) fica “embaixo”:
𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒄𝒖𝒓𝒂𝒅𝒂
𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝑫𝑷
𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝑰𝑷
Esse assunto pode parecer complicado quando tentamos entender as definições que acabaram de ser ex-
postas. Entretanto, bastará a resolução de algumas questões para vermos que não é difícil como aparenta.
Por exemplo, vamos dividir o número 160 em duas partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente pro-
porcionais aos números 6 e 10 e inversamente proporcionais aos números 2 e 5.
𝑎 𝑏
= =𝑘
6/2 10/5
𝑎 𝑏
= = 𝑘 (𝑰)
3 2
𝑎 + 𝑏 = 160 (𝑰𝑰)
𝑎+𝑏
=𝑘
3+2
160
=𝑘
5
𝒌 = 𝟑𝟐
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta substituí-lo nas igualdades da
proporção e realizar as contas para descobrir o valor de cada uma das partes:
Valor de a: 3𝑘 = 3 . 32 = 𝟗𝟔
Valor de b: 2𝑘 = 2 . 32 = 𝟔𝟒
Portanto, na divisão proposta 96 unidades caberão a a, enquanto b receberá 64 das 160 unidades.
62
ESAF/STN/2008) Uma escola terá 120 alunos, que deverão ser divididos em 3 (três) turmas, segundo o
tamanho em m2 de cada sala. A sala A tem 40m2, a sala B tem 80m2 e a sala C tem 120m2. Indique abaixo
a opção correta.
a) A = 15, B = 45 e C = 60.
b) A = 15, B = 40 e C = 65.
c) A = 20, B = 45 e C = 55.
d) A = 15, B = 50 e C = 55.
e) A = 20, B = 40 e C = 60.
Comentários:
Sejam:
A: quantidade de alunos da sala A.
B: quantidade de alunos da sala B.
C: quantidade de alunos da sala C.
A distribuição dos alunos é diretamente proporcional a 40, 80 e 120.
Já sabemos que a razão entre duas grandezas diretamente proporcionais é uma constante. Logo, pode-
mos escrever:
𝐴 𝐵 𝐶
= = =𝑘
40 80 120
Assim, podemos concluir que:
A = 40k
B = 80k
C = 120k
Como a quantidade de alunos é 120, temos:
40K + 80k + 120k = 120
240k=120 → K = 1/2
A quantidade de alunos por sala será:
A = 40.1/2 = 20
B = 80.1/2 = 40
C = 120.1/2 = 60
Gabarito: Letra E.
63
O nosso objetivo consiste em obter a diferença de valores na partilha entre as duas. Logo:
𝑎 − 𝑏 = 270 − 210 = 𝑹$ 𝟔𝟎
64
Gabarito: Letra B.
(FCC/TRE-PE/2004)
Um total de 141 documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa,
dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 24, 36
e 42 anos. Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem foi
a) 78
b) 63
c) 57
d) 42
e) 36
Comentários:
Sejam:
a: Número de documentos que coube ao servidor com 24 anos de idade;
b: Número de documentos que coube ao servidor com 36 anos de idade;
c: Número de documentos que coube ao servidor com 42 anos de idade;
O enunciado informa que a divisão de documentos a serem catalogados foi realizada em partes inversa-
mente proporcionais às idades dos servidores, o que significa que dividiremos a quantidade total de docu-
mentos pelo inverso das idades de cada uma dos técnicos judiciários. Logo:
𝑎 𝑏 𝑐
= = = 𝑘 (𝑰)
1 1 1
24 36 42
Além disso, como o número total de documentos a serem catalogados é 141, temos:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 141 (𝑰𝑰)
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos:
𝑎+𝑏+𝑐
=𝑘
1 1 1
+ +
24 36 42
141
=𝑘
1 1 1
+ +
24 36 42
Visto que o MMC entre 24, 36 e 42 é 504, obtemos:
141
=𝑘
21 + 14 + 12
504
141
=𝑘
47
504
65
504
𝑘 = 141 .
= 𝟏𝟓𝟏𝟐
47
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta substituí-lo na igualdade da pro-
porção referente à idade do servidor mais jovem (a), pois a questão é clara ao exigir que encontremos o
número de documentos que coube a ele:
1 1
𝑎= .𝑘 = . 1512 = 𝟔𝟑
24 24
Gabarito: Letra B.
(FCC/TRF - 5ª REGIÃO/2008) Certa noite, dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 salas do edifício
de uma Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas
respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi
a) 68
b) 66
c) 64
d) 62
e) 60
Comentários:
Sejam:
a: Número de salas vistoriadas pelo técnico em segurança com 31 anos de idade;
b: Número de salas vistoriadas pelo técnico em segurança com 34 anos de idade.
O enunciado informa que a divisão de salas a serem vistoriadas foi realizada em partes inversamente pro-
porcionais às idades dos servidores, o que significa que dividiremos a quantidade total de salas pelo inverso
das idades de cada um dos técnicos em segurança. Logo:
𝑎 𝑏
= = 𝑘 (𝑰)
1 1
31 34
Além disso, como o número total de salas a serem vistoriadas é 130, temos:
𝑎 + 𝑏 = 130 (𝑰𝑰)
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos:
𝑎+𝑏
=𝑘
1 1
31 + 34
130
=𝑘
1 1
31 + 34
Visto que o MMC entre 31 e 34 é 1.054, obtemos:
130
=𝑘
34 + 31
1054
66
130
=𝑘
65
1054
1054
𝑘 = 130 . = 𝟐𝟏𝟎𝟖
65
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta substituí-lo na igualdade da pro-
porção referente à idade do servidor mais jovem (b), pois a questão é clara ao exigir que encontremos o
número de salas que coube a ele:
1 1
𝑎= .𝑘 = . 2108 = 𝟔𝟖
31 31
Gabarito: Letra A.
(FCC/CL-DF/2018) Miguel, Otávio e Pedro foram convocados para realizar um trabalho emergencial.
Para recompensá-los posteriormente, decide-se dividir uma quantia em reais entre os 3 em partes
diretamente proporcionais ao tempo dedicado de cada um para realizar o trabalho e inversamente
proporcionais às respectivas idades. Sabe-se que Miguel dedicou 4 horas para o trabalho e sua idade é
igual a 30 anos, Otávio dedicou 8 horas e sua idade é igual a 40 anos e Pedro dedicou 15 horas e sua
idade é igual a 60 anos. Se a menor parte correspondente a esta divisão foi de 4.800, então a maior
parte foi igual a
a) R$ 7.200,00
b) R$ 9.000,00
c) R$ 6.000,00
d) R$ 12.000,00
e) R$ 8.400,00
Comentários:
Vamos chamar de M, T e P as partes que caberão, respectivamente, a Miguel, Otávio e Pedro.
É dito que a divisão da recompensa será realizada em partes diretamente proporcionais ao tempo dedicado
e inversamente proporcionais às respectivas idades.
Conforme os dados do enunciado, montamos a proporção:
M/(4/30) = T/(8/40) = P/(15/60) = k
Em que k é a constante de proporcionalidade.
Podemos simplificar as frações:
M/(2/15) = T/(1/5) = P/(1/4) = k
Como o mínimo múltiplo comum dos denominadores é mmc(15, 5, 4) = 60, podemos multiplicar todas as
frações dos denominadores por 60:
60 ⨯ (2/15) = 8
60 ⨯ (1/5) = 12
60 ⨯ (1/4) = 15
67
No seu testamento, Francisco declarava que o saldo total da caderneta de poupança que possuía deveria
ser dividido entre seus três sobrinhos em partes proporcionais às idades que tivessem no dia de sua morte.
Com isso, sendo a, b e c as parcelas que cabem a cada um dos sobrinhos, podemos montar a seguinte pro-
porção:
𝑎 𝑏 𝑐
= = = 𝑘 (𝑰)
22 28 30
Além disso, como o valor total da caderneta de poupança de Francisco possuía um saldo de R$ 300.000,00,
temos:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 300000 (𝑰𝑰)
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos:
𝑎+𝑏+𝑐
=𝑘
80
Substituindo (II) na igualdade acima, encontramos:
69
300000
=𝑘
80
𝒌 = 𝟑𝟕𝟓𝟎
Por fim, vamos substituir o valor da constante de proporcionalidade nas parcelas da proporção:
Valor de a: 22𝑘 = 22 . 3750 = 𝟖𝟐𝟓𝟎𝟎
Valor de b: 28𝑘 = 28 . 3750 = 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎𝟎
Valor de c: 30𝑘 = 30 . 3750 = 𝟏𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
Dessa forma, o sobrinho mais jovem (22 anos de idade) recebeu a título de herança o valor de R$ 82.500.
Gabarito: B.
(VUNESP/Pref Suzano/2015) Em um concurso de redação, foram premiados os 2 primeiros colocados.
Todo o prêmio era composto de 32 livros, repartidos entre os dois finalistas em partes inversamente
proporcionais ao número de erros que tiveram na redação. Sabendo-se que o primeiro colocado teve 3
erros, e o segundo, 5 erros, o número de livros recebidos pelo primeiro colocado foi
a) 24
b) 21
c) 20
d) 19
e) 18
Comentários:
Sejam:
a: Número de livros que caberá ao primeiro colocado;
b: Número de livros que caberá ao segundo colocado.
O enunciado informa que a divisão de livros no concurso de redação foi realizada entre os dois finalistas em
partes inversamente proporcionais ao número de erros que tiveram na redação. Logo:
𝑎 𝑏
= = 𝑘 (𝑰)
1 1
3 5
Além disso, como a quantia total de livros a ser dividida é 32, temos:
𝑎 + 𝑏 = 32 (𝑰𝑰)
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos:
𝑎+𝑏
=𝑘
1 1
3+5
32
=𝑘
1 1
+
3 5
Visto que o MMC entre 3 e 5 é 15, obtemos:
70
32
=𝑘
5+3
15
15
𝑘 = 32 . = 𝟔𝟎
8
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta substituí-lo na igualdade da pro-
porção referente ao número de livros recebidos pelo primeiro colocado:
1 1
𝑎= . 𝑘 = . 60 = 𝟐𝟎
3 3
Gabarito: Letra C.
9. REGRA DE TRÊS
Regra de Três é a operação de cálculo utilizada para resolver problemas em que estão envolvidas duas ou
mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Existem dois tipos de regras de três: a simples e a
composta. Em qualquer das duas, porém, seguiremos os seguintes passos com vistas a solucionar a ques-
tão proposta:
RELEMBRANDO
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também au-
menta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também di-
minui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção.
É muito importante que você consiga diferenciar corretamente a relação existente entre as grandezas que
o problema vier a apresentar! Destacamos a seguir a tabela produzida pelos autores Luiz Cláudio Cabral e
71
Mauro César Nunes3, na qual demonstram algumas relações diretas ou inversas entre grandezas comu-
mente cobradas em provas de concursos públicos:
Serviço
Nº de funcionário
Tempo
Nº de funcionário
Eficiência
Nº de funcionário
Grau de dificuldade
Serviço
Tempo
Serviço
Eficiência
Serviço
Grau de dificuldade
Tempo
Eficiência
Tempo
Grau de dificuldade
3
CABRAL, Luiz Cláudio; NUNES, Mauro César. Matemática Básica Explicada Passo a Passo. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2013.
72
Às vezes temos dificuldade para decidirmos se duas grandezas são direta ou indiretamente proporcionais.
Experimente trocar as grandezas. Por exemplo, queremos saber a relação entre tempo e grau de dificul-
dade. Tentamos imaginar se aumentarmos o tempo se o grau de dificuldade vai aumentar ou diminuir e não
conseguimos. Tente trocar a ordem, imagine que se aumentar o grau de dificuldade, o tempo aumentará
ou diminuirá. Enfim, experimente nos dois sentidos que garantimos que um deles você chegará a uma con-
clusão. Tanto faz a ordem que escolher para relacionar duas grandezas, a relação entre elas terá que ser a
mesma.
- Regra de Três Simples: é o método que utilizaremos quando estiverem envolvidas apenas duas grande-
zas, onde o objetivo consiste em achar a variável faltante.
Vale salientar que a regra de três simples possui duas subdivisões, a depender da relação de proporção
existente entre as grandezas envolvidas na questão:
- Regra de Três Composta: é seguido o mesmo raciocínio da Regra de Três Simples, mudando apenas o
fato de que mais de duas grandezas estarão abrangidas no enunciado da questão.
Apenas 2 Mais de 2
grandezas grandezas
envolvidas envolvidas
73
Agora, vamos verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se deseja obter, identificando
se são direta ou inversamente proporcionais:
74
Em seguida, devemos inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à grandeza da variá-
vel:
Gabarito: Letra A.
(FCC/Câm Mun-SP/2014) Uma receita para fazer 35 bolachas utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-
se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar necessária para fazer 224 bolachas é
a) 14,4kg
b) 1,8kg
c) 1,44kg
d) 1,88kg
e) 0,9kg
Comentários:
É muito fácil reconhecer uma questão de regra de três simples , pois são fornecidos três valores relaciona-
dos a duas grandezas, e em seguida a questão solicita que encontremos o valor faltante , que completa
a proporção (direta ou inversa). Note que é exatamente isso o que ocorre nesta questão!
Identificado o assunto, basta que sigamos os passos do caminho da resolução de uma questão de regra de
três.
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua grandeza. E
facilitará a nossa vida se colocarmos a coluna referente à incógnita mais à esquerda na tabela:
75
Note que utilizamos “x” para representar o valor faltante, isto é, a quantidade de açúcar necessária para
produzir 224 bolachas. Entendido até aqui? Espero que sim! Vamos adiante.
2º) Verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se deseja obter, identificando se são direta
ou inversamente proporcionais.
Inicialmente escolhemos uma coluna como referência. Geralmente (não é obrigatório) a coluna escolhida é
aquela que contém a incógnita. No caso, nossa referência passa a ser a quantidade de açúcar.
Em seguida, analisamos como a outra grandeza se comporta quando variamos a quantidade de açúcar. Po-
rém, é preciso esclarecer que não precisamos utilizar os valores apresentados. Na verdade, basta testar o
aumento de uma grandeza em relação ao aumento ou à diminuição da outra.
Inclusive, podemos indicar o comportamento das grandezas por meio de setas nas colunas da tabela, a fim
de facilitar os cálculos. Assim, fixamos a seta cuja grandeza possui a incógnita para cima, indicando um au-
mento:
Logo em seguida, verificamos como se comporta a outra grandeza em relação ao aumento da grandeza da
incógnita. Para isso, no caso da presente questão, precisamos nos perguntar:
“Se aumenta a quantidade de açúcar, aumenta ou diminui a quantidade de bolachas produzidas?”
Ora, se aumentarmos a quantidade de açúcar, então mais bolachas serão produzidas. Logo, as grandezas
são diretamente proporcionais!
Graficamente, temos:
50400
𝑥= = 1440 gramas = 𝟏, 𝟒𝟒 𝐪𝐮𝐢𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐚𝐬
35
Gabarito: C.
(FCC/SABESP/2014) A propaganda de uma tinta para paredes anuncia que uma lata de 3,6 litros de tinta
é suficiente para fazer a pintura de uma superfície de 120m2. Supondo verdadeira a informação da
propaganda, a quantidade de tinta, em litros, para fazer a pintura de 50m2 é igual a
a) 1,2.
b) 2,4.
c) 1,5.
d) 0,5.
e) 0,36.
Comentários:
Mais uma questão de regra de três simples. Já sabemos que deveremos seguir os 4 (quatro) passos do
caminho de resolução! Vamos lá.
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua grandeza:
2º) Verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se deseja obter, identificando se são direta
ou inversamente proporcionais.
Para isso, no caso da presente questão, precisamos nos perguntar:
“Se aumenta a quantidade de tinta, aumenta ou diminui a área da parede pintada?”
Ora, se aumentarmos a quantidade de tinta, então uma área maior da parede será pintada. Logo, as gran-
dezas são diretamente proporcionais!
Graficamente, temos:
3º) Inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à grandeza da variável, caso seja neces-
sário.
Bem, como as grandezas são diretamente proporcionais, não há valores para inverter.
4º) Montar a proporção, com somente a razão da incógnita à esquerda da igualdade, e resolver a equação,
multiplicando nas diagonais os valores das grandezas envolvidas:
3,6 120
=
𝑥 50
77
120 . 𝑥 = 3,6 . 50
180
𝑥= = 𝟏, 𝟓 𝐥𝐢𝐭𝐫𝐨𝐬
120
Gabarito: Letra C.
(FCC/TRT 16ª Região/2014) André pensou que realizaria uma tarefa em 20 dias, porém, levou 20 dias a
mais porque trabalhou 3 horas a menos por dia. Se a produtividade de André por hora se manteve
sempre a mesma durante a realização da tarefa, o número de horas diárias que André dedicou à
realização da tarefa foi igual a
a) 6.
b) 5.
c) 5,5.
d) 3,5.
e) 3.
Comentários:
É bem possível que você já tenha notado que a atividade principal na resolução de uma questão de regra de
três é a montagem da tabela , pois é necessário relacionar corretamente as grandezas envolvidas aos
seus respectivos valores e determinar acertadamente a variável faltante. Se você não tiver sucesso nessa
etapa, certamente errará a questão!
Sendo assim, o enunciado do presente exercício exige bastante atenção na montagem da tabela. Muita
atenção! Vamos lá.
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua grandeza:
2º) Verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se deseja obter, identificando se são direta
ou inversamente proporcionais.
Para isso, no caso da presente questão, precisamos nos perguntar:
“Se aumenta o tempo gasto na realização da tarefa, aumenta ou diminui a quantidade de dias para realiza-
la?”
Ora, se aumentarmos o tempo diário gasto na realização da tarefa, então precisaremos de menos dias para
conclui-la. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais! Ou seja, para André levar mais 20 dias para
concluir a tarefa, ele teve que trabalhar menos tempo por dia! Graficamente, temos:
78
3º) Inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à grandeza da variável, caso seja neces-
sário:
De fato, as setas precisam estar no mesmo sentido! Para isso, basta inverter os valores da grandeza “quan-
tidade de dias”:
79
2º) Verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se deseja obter, identificando se são direta
ou inversamente proporcionais:
Se aumentarmos o número de horas trabalhadas, aumenta a área a ser varrida.
Se aumentarmos o número de horas trabalhadas, diminui o número de varredores.
Esquematizando, temos:
3º) Inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à grandeza da variável, caso seja neces-
sário:
De fato, as setas precisam estar no mesmo sentido! Para isso, basta inverter os valores da grandeza “quan-
tidade de trabalhadores”:
4º) Montar a proporção, com somente a razão da incógnita à esquerda da igualdade, e resolver a equação,
multiplicando nas diagonais os valores das grandezas envolvidas:
5 15 6000
= .
𝑥 18 7500
7500 . 18 . 5
𝑥= = 𝟕, 𝟓 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬
6000 . 15
Assim, levará 7 horas e 30 minutos para a conclusão do serviço.
Gabarito: Letra D.
(FCC/AL-PB/2013) Oito pessoas conseguem produzir 32 brinquedos em 6 dias de trabalho.
Considerando a mesma produtividade, o número de pessoas necessárias para que se possam produzir
48 brinquedos em 3 dias é
a) 12.
b) 16.
c) 24.
d) 18.
80
e) 4.
Comentários:
Mais uma questão de regra de três composta. Já sabemos que deveremos seguir os 4 (quatro) passos do
caminho de resolução! Vamos lá.
Sabemos que o primeiro passo consiste em Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e
relacionando cada valor a sua grandeza. Logo:
Agora, vamos verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se deseja obter, identificando
se são direta ou inversamente proporcionais:
Se aumentarmos o número de pessoas trabalhando, aumenta o número de brinquedos.
Se aumentarmos o número de pessoas trabalhando, diminui o número de dias necessários para concluir o
serviço.
Esquematizando, temos:
Em seguida, devemos inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à grandeza da variá-
vel:
81
b) 8 dias
c) 7 dias
d) 6 dias
e) 5 dias
Comentários:
O primeiro passo consiste em Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando
cada valor a sua grandeza. Logo:
Agora, vamos verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se deseja obter, identificando
se são direta ou inversamente proporcionais:
Se aumentarmos o número de dias para realizar o trabalho, aumenta a quantidade de processos produzida.
Se aumentarmos o número de dias para realizar o trabalho, diminui a necessidade de um número maior de
peritos.
Esquematizando, temos:
Em seguida, devemos inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à grandeza da variá-
vel:
82
Após aprendermos a forma padrão para resolvermos as questões de regra de três composta, conheceremos
um procedimento prático, o qual facilitará muito a nossa vida. Será mais fácil percebermos a forma de
aplicá-lo por meio da resolução de algumas questões.
(FGV/AL-RO/2018) Três analistas analisam doze processos em dois dias. Com a mesma eficiência, em
quantos dias dois analistas analisarão vinte e quatro processos?
a) Doze.
b) Dez.
c) Oito.
d) Seis.
e) Quatro.
Comentários:
Repare que no enunciado estão presentes as seguintes grandezas: 1) quantidade de analistas, 2) número de
processos analisados e 3) quantidade de dias de trabalho.
Agora, é fundamental perceber que em toda questão de regra de três composta teremos a presença de
grandezas que fazem parte do processo ou das atividades da operação descrita na questão e da grandeza
correspondente ao produto final ou ao resultado da mesma operação.
No nosso caso, o produto final da operação diz respeito aos processos analisados; as demais grandezas
(analistas e dias de trabalho) fazem parte do processo.
Assim, o primeiro passo para aplicação deste procedimento prático é identificar na questão quais são as
grandezas relacionadas ao processo e qual é a grandeza referente ao produto da operação.
Em seguida, o segundo passo consiste em fazer o desenho da resolução da questão de regra de três com-
posta, que possui a forma de X. Nele, inserimos à esquerda os valores das grandezas do processo, enquanto
na direita ficam os valores da grandeza do produto da operação. Desse modo, ficamos com:
Processo Produto
Analistas Dias Processos
3 2 12
2 X 24
Veja que fizemos as linhas do X em formatos diferentes, em que uma delas é tracejada. Isto foi proposital.
Agora entra em cena o terceiro passo do nosso procedimento prático. Iremos multiplicar entre si todos os
valores da linha tracejada e igualar com a multiplicação dos valores contidos na outra linha:
3 . 2 . 24 = 2 . X . 12
X = (3 . 24) / 12 = 6
Portanto, serão necessários 6 dias para a conclusão da tarefa.
Gabarito: Letra D.
Note que a praticidade deste macete reside no fato de que não precisamos nos preocupar em verificar se as
grandezas são direta ou inversamente proporcionais em relação à grandeza de referência, como fazemos
83
no método padrão. E isso representa um ganho enorme de tempo na hora de resolvermos questões de regra
de três composta, não é mesmo?
Mas vamos solucionar mais questões aplicando este macete. Precisamos ganhar agilidade, confiança e prá-
tica na sua utilização!
(VUNESP/Câmara de Nova Odessa/2018) Em uma indústria, 15 máquinas iguais, de mesmo
rendimento, produzem 22500 unidades de certa peça em 5 horas de funcionamento simultâneo e
ininterrupto. Desse modo, para produzir 12000 unidades dessa mesma peça em 10 horas de
funcionamento simultâneo e ininterrupto, será necessário utilizar uma quantidade, das mesmas
máquinas, igual a
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
Comentários:
Primeiramente, devemos identificar a grandeza que representa o produto final da operação descrita no
enunciado. Nesse caso, ela está relacionada ao que a indústria produz, que são peças. As demais grandezas
fazem parte do processo para a fabricação dessas peças, ou seja, as máquinas e as suas horas de funciona-
mento.
Assim, podemos montar nosso esquema, sabendo que nosso objetivo consiste em obter a quantidade de
máquinas (nossa incógnita):
Processo Produto
Máquinas Horas Peças
15 2 22500
X 10 12000
Por fim, fazemos a multiplicação dos valores contidos na linha tracejada, igualando-os ao produto entre os
valores presentes na outra linha:
X . 10 . 22500 = 15 . 2 . 12000
X = (15 . 2 . 12) / (10 . 225) = 4
Assim, serão necessárias 4 máquinas para a realização da tarefa.
Gabarito: Letra A.
(FEPESE/CELESC/2018) Em uma linha de montagem, 32 pessoas produzem 120 unidades do produto
“A” a cada 6 dias. Logo, quantas pessoas são necessárias para produzir 320 unidades do produto “A” a
cada 2 dias?
a) Menos do que 260.
b) Mais do que 260 e menos que 290.
84
Processo Produto
Pessoas Dias Produção
32 6 120
X 2 320
Agora multiplicamos os valores contidos na linha tracejada, igualando-os ao produto entre os valores pre-
sentes na outra linha:
X . 2 . 120 = 32 . 6 . 320
X = (32 . 6 . 320) / (2 . 120) = 256
Assim, deverão ser destinadas 256 pessoas para a nova tarefa, que corresponde a uma quantidade menor
que 260.
Gabarito: Letra A.
10. PORCENTAGEM
Inicialmente, precisamos compreender a ideia da porcentagem. Entender bem isso vai ser fundamental no
seu progresso deste assunto. A boa notícia é que se trata de um conceito simples e prático. Bem, imagine
uma notícia num jornal televisivo informando que o custo de vida no Brasil aumentou 16%. Ora, isso indica
que a cada R$ 100,00 houve um aumento de R$ 16,00. Da mesma forma, a cada R$ 200,00 existe um acrés-
cimo de R$ 32,00. E assim por diante. Desse modo, temos que a expressão 16% significa 16 a cada 100.
Da mesma forma, suponha, agora, que uma loja está oferecendo um desconto de 12% em todas as suas
mercadorias. Isso significa que a cada R$ 100,00 em compras o cliente terá um desconto de R$ 12,00.
85
Forma
Fracionária
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
Forma Forma
Percentual Unitária
(20%) (0,20)
Porcentagem
Imagine uma prova com 40 questões, sendo que cada uma delas vale 1 ponto. Se fiz 18 pontos, qual foi o
meu desempenho em termos percentuais?
Vamos aplicar na resolução deste problema um artifício interessante, simples e bem objetivo para obtermos
um percentual. Consiste em dividir a parte pelo todo e multiplicar o resultado pelo total:
𝐏𝐚𝐫𝐭𝐞
× 𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝐏𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐮𝐚𝐥
𝐓𝐨𝐝𝐨
Aplicando isso ao caso que estamos tratando, o “todo” é a quantidade máxima de pontos que alguém pode
conseguir na prova. Por sua vez, a “parte” é o quanto acertei do “todo”. E o “total” é 100%, já que o enunci-
ado não impôs limite quanto ao número de questões que estamos lidando. Logo:
18 18
× 100% = × 1 = 0,45 = 𝟒𝟓%
40 40
Dado o percentual, para achar a quantidade referente à parte, basta multiplicar o percentual pelo todo.
Embora não seja a única, essa comparação de parte e todo é a utilização mais frequente da porcentagem.
Inicialmente, perceba que 45% é igual a 45/100. Em seguida, note que a expressão “DE” corresponde a uma
multiplicação. Assim, temos:
45
𝟒𝟓% 𝐝𝐞 𝐑$ 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 = × 5.000 = 𝐑$ 𝟐. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎
100
Dados dois números, A e B, dizemos que A é igual a p% de B quando o valor A é igual a p/100 de B.
𝒑
A é p% de B ↔ A = 𝟏𝟎𝟎 . 𝑩
Quantia Porcentagem
R$ 5.000,00 100%
x 45%
225.000
100X = 5.000 × 45 ⟹ 𝐗 = = 𝐑$ 𝟐. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎
100
Adicionalmente, precisamos saber efetuar o cálculo de um número dada uma porcentagem. Neste sen-
tido, imagine uma prova em que 9 alunos reprovaram, os quais representam 36% do total de alunos. Esta
turma é composta por quantos alunos?
Um caminho de resolução consiste no uso de uma regra de três simples, em que 9 corresponde a 36% e o
total de alunos (T) refere-se a 100%:
Alunos Porcentagem
9 36%
T 100%
900
36𝑇 = 100 × 9 ⟹ 𝑻 = = 𝟐𝟓
36
87
Outra maneira de resolvermos o problema é por meio do conceito de porcentagem. De acordo com as in-
formações apresentadas, temos que 36% do total de alunos corresponde a 9 alunos. Ou seja:
36
×𝑇 =9
100
900
36𝑇 = 9 × 100 ⟹ 𝑻 = = 𝟐𝟓
36
Chegamos ao mesmo resultado, mas a aplicação dos nossos conhecimentos de porcentagem mostra-se
bem mais prática quando comparada ao artifício da regra de três.
88
89
e) 33,33%.
Comentários:
Vamos supor que são 100 alunos.
56% estudam humanas.
56% de 100 = 56
44% cursam exatas
44% de 100 = 44.
Destes 44, temos:
5 estudam matemática (=5% do total)
6 estudam física (=6% do total).
O número de alunos que estudam matemática ou física é igual a 11.
Assim, de cada 44 alunos de exatas, 11 estudam matemática ou física.
O percentual procurado, levando em conta a comparação da parte pelo todo, é de:
11
= 𝟐𝟓%
44
Gabarito: Letra C.
(CESPE/IBAMA/2013) Uma extensa região de cerrado é monitorada por 20 fiscais do IBAMA para evitar
a ação de carvoeiros ilegais. Dessa região, a vegetação de 87km2 foi completamente arrancada e
transformada ilegalmente em carvão vegetal. Os 20 fiscais, trabalhando 8 horas por dia, conseguem
monitorar toda a região em 7 dias.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os 20 fiscais são igualmente
eficientes.
Se a parte devastada por carvoeiros ilegais corresponder a 15% da área da referida região, então a região
tem mais de 575km2 de área.
Comentários:
Seja x a área total da região de cerrado.
O enunciado afirma que a parte devastada por carvoeiros ilegais, 87km2, corresponde a 15% de x. Ou seja:
15
. 𝑥 = 87
100
87 . 100
𝑥= = 𝟓𝟖𝟎
15
Assim, a área total da região de cerrado é de 580km2, o que é superior a 575km2.
Gabarito: CERTO.
(FCC/FUNAPE/2017) Uma motocicleta foi vendida por R$ 18.500,00, com lucro de 8% sobre a venda. O
custo desta motocicleta foi de
a) R$ 16.480,00.
90
b) R$ 17.340,00.
c) R$ 18.010,00.
d) R$ 16.760,00.
e) R$ 17.020,00.
Comentários:
Note que o lucro ocorre sobre a venda, então o percentual incide sobre a venda:
𝐕 = 𝐂 + 𝐢% × 𝐕
18.500 = C + 0,08 × 18.500 ⟹ 𝐂 = 18.500 − 1.480 = 𝐑$ 𝟏𝟕. 𝟎𝟐𝟎, 𝟎𝟎
Repare que para saber o custo da motocicleta reduzimos do valor de venda a porcentagem referente ao lu-
cro.
Gabarito: E.
(CESPE/Polícia Rodoviária Federal/2013)
91
Agora, basta calcularmos qual a taxa de aumento suficiente para fazer o preço na loja K sair do valor inicial
(40) para o mesmo valor da loja J (60):
Gabarito: Letra B.
(CESPE/TCE-PB/2018) Em novembro de 2016, João comprou 10 kg de uma mercadoria e, um ano
depois, ele comprou 11 kg dessa mesma mercadoria, mas pagou 21% a mais que em 2016. Se a inflação
92
do período tiver sido a única responsável pelo aumento de preço da mercadoria, então a inflação desse
período foi de
A) 7,9%.
B) 10,0%.
C) 11,0%.
D) 12,1%.
E) 18,9%.
Comentários:
Vamos chamar de Q a quantia gasta por João em novembro de 2016.
De acordo com as informações do enunciado, o preço da mercadoria em 2016 fica:
P2016 = quantia gasta/quilos comprados = Q/10
Já em 2017, o preço da mercadoria teve um aumento devido à inflação no período, passando para:
P2017 = quantia gasta/quilos comprados = 1,21Q/11 = 0,11Q
Como 0,11 = 1,1/10, temos:
P2017 =1,1Q/10 = 1,1 × P2016 = (1 + 10%) × P2016
Assim, houve aumento de 10% no preço da mercadoria.
Gabarito: Letra D.
93
QUESTÕES COMENTADAS
CESPE
RESOLUÇÃO:
A questão firma que o correntista pode escolher entre 6 cadernetas de poupança e 3 fundos de
investimento. Logo, o total de opções é 9. Ora, esse valor é realmente menor que 12, o que torna o item
certo.
Gabarito: CERTO.
2. (CESPE/BACEN/2013) A numeração das notas de papel-moeda de determinado país é constituída por duas
das 26 letras do alfabeto da língua portuguesa, com ou sem repetição, seguidas de um numeral com 9
algarismos arábicos, de 0 a 9, com ou sem repetição. Julgue o próximo item, relativo a esse sistema de
numeração.
Considere que, até o ano 2000, as notas de papel-moeda desse país fossem retangulares e medissem 14
cm × 6,5 cm e que, a partir de 2001, essas notas tivessem passado a medir 12,8 cm × 6,5 cm, mas tivessem
mantido a forma retangular. Nesse caso, com o papel-moeda gasto para se fabricar 10 notas de acordo
com as medidas adotadas antes de 2000 é possível fabricar 11 notas conforme as medidas determinadas
após 2001.
RESOLUÇÃO:
Até o ano 2000, a área ocupada por uma dessas notas de papel-moeda era de:
14 𝑥 6,5 = 91
Assim, 10 notas ocupariam uma área de 910 cm 2. No entanto, com as mudanças nas dimensões das
notas, temos:
12,8 𝑥 6,5 = 83,20
O resultado disso é que a área ocupada por 11 notas será de:
11 𝑥 83,20 = 915,20
Certamente esse valor é maior que 910. Qual é a conclusão a que chegamos?
Ora, com o papel que antes era usado para fabricar 10 notas (área de 910 cm 2) não é possível fazer 11
notas do modelo novo, já que seria preciso uma área de 915 cm2.
94
Gabarito: ERRADO.
Na terceira etapa do debate serão feitas mais perguntas que na primeira etapa.
RESOLUÇÃO:
1ª etapa
São duas perguntas para cada um dos 6 candidatos. Logo, o total de perguntas será de:
2 𝑥 6 = 12
2ª etapa
Nessa etapa cada candidato faz uma pergunta a cada um dos demais. Logo, o total de perguntas será
de:
6 𝑥 5 = 30
3ª etapa
Por fim, o mediador selecionará aleatoriamente dois candidatos e o primeiro formulará uma pergunta
para o segundo responder. Logo, apenas 1 pergunta está sendo feita.
Portanto, o item está errado, pois na terceira etapa do debate não serão feitas mais perguntas que na
primeira etapa.
Gabarito: ERRADO.
RESOLUÇÃO:
95
Acabamos de ver no item anterior que na primeira etapa do debate temos duas perguntas para cada
um dos 6 candidatos. Logo, o total de perguntas será de:
2 𝑥 6 = 𝟏𝟐
Gabarito: ERRADO.
RESOLUÇÃO:
Já sabemos que na segunda etapa do debate temos cada candidato fazendo uma pergunta a cada um
dos demais. Logo, o total de perguntas será de:
6 𝑥 5 = 𝟑𝟎
Gabarito: CERTO.
6. (CESPE/TC-DF/2014) Em uma empresa, as férias de cada um dos 50 empregados podem ser marcadas na
forma de trinta dias ininterruptos, ou os trinta dias podem ser fracionados em dois períodos de quinze dias
ininterruptos ou, ainda, em três períodos de dez dias ininterruptos. Em 2013, depois de marcadas as férias
de todos os 50 empregados, constatou-se que 23, 20 e 28 deles marcaram os trinta dias de férias ou parte
deles para os meses de janeiro, fevereiro e junho, respectivamente. Constatou-se, também, que, nesse ano,
nenhum empregado marcou férias para algum mês diferente dos mencionados. Tendo como referência
essas informações, julgue o item que se segue.
Suponha que, em 2013, mais de 5/6 dos empregados que não marcaram férias para fevereiro eram do
sexo feminino e mais de 2/3 dos que não marcaram férias para janeiro eram do sexo masculino. Nessa
situação, é correto afirmar que, em 2013, havia na empresa no máximo 12 mulheres a mais que homens.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que 50 – 20 = 30 pessoas não marcaram férias para fevereiro. Por sua vez, o enunciado afirma
que 5/6 delas são mulheres. Logo:
5
. 30 = 25
6
Como é mais de 5/6, então há pelo menos 26 mulheres.
Além disso, sabemos que 50 – 23 = 27 pessoas não marcaram férias para janeiro. Por sua vez, o enunci-
ado afirma que 2/3 delas são homens. Logo:
96
2
. 27 = 18
3
Como é mais de 2/3, então há pelo menos 19 homens.
Assim, até aqui, já temos garantidas 45 pessoas, faltando 5 funcionários para completar os 50.
Vamos tentar maximizar o número de mulheres. Para isso, basta fazer com que estes 5 faltantes sejam
todos do sexo feminino. Daí:
✓ Mulheres: 26 + 5 = 31
✓ Homens: 19
✓ Diferença: 31 – 19 = 12
Dessa maneira, a maior diferença possível é igual a 12. Ou seja, há no máximo 12 mulheres a mais
que homens.
Gabarito: CERTO.
Considere que, separando-se o grupo de passageiros selecionados que visitou o país A, o grupo que vi-
sitou o país B e o grupo que visitou o país C, seja verificado, em cada um desses grupos, que pelo menos
a metade dos seus componentes era do sexo masculino. Nessa situação, conclui-se que o grupo de 30
passageiros selecionados tem, no máximo, 14 mulheres.
RESOLUÇÃO:
O grupo dos que foram ao país C é formado por 5 pessoas. Considerando que pelo menos metade é com-
posto de homens, temos no mínimo 3 homens e no máximo 2 mulheres.
Já no grupo das 25 pessoas que foram a A ou B, pelo menos metade é composto de homens. Então,
temos no mínimo 13 homens e no máximo 12 mulheres.
Portanto, no máximo teremos 2 + 12 = 14 mulheres.
Gabarito: CERTO.
8. (CESPE/SEFAZ-RS/2019) Um grupo de 256 auditores fiscais, entre eles Antônio, saiu de determinado órgão
para realizar trabalhos individuais em campo. Após cumprirem suas obrigações, todos os auditores fiscais
retornaram ao órgão, em momentos distintos. A quantidade de auditores que chegaram antes de Antônio
foi igual a um quarto da quantidade de auditores que chegaram depois dele. Nessa situação hipotética,
Antônio foi o
A) 46.º auditor a retornar ao órgão.
B) 50.º auditor a retornar ao órgão.
97
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x o número de auditores que chegaram antes de Antônio.
Então, temos que 255 – x chegaram depois dele.
O enunciado informa que a quantidade de auditores que chegaram antes de Antônio foi igual a um
quarto da quantidade de auditores que chegaram depois dele. Logo:
1
𝐴𝑢𝑑𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = . 𝐴𝑢𝑑𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠
4
1
𝑥 = . (255 − 𝑥)
4
255 𝑥
𝑥= −
4 4
𝑥 255
𝑥+ =
4 4
5𝑥 255
=
4 4
255
𝒙= = 𝟓𝟏
5
Assim, concluímos que 51 pessoas chegaram antes de Antônio, de modo que ele foi o 52º auditor a che-
gar.
Gabarito: D.
9. (CESPE/MDIC/2014) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram
abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este
ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com
base nessas informações, julgue o próximo item.
O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que
encerraram as atividades este ano.
RESOLUÇÃO:
Nessa questão faremos uso de uma tabela que muito nos auxiliará.
Seja x a quantidade de empresas que encerraram as atividades em anos anteriores. Daí:
Iniciaram as ativida- Iniciaram as atividades
Total
des neste ano em anos anteriores
Encerraram as ativida-
x
des neste ano
98
Não encerraram as
atividades neste ano
Total
A questão afirma que x é 1/9 do total de empresas que encerraram as atividades neste ano. Logo:
Iniciaram as ativi- Iniciaram as atividades em
Total
dades neste ano anos anteriores
Encerraram as ati-
x 9x
vidades neste ano
Não encerraram as
atividades neste
ano
Total
Fazemos uma subtração, achamos que 9x – x = 8x, que indica a quantidade de empresas que iniciaram
as atividades neste ano e encerraram as atividades também neste ano.
Iniciaram as ativida- Iniciaram as atividades em To-
des neste ano anos anteriores tal
Encerraram as ativi-
8x x 9x
dades neste ano
Não encerraram as
atividades neste ano
Total
O enunciado também deixa claro que a quantidade x corresponde a 1/10 das empresas abertas em anos
anteriores. Logo:
Iniciaram as atividades Iniciaram as atividades em To-
neste ano anos anteriores tal
Encerraram as ativi-
8x x 9x
dades neste ano
Não encerraram as
atividades neste ano
Total 10x
Por diferença, sabemos que 10x – x = 9x, indicando a quantidade de empresas que iniciaram as ativida-
des em anos anteriores e não encerraram ainda:
Iniciaram as ativida- Iniciaram as atividades em To-
des neste ano anos anteriores tal
99
Encerraram as ativi-
8x x 9x
dades neste ano
Não encerraram as
9x
atividades neste ano
Total 10x
Finalizando, a questão menciona que 200 empresas não encerraram as atividades neste ano e foram
abertas também neste ano. Daí:
Iniciaram as ativida- Iniciaram as atividades em
Total
des neste ano anos anteriores
Encerraram as ativi-
8x x 9x
dades neste ano
Não encerraram as 200+
200 9x
atividades neste ano 9x
Total 200 + 8x 10x 2.000
Preenchemos o a célula que liga os dois totais com 2.000 pois esse é o total das empresas. Somando a
última linha, por exemplo, temos:
(200 + 8𝑥) + (10𝑥) = 2.000
18𝑥 = 2.000 − 200
1.800
𝒙= = 𝟏𝟎𝟎
18
Substituindo na tabela acima o valor de x que acabamos de encontrar, obteremos:
Iniciaram as ativida- Iniciaram as atividades em
Total
des neste ano anos anteriores
Encerraram as ativi-
800 100 900
dades neste ano
Não encerraram as
200 900 1.100
atividades neste ano
Total 1.000 1.000 2.000
Portanto, o número de empresas que foram abertas em anos anteriores (1.000) é superior ao número de
empresas que encerraram as atividades este ano (900), o que torna o item certo.
Gabarito: CERTO.
10. (CESPE/MDIC/2014) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram
abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este
ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com
base nessas informações, julgue o próximo item.
100
O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores
é superior a 110.
RESOLUÇÃO:
A tabela que obtemos no item anterior indica que:
Iniciaram as atividades Iniciaram as atividades em
Total
neste ano anos anteriores
Encerraram as ativi-
800 100 900
dades neste ano
Não encerraram as
200 900 1.100
atividades neste ano
Total 1.000 1.000 2.000
Daí, o número de empresas que encerraram as atividades neste ano e que foram abertas em anos
anteriores é igual a 100. Ora, este valor é inferior a 110.
Gabarito: ERRADO.
11. (CESPE/MDIC/2014) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram
abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este
ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com
base nessas informações, julgue o próximo item.
RESOLUÇÃO:
Mais uma vez vamos recorrer à tabela final a que chegamos:
Iniciaram as ativida- Iniciaram as atividades
Total
des neste ano em anos anteriores
Encerraram as ativi-
800 100 900
dades neste ano
Não encerraram as
200 900 1.100
atividades neste ano
Total 1.000 1.000 2.000
Percebemos que 1.000 das 2.000 (ou seja, metade) empresas foram abertas em anos anteriores.
Gabarito: CERTO.
esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser
composta por um coordenador, um relator e um técnico, julgue o próximo item.
Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e que
cada equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar
que a capacidade operacional do órgão está limitada ao acompanhamento simultâneo de cinco
programas de governo.
RESOLUÇÃO:
Meus amigos, o órgão dispõe de 15 servidores para a montagem das equipes de análise e que cada
equipe deverá ser composta por um coordenador, um relator e um técnico. Ou seja, são três membros.
Considerando que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise,
conseguiremos montar apenas 5 equipes.
Além disso, a questão afirma que cada equipe não pode analisar mais que um programa de governo
ao mesmo tempo.
Assim, como o número máximo de equipes de trabalho corresponde a cinco, a capacidade operacional
do órgão é de acompanhar, simultaneamente, 5 processo por vez.
Gabarito: CERTO.
13. (CESPE/TRT 10ª Região/2013) Em um jogo para dois jogadores constituído por uma pilha de 1.000 palitos,
cada jogador retira da pilha, alternadamente e sem reposição, uma quantidade de palitos, a qual pode
consistir em 1 palito, 2 palitos, 3 palitos, 4 palitos ou 5 palitos. Nesse jogo, ganha o jogador que retirar o
último palito da pilha. Acerca do jogo descrito, julgue o item que se segue.
Do início ao término do jogo, é possível que algum dos jogadores faça menos de 100 retiradas de palitos.
RESOLUÇÃO:
O jogo é direcionado para apenas dois jogadores. Vamos supor que, em cada rodada, ambos retirem a
quantidade máxima de palitos (que é cinco), teremos 10 palitos retirados por rodada. Logo, a quantidade
de rodadas seria:
1000
= 100
10
O que podemos concluir disso? Bem, se em alguma das rodadas eles retirarem menos que 5 palitos,
então será preciso mais que 100 retiradas de pelo menos um dos jogadores. Assim, ao contrário do que
afirma a questão, não é possível que algum dos jogadores faça menos de 100 retiradas de palitos.
Gabarito: ERRADO.
14. (CESPE/TRE-ES/2011)
102
A quantidade de candidatos a deputado federal, estadual ou distrital é superior a 100 vezes a quantidade
de candidatos ao Senado.
RESOLUÇÃO:
De acordo com a tabela apresentada, temos:
▪ Quantidade de candidatos a deputado federal, estadual ou distrital:
15. (CESPE/INSS/2008) O instituto de previdência privada IPP paga, no início de cada mês, a cada um de seus
segurados, um auxílio - que pode ser auxílio-doença ou auxílio-maternidade - no valor de R$ 500,00.
Também no início de cada mês, o IPP concede 800 novos auxílios-doença e uma quantidade constante x de
auxílios-maternidade. Para o pagamento desses auxílios, o IPP recorre a uma instituição financeira,
tomando empréstimos à taxa de juros simples de 2,5% ao mês.
Com referência aos meses de janeiro, fevereiro e março do último ano, o IPP pagou R$ 90.000,00 de
juros à instituição financeira por conta dos empréstimos para pagamento desses novos auxílios.
103
Com referência aos 3 meses considerados, a soma dos novos auxílios-doença pagos pelo IPP foi inferior
a R$ 2.000.000,00.
RESOLUÇÃO:
O Instituto concede 800 novos auxílios-doença em cada mês. Logo, teremos:
▪ Janeiro: 800 novos auxílios;
▪ Fevereiro: mais 800 novos auxílios, totalizando 1.600;
▪ Março: mais 800 novos auxílios, totalizando 2.400;
Bem, cada auxílio é de R$ 500,00. O total pago nos três meses fica:
▪ Janeiro: 800 x 500 = 400.000
▪ Fevereiro: 1.600 x 500 = 800.000
▪ Março: 2.400 x 500 = 1.200.000
Totalizando:
Assim, a soma dos novos auxílios-doença pagos pelo Instituto não foi inferior a R$ 2.000.000,00.
Gabarito: ERRADO.
16. (CESPE/BB/2007) Fagundes saiu de casa com determinada quantia em reais e foi a quatro instituições
financeiras diferentes procurar opções para investimentos. Em cada uma das instituições, ele investiu em
poupança metade do que possuía e ainda fez um CDB no valor de R$ 2.000,00. Ao final, ele ainda possuía
R$ 6.000,00.
Nessa situação, é correto afirmar que Fagundes saiu de casa com mais de R$ 160.000,00.
RESOLUÇÃO:
Vamos imaginar que Fagundes saiu de casa com mais de R$ 160.000,00, conforme afirma a questão.
Nesse caso, os investimentos feitos por Fagundes estão detalhados na tabela a seguir:
104
Ou seja, se realmente ele tivesse saído com os R$ 160.000,00, conforme a nossa hipótese, ele possuiria
ao final das aplicações o valor de R$ 6.250,00. Porém, o enunciado diz que o valor que sobrou para
Fagundes foi de apenas R$ 6.000,00. O que isso indica? Que o nosso investidor saiu de casa com menos
de R$ 160.000,00.
Gabarito: ERRADO.
17. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Maria fez compras em três lojas. Em cada uma das lojas em que ela entrou, a com-
pra feita foi paga, sem haver troco, com a quarta parte da quantia que ela tinha na bolsa ao entrar na loja.
Ao sair da terceira loja, Maria tinha R$ 270 na bolsa. Nesse caso, é correto afirmar que, ao entrar na pri-
meira loja, Maria tinha na bolsa
a) R$ 1.080.
b) R$ 2.430.
c) R$ 7.290.
d) R$ 640.
e) R$ 810.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x a quantia inicial que Maria possuía. Se Maria paga com 1/4 do que ela tem na bolsa,
sobra após sair da loja o valor de 3/4 do que ela tinha antes de entrar na loja.
Em seguida, ao sair da segunda loja, ela fica com 3/4 da quantia restante anterior:
3/4 de 3/4 de x
Finalmente, ao sair da terceira loja, ela fica com 3/4 da quantia restante anterior:
3/4 de 3/4 de 3/4 de x
105
18. (CESPE/SEGER-ES/AE-ES/2013) Com a finalidade de conquistar novos clientes, uma empresa de turismo
oferece gratuitamente um pacote de serviços que dá direito a até sete dias de estadia em hotéis de sua
rede conveniada, sendo necessário pagar somente uma taxa fixa — mas que pode variar de um hotel para
outro — de uso por dia e por pessoa. Caso o cliente deseje, poderá adquirir, por R$ 3.600,00, um título de
sócio que lhe dará direito a sessenta diárias por ano em qualquer hotel da rede.
Se um cliente, ao usufruir do pacote de serviços, pagou, para ele e para sua esposa, a quantia de R$ 300,00
de taxa de uso, por três dias de estadia em um hotel da rede, então, para passar os quatro dias restantes
com a esposa e com dois filhos no mesmo hotel, o cliente pagará
a) R$ 800,00.
b) R$ 900,00.
c) R$ 1.200,00.
d) R$ 400,00.
e) R$ 600,00.
RESOLUÇÃO:
A questão afirma que foram R$ 300,00 de taxa de uso, por três dias de estadia em um hotel da rede. Isso
corresponde a R$ 100,00 por dia. Além disso, em cada dia, esses R$ 100,00 custearam as despesas fixas
de duas pessoas: marido e mulher. Daí:
100/2 = 50
São R$ 50,00 por pessoa em cada dia.
Nos quatro dias restantes, serão quatro pessoas (casal mais dois filhos). Logo:
50 . 4 = 200
O gasto passará a ser de R$ 200,00 por dia. Levando em conta que são 4 dias, o gasto total do período
restante será de:
200 . 4 = 𝟖𝟎𝟎
Gabarito: A.
19. (CESPE/TRE-ES/2011) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção
eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar,
então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais.
RESOLUÇÃO:
Seja n o número de seções eleitorais. O enunciado afirma que cada seção eleitoral possui apenas uma
urna. Logo, n também corresponde ao número de urnas.
Visto que cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então os 2.500 eleitores, se houvesse apenas uma
seção eleitoral, levariam:
2.500 𝑥 1,5 = 3.650 𝑚𝑖𝑛
106
Isso corresponde a:
3.650 𝑚𝑖𝑛
= 62,5ℎ
60𝑚𝑖𝑛
Como a questão nos diz que a votação dura 10 horas, então são necessárias no mínimo:
62,5ℎ
𝑛= = 𝟔, 𝟐𝟓 𝒖𝒓𝒏𝒂𝒔
10ℎ
Devemos elevar esse número para o próximo inteiro (o número de urnas não pode ser fracionário), que
é 7. Assim, são necessárias no mínimo 7 seções eleitorais.
Gabarito: CERTO.
RESOLUÇÃO:
Ponteiro que atrasa 2 min ao dia:
107
Como não há 1800 no gabarito, o seu múltiplo seria 3600, que equivaleria há um segundo encontro dos
relógios.
Gabarito: E.
21. (CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se
segue. Situação hipotética: Sandra selecionou questões de concursos públicos passados para resol-
ver e, assim, se preparar para o concurso em que pretende concorrer. Ela selecionou 98 questões de
matemática, 70 questões de português, 56 questões de informática e 42 questões de direito, que
deverão ser resolvidas em determinada quantidade de dias. Ela estabeleceu as seguintes regras de
estudo:
Assertiva: Nessa situação, de todas as disciplinas, Sandra deverá resolver 19 questões por dia durante
14 dias.
RESOLUÇÃO:
A questão versa sobre MMC.
Diante do enunciado, vamos calcular o MMC.
A partir daqui já podemos identificar que em dois dias podemos concluir a questão obedecendo o nú-
mero máximo de questões. Assim, observe que:
1º Dia
49 de Matemática
35 de Português
28 de Informática
21 de Direito
2º Dia
49 de Matemática
35 de Português
28 de Informática
21 de Direito
108
Portanto, concluímos que para atender as regras do número máximo de questões, temos que Sandra
deverá resolver 133 questões por dia durante 2 dias.
Gabarito: ERRADO.
22. (CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se
segue. Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e menor
que 700. Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo
com 3 revistas. O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em con-
juntos de 20 revistas: sempre sobrava um conjunto com 3 revistas.
Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui 563 revistas.
RESOLUÇÃO:
A questão versa sobre Mínimo Múltiplo Comum.
Observe que para garantirmos que a quantidade de revistas seja comum aos número 8, 14, 20 com resto
igual a 3, temos que calcular o MMC desses números, assim:
8 , 14 , 20 | 2
4 , 7 , 10 | 2
2 , 7, 5 | 2
1 , 7, 5 | 5
1 , 7, 1 | 7
1 , 1, 1
𝑀𝑀𝐶(8,14,20) = 280
280 x 2 = 560
Observe que a questão afirmar que quantidade de revistas é maior que 500 e menor que 700 com resto
igual a 3.
Gabarito: CERTO.
23. (CESPE/TRE-ES/2013) Os garotos João e Pedro vão passear de bicicleta em uma pista circular, se-
guindo sempre em uma mesma direção, com velocidades diferentes. Eles iniciaram o passeio par-
tindo, no mesmo instante, de um mesmo ponto e combinaram encerrar o passeio quando se encon-
trarem pela primeira vez no ponto de partida. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
109
Se, para completar cada volta na pista, João gasta 20 minutos e Pedro 24, então o passeio dos garotos
durará menos de 2 horas.
RESOLUÇÃO:
O primeiro encontro de ambos no ponto inicial será no mínimo múltiplo comum de 20 minutos e 24
minutos.
20 = 5 x 2²
24 = 3 x 2³
Gabarito: ERRADO.
24. (CESPE/PC-DF/2013) Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em
locais de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo masculino, jul-
gue o seguinte item.
É impossível dividir as 300 pessoas em grupos de modo que todos os grupos tenham a mesma quanti-
dade de mulheres e a mesma quantidade de homens.
RESOLUÇÃO:
Para que os grupos sejam uniformes, ou seja, para que as quantidades de homens e mulheres em cada
um sejam as mesmas (e não que a quantidade de homens seja igual à quantidade de mulheres), o nú-
mero de grupos formado deve ser um divisor comum das quantidades de pessoas de cada sexo. Há 300
– 175 = 125 mulheres. Fatorando 125 e 175 ao mesmo tempo, temos:
Divisores comuns = 1, 5, 5 × 5 = 25
Assim, se forem formados 5 ou 25 grupos, eles poderão ter a mesma quantidade de homens em todos
os grupos, assim como a mesma quantidade de mulheres.
Gabarito: ERRADO.
110
Considere que um veículo desse órgão tenha percorrido x km no primeiro ano, isto é, no ano que foi
comprado, e que, em cada um dos 4 anos seguintes, tenha percorrido x/2 km, x/3 km, x/4 km e x/5 km.
Nesse caso, se nesses 5 anos, esse veículo percorreu 68.500 km, então, no primeiro ano, ele percorreu
mais de 28.000 km.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, não se sabe a quantidade de km percorridos no primeiro ano, assim, foi atribuída a incóg-
nita “X” para representar este valor desconhecido. Como foi informado o total percorrido em todos os 5
anos, uma possível forma de resolver a questão é somar as distâncias percorridas em cada ano (em ter-
mos de “x”) e igualar ao total percorrido que conhecemos.
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥+ + + + = 68.500
2 3 4 5
Como temos frações com denominadores diferentes, precisamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum
(MMC) entre os denominadores 1, 2, 3, 4 e 5. Com isso, temos as novas equações abaixo desenvolvidas:
137𝑥
= 68.500
60
Para encontrarmos o valor de “x”, que é a quantidade de km percorridos no primeiro ano, devemos “iso-
lar” a incógnita:
68.500 ∗ 60
𝑥=
1370
𝑥 = 30.000
Logo, no primeiro ano, o veículo perfez um total de 30.000, tornado correta a questão, visto que 30.000
é superior a 28.000.
Gabarito: CERTO.
RESOLUÇÃO:
Se a quantidade de processos N, dividida por 5, 6, e 7, tem 1 como resto da divisão nos três casos, signi-
fica que N – 1 é múltiplo de 5, de 6 e de 7. Em outras palavras, N – 1 é múltiplo comum de 5, 6 e 7.
O menor múltiplo comum (mmc) de 5, 6 e 7 é dado por:
Logo, P = 5 × 6 × 7 = 210.
Gabarito: ERRADO.
Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e
um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um
percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas
partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora
após
A) 45 dias.
B) 60 dias.
C) 10 dias.
D) 15 dias.
E) 30 dias.
RESOLUÇÃO:
Trata-se de uma questão de MMC (mínimo múltiplo comum):
112
Proponho aqui um raciocínio alternativo... Mas ainda é importante saber calcular o MMC, ok?
A ideia é analisar dois a dois dos números dados. Por exemplo, 4 e 5: percebe-se que eles coincidem de
20 em 20.
Em seguida, analisa-se esse 20 com outro número do conjunto. No caso, 6: ora, se o 4 e o 5 só coincidem
a cada 20, não faz sentido analisar qualquer número que não seja um múltiplo de 20, pois pode ser múl-
tiplo de 6, mas nunca será de 4 e de 5 ao mesmo tempo. Logo:
28. (CESPE/CORREIOS/2011) Em um bairro onde as casas foram todas construídas de acordo com um
projeto padrão, os lotes têm 12 metros de frente, em cada lote a caixa de correspondências fica
sempre na mesma posição e os postes de iluminação pública são espaçados em 50 metros. O car-
teiro que entrega correspondências nesse bairro percebeu que a caixa de correspondências da pri-
meira casa de uma rua bastante longa fica exatamente atrás de um poste de iluminação. Nesse
caso, caminhando nessa rua e desconsiderando os possíveis espaços entre dois lotes vizinhos, até
que encontre a próxima caixa de correspondências atrás do poste de iluminação, o carteiro deverá
percorrer uma distância igual a
A) 210 metros.
B) 255 metros.
C) 300 metros.
D) 120 metros.
E) 165 metros.
RESOLUÇÃO:
O mínimo múltiplo comum é o menor inteiro positivo que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo
tempo. Ele é calculado como o produto dos fatores comuns e não comuns aos números fatorados, cada
um elevado ao maior expoente encontrado. O enunciado nos pede para descobrir a distância percorrida
por um carteiro para encontrar uma caixa de correspondência, sendo que as caixas estão colocadas de
113
50 = 2 × 5² × 1
12 = 2² × 3 × 1
𝑀𝑀𝐶 = 1 × 2² × 3 × 5²
𝑀𝑀𝐶 = 12 × 25
𝑀𝑀𝐶 = 300
Assim, o carteiro percorrerá 300 m até encontrar a próxima caixa de correspondências atrás do poste de
iluminação.
Gabarito: E.
29. (CESPE/CORREIOS/2011) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido
com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre
ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
A) mais de 30 cm.
B) menos de 15 cm.
C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
RESOLUÇÃO:
Dois números naturais sempre possuem um divisor comum (pode ser 1). Para encontrar o máximo divi-
sor comum, devemos fatorar cada número em fatores primos. O MDC será o produto dos fatores co-
muns. Para encontrarmos o maior tamanho possível para os ladrilhos quadrados, devemos encontrar o
máximo divisor comum entre 3,52 m e 4,16 m. Porém, não podemos utilizar números decimais para isso,
e por isso trabalharemos com as dimensões em centímetros (352 cm e 416 cm).
114
Vemos que o MDC entre 352 e 416 é 32. Assim, o maior ladrilho possível para cobrir a sala deverá ter 32
cm (mais que 30 cm).
Gabarito: A.
30. (CESPE/CORREIOS/2011) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear
seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organi-
zados em pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. Com base nas
informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso e se esse
peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará.
A) 8,3 kg
B) 8,4 kg
C) 8 kg
D) 8,1 kg
E) 8,2 kg
RESOLUÇÃO:
O problema pede o valor do peso de cada pacote dados os critérios a serem obedecidos.
Para que os pacotes tenham o mesmo peso, este peso deve ser múltiplo dos pesos de cada catálogo. E
para que ele seja múltiplo de ambos os pesos, ele deve ser múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC)
dos valores de 240 g e 350 g.
Podemos obter o mínimo múltiplo comum de um conjunto de números pelo método da fatoração si-
multânea, onde multiplicamos os maiores fatores presentes em pelo menos um dos números.
Logo:
Como o peso deve ser inferior a 10 kg, então cada pacote deverá pesar 8,4 kg.
Gabarito: B
Considere que um taxista lave o seu veículo a cada 10 dias e calibre os pneus a cada 15 dias. Se hoje é dia
de ele lavar seu veículo e calibrar os pneus, então, daqui a 30 dias, ele realizará novamente essas duas
tarefas no mesmo dia.
RESOLUÇÃO:
Um taxista lava o seu veículo a cada 10 dias e calibre os pneus a cada 15 dias.
Se hoje é dia de ele lavar seu veículo e calibrar os pneus, então, vamos calcular o MMC de 10 e 15 para
saber o próximo dia que as duas tarefas serão realizadas juntas:
O MMC é: 2 x 3 x 5 = 30 dias
Gabarito: CERTO.
32. (CESPE/PREF. RIO BRANCO/2007) Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para
plantar em uma região de sua fazenda. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Considere que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda, de
forma que todos os empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma
quantidade de mudas de copaíba e que nenhuma muda tenha sobrado. Nessa situação, é correto afirmar
que o número máximo de empregados da fazenda é 4.
RESOLUÇÃO:
Para não sobrar muda de açaí, o número de empregados precisa ser um número divisor de 180. Para não
sobrar muda de copaíba, o número de empregados precisa ser um número divisor de 84.
E queremos que as duas coisas ao mesmo tempo, ou seja, um divisor comum a 180 e 84. Além disso, a
questão menciona o MÁXIMO n° de empregados. Logo, estamos procurando o MAIOR DIVISOR CO-
MUM de 180 e 84 = 𝑀𝐷𝐶(180,84). Fazendo a decomposição em fatores primos
116
Para achar o MDC, selecionamos os números primos comuns aos números escolhidos e pegamos o me-
nor expoente encontrado:
Gabarito: ERRADO.
33. (CESPE/PREF. RIO BRANCO/2007) Julgue o item que se segue, a respeito dos números naturais e
das operações fundamentais com números naturais.
Considere que, para curar uma infecção bastante grave, o médico receitou a um paciente 3 tipos de an-
tibióticos, em comprimidos, A, B e C, que deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco em cinco
horas, de doze em doze horas e de quinze em quinze horas. No sábado, às seis horas da manhã, o paci-
ente ingeriu os três comprimidos juntos. Nessa situação, o paciente ingerirá os três comprimidos juntos
novamente às dezoito horas de segunda-feira.
RESOLUÇÃO:
3 tipos de antibióticos A, B e C deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco em cinco horas, de doze
em doze horas e de quinze em quinze horas.
Vamos calcular o MMC entre 5, 12 e 15 para saber em quantas horas os três remédios serão tomados
juntos:
Se os 3 foram ingeridos juntos no sábado às 6hs da manhã, somando 2 dias, chegamos à segunda.
Gabarito: CERTO.
34. (CESPE/MPE-TO/2006) A respeito dos números 72 e 108, é correto afirmar que o mínimo múltiplo
comum entre eles é igual a 512.
RESOLUÇÃO:
Para calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) de 72 e 108, devemos decompô-los
72 = 23 × 32
108 = 22 × 33
117
Em seguida, para encontrar o mmc multiplicamos os fatores primos que aparecem nas decomposições
com seus maiores expoentes:
23 × 33 = 8 × 27 = 216
Gabarito: ERRADO.
35. (CESPE/MPE-TO/2006) A respeito dos números 72 e 108 é correto afirmar que o máximo divisor co-
mum entre eles é igual a 12.
RESOLUÇÃO:
O máximo divisor comum de dois números é o maior fator por qual ambos podem ser divisíveis. Para
encontrarmos o MDC de dois números devemos seguir alguns passos, veja abaixo a resolução:
72 = 23 × 32
108 = 22 × 33
Por último, devemos identificar os fatores primos presentes em ambas as fatorações, depois multiplica-
mos esses fatores comuns com os seus menores expoentes. Veja abaixo:
𝑀𝐷𝐶(72, 108) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
Gabarito: ERRADO.
A próxima partida simultânea de navios do porto de Belém para Manaus e Santarém ocorrerá ao meio-
dia do dia 8 de março.
RESOLUÇÃO:
Trata-se de uma questão de MMC (mínimo múltiplo comum):
118
12 horas após zero hora do dia 8 de março é meio-dia do mesmo dia. Logo, a assertiva está certa.
Gabarito: CERTO.
37. (CESPE/TRT-10/2004) Um juiz deve julgar 52 processos, que estão separados, por assunto, em 3
grupos. Sabe-se que o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os
números de processos em cada um dos grupos são 4 e 48, respectivamente. Acerca desses grupos
de processos, julgue o item seguinte.
RESOLUÇÃO:
A questão versa sobre Máximo Divisor Comum (M. D. C.) e Mínimo Múltiplo Comum (M. M. C.).
Devemos analisar qual dos grupos resultam em 52, portanto, vamos agrupar somando os divisores que
achamos:
12 + 16 + 24 = 52
e o 4 é o M.D.C. deles
Agora devemos analisar se a soma de dois desse grupo que somamos resultam em 36, logo:
12 + 24 = 36
Gabarito: CERTO.
119
38. (CESPE/TERRACAP/2004) Marcelo é um marceneiro que trabalha por conta própria fabricando e
consertando móveis. Ele adquiriu uma chapa de compensado, retangular, medindo 2,20 m de com-
primento por 1,80 m de largura e 2 cm de espessura. Com relação a esse compensado e aos móveis
que podem ser fabricados por Marcelo a partir dessa peça, julgue o item que se segue.
Se Marcelo quiser fabricar painéis quadrados, todos iguais, do maior tamanho possível e de forma que,
desprezando as perdas com os cortes, não sobre material, então ele fabricará mais de 100 painéis.
RESOLUÇÃO:
A questão pode ser solucionada por meio da aplicação de conhecimentos de MDC (Máximo Divisor Co-
mum).
Assim, o maior comprimento possível de lado para o quadrado que podemos cortar a chapa de compen-
sado de forma a não desperdiçar material corresponde ao MDC entre seus tamanhos iniciais (1.8 m e 2.2
m).
Assim, a medida do lado dos Painéis quadrados no maior tamanho possível sem que haja desperdício é
igual a 20 centímetros.
Podemos calcular a quantidade total de quadrados verificando quantas vezes cada um dos lados será
dividido para obter partes iguais de 20 centímetros.
Logo:
Logo, sob as condições dadas, Marcelo produzirá 99 painéis, quantia esta que é INFERIOR à citada pelo
enunciado.
Gabarito: ERRADO.
39. (CESPE/TERRACAP/2004) Um terreno retangular, medindo 504 m de largura por 2.940 m de com-
primento, vai ser loteado para atender a um programa de assentamento de famílias de baixa renda.
120
Para evitar problemas de medição, todos os lotes terão dimensões — largura e comprimento — in-
teiras. Além disso, cada família receberá apenas um lote. Com relação a esse loteamento, julgue o
item a seguir.
Para não haver reclamação de favorecimentos, as autoridades resolveram que todos os lotes seriam
quadrados, de mesma área, da maior área possível e de forma que o terreno seja totalmente ocupado.
Nesse caso, sem considerar as ruas e calçadas, será possível atender a apenas 210 famílias inscritas no
programa
RESOLUÇÃO:
A questão pode ser solucionada por meio da aplicação de conhecimentos de MDC (Máximo Divisor Co-
mum).
Assim, o maior comprimento possível de medida de lado para obtermos lotes quadrados no maior ta-
manho possível corresponde ao MDC entre as dimensões do terreno retangular (504 m e 2940 m).
Assim, o a medida do lado dos Lotes quadrados no maior tamanho possível é igual a 84 metros.
Podemos calcular a quantidade total de quadrados verificando quantas vezes cada um dos lados será
dividido para obter partes iguais de 84 metros.
Logo:
Nesse caso, sem considerar as ruas e calçadas, será possível atender a apenas 210 famílias inscritas no
programa.
Gabarito: CERTO.
121
Nessa situação, o carpinteiro deve dividir os sarrafos em partes que tenham 6 m de comprimento cada.
RESOLUÇÃO:
Precisamos achar o MDC entre 12,18 e 30. Para isso vamos fatorar os números simultaneamente:
Gabarito: CERTO.
Nessa situação, o carpinteiro obterá mais de 10 pedaços de madeira após as divisões corretas dos sarra-
fos.
RESOLUÇÃO:
Temos que encontrar o máximo divisor comum (MDC) entre esses valores. Assim, fatoramos os núme-
ros simultaneamente:
Gabarito: ERRADO.
122
Considere que os tempos gastos por uma lancha e por um barco para atravessar um rio e iniciar o retorno
ao ponto de partida são, respectivamente, iguais a 50 min e 30 min. Se a lancha e o barco saem do
mesmo ponto às 7 horas da manhã, então, eles chegarão juntos do outro lado do rio, pela primeira vez,
quando a lancha completar a sua terceira travessia.
RESOLUÇÃO:
A questão exige conhecimento sobre mínimo múltiplo comum (MMC). Do enunciado, temos:
- Uma lancha e um barco atravessam um rio e iniciam o retorno ao ponto de partida e gastam, respec-
tivamente, 50 min e 30 min.
- A lancha e o barco saem do mesmo ponto às 7 horas da manhã.
Organizando as informações:
- A lancha demora 50 minuto para atravessar o rio, logo, para ir e voltar, a lancha gastará 100 minutos.
- O barco demora 30 minuto para atravessar o rio, logo, para ir e voltar, o barco gastará 60 minutos.
Para encontrarmos o ponto de encontro da lancha e do barco, temos que calcular o MMC de 100 e 60:
Logo, demorará 300 minutos para eles encontrarem. E 300 minutos é o tempo gasto pela lancha para
atravessar 3 vezes o rio.
Gabarito: CERTO.
Márcia, Cláudia e Laura, enfermeiras de um hospital, dão plantões em regime de rodízio. Márcia dá plan-
tão a cada 3 dias, Cláudia, a cada 4 dias e Laura, a cada 5 dias. Se as três enfermeiras deram plantão hoje,
então a próxima data em que as três darão plantão juntas novamente será daqui a mais de 50 dias.
RESOLUÇÃO:
Os plantões serão a cada:
Fatorando
3 = 3
4 = 2²
5 = 5
Assim, a próxima vez que terá plantão dos três juntos será em 60 dias.
Gabarito: CERTO
44. (CESPE/PREF. ARACAJU/2003) Em uma farmácia existem 90 frascos do remédio A e 198 do remédio
B, que devem ser guardados em caixas. Cada caixa deve conter remédio de um só tipo e todas elas,
o mesmo número de frascos. As caixas devem conter o maior número possível de frascos. Com base
nessas informações, julgue o item a seguir.
RESOLUÇÃO:
n° caixas = n° remédios / n° frascos por caixa
Seja
n° frascos por caixa = n
REMÉDIO A
n° caixas com remédio A = 90/n
REMÉDIO B
n° caixas com remédio B = 198/n
Como n° caixas é um número natural, precisamos que n seja divisor de 90 e 198 simultaneamente, além
disso queremos que n seja o maior possível.
Estamos buscando o máximo divisor comum MDC entre 90 e 198: n = MDC (90,198)
Fatorando
90 = 2.3². 5
198 = 2.3². 11
18 > 15
Gabarito: ERRADO.
45. (CESPE/PREF. ARACAJU/2003) Em uma farmácia existem 90 frascos do remédio A e 198 do remédio
B, que devem ser guardados em caixas. Cada caixa deve conter remédio de um só tipo e todas elas,
o mesmo número de frascos. As caixas devem conter o maior número possível de frascos. Com base
nessas informações, julgue o item a seguir.
A quantidade de caixas necessárias para guardar todos os frascos dos remédios A e B é superior a 15.
RESOLUÇÃO:
Se precisamos dividir 90 e 198 em caixas com n° de frascos iguais, o n° frascos é um múltiplo comum a
==3a120==
90 = 2.3². 5
198 = 2.3². 11
Total de Caixas = 5 + 11
Total de Caixas = 16
17 > 15
Gabarito: CERTO.
46. (CESPE/PREF. SÃO CRISTOVÃO/2019) Há cinco anos, João, Paulo e Miguel se associaram para montar uma
lanchonete. João entrou com R$ 80.000; Paulo, com R$ 120.000; e Miguel, com R$ 200.000. A lanchonete
foi vendida, hoje, por R$ 3.200.000 e essa quantia foi dividida entre os três de forma diretamente propor-
cional aos valores que cada um investiu. A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considerando o lucro obtido com a venda, é correto inferir que, enquanto na propriedade dos três, a
lanchonete teve uma valorização média anual inferior a R$ 600.000.
RESOLUÇÃO:
125
João, Paulo e Miguel montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 80.000; Paulo, com R$ 120.000; e
Miguel, com R$ 200.000. A lanchonete foi vendida por R$ 3.200.000 após 5 anos.
Como essa valorização ocorreu em 5 anos, a valorização média anual foi de:
𝟐. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟓𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟓
47. (CESPE/PREF. SÃO CRISTOVÃO/2019) Há cinco anos, João, Paulo e Miguel se associaram para montar uma
lanchonete. João entrou com R$ 80.000; Paulo, com R$ 120.000; e Miguel, com R$ 200.000. A lanchonete
foi vendida, hoje, por R$ 3.200.000 e essa quantia foi dividida entre os três de forma diretamente propor-
cional aos valores que cada um investiu. A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
RESOLUÇÃO:
Vamos encontrar o percentual investido por João na montagem da lanchonete:
𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝑱𝒐ã𝒐 = = 𝟎, 𝟐𝟎 𝒐𝒖 𝟐𝟎%
𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Gabarito: CERTO.
48. (CESPE/CAGE-RS/2018) João, Pedro e Tiago, três investidores amadores, animados com a popularização das
criptomoedas, investiram 12, 14 e 24 mil reais, respectivamente, em moeda virtual. Após uma semana do
investimento, eles perceberam que o prejuízo acumulado, que era de 8 mil reais, deveria ser dividido entre
os três, em proporção direta aos valores investidos. Nessa situação, em caso de desistência do investimento
após a constatação do prejuízo, João, Pedro e Tiago receberão, respectivamente, as quantias, em reais, de
a) 9.340, 11.340 e 21.340.
b) 10.080, 11.760 e 20.160.
c) 11.920, 13.240 e 22.840.
d) 2.660, 2.660 e 2.660.
126
RESOLUÇÃO:
Conforme dos dados informações pelo enunciado, o total investido é de 12 + 14 + 24 = 50 mil reais, ao
passo que o prejuízo acumulado é de 8 mil reais. Ao dividirmos o prejuízo pelo total investido, temos a
fração correspondente ao prejuízo: 8/50, que é a constante de proporcionalidade a ser aplicada a todos
os investidores.
Agora, podemos determinar o valor resgatado pelos três investidores, subtraindo o valor investido
pelo prejuízo assumido:
Gabarito: B.
49. (CESPE/MDIC/2014) Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de aber-
tura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise,
com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional à
participação financeira de cada um dos sócios no ato de abertura da loja.
Se o lucro obtido ao final de determinado mês for igual a R$ 7.000,00, então a parcela de Cláudia no
lucro será superior a R$ 1.700,00 nesse mês.
RESOLUÇÃO:
Sejam:
B: parcela do lucro destinada a Breno;
C: parcela do lucro destinada a Cláudia;
D: parcela do lucro destinada a Denise;
L: parcela do lucro destinada a Lúcio.
O enunciado informa que os lucros obtidos serão distribuídos de forma diretamente proporcional à
participação financeira de cada um dos sócios. Ou seja:
𝐵 𝐶 𝐷 𝐿
= = = =𝑘
15.000 12.000 13.000 10.000
127
𝐵 𝐶 𝐷 𝐿 7
= = = =
15 12 13 10 15 + 12 + 13 + 10
𝐵 𝐶 𝐷 𝐿 7
= = = =
15 12 13 10 50
𝐶 7
=
12 50
12 . 7
𝐶= = 𝟏, 𝟔𝟖
50
No entanto, precisamos acrescentar os zeros dos milhares que havíamos suprimido para facilitar os
cálculos. Com isso, o lucro de Cláudia será de R$ 1.680,00, o que não é superior a R$ 1.700,00.
Gabarito: Errado.
50. (CESPE/MDIC/2014) Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e
adulto, de modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos sejam inversa-
mente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica
destinar-se-á ao público jovem.
RESOLUÇÃO:
Sejam:
a: porcentagem referente ao público infantil;
b: porcentagem referente ao público jovem;
c: porcentagem referente ao público adulto.
O enunciado nos fornece seguinte informação: “As porcentagens da produção destinadas a cada um
desses públicos são inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6”. Ou seja,
como são grandezas inversamente proporcionais, as mesmas devem ser diretamente proporcionais a
1/2, 1/3 e 1/6:
a b c
= = (𝐈)
1 1 1
2 3 6
a+b+c b
=
1 1 1 1
2+3+6 3
b
= 100%
1
3
𝐛 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑 … %
Gabarito: Certo.
RESOLUÇÃO:
Como a escala é de 1 para 200, cada 1 cm do parafuso medido no desenho corresponderá a 200cm no
objeto real. Assim:
1 0,05
=
200 𝑥
1. 𝑥 = 200.0,05
𝒙 = 𝟏𝟎𝒄𝒎
Gabarito: Errado.
RESOLUÇÃO:
Note que os capitais investidos são diferentes ao passo que os tempos de permanência de cada sócio
na empresa são iguais! Nesse caso, o lucro deverá ser dividido proporcionalmente aos capitais.
Considerando que P, M e S representam as parcelas do lucro destinadas, respectivamente, a Paulo,
Maria e Sandra, e esquecendo dos zeros dos milhares para simplificar os cálculos, temos:
𝑃 𝑀 𝑆 10.000
= = =
20 30 50 20 + 30 + 50
𝑃 𝑀 𝑆
= = = 100
20 30 50
Agora é só comparar 100 com cada uma das igualdades, a fim de determinar a parte do lucro total que
coube a cada um dos sócios:
𝑃
▪ Lucro de P: 100 = 20 ⇒ 𝑷 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎
129
𝑀
▪ Lucro de M: 100 = ⇒ 𝑴 = 𝟑. 𝟎𝟎𝟎
30
𝑆
▪ Lucro de S: 100 = 50 ⇒ 𝑺 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎
A que conclusão é possível chegarmos? Bem, na verdade, Paulo e Maria receberam juntos R$ 5.000,
mesma quantia a que teve direito a sócia Sandra.
Gabarito: Errado.
53. (CESPE/IBAMA/2012) Um órgão de controle, ao aplicar sanções contra empresas petroleiras cujas ativida-
des resultem em agressão ao meio ambiente, determina o valor da multa, em reais, de modo proporcional
ao volume de petróleo derramado, em barris, ao tempo de duração do derramamento, em semanas, e à
área da região afetada, em quilômetros quadrados. Assim, se determinada empresa petroleira deixar vazar,
por três semanas, quatro mil barris de petróleo bruto, causando a contaminação de 950 km 2 de superfície
marítima, será, em decorrência disso, multada em R$ 5.000.000,00. Com base nessas informações, julgue
o item seguinte.
Caso, depois de estancado um vazamento, o petróleo derramado avance por uma área correspondente
a 10% da área inicialmente afetada, o valor da multa recebida pela empresa aumentará 10% em relação
ao valor que seria estabelecido no momento do estanque.
RESOLUÇÃO:
De acordo com as informações fornecidas pelo enunciado, percebemos que, depois que o vazamento é
contido, temos as seguintes consequências:
Observe, meu caro aluno, que a área afetada é diretamente proporcional à multa aplicada, de modo
que, se a área é aumentada em 10%, então a multa cresce na mesma proporção. Ou seja, aumentará
em 10%.
Gabarito: Certo.
54. (CESPE/Correios/2011) O trajeto de 5 km percorrido por um carteiro é formado por 2 trechos. Sabe-se que
os comprimentos desses trechos, em metros, são números diretamente proporcionais a 2 e 3. Nesse caso,
a diferença, em metros, entre os comprimentos do maior trecho e do menor trecho é igual a
a) 600
b) 1.400
c) 1.200
d) 1.000
e) 800
RESOLUÇÃO:
Sejam x e y os dois trechos que formam o trajeto percorrido pelo carteiro. O enunciado informa que o
trajeto de 5 km percorrido por um carteiro é formado por 2 trechos. Ou seja:
Também é dito que os comprimentos desses trechos, em metros, são números diretamente
proporcionais a 2 e 3. Com isso, e considerando que duas grandezas são diretamente proporcionais
quando a razão entre elas é constante, temos:
x y
=
2 3
55. (CESPE/SEAD-SE/2009) A viagem de ônibus entre duas cidades a uma velocidade média de 90 km/h dura 6
horas — a velocidade média de um objeto é igual à razão entre a distância percorrida por esse objeto e o
tempo gasto no percurso. Pretende-se instalar nos próximos anos um trem-bala ligando essas duas cidades.
O trem-bala percorrerá a mesma distância entre as duas cidades, porém a uma velocidade média de 360
km/h.
RESOLUÇÃO:
As grandezas diretamente proporcionais são aquelas que crescem juntas e diminuem juntas. Por
outro lado, as grandezas inversamente proporcionais são aquelas que, quando uma aumenta, a outra
diminui. O item que está em análise busca saber como se comporta a grandeza tempo em relação às
grandezas velocidade e distância percorrida. Ora, na verdade, temos:
131
Gabarito: Certo.
RESOLUÇÃO:
Nesta questão, estamos diante do caso em que tanto os capitais quanto os tempos de aplicação são
diferentes, de forma que a divisão do lucro será diretamente proporcional ao produto dos capitais
pelos tempos, tendo em mente que o terceiro sócio passou a fazer parte da microempresa 9 meses após
a sua formação:
𝐴 𝐵 𝐶 13200
= = =
6 . 12 9 . 12 12 . 3 72 + 108 + 36
𝐴 𝐵 𝐶 550
= = =
72 108 36 9
550
Agora é só comparar com a igualdade relativa à parte do lucro que coube ao 3º sócio (C):
9
𝐶 550
=
36 9
550
𝑪 = 36 . = 𝟐𝟐𝟎𝟎
9
Portanto, a quantia a que o 3º sócio teve direito foi superior a R$ 2.000,00.
Gabarito: Certo.
57. (CESPE/TST/2008) Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas foram convo-
cados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente proporcionais aos nú-
meros 2, 3 e 5.
RESOLUÇÃO:
Sejam:
a: quantidade de processos recebida pelo primeiro analista;
b: quantidade de processos recebida pelo segundo analista;
c: quantidade de processos recebida pelo terceiro analista;
O enunciado informa que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente
proporcionais aos números 2, 3 e 5. Ou seja:
132
a b c
= = =k
2 3 5
a+b+c
=k
2+3+5
70
k= =𝟕
10
58. (CESPE/TST/2008) Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas foram convo-
cados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente proporcionais aos nú-
meros 2, 3 e 5.
RESOLUÇÃO:
Pela resolução do item anterior, percebemos que, de fato, um dos analistas recebeu mais de 33
processos, pois a ele foram distribuídos 35 processos.
Gabarito: Certo.
59. (CESPE/TST/2008) Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas foram convo-
cados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente proporcionais aos nú-
meros 2, 3 e 5.
Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos.
RESOLUÇÃO:
Já sabemos que cada analista recebeu:
a
✓ = 7 → 𝐚 = 𝟏𝟒
2
b
✓ = 7 → 𝐛 = 𝟐𝟏
3
c
✓ = 7 → 𝐜 = 𝟑𝟓
5
133
60. (CESPE/TST/2008) Os números 135, 189 e 297 são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 11, res-
pectivamente.
RESOLUÇÃO:
Vimos que a característica marcante das grandezas diretamente proporcionais consiste no fato que a
razão entre elas é constante. Assim, nossa tarefa é analisar se as razões 135/5, 189/7 e 297/11 fornecem
o mesmo resultado. Logo:
61. (CESPE/TJ-PA/2006) A extensão do estado do Pará, que é de 1.248.042km2, corresponde a 16,66% do terri-
tório brasileiro e 26% da Amazônia. O estado do Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo norte,
é dividido em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de pessoas. No estado do Pará, há exata-
mente 6 habitantes por km2.
RESOLUÇÃO:
No estado do Pará há cerca de seis milhões de pessoas em 1.248.042km2 de extensão.
Ora, acabamos de aprender que densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de
uma região e a área dessa região. Logo:
6.000.000 ℎ𝑎𝑏
= 4,81 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2
1.248.042 𝑘𝑚2
62. (CESPE/Pref Aracaju/2004) Se uma corda de 30 metros de comprimento é dividida em duas partes, cujos
comprimentos estão na razão 2/3, então o comprimento da menor parte é inferior a 14.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar cada uma das partes de x e y.
Lembrando que dividir em partes não significa dividir em dois pedaços iguais. Na verdade, significa que
simplesmente teremos dois pedaços que, não necessariamente, serão do mesmo tamanho. O
enunciado fala que a corda mede 30 metros. Logo:
𝑥 + 𝑦 = 30 (I)
Em seguida, o item menciona que os cumprimentos das duas partes estão na razão de 2 para 3:
134
𝑥 2
=
𝑦 3
3.𝑥 = 2.𝑦
2 .𝑦
𝑥= (II)
3
Vamos substituir (II) em (I), obtendo:
2 .𝑦
+ 𝑦 = 30
3
2 . 𝑦 + 3 . 𝑦 = 90
90
𝑦= = 𝟏𝟖
5
2 . 18
𝑥= = 𝟏𝟐
3
Sendo assim, temos que o comprimento da menor parte da corda realmente é inferior a 14.
Gabarito: Certo.
63. (CESPE/STJ/2004) Três amigos decidiram constituir uma empresa, em sociedade, para a prestação de ser-
viços técnicos nas áreas de contabilidade, informática e telefonia. O contador contribuiu com R$ 2.000,00,
o técnico em informática, com R$ 3.000,00 e o técnico em telefonia, com R$ 4.000,00. Ao final de um ano
de serviços, a empresa obteve um lucro de R$ 5.400,00 para ser dividido em partes proporcionais aos valo-
res empenhados por cada sócio.
RESOLUÇÃO:
Percebemos que os capitais investidos são diferentes ao passo que os tempos de permanência de
cada sócio na empresa são iguais! Nesse caso, o lucro deverá ser dividido proporcionalmente aos
capitais. Considerando que C, I e T representam as parcelas do lucro destinadas, respectivamente, ao
contador, ao técnico em informática e ao técnico em telefonia, e esquecendo dos zeros dos milhares
para simplificar os cálculos, temos:
𝐶 𝐼 𝑇 5400
= = =
2 3 4 2+3+4
𝐶 𝐼 𝑇
= = = 600
2 3 4
Agora é só comparar 600 com a igualdade relativa à parte que coube ao técnico em informática (I):
𝐼
= 600 ⇒ 𝑰 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟎
3
135
Dessa forma, o técnico em informática recebeu R$ 1.800,00 que é uma quantia inferior a R$ 1.840,00.
Gabarito: Certo.
64. (CESPE/TJ-PA/2020) Assinale a opção que indica, no contexto do desenho do serviço da ITIL, o valor
da disponibilidade semanal de um serviço acordado para funcionar por 8 horas diárias, de segunda
à sexta-feira, mas que esteve fora do ar durante 4 horas nessa semana.
A) 10,0%
B) 50,0%
C) 51,4%
D) 64,0%
E) 90,0%
RESOLUÇÃO:
Analisando o enunciado, percebe-se que é cobrado o cálculo da disponibilidade do serviço acordado.
Foram acordadas 8 horas por dia, de segunda a sexta. Dessa maneira, somam 40 horas semanais.
Regra de 3:
𝑥 = 90% 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Gabarito: E.
65. (CESPE/TJ-PR/2019) Conforme resolução do TJ/PR, os servidores do órgão devem cumprir a jornada
das 12 h às 19 h, salvo exceções devidamente autorizadas. Em determinado dia, o servidor Ivo, de-
vidamente autorizado, saiu antes do final do expediente e, no dia seguinte, ao conferir seu extrato
do ponto eletrônico, verificou que deveria repor 3,28 horas de trabalho por conta dessa saída ante-
cipada. Nesse caso, se, no dia em que saiu antes do final do expediente, Ivo havia iniciado sua jor-
nada às 12 h, então, nesse dia, a sua saída ocorreu às
A) 15 h 28 min.
B) 15 h 32 min.
C) 15 h 43 min 12 s.
D) 15 h 44 min 52 s.
E) 15 h 57 min 52 s.
RESOLUÇÃO:
Vamos desmembrar a quantidade de horas (3h + 0,28h) que Ivo deveria repor através de regra de três
simples:
1h – 60 min
0,28h – X
136
𝑋 = 16,8 𝑚𝑖𝑛
1min – 60s
0,8min – X
𝑋 = 48 𝑠
Ou seja, Ivo deve repor 3h 16 min e 48s. A jornada diária corresponde a 7h. Considerando que: 7h = 6h
59min e 60s, temos:
6h 59min 60s
– 3h 16min 48s
3h 43min 12s
Somando esse valor encontrado ao valor de início de expediente, temos: Considerando que: 12h = 11h
59min 60s
Gabarito: C.
RESOLUÇÃO:
Trata-se de questão clássica de regra de três composta, para a qual podemos aplicar um procedimento
prático para facilitar a resolução. Primeiramente, devemos identificar a grandeza que representa o
produto final da operação descrita no enunciado. Neste caso, ela está relacionada ao que é produzido,
que são ovos de Páscoa. As demais grandezas fazem parte do processo para o transporte dessas caixas,
ou seja, os empregados, as máquinas e a quantidade de horas.
137
Assim, podemos montar o seguinte esquema, sabendo que nosso objetivo consiste em obter a
quantidade de horas para atender à nova demanda (nossa incógnita):
Processo Produto
Empregados Máquinas Horas Ovos
10 3 8 200
15 4 X 425
Por fim, fazemos a multiplicação dos valores contidos na linha tracejada, igualando-os ao produto entre
os valores presentes na outra linha:
10 × 3 × 8 × 425 = 15 × 4 × 𝑋 × 200
𝑿 = 𝟖, 𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
Assim, serão necessárias 8,5 horas ou 8 horas e 30 minutos para que a fábrica atenda à nova demanda.
Gabarito: B.
67. (CESPE/ABIN/2018)
Caso a produtividade de uma equipe composta de dois pedreiros e um servente seja equivalente à pro-
dutividade da composição apresentada, essa equipe tem condições de executar 100 m² de contrapiso
em 20 horas.
RESOLUÇÃO:
Perceba que se 1 pedreiro leva 0,6h para executar 1m² de contrapiso, podemos concluir que 2 pedreiros
levarão metade do tempo, ou seja, 0,3h; Um servente leva 0,3h para executar 1m² de contrapiso, con-
forme dado na questão. Assim, percebemos que a equipe toda levará 0,3h para execução de 1m² de
contrapiso, logo, para 100 m² de contrapiso será:
138
𝑥 = 100 × 0,3
𝑥 = 30ℎ
Gabarito: ERRADO.
68. (CESPE/EMAP/2018) Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente efici-
entes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carre-
gam 12 navios. Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.
Em um mesmo dia, 8 desses operadores, trabalhando durante 7 horas, carregam mais de 15 navios.
RESOLUÇÃO:
A questão exigiu conhecimento de razão e proporção, regra de três composta. Observe os dados:
Operadores são igualmente eficientes. 6 operadores carregam 12 navios em 8 horas e 8 operadores car-
regam X navios em 7 horas. Logo, tem-se.
8 ---------------------- 7 --------------- X
69. (CESPE/FUB/2018) O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares deve vi-
ajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá percorrer aproxima-
damente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o consumo de gasolina
do seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse consumo é constante. Con-
siderando essas informações, julgue o item que se segue.
Se a referida distância de São Paulo a Brasília for calculada em jardas, admitindo-se que o valor aproxi-
mado de uma jarda seja 90 cm, então a distância entre essas cidades será de, aproximadamente,
1.222.222 jardas.
139
RESOLUÇÃO:
Para que se possa comparar grandezas, elas devem estar sempre na mesma unidade. Por isso, optou-se
por transformar as medidas dadas em metros para poder comparar com jardas. Sabendo que: 1 jarda =
90 cm = 0,9 m
Como 1 km = 10³ m
1.100 km = 1.100 * 10³ m
Note que a coluna da esquerda está em jardas e da direita em metros. Por isso, é importante transformar
as unidades, não sendo possível colocar os 90 cm direto na regra de três.
1.100 × 103
𝑑 =
0,9
𝑑 = 1.222.222,22 𝑗𝑎𝑟𝑑𝑎𝑠
𝑑 ≅ 1.222.222 𝑗𝑎𝑟𝑑𝑎𝑠
Gabarito: CERTO.
70. (CESPE/FUB/2018) O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares deve vi-
ajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá percorrer aproxima-
damente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o consumo de gasolina
do seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse consumo é constante. Con-
siderando essas informações, julgue o item que se segue.
RESOLUÇÃO:
Seja x o volume de gasolina, em litros, consumidos na viagem, e sabendo que o veículo percorreu 1.100
km. Por regra de três simples:
10 km ---------- 1 litro
1.100 km ----- x
1.100
𝑥 =
10
140
𝑥 = 110 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑥 = 110 𝑑𝑚³
Assim o veículo não consumirá 110.000 dm³ de gasolina e sim 110 dm³.
Gabarito: ERRADO.
71. (CESPE/BNB/2018) O item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma asser-
tiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e porcentagem.
Um digitador digita, em média, sem interrupção, 80 palavras por minuto e gasta 25 minutos para con-
cluir um trabalho. Nessa situação, para que o digitador conclua o mesmo trabalho em 20 minutos, sem
interrupção, ele terá que digitar, em média, 90 palavras por minuto.
RESOLUÇÃO:
● 80 palavras por minuto em 25 minutos = 80x25 = 2.000 palavras
● Assim em 20 minutos ele teria que digitar 100 palavras, vejamos
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙/20
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 2000/20
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 100 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑣𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
Gabarito: ERRADO.
72. (CESPE/PGE-PE/2018) Cada item seguinte apresenta uma situação hipotética, seguida de uma as-
sertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, porcentagens e descontos.
Pedro aplicou 25% de suas reservas em um investimento financeiro e ainda sobraram R$ 3.240. Nessa
situação, antes da aplicação, as reservas de Pedro somavam R$ 4.320.
RESOLUÇÃO:
Do valor total da reserva de Pedro, sabemos que ele aplicou 25%, ou seja, Pedro ficou com 75% de suas
reservas, que segundo a informação da questão corresponde ao valor de R$ 3.240. Para que possamos
saber o valor total da reserva de Pedro utilizaremos a regra de três, buscando identificar o valor corres-
pondente a 100% de sua reserva.
Sabendo que 75% da reserva é igual a R$ 3.240, então 100% da reserva será igual a X:
141
75% 3240
=
100% 𝑋
75 × 𝑋 = 3240 × 100
75 × 𝑋 = 324000
324000
𝑋 =
75
𝑋 = 4320
Gabarito: CERTO.
73. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Dois marceneiros e dois aprendizes, cada um trabalhando durante quatro
dias, seis horas por dia, constroem três cadeiras e uma mesa. Os marceneiros trabalham com a
mesma eficiência, mas a eficiência dos aprendizes é igual a 75% da eficiência dos marceneiros. Para
construir uma mesa, gasta-se 50% a mais de tempo que para construir uma cadeira. Nesse caso,
para construírem doze cadeiras e duas mesas em oito dias, dois marceneiros e quatro aprendizes
com eficiências iguais às daqueles citados anteriormente devem trabalhar
A) 4,2 h/dia.
B) 6 h/dia.
C) 6,3 h/dia.
D) 7 h/dia.
E) 7,5 h/dia.
RESOLUÇÃO:
O enunciado informa que a eficiência dos aprendizes é igual a 75% da eficiência dos marceneiros, ou
seja, um aprendiz corresponde a 0,75 marceneiro apenas.
Também é dito que a construção de uma mesa demanda 50% a mais de tempo que para construir uma
cadeira, ou seja, uma mesa corresponde a 1,5 cadeira.
Dessa forma, na primeira situação a força de trabalho é composta por 2 marceneiros e mais 2 ⨯ 0,75
marceneiro, o que totaliza 2 + 1,5 = 3,5 marceneiros. Já o trabalho produzido é de 3 cadeiras + 1,5 cadeira
= 4,5 cadeiras.
Por sua vez, na segunda situação há 12 cadeiras + 2⨯1,5 cadeira = 15 cadeiras a serem produzidas, e a
força de trabalho corresponde a 2 + 4⨯0,75 = 5 marceneiros. Podemos montar a seguinte regra de três
composta:
142
Precisamos analisar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais entre si. Quanto MAIS
horas por dia de trabalho, MENOS dias são necessários, e é possível produzir MAIS cadeiras utilizando
MENOS marceneiros. Então, devemos inverter as colunas dos dias e dos marceneiros:
6 5 4,5 8
= × ×
ℎ 3,5 15 4
6 1 4,5
= × ×2
ℎ 3,5 3
3 1
= × 1,5
ℎ 3,5
1 1
= × 0,5
ℎ 3,5
3,5
𝒉= = 𝟕 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒂
0,5
Gabarito: D.
RESOLUÇÃO:
O problema trata de proporcionalidade. Organizando os dados fornecidos pelo enunciado em uma ta-
bela, temos:
143
Tempo X Ovos: quanto MAIOR o tempo MAIOR é a quantidade de ovos produzida. Portanto, são gran-
dezas DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.
Tempo X Máquinas: quanto MAIOR a quantidade de máquinas MENOS tempo é necessário. Portanto,
são grandezas INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Tempo X Empregados: quanto MAIOR o número de empregados MENOS tempo é necessário. Portanto,
são grandezas INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Gabarito: E.
No Brasil, o calçado que deixou a pegada referida no texto tem numeração 38.
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar as informações. Uma nota de R$ 2,00 é um retângulo medindo 14 cm × 6,4 cm. Se a nota
mede 14 cm de comprimento, e ela equivale a 55% do tamanho da pegada, logo:
55% ------ 14 cm
100% ----- X
55 × 𝑋 = 14 × 100
𝑋 = 1400/55
𝑋 ≅ 25,45 𝑐𝑚.
144
• 67% de N mais se aproxima do comprimento do solado. Com isso, 100% representa a numeração.
Logo:
𝑋 × 67 = 25,45 × 100
𝑋 = 2.545 / 67.
𝑋 ≅ 38.
Logo, o calçado que deixou a pegada referida no texto tem numeração 38.
Gabarito: CERTO.
76. (CESPE/FUB/2016) Diariamente, o tempo médio gasto pelos servidores de determinado departa-
mento para executar suas tarefas é diretamente proporcional à quantidade de tarefas executadas
e inversamente proporcional à sua produtividade individual diária P. Com base nessas informações,
julgue os itens a seguir.
Se, na segunda-feira, um servidor gastou 6 horas para executar todas as 15 tarefas a seu encargo e, na
sexta-feira, ele gastou 7 horas para executar as suas 18 tarefas, então, nessa situação, o servidor man-
teve a mesma produtividade nesses dois dias.
RESOLUÇÃO:
O enunciado afirma ainda que a produtividade foi a mesma tanto na segunda como na sexta e a questão
pergunta se isso é verdadeiro ou falso. Como precisamos avaliar mais de duas grandezas, utilizamos a
regra de três composta. Sendo P um valor qualquer para a produtividade na segunda-feira, e x um valor
qualquer para sexta-feira. Temos:
Como o tempo é inversamente proporcional (indicado pela seta vermelha), invertemos na equação, de
modo que:
Agora, para que a afirmativa do enunciado seja verdadeira,"...o servidor manteve a mesma produtivi-
dade nesses dois dias...", quando x = P a equação tem que ser verdadeira, assim testando essa hipótese:
105𝑃 = 108𝑃
145
Gabarito: ERRADO.
77. (CESPE/FUB/2016) Diariamente, o tempo médio gasto pelos servidores de determinado departa-
mento para executar suas tarefas é diretamente proporcional à quantidade de tarefas executadas
e inversamente proporcional à sua produtividade individual diária P. Com base nessas informações,
julgue os itens a seguir.
Se, na quarta-feira, um servidor tinha 13 tarefas de sua responsabilidade para executar e se nas 3 primei-
ras horas de trabalho ele executou 5 dessas tarefas, então, mantendo essa produtividade, ele gastou
menos de 8 horas para concluir as 13 tarefas na quarta-feira.
RESOLUÇÃO:
O enunciado afirma que o servidor gastou menos de 8 horas para concluir as 13 tarefas na quarta-feira.
Precisamos verificar se isso é verdade. Logo:
"Se nas 3 primeiras horas de trabalho ele executou 5 dessas tarefas, em 8 horas quantas ele terá execu-
tado?"
Como o valor de x é superior a 13h então o servidor já terá concluído as 13 tarefas antes das 8 horas.
Gabarito: CERTO.
146
RESOLUÇÃO:
O enunciado afirma que Carlos analisa 5 documentos em 10 minutos. Já para executar a análise dos 60
documentos que lhe cabe, ele gasta x minutos. Montando as frações da regra de três, obteremos:
10 𝑚𝑖𝑛 5 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
=
𝑥 𝑚𝑖𝑛 60 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
Resolvendo a regra de três, por meio da aplicação das propriedades das proporções, teremos:
5𝑥 = 60 . 10 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟐𝟎
Logo, Carlos concluiu a análise de sua parte dos documentos em 120 min = 2 horas.
Gabarito: Errado.
79. (CESPE/TCU/2015) Recentemente, a empresa Fast Brick Robotics mostrou ao mundo um robô, co-
nhecido como Hadrian 105, capaz de construir casas em tempo recorde. Ele consegue trabalhar algo
em torno de 20 vezes mais rápido que um ser humano, sendo capaz de construir até 150 casas por
ano, segundo informações da empresa que o fabrica.
Internet: <www.fastbrickrobotics.net> (com adaptações).
Se um único robô constrói uma casa de 100 m² em dois dias, então 4 robôs serão capazes de construir 6
casas de 75 m² em menos de dois dias.
RESOLUÇÃO:
Para se dar bem em questões do tipo regra de três composta, basta seguir uma receita de bolo. A difi-
culdade desse tipo de questão surge quando o candidato não consegue identificar se a grandeza é direta
ou inversamente proporcional. Por isso é importante para os alunos com mais dificuldade nesse tipo de
questão que treinem bastante para ganhar confiança.
Vamos à questão:
Mais robôs trabalhando = menos dias para concluir o trabalho = grandezas inversamente proporcionais;
147
Mais casas para se construir = mais dias para concluir o trabalho = grandezas diretamente proporcionais;
Maior área a ser construída = mais dias para concluir o trabalho = grandezas diretamente proporcionais;
Então a única coluna que precisará ter os números invertidos é a coluna dos robôs.
𝑥 × 4 × 1 × 100 = 1 × 6 × 75 × 2
400. 𝑥 = 900
𝑥 = 900 / 400 = 2,25
Logo, serão necessários 2,25 dias para 4 robôs construírem 6 casas de 75 m². Número superior a 2 dias.
Gabarito: ERRADO.
RESOLUÇÃO:
O enunciado exige do candidato conhecimentos básicos de PORCENTAGEM, além da correta aplicação
da REGRA DE TRÊS. Aqui precisávamos apenas aplicar uma regrinha três simples, sem a necessidade
de fazer cálculos adicionais de porcentagem.
Temos que:
Assim temos que as irregularidades representam 80% e como a assertiva afirma que o total de irregula-
ridades representa MAIS de 70%, então afirmação CORRETA (80%>70%)
Gabarito: CERTO.
148
Considere que os 30 atendentes desse serviço de telemarketing sejam igualmente eficientes e atendam
a 1.800 ligações trabalhando, cada um deles, 6 horas por dia. Considere, ainda, que a empresa deseje
contratar novos atendentes, tão eficientes quanto os que lá estão, para diminuir a jornada de trabalho
para 5 horas, mas que a nova equipe — os 30 atendentes antigos e os novos contratados — passe a aten-
der a 2.000 ligações diariamente. Nesse caso, a nova equipe deverá ser composta por menos de 42 aten-
dentes.
RESOLUÇÃO:
A questão pede conhecimento de regra de três composta. Montando a tabela:
1800 30 6
= ×
2000 𝑥 5
6
𝑋 = 2000 × 30 × × 1800
5
360
𝑋 = = 40
9
Gabarito: CERTO.
82. (CESPE/ANTAQ/2014) No item seguinte, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma
assertiva a ser julgada.
Em uma repartição pública, 20 servidores, igualmente eficientes, trabalhando 6 horas ao dia analisam,
em 14 dias, 300 processos. Nessa situação, caso ocorra redução da força de trabalho em 40% e aumento
de jornada em 50%, em 10 dias serão analisados mais de 195 processos.
RESOLUÇÃO:
Como os servidores são igualmente eficientes, podemos lidar com as múltiplas grandezas usando regra
de três composta. Temos grandezas como número de servidores, horas diárias, dias e processos.
149
Inicialmente, vamos colocar os dados de que 20 servidores, trabalhando 6 horas ao dia analisam, em 14
dias, 300 processo Na nova configuração, teremos redução de 40% do número de servidores. Além
disso, há aumento em 50% do número de horas diárias.
Dessa forma, vamos ter que descobrir quantos processos são analisados em 10 dias com 12 servidores
trabalhando 9 horas por dia.
Como todas as grandezas são diretamente proporcionais à incógnita, isto é, quanto maior for o nú-
mero de horas diárias, dias ou de servidores, maior será o número de processos analisados. Assim, po-
demos montar a equação sem precisar inverter nada, ou seja:
Ou seja, um pouco menos de 193 processos seriam analisados em 10 dias na nova configuração, mas não
chega a 195.
Gabarito: ERRADO.
83. (CESPE/ANTAQ/2014) A seguir são apresentadas alternativas logísticas hipotéticas para o trans-
porte de 20.000 t de soja em grãos a partir do norte do estado de Mato Grosso com destino à expor-
tação.
< rota sul – via rodoviária direta até Paranaguá – PR, com 2.500 km de estradas;
< rota norte – transporte multimodal, por rodovia de 400 km, até Porto Velho – RO e, em seguida,
pela hidrovia do rio Madeira até Itacoatiara – AM, trecho aproximado de 1.000 km.
A parcela do frete rodoviário do norte do Mato Grosso a Porto Velho – RO pela rota norte é superior a
R$ 1 milhão.
RESOLUÇÃO:
150
Temos que na rota norte 400 km são feitos de caminhão. Assim, por regra de três simples temos:
𝑋 = 2.000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Mas este valor é pra 1 km. Novamente, por regra de três simples:
𝑌 = 800.000,00 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Gabarito: ERRADO.
84. (CESPE/TJ-PR/2019) Um grupo de técnicos do TJ/PR é composto por estudantes universitários: a metade
dos estudantes cursa administração; um quarto deles cursa direito; e o restante, em número de quatro, faz
o curso de contabilidade. Nesse caso, a quantidade de estudantes desse grupo é igual a
a) 12
b) 16
c) 20
d) 24
e) 32.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x a quantidade de estudantes. De acordo com os dados do enunciado, temos:
Como a soma das quantidades de alunos dos cursos de administração, direito e contabilidade é igual ao
total de estudantes, ficamos com:
𝑥 𝑥
𝑥= + +4
2 4
2𝑥 + 𝑥 + 16
𝑥=
4
4𝑥 = 3𝑥 + 16
𝒙 = 𝟏𝟔
Portanto, concluímos que a quantidade de estudantes desse grupo é dada por 16.
Gabarito: B.
151
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de h e m, respectivamente, as quantidades de homens e mulheres. O enunciado informa
que o total de pessoas é 50:
ℎ + 𝑚 = 50
ℎ = 50 – 𝑚 (I)
É dito que em determinada sessão plenária estavam presentes 20% das mulheres e 10% dos homens,
totalizando 7 pessoas:
20% 𝑑𝑒 𝑚 + 10% 𝑑𝑒 ℎ = 7
0,20𝑚 + 0,10ℎ = 7 (II)
Gabarito: D.
86. (CESPE/FUB/2018) Paulo, Maria e João, servidores lotados em uma biblioteca pública, trabalham na cata-
logação dos livros recém-adquiridos. Independentemente da quantidade de livros a serem catalogados em
cada dia, Paulo cataloga 1/4, Maria cataloga 1/3 e João, 5/12.
Se, em determinado dia Maria, catalogar 20 livros a mais que Paulo, então, nesse dia, João catalogará
mais de 90 livros.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x o total de livros catalogados em determinado dia. Neste caso, Paulo cataloga x/4,
Maria cataloga x/3 e João, 5x/12. O enunciado informa que Maria cataloga 20 livros a mais que Paulo.
Ou seja:
𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜 + 20
152
𝑥 𝑥
= + 20
3 4
𝑥 𝑥
− = 20
3 4
4𝑥 − 3𝑥
= 20
12
𝒙 = 20 . 12 = 𝟐𝟒𝟎
Portanto, a quantidade de livros catalogados por João será:
5𝑥 5 . 240
= = 5 . 20 = 100
12 12
87. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Maria fez compras em três lojas. Em cada uma das lojas em que ela entrou, a com-
pra feita foi paga, sem haver troco, com a quarta parte da quantia que ela tinha na bolsa ao entrar na loja.
Ao sair da terceira loja, Maria tinha R$ 270 na bolsa. Nesse caso, é correto afirmar que, ao entrar na pri-
meira loja, Maria tinha na bolsa
a) R$ 1.080.
b) R$ 2.430.
c) R$ 7.290.
d) R$ 640.
e) R$ 810.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x a quantia inicial que Maria possuía. Se Maria paga com 1/4 do que ela tem na bolsa,
sobra após sair da loja o valor de 3/4 do que ela tinha antes de entrar na loja. Conforme descrito no
enunciado, ao sair da primeira loja, ela fica com:
3/4 de x
Em seguida, ao sair da segunda loja, ela fica com 3/4 da quantia restante anterior:
3/4 de 3/4 de x
Finalmente, ao sair da terceira loja, ela fica com 3/4 da quantia restante anterior:
3 3 3
. . . 𝑥 = 270
4 4 4
27
𝑥 = 270
64
153
270 . 64
𝒙= = 10 . 64 = 𝟔𝟒𝟎
27
Portanto, ao entrar na primeira loja, Maria tinha na bolsa 640 reais.
Gabarito: D.
88. (CESPE/SEFAZ-RS/2019) Um grupo de 256 auditores fiscais, entre eles Antônio, saiu de determinado órgão
para realizar trabalhos individuais em campo. Após cumprirem suas obrigações, todos os auditores fiscais
retornaram ao órgão, em momentos distintos. A quantidade de auditores que chegaram antes de Antônio
foi igual a um quarto da quantidade de auditores que chegaram depois dele. Nessa situação hipotética,
Antônio foi o
A) 46.º auditor a retornar ao órgão.
B) 50.º auditor a retornar ao órgão.
C) 51.º auditor a retornar ao órgão.
D) 52.º auditor a retornar ao órgão.
E) 64.º auditor a retornar ao órgão.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x o número de auditores que chegaram antes de Antônio. Então, temos que 255 – x
chegaram depois dele. O enunciado informa que a quantidade de auditores que chegaram antes de An-
tônio foi igual a um quarto da quantidade de auditores que chegaram depois dele. Logo:
1
𝐴𝑢𝑑𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = . 𝐴𝑢𝑑𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠
4
1
𝑥 = . (255 − 𝑥)
4
255 𝑥
𝑥= −
4 4
𝑥 255
𝑥+ =
4 4
5𝑥 255
=
4 4
255
𝒙= = 𝟓𝟏
5
Assim, concluímos que 51 pessoas chegaram antes de Antônio, de modo que ele foi o 52º auditor a che-
gar.
Gabarito: D.
89. (CESPE/TRE-MT/2010) Considere que o responsável pelo almoxarifado de uma empresa tenha encomen-
dado resmas de papel branco, ao preço de R$ 11,00 a resma, e de papel reciclado, ao preço de R$ 13,00 a
resma, para uso em impressoras. A encomenda foi de 324 resmas e o valor total a ser pago é de R$ 3.970,00.
Nessa situação, é correto afirmar que a quantidade de resmas de papel reciclado encomendada foi
a) inferior a 162.
b) superior a 162 e inferior a 210.
c) superior a 210 e inferior a 305.
d) superior a 305 e inferior a 361.
e) superior a 361.
RESOLUÇÃO:
154
Vamos chamar de x a resma de papel branco e de y a resma de papel reciclado. O enunciado informa
que foi realizada uma encomenda de 324 resmas ao todo:
𝑥 + 𝑦 = 324 (𝐼)
Também é dito que cada resma de papel branco custa R$ 11,00, ao passo que cada resma de papel reci-
clado foi encomendada por R$ 13,00. Logo:
𝑥 = 324 − 𝑦
Durante determinado dia de trabalho foram atendidas 1.400 ligações. Os atendentes do grupo I
atenderam, nesse dia, 520 ligações, ao passo que os atendentes do grupo II atenderam 100 ligações
a mais que a metade das ligações atendidas pelos atendentes do grupo III.
Nessa situação, os atendentes do grupo III, nesse dia, atenderam mais de 500 ligações.
RESOLUÇÃO:
O enunciado informa que durante determinado dia de trabalho foram atendidas 1.400 ligações. Os aten-
dentes do grupo I atenderam, nesse dia, 520 ligações. Então, para os outros dois grupos sobraram 1.400
– 520 = 880 ligações.
Em seguida, é dito que os atendentes do grupo II atenderam 100 ligações a mais que a metade das liga-
ções atendidas pelos atendentes do grupo III. Suponha que os atendentes do grupo III ficaram com x
ligações. Então, os do grupo II ficaram com 100 a mais que a metade de x: 100 + x/2. Ao somarmos as
duas quantidades, temos 880:
100 + 𝑥/2 + 𝑥 = 880
155
1,5𝑥 = 780
𝒙 = 780/1,5 = 1.560/3 = 𝟓𝟐𝟎
91. (CESPE /MDIC/2014) Se Aldo, Pedro e Júlia confeccionarem, conjuntamente, 50 camisetas em uma semana;
se a soma das quantidades confeccionadas por Aldo e Júlia for 2 unidades a mais que o dobro da quantidade
confeccionada por Pedro; e se a quantidade confeccionada por Pedro for 3 unidades a menos que a quan-
tidade confeccionada por Júlia, então Pedro confeccionará, nessa semana, mais de 15 camisetas.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de a, p e j as quantidades confeccionadas, respectivamente, por Aldo, Pedro e Júlia.
Na tabela a seguir consta a tradução de cada informação do enunciado em uma equação:
Nos parênteses da equação (I) temos a + j, quantia esta que corresponde a 2 + 2p, conforme equação
(II). Logo:
(2 + 2𝑝) + 𝑝 = 50
2 + 3𝑝 = 50
3𝑝 = 48
𝒑 = 𝟏𝟔
92. (CESPE/TCE-RS/2013) Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitaliza-
das, são separadas e distribuídas entre 7 servidores — 4 servidores recém-contratados e 3 servidores anti-
gos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de a e n as quantidades de páginas digitalizadas pelos antigos e pelos novatos, respecti-
vamente. O enunciado informa que o total de páginas digitalizadas é 28.000:
156
a + n = 28.000 (I)
Também é dito que os antigos digitalizaram 5.000 páginas a mais que os novatos:
a – n = 5.000 (II)
93. (CESPE/TRE-ES/2011) Em determinado município, há, cadastrados, 58.528 eleitores, dos quais 29.221 de-
clararam ser do sexo feminino e 93 não informaram o sexo.
Se, entre os eleitores que não informaram o sexo, o número de eleitores do sexo masculino for o dobro
do número de eleitores do sexo feminino, então, nesse município, os eleitores do sexo masculino são
maioria.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos trabalhar com as 93 pessoas que não declararam o sexo. Sendo x a quantidade de
mulheres que não declarou o sexo, a quantidade de homens que não declarou o sexo é 2x, pois é o dobro
da quantidade de mulheres. Somando as duas quantias, o resultado é 93:
𝑥 + 2𝑥 = 93
3𝑥 = 93
𝒙 = 𝟑𝟏
O enunciado informa que são 29.221 mulheres declaradas, mais 31 não declaradas, de modo que o total
de mulheres é 29.221 + 31 = 29.252. Também é dito que são 58.528 eleitores, dos quais 29.252 são mu-
lheres. O restante corresponde aos homens: 58.528 − 29.252 = 29.276. Perceba que o número de homens
é maior do que o de mulheres. Portanto, os eleitores do sexo masculino realmente são maioria.
Gabarito: Certo.
94. (CESPE/TRE-ES/2011) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os
tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor,
respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores
da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção
eleitoral que tem o maior número de eleitores é a X.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x, y e z, o número de eleitores das seções X, Y e Z, respectivamente. O enunciado
informa que as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1500 (𝐼)
157
Também é dito que o tempo médio de votação na seção X é 1 minuto e 30 segundos, na seção Y é 2
minutos e na seção Z é 1 minuto por eleitor. Assim, o tempo total gasto em cada seção foi:
Mas, o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos. Ou seja, a soma dos tempos médios
de votação nas três seções é de 2.175 minutos, então:
Ainda, sabemos que, o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores
das seções X e Z:
𝑦 = (𝑥 + 𝑧)/2
𝑥 + 𝑧 = 2𝑦 (𝐼𝐼𝐼)
2𝑦 + 𝑦 = 1.500
3𝑦 = 1.500
𝒚 = 𝟓𝟎𝟎 𝒆𝒍𝒆𝒊𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
Por fim, substituindo os valores de y = 500 e z = 1000 − x na equação (II), ficamos com:
Portanto, a seção X tem 350 eleitores, a seção Y tem 500 eleitores e a Z tem 650 eleitores, de modo que
a seção com maior número de eleitores é a Z.
Gabarito: Errado.
158
159
LISTA DE QUESTÕES
CESPE
2. (CESPE/BACEN/2013) A numeração das notas de papel-moeda de determinado país é constituída por duas
das 26 letras do alfabeto da língua portuguesa, com ou sem repetição, seguidas de um numeral com 9
algarismos arábicos, de 0 a 9, com ou sem repetição. Julgue o próximo item, relativo a esse sistema de
numeração.
Considere que, até o ano 2000, as notas de papel-moeda desse país fossem retangulares e medissem 14
cm × 6,5 cm e que, a partir de 2001, essas notas tivessem passado a medir 12,8 cm × 6,5 cm, mas tivessem
mantido a forma retangular. Nesse caso, com o papel-moeda gasto para se fabricar 10 notas de acordo
com as medidas adotadas antes de 2000 é possível fabricar 11 notas conforme as medidas determinadas
após 2001.
Na terceira etapa do debate serão feitas mais perguntas que na primeira etapa.
160
mediador selecionará aleatoriamente dois candidatos e o primeiro formulará uma pergunta para o segundo
responder. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte.
6. (CESPE/TC-DF/2014) Em uma empresa, as férias de cada um dos 50 empregados podem ser marcadas na
forma de trinta dias ininterruptos, ou os trinta dias podem ser fracionados em dois períodos de quinze dias
ininterruptos ou, ainda, em três períodos de dez dias ininterruptos. Em 2013, depois de marcadas as férias
de todos os 50 empregados, constatou-se que 23, 20 e 28 deles marcaram os trinta dias de férias ou parte
deles para os meses de janeiro, fevereiro e junho, respectivamente. Constatou-se, também, que, nesse ano,
nenhum empregado marcou férias para algum mês diferente dos mencionados. Tendo como referência
essas informações, julgue o item que se segue.
Suponha que, em 2013, mais de 5/6 dos empregados que não marcaram férias para fevereiro eram do
sexo feminino e mais de 2/3 dos que não marcaram férias para janeiro eram do sexo masculino. Nessa
situação, é correto afirmar que, em 2013, havia na empresa no máximo 12 mulheres a mais que homens.
Considere que, separando-se o grupo de passageiros selecionados que visitou o país A, o grupo que vi-
sitou o país B e o grupo que visitou o país C, seja verificado, em cada um desses grupos, que pelo menos
a metade dos seus componentes era do sexo masculino. Nessa situação, conclui-se que o grupo de 30
passageiros selecionados tem, no máximo, 14 mulheres.
8. (CESPE/SEFAZ-RS/2019) Um grupo de 256 auditores fiscais, entre eles Antônio, saiu de determinado órgão
para realizar trabalhos individuais em campo. Após cumprirem suas obrigações, todos os auditores fiscais
retornaram ao órgão, em momentos distintos. A quantidade de auditores que chegaram antes de Antônio
foi igual a um quarto da quantidade de auditores que chegaram depois dele. Nessa situação hipotética,
Antônio foi o
A) 46.º auditor a retornar ao órgão.
B) 50.º auditor a retornar ao órgão.
C) 51.º auditor a retornar ao órgão.
D) 52.º auditor a retornar ao órgão.
E) 64.º auditor a retornar ao órgão.
9. (CESPE/MDIC/2014) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram
abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este
161
ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com
base nessas informações, julgue o próximo item.
O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que
encerraram as atividades este ano.
10. (CESPE/MDIC/2014) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram
abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este
ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com
base nessas informações, julgue o próximo item.
O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores
é superior a 110.
11. (CESPE/MDIC/2014) Em um grupo de 2.000 empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram
abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este
ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. Com
base nessas informações, julgue o próximo item.
Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e que
cada equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar
que a capacidade operacional do órgão está limitada ao acompanhamento simultâneo de cinco
programas de governo.
13. (CESPE/TRT 10ª Região/2013) Em um jogo para dois jogadores constituído por uma pilha de 1.000 palitos,
cada jogador retira da pilha, alternadamente e sem reposição, uma quantidade de palitos, a qual pode
consistir em 1 palito, 2 palitos, 3 palitos, 4 palitos ou 5 palitos. Nesse jogo, ganha o jogador que retirar o
último palito da pilha. Acerca do jogo descrito, julgue o item que se segue.
Do início ao término do jogo, é possível que algum dos jogadores faça menos de 100 retiradas de palitos.
14. (CESPE/TRE-ES/2011)
162
A quantidade de candidatos a deputado federal, estadual ou distrital é superior a 100 vezes a quantidade
de candidatos ao Senado.
15. (CESPE/INSS/2008) O instituto de previdência privada IPP paga, no início de cada mês, a cada um de seus
segurados, um auxílio - que pode ser auxílio-doença ou auxílio-maternidade - no valor de R$ 500,00.
Também no início de cada mês, o IPP concede 800 novos auxílios-doença e uma quantidade constante x de
auxílios-maternidade. Para o pagamento desses auxílios, o IPP recorre a uma instituição financeira,
tomando empréstimos à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Com referência aos meses de janeiro,
fevereiro e março do último ano, o IPP pagou R$ 90.000,00 de juros à instituição financeira por conta dos
empréstimos para pagamento desses novos auxílios. Com base nessa situação hipotética, julgue o item
subsequente.
Com referência aos 3 meses considerados, a soma dos novos auxílios-doença pagos pelo IPP foi inferior
a R$ 2.000.000,00.
16. (CESPE/BB/2007) Fagundes saiu de casa com determinada quantia em reais e foi a quatro instituições
financeiras diferentes procurar opções para investimentos. Em cada uma das instituições, ele investiu em
poupança metade do que possuía e ainda fez um CDB no valor de R$ 2.000,00. Ao final, ele ainda possuía
R$ 6.000,00.
Nessa situação, é correto afirmar que Fagundes saiu de casa com mais de R$ 160.000,00.
17. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Maria fez compras em três lojas. Em cada uma das lojas em que ela entrou, a com-
pra feita foi paga, sem haver troco, com a quarta parte da quantia que ela tinha na bolsa ao entrar na loja.
Ao sair da terceira loja, Maria tinha R$ 270 na bolsa. Nesse caso, é correto afirmar que, ao entrar na pri-
meira loja, Maria tinha na bolsa
163
a) R$ 1.080.
b) R$ 2.430.
c) R$ 7.290.
d) R$ 640.
e) R$ 810.
18. (CESPE/SEGER-ES/AE-ES/2013) Com a finalidade de conquistar novos clientes, uma empresa de turismo
oferece gratuitamente um pacote de serviços que dá direito a até sete dias de estadia em hotéis de sua
rede conveniada, sendo necessário pagar somente uma taxa fixa — mas que pode variar de um hotel para
outro — de uso por dia e por pessoa. Caso o cliente deseje, poderá adquirir, por R$ 3.600,00, um título de
sócio que lhe dará direito a sessenta diárias por ano em qualquer hotel da rede.
Se um cliente, ao usufruir do pacote de serviços, pagou, para ele e para sua esposa, a quantia de R$ 300,00
de taxa de uso, por três dias de estadia em um hotel da rede, então, para passar os quatro dias restantes
com a esposa e com dois filhos no mesmo hotel, o cliente pagará
a) R$ 800,00.
b) R$ 900,00.
c) R$ 1.200,00.
d) R$ 400,00.
e) R$ 600,00.
19. (CESPE/TRE-ES/2011) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção
eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar,
então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais.
21. (CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se
segue. Situação hipotética: Sandra selecionou questões de concursos públicos passados para resol-
ver e, assim, se preparar para o concurso em que pretende concorrer. Ela selecionou 98 questões de
matemática, 70 questões de português, 56 questões de informática e 42 questões de direito, que
deverão ser resolvidas em determinada quantidade de dias. Ela estabeleceu as seguintes regras de
estudo:
164
Assertiva: Nessa situação, de todas as disciplinas, Sandra deverá resolver 19 questões por dia durante
14 dias.
22. (CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se
segue. Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e menor
que 700. Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo
com 3 revistas. O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em con-
juntos de 20 revistas: sempre sobrava um conjunto com 3 revistas.
Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui 563 revistas.
23. (CESPE/TRE-ES/2013) Os garotos João e Pedro vão passear de bicicleta em uma pista circular, se-
guindo sempre em uma mesma direção, com velocidades diferentes. Eles iniciaram o passeio par-
tindo, no mesmo instante, de um mesmo ponto e combinaram encerrar o passeio quando se encon-
trarem pela primeira vez no ponto de partida. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Se, para completar cada volta na pista, João gasta 20 minutos e Pedro 24, então o passeio dos garotos
durará menos de 2 horas.
24. (CESPE/PC-DF/2013) Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em
locais de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo masculino, jul-
gue o seguinte item.
É impossível dividir as 300 pessoas em grupos de modo que todos os grupos tenham a mesma quanti-
dade de mulheres e a mesma quantidade de homens.
Considere que um veículo desse órgão tenha percorrido x km no primeiro ano, isto é, no ano que foi
comprado, e que, em cada um dos 4 anos seguintes, tenha percorrido x/2 km, x/3 km, x/4 km e x/5 km.
165
Nesse caso, se nesses 5 anos, esse veículo percorreu 68.500 km, então, no primeiro ano, ele percorreu
mais de 28.000 km.
Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e
um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um
percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas
partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora
após
A) 45 dias.
B) 60 dias.
C) 10 dias.
D) 15 dias.
E) 30 dias.
28. (CESPE/CORREIOS/2011) Em um bairro onde as casas foram todas construídas de acordo com um
projeto padrão, os lotes têm 12 metros de frente, em cada lote a caixa de correspondências fica
sempre na mesma posição e os postes de iluminação pública são espaçados em 50 metros. O car-
teiro que entrega correspondências nesse bairro percebeu que a caixa de correspondências da pri-
meira casa de uma rua bastante longa fica exatamente atrás de um poste de iluminação. Nesse
caso, caminhando nessa rua e desconsiderando os possíveis espaços entre dois lotes vizinhos, até
que encontre a próxima caixa de correspondências atrás do poste de iluminação, o carteiro deverá
percorrer uma distância igual a
A) 210 metros.
166
B) 255 metros.
C) 300 metros.
D) 120 metros.
E) 165 metros.
29. (CESPE/CORREIOS/2011) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido
com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre
ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
A) mais de 30 cm.
B) menos de 15 cm.
C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
30. (CESPE/CORREIOS/2011) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear
seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organi-
zados em pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. Com base nas
informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso e se esse
peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará.
A) 8,3 kg
B) 8,4 kg
C) 8 kg
D) 8,1 kg
E) 8,2 kg
Considere que um taxista lave o seu veículo a cada 10 dias e calibre os pneus a cada 15 dias. Se hoje é dia
de ele lavar seu veículo e calibrar os pneus, então, daqui a 30 dias, ele realizará novamente essas duas
tarefas no mesmo dia.
32. (CESPE/PREF. RIO BRANCO/2007) Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para
plantar em uma região de sua fazenda. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Considere que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda, de
forma que todos os empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma
quantidade de mudas de copaíba e que nenhuma muda tenha sobrado. Nessa situação, é correto afirmar
que o número máximo de empregados da fazenda é 4.
167
33. (CESPE/PREF. RIO BRANCO/2007) Julgue o item que se segue, a respeito dos números naturais e
das operações fundamentais com números naturais.
Considere que, para curar uma infecção bastante grave, o médico receitou a um paciente 3 tipos de an-
tibióticos, em comprimidos, A, B e C, que deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco em cinco
horas, de doze em doze horas e de quinze em quinze horas. No sábado, às seis horas da manhã, o paci-
ente ingeriu os três comprimidos juntos. Nessa situação, o paciente ingerirá os três comprimidos juntos
novamente às dezoito horas de segunda-feira.
34. (CESPE/MPE-TO/2006) A respeito dos números 72 e 108, é correto afirmar que o mínimo múltiplo
comum entre eles é igual a 512.
35. (CESPE/MPE-TO/2006) A respeito dos números 72 e 108 é correto afirmar que o máximo divisor co-
mum entre eles é igual a 12.
A próxima partida simultânea de navios do porto de Belém para Manaus e Santarém ocorrerá ao meio-
dia do dia 8 de março.
37. (CESPE/TRT-10/2004) Um juiz deve julgar 52 processos, que estão separados, por assunto, em 3
grupos. Sabe-se que o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os
números de processos em cada um dos grupos são 4 e 48, respectivamente. Acerca desses grupos
de processos, julgue o item seguinte.
38. (CESPE/TERRACAP/2004) Marcelo é um marceneiro que trabalha por conta própria fabricando e
consertando móveis. Ele adquiriu uma chapa de compensado, retangular, medindo 2,20 m de com-
primento por 1,80 m de largura e 2 cm de espessura. Com relação a esse compensado e aos móveis
que podem ser fabricados por Marcelo a partir dessa peça, julgue o item que se segue.
Se Marcelo quiser fabricar painéis quadrados, todos iguais, do maior tamanho possível e de forma que,
desprezando as perdas com os cortes, não sobre material, então ele fabricará mais de 100 painéis.
39. (CESPE/TERRACAP/2004) Um terreno retangular, medindo 504 m de largura por 2.940 m de com-
primento, vai ser loteado para atender a um programa de assentamento de famílias de baixa renda.
168
Para evitar problemas de medição, todos os lotes terão dimensões — largura e comprimento — in-
teiras. Além disso, cada família receberá apenas um lote. Com relação a esse loteamento, julgue o
item a seguir.
Para não haver reclamação de favorecimentos, as autoridades resolveram que todos os lotes seriam
quadrados, de mesma área, da maior área possível e de forma que o terreno seja totalmente ocupado.
Nesse caso, sem considerar as ruas e calçadas, será possível atender a apenas 210 famílias inscritas no
programa
Nessa situação, o carpinteiro deve dividir os sarrafos em partes que tenham 6 m de comprimento cada.
Nessa situação, o carpinteiro obterá mais de 10 pedaços de madeira após as divisões corretas dos sarra-
fos.
Considere que os tempos gastos por uma lancha e por um barco para atravessar um rio e iniciar o retorno
ao ponto de partida são, respectivamente, iguais a 50 min e 30 min. Se a lancha e o barco saem do
mesmo ponto às 7 horas da manhã, então, eles chegarão juntos do outro lado do rio, pela primeira vez,
quando a lancha completar a sua terceira travessia.
Márcia, Cláudia e Laura, enfermeiras de um hospital, dão plantões em regime de rodízio. Márcia dá plan-
tão a cada 3 dias, Cláudia, a cada 4 dias e Laura, a cada 5 dias. Se as três enfermeiras deram plantão hoje,
então a próxima data em que as três darão plantão juntas novamente será daqui a mais de 50 dias.
44. (CESPE/PREF. ARACAJU/2003) Em uma farmácia existem 90 frascos do remédio A e 198 do remédio
B, que devem ser guardados em caixas. Cada caixa deve conter remédio de um só tipo e todas elas,
o mesmo número de frascos. As caixas devem conter o maior número possível de frascos. Com base
nessas informações, julgue o item a seguir.
169
45. (CESPE/PREF. ARACAJU/2003) Em uma farmácia existem 90 frascos do remédio A e 198 do remédio
B, que devem ser guardados em caixas. Cada caixa deve conter remédio de um só tipo e todas elas,
o mesmo número de frascos. As caixas devem conter o maior número possível de frascos. Com base
nessas informações, julgue o item a seguir.
A quantidade de caixas necessárias para guardar todos os frascos dos remédios A e B é superior a 15.
46. (CESPE/PREF. SÃO CRISTOVÃO/2019) Há cinco anos, João, Paulo e Miguel se associaram para montar uma
lanchonete. João entrou com R$ 80.000; Paulo, com R$ 120.000; e Miguel, com R$ 200.000. A lanchonete
foi vendida, hoje, por R$ 3.200.000 e essa quantia foi dividida entre os três de forma diretamente propor-
cional aos valores que cada um investiu. A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considerando o lucro obtido com a venda, é correto inferir que, enquanto na propriedade dos três, a
lanchonete teve uma valorização média anual inferior a R$ 600.000.
47. (CESPE/PREF. SÃO CRISTOVÃO/2019) Há cinco anos, João, Paulo e Miguel se associaram para montar uma
lanchonete. João entrou com R$ 80.000; Paulo, com R$ 120.000; e Miguel, com R$ 200.000. A lanchonete
foi vendida, hoje, por R$ 3.200.000 e essa quantia foi dividida entre os três de forma diretamente propor-
cional aos valores que cada um investiu. A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
João recebeu menos de R$ 700.000.
48. (CESPE/CAGE-RS/2018) João, Pedro e Tiago, três investidores amadores, animados com a popularização das
criptomoedas, investiram 12, 14 e 24 mil reais, respectivamente, em moeda virtual. Após uma semana do
investimento, eles perceberam que o prejuízo acumulado, que era de 8 mil reais, deveria ser dividido entre
os três, em proporção direta aos valores investidos. Nessa situação, em caso de desistência do investimento
após a constatação do prejuízo, João, Pedro e Tiago receberão, respectivamente, as quantias, em reais, de
a) 9.340, 11.340 e 21.340.
b) 10.080, 11.760 e 20.160.
c) 11.920, 13.240 e 22.840.
d) 2.660, 2.660 e 2.660.
e) 1.920, 2.240 e 3.840.
49. (CESPE/MDIC/2014) Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de aber-
tura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise,
com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional à
participação financeira de cada um dos sócios no ato de abertura da loja.
Se o lucro obtido ao final de determinado mês for igual a R$ 7.000,00, então a parcela de Cláudia no
lucro será superior a R$ 1.700,00 nesse mês.
170
50. (CESPE/MDIC/2014) Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e
adulto, de modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos sejam inversa-
mente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica
destinar-se-á ao público jovem.
53. (CESPE/IBAMA/2012) Um órgão de controle, ao aplicar sanções contra empresas petroleiras cujas ativida-
des resultem em agressão ao meio ambiente, determina o valor da multa, em reais, de modo proporcional
ao volume de petróleo derramado, em barris, ao tempo de duração do derramamento, em semanas, e à
área da região afetada, em quilômetros quadrados. Assim, se determinada empresa petroleira deixar vazar,
por três semanas, quatro mil barris de petróleo bruto, causando a contaminação de 950 km 2 de superfície
marítima, será, em decorrência disso, multada em R$ 5.000.000,00. Com base nessas informações, julgue
o item seguinte.
Caso, depois de estancado um vazamento, o petróleo derramado avance por uma área correspondente
a 10% da área inicialmente afetada, o valor da multa recebida pela empresa aumentará 10% em relação
ao valor que seria estabelecido no momento do estanque.
54. (CESPE/Correios/2011) O trajeto de 5 km percorrido por um carteiro é formado por 2 trechos. Sabe-se que
os comprimentos desses trechos, em metros, são números diretamente proporcionais a 2 e 3. Nesse caso,
a diferença, em metros, entre os comprimentos do maior trecho e do menor trecho é igual a
a) 600
b) 1.400
c) 1.200
d) 1.000
e) 800
55. (CESPE/SEAD-SE/2009) A viagem de ônibus entre duas cidades a uma velocidade média de 90 km/h dura 6
horas — a velocidade média de um objeto é igual à razão entre a distância percorrida por esse objeto e o
tempo gasto no percurso. Pretende-se instalar nos próximos anos um trem-bala ligando essas duas cidades.
171
O trem-bala percorrerá a mesma distância entre as duas cidades, porém a uma velocidade média de 360
km/h.
57. (CESPE/TST/2008) Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas foram convo-
cados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente proporcionais aos nú-
meros 2, 3 e 5.
58. (CESPE/TST/2008) Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas foram convo-
cados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente proporcionais aos nú-
meros 2, 3 e 5.
59. (CESPE/TST/2008) Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas foram convo-
cados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram diretamente proporcionais aos nú-
meros 2, 3 e 5.
60. (CESPE/TST/2008) Os números 135, 189 e 297 são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 11, res-
pectivamente.
61. (CESPE/TJ-PA/2006) A extensão do estado do Pará, que é de 1.248.042km2, corresponde a 16,66% do terri-
tório brasileiro e 26% da Amazônia. O estado do Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo norte,
é dividido em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de pessoas. No estado do Pará, há exata-
mente 6 habitantes por km2.
62. (CESPE/Pref. Aracaju/2004) Se uma corda de 30 metros de comprimento é dividida em duas partes, cujos
comprimentos estão na razão 2/3, então o comprimento da menor parte é inferior a 14.
172
63. (CESPE/STJ/2004) Três amigos decidiram constituir uma empresa, em sociedade, para a prestação de ser-
viços técnicos nas áreas de contabilidade, informática e telefonia. O contador contribuiu com R$ 2.000,00,
o técnico em informática, com R$ 3.000,00 e o técnico em telefonia, com R$ 4.000,00. Ao final de um ano
de serviços, a empresa obteve um lucro de R$ 5.400,00 para ser dividido em partes proporcionais aos valo-
res empenhados por cada sócio.
64. (CESPE/TJ-PA/2020) Assinale a opção que indica, no contexto do desenho do serviço da ITIL, o valor
da disponibilidade semanal de um serviço acordado para funcionar por 8 horas diárias, de segunda
à sexta-feira, mas que esteve fora do ar durante 4 horas nessa semana.
A) 10,0%
B) 50,0%
C) 51,4%
D) 64,0%
E) 90,0%
65. (CESPE/TJ-PR/2019) Conforme resolução do TJ/PR, os servidores do órgão devem cumprir a jornada
das 12 h às 19 h, salvo exceções devidamente autorizadas. Em determinado dia, o servidor Ivo, de-
vidamente autorizado, saiu antes do final do expediente e, no dia seguinte, ao conferir seu extrato
do ponto eletrônico, verificou que deveria repor 3,28 horas de trabalho por conta dessa saída ante-
cipada. Nesse caso, se, no dia em que saiu antes do final do expediente, Ivo havia iniciado sua jor-
nada às 12 h, então, nesse dia, a sua saída ocorreu às
A) 15 h 28 min.
B) 15 h 32 min.
C) 15 h 43 min 12 s.
D) 15 h 44 min 52 s.
E) 15 h 57 min 52 s.
173
67. (CESPE/ABIN/2018)
Caso a produtividade de uma equipe composta de dois pedreiros e um servente seja equivalente à pro-
dutividade da composição apresentada, essa equipe tem condições de executar 100 m² de contrapiso
em 20 horas.
68. (CESPE/EMAP/2018) Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente efici-
entes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carre-
gam 12 navios. Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.
Em um mesmo dia, 8 desses operadores, trabalhando durante 7 horas, carregam mais de 15 navios.
69. (CESPE/FUB/2018) O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares deve vi-
ajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá percorrer aproxima-
damente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o consumo de gasolina
do seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse consumo é constante. Con-
siderando essas informações, julgue o item que se segue.
Se a referida distância de São Paulo a Brasília for calculada em jardas, admitindo-se que o valor aproxi-
mado de uma jarda seja 90 cm, então a distância entre essas cidades será de, aproximadamente,
1.222.222 jardas.
70. (CESPE/FUB/2018) O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares deve vi-
ajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá percorrer aproxima-
damente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o consumo de gasolina
174
do seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse consumo é constante. Con-
siderando essas informações, julgue o item que se segue.
71. (CESPE/BNB/2018) O item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma asser-
tiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e porcentagem.
Um digitador digita, em média, sem interrupção, 80 palavras por minuto e gasta 25 minutos para con-
cluir um trabalho. Nessa situação, para que o digitador conclua o mesmo trabalho em 20 minutos, sem
interrupção, ele terá que digitar, em média, 90 palavras por minuto.
72. (CESPE/PGE-PE/2018) Cada item seguinte apresenta uma situação hipotética, seguida de uma as-
sertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, porcentagens e descontos.
Pedro aplicou 25% de suas reservas em um investimento financeiro e ainda sobraram R$ 3.240. Nessa
situação, antes da aplicação, as reservas de Pedro somavam R$ 4.320.
73. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Dois marceneiros e dois aprendizes, cada um trabalhando durante quatro
dias, seis horas por dia, constroem três cadeiras e uma mesa. Os marceneiros trabalham com a
mesma eficiência, mas a eficiência dos aprendizes é igual a 75% da eficiência dos marceneiros. Para
construir uma mesa, gasta-se 50% a mais de tempo que para construir uma cadeira. Nesse caso,
para construírem doze cadeiras e duas mesas em oito dias, dois marceneiros e quatro aprendizes
com eficiências iguais às daqueles citados anteriormente devem trabalhar
A) 4,2 h/dia.
B) 6 h/dia.
C) 6,3 h/dia.
D) 7 h/dia.
E) 7,5 h/dia.
No Brasil, o calçado que deixou a pegada referida no texto tem numeração 38.
76. (CESPE/FUB/2016) Diariamente, o tempo médio gasto pelos servidores de determinado departa-
mento para executar suas tarefas é diretamente proporcional à quantidade de tarefas executadas
e inversamente proporcional à sua produtividade individual diária P. Com base nessas informações,
julgue os itens a seguir.
Se, na segunda-feira, um servidor gastou 6 horas para executar todas as 15 tarefas a seu encargo e, na
sexta-feira, ele gastou 7 horas para executar as suas 18 tarefas, então, nessa situação, o servidor man-
teve a mesma produtividade nesses dois dias.
77. (CESPE/FUB/2016) Diariamente, o tempo médio gasto pelos servidores de determinado departa-
mento para executar suas tarefas é diretamente proporcional à quantidade de tarefas executadas
e inversamente proporcional à sua produtividade individual diária P. Com base nessas informações,
julgue os itens a seguir.
Se, na quarta-feira, um servidor tinha 13 tarefas de sua responsabilidade para executar e se nas 3 primei-
ras horas de trabalho ele executou 5 dessas tarefas, então, mantendo essa produtividade, ele gastou
menos de 8 horas para concluir as 13 tarefas na quarta-feira.
176
79. (CESPE/TCU/2015) Recentemente, a empresa Fast Brick Robotics mostrou ao mundo um robô, co-
nhecido como Hadrian 105, capaz de construir casas em tempo recorde. Ele consegue trabalhar algo
em torno de 20 vezes mais rápido que um ser humano, sendo capaz de construir até 150 casas por
ano, segundo informações da empresa que o fabrica.
Internet: <www.fastbrickrobotics.net> (com adaptações).
Se um único robô constrói uma casa de 100 m² em dois dias, então 4 robôs serão capazes de construir 6
casas de 75 m² em menos de dois dias.
Considere que os 30 atendentes desse serviço de telemarketing sejam igualmente eficientes e atendam
a 1.800 ligações trabalhando, cada um deles, 6 horas por dia. Considere, ainda, que a empresa deseje
contratar novos atendentes, tão eficientes quanto os que lá estão, para diminuir a jornada de trabalho
para 5 horas, mas que a nova equipe — os 30 atendentes antigos e os novos contratados — passe a aten-
der a 2.000 ligações diariamente. Nesse caso, a nova equipe deverá ser composta por menos de 42 aten-
dentes.
82. (CESPE/ANTAQ/2014) No item seguinte, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma
assertiva a ser julgada.
177
Em uma repartição pública, 20 servidores, igualmente eficientes, trabalhando 6 horas ao dia analisam,
em 14 dias, 300 processos. Nessa situação, caso ocorra redução da força de trabalho em 40% e aumento
de jornada em 50%, em 10 dias serão analisados mais de 195 processos.
83. (CESPE/ANTAQ/2014) A seguir são apresentadas alternativas logísticas hipotéticas para o trans-
porte de 20.000 t de soja em grãos a partir do norte do estado de Mato Grosso com destino à expor-
tação.
< rota sul – via rodoviária direta até Paranaguá – PR, com 2.500 km de estradas;
< rota norte – transporte multimodal, por rodovia de 400 km, até Porto Velho – RO e, em seguida,
pela hidrovia do rio Madeira até Itacoatiara – AM, trecho aproximado de 1.000 km.
A parcela do frete rodoviário do norte do Mato Grosso a Porto Velho – RO pela rota norte é superior a
R$ 1 milhão.
84. (CESPE/TJ-PR/2019) Um grupo de técnicos do TJ/PR é composto por estudantes universitários: a metade
dos estudantes cursa administração; um quarto deles cursa direito; e o restante, em número de quatro, faz
o curso de contabilidade. Nesse caso, a quantidade de estudantes desse grupo é igual a
a) 12
b) 16
c) 20
d) 24
e) 32.
178
86. (CESPE/FUB/2018) Paulo, Maria e João, servidores lotados em uma biblioteca pública, trabalham na cata-
logação dos livros recém-adquiridos. Independentemente da quantidade de livros a serem catalogados em
cada dia, Paulo cataloga 1/4, Maria cataloga 1/3 e João, 5/12.
Se, em determinado dia Maria, catalogar 20 livros a mais que Paulo, então, nesse dia, João catalogará
mais de 90 livros.
87. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Maria fez compras em três lojas. Em cada uma das lojas em que ela entrou, a com-
pra feita foi paga, sem haver troco, com a quarta parte da quantia que ela tinha na bolsa ao entrar na loja.
Ao sair da terceira loja, Maria tinha R$ 270 na bolsa. Nesse caso, é correto afirmar que, ao entrar na pri-
meira loja, Maria tinha na bolsa
a) R$ 1.080.
b) R$ 2.430.
c) R$ 7.290.
d) R$ 640.
e) R$ 810.
88. (CESPE/SEFAZ-RS/2019) Um grupo de 256 auditores fiscais, entre eles Antônio, saiu de determinado órgão
para realizar trabalhos individuais em campo. Após cumprirem suas obrigações, todos os auditores fiscais
retornaram ao órgão, em momentos distintos. A quantidade de auditores que chegaram antes de Antônio
foi igual a um quarto da quantidade de auditores que chegaram depois dele. Nessa situação hipotética,
Antônio foi o
A) 46.º auditor a retornar ao órgão.
B) 50.º auditor a retornar ao órgão.
C) 51.º auditor a retornar ao órgão.
D) 52.º auditor a retornar ao órgão.
E) 64.º auditor a retornar ao órgão.
89. (CESPE/TRE-MT/2010) Considere que o responsável pelo almoxarifado de uma empresa tenha encomen-
dado resmas de papel branco, ao preço de R$ 11,00 a resma, e de papel reciclado, ao preço de R$ 13,00 a
resma, para uso em impressoras. A encomenda foi de 324 resmas e o valor total a ser pago é de R$ 3.970,00.
Nessa situação, é correto afirmar que a quantidade de resmas de papel reciclado encomendada foi
a) inferior a 162.
b) superior a 162 e inferior a 210.
c) superior a 210 e inferior a 305.
d) superior a 305 e inferior a 361.
e) superior a 361.
Durante determinado dia de trabalho foram atendidas 1.400 ligações. Os atendentes do grupo I
atenderam, nesse dia, 520 ligações, ao passo que os atendentes do grupo II atenderam 100 ligações
a mais que a metade das ligações atendidas pelos atendentes do grupo III.
Nessa situação, os atendentes do grupo III, nesse dia, atenderam mais de 500 ligações.
91. (CESPE /MDIC/2014) Se Aldo, Pedro e Júlia confeccionarem, conjuntamente, 50 camisetas em uma semana;
se a soma das quantidades confeccionadas por Aldo e Júlia for 2 unidades a mais que o dobro da quantidade
confeccionada por Pedro; e se a quantidade confeccionada por Pedro for 3 unidades a menos que a quan-
tidade confeccionada por Júlia, então Pedro confeccionará, nessa semana, mais de 15 camisetas.
92. (CESPE/TCE-RS/2013) Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitaliza-
das, são separadas e distribuídas entre 7 servidores — 4 servidores recém-contratados e 3 servidores anti-
gos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação.
93. (CESPE/TRE-ES/2011) Em determinado município, há, cadastrados, 58.528 eleitores, dos quais 29.221 de-
clararam ser do sexo feminino e 93 não informaram o sexo.
Se, entre os eleitores que não informaram o sexo, o número de eleitores do sexo masculino for o dobro
do número de eleitores do sexo feminino, então, nesse município, os eleitores do sexo masculino são
maioria.
94. (CESPE/TRE-ES/2011) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os
tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor,
respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores
da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção
eleitoral que tem o maior número de eleitores é a X.
180
GABARITO
1. CERTO 33. CERTO 65. LETRA C
2. ERRADO 34. ERRADO 66. LETRA B
3. ERRADO 35. ERRADO 67. ERRADO
4. ERRADO 36. CERTO 68. ERRADO
5. CERTO 37. CERTO 69. CERTO
6. CERTO 38. ERRADO 70. ERRADO
7. CERTO 39. CERTO 71. ERRADO
8. LETRA D 40. CERTO 72. CERTO
9. CERTO 41. ERRADO 73. LETRA D
10. ERRADO 42. CERTO 74. LETRA E
11. CERTO 43. CERTO 75. CERTO
12. CERTO 44. ERRADO 76. ERRADO
13. ERRADO 45. CERTO 77. CERTO
14. ERRADO 46. CERTO 78. ERRADO
15. ERRADO 47. CERTO 79. ERRADO
16. ERRADO 48. LETRA B 80. CERTO
17. LETRA D 49. ERRADO 81. CERTO
18. LETRA A 50. CERTO 82. ERRADO
19. CERTO 51. ERRADO 83. ERRADO
20. LETRA E 52. ERRADO 84. LETRA B
21. ERRADO 53. CERTO 85. LETRA D
22. CERTO 54. LETRA D 86. CERTO
23. ERRADO 55. CERTO 87. LETRA D
24. ERRADO 56. CERTO 88. LETRA D
25. CERTO 57. ERRADO 89. LETRA B
26. ERRADO 58. CERTO 90. CERTO
27. LETRA B 59. ERRADO 91. CERTO
28. LETRA E 60. CERTO 92. ERRADO
29. LETRA A 61. ERRADO 93. CERTO
30. LETRA B 62. CERTO 94. ERRADO
31. CERTO 63. CERTO
32. ERRADO 64. LETRA E
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