Fundamentos de

resistncia dos materiais

1. Introduo
A resistncia dos materiais um assunto bastante antigo. Os
cientistas da antiga Grcia j tinham o conhecimento do
fundamento da esttica, porm poucos sabiam do problema de
deformaes.
O desenvolvimento da resistncia dos materiais seguiu-se ao
desenvolvimento das leis da esttica. Galileu (1564-1642) foi o
primeiro a tentar uma explicao para o comportamento de
alguns membros submetidos a carregamentos e suas
propriedades e aplicou este estudo, na poca, para os materiais
utilizados nas vigas dos cascos de navios para marinha italiana.

Podemos definir que a ESTTICA considera os efeitos externos

das foras que atuam num corpo
e a RESISTNCIA DOS MATERIAIS, por sua vez, fornece uma
explicao mais satisfatria, do comportamento dos slidos
submetidos esforos externos, considerando o efeito interno.

Na construo mecnica, as peas componentes de uma

determinada estrutura devem ter dimenses e propores
adequadas para suportarem esforos impostos sobre elas.

Na construo mecnica, as peas componentes de uma determinada estrutura devem ter

dimenses e propores adequadas para suportarem esforos impostos sobre elas. Exemplos

O eixo de transmisso de uma mquina deve ter dimenses adequadas para resistir ao
torque a ser aplicado;

Na construo mecnica, as peas componentes de uma determinada estrutura devem ter

dimenses e propores adequadas para suportarem esforos impostos sobre elas. Exemplos3

A asa de um avio deve suportar s cargas aerodinmicas que aparecem

durante o vo

Na construo mecnica, as peas componentes de uma determinada estrutura devem ter

dimenses e propores adequadas para suportarem esforos impostos sobre elas. Exemplos

As paredes de um reservatrio de presso deve ter resistncia apropriada para

suportar a presso interna,

O comportamento de um membro submetido a foras, no

depende somente destas, mas tambm das caractersticas
mecnicas dos materiais de fabricao dos membros.
Estas informaes provm do laboratrio de materiais onde
estes so sujeitos a ao de foras conhecidas e ento
observados fenmenos como ruptura, deformao, etc.

2. Classes de solicitaes
Quando um sistema de foras atua sobre um corpo, o efeito
produzido diferente segundo a direo e sentido e ponto de
aplicao destas foras.
Os efeitos provocados neste corpo podem ser classificados em esforos

- Axiais estes atuam no sentido do eixo de um corpo, a trao, e

a compresso
- esforos transversais, atuam na direo perpendicular ao eixo
de um corpo tal como, o cisalhamento e a toro.
- Esforo normal flexo

Quando as foras agem para fora do corpo, tendendo a alonga-lo

no sentido da sua linha de aplicao, a solicitao chamada de
TRAO.

Cabo de sustentao submetido trao

aAs foras agem para dentro, tendendo a encurta-lo no sentido da

carga aplicada, a solicitao chamada de COMPRESSO.

Ps da mesa esto submetidos compresso

A solicitao de CISALHAMENTO aquela que ocorre quando um

corpo tende a resistir a ao de duas foras agindo prxima e
paralelamente, mas em sentidos contrrios.

Rebite submetido ao cisalhamento

A TORO um tipo de solicitao que tende a girar as sees de

um corpo, uma em relao outra.

Ponta de eixo submetida toro

A FLEXO uma solicitao transversal em que o corpo sofre uma

deformao que tende a modificar seu eixo longitudinal.

Viga submetida flexo

Um corpo submetido a SOLICITAES COMPOSTAS quando

atuam sobre eles duas ou mais solicitaes simples.

rvore de transmisso: Flexo-toro

CONCEITOS BSICOS

Esttica

FORA

Fora toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o

estado de movimento ou provocar deformao em um corpo. uma
grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expresso da fsica:

Fora toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o

estado de movimento ou provocar deformao em um corpo. uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser
obtida pela expresso da fsica:

Fora toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar
deformao em um corpo. uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expresso da fsica:

Fora toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar deformao em um corpo.

uma

grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expresso da fsica:

As foras so grandezas vetoriais caracterizadas por direo,

sentido e intensidade

A fora uma grandeza vetorial que necessita para sua definio,

alm da intensidade, da direo, do sentido e tambm da
indicao do ponto de aplicao.

PESO DOS CORPOS

O peso dos corpos uma fora de origem gravitacional que
apresenta caractersticas especiais

A fora derivada das unidades bsicas pela segunda lei de

Newton. Por definio, um Newton a fora que fornece a um
quilograma massa a acelerao de um metro por segundo ao
quadrado.

No sistema internacional (SI) as foras concentradas so expressas

em Newton [N]. As foras distribudas ao longo de um
comprimento so expressas com as unidades de fora pelo
comprimento [N/m], [N/cm], [N/mm], etc.

Sistema Internacional de Unidades (SI):

Outras unidades derivadas do SI:

Prefixos de Unidades:

Na prtica, muitas vezes prefere-se usar o

quilonewton (kN), o quilopascal (kPa),
omegapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa).

CARACTERSTICAS DAS FORAS

1. Princpio de ao e reao:
Quando dois corpos se encontram, toda a ao exercida por um
dos corpos sobre o outro corresponde uma reao do segundo
sobre o primeiro de mesmo mdulo e direo, mas com
sentidos contrrios, que a 3 lei de Newton.
Pode-se observar que estas duas foras tm pontos de
aplicao diferentes e, portanto causam efeitos diferentes, cada
uma atuando no seu ponto de aplicao.

CARACTERSTICAS DAS FORAS

2. Princpio da transmissibilidade de uma fora, Quando se aplica uma
fora em um corpo slido a mesma se transmite com seu mdulo,
direo e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo.

CARACTERSTICAS DAS FORAS

3. Qualquer fora no espao pode ser decomposta segundo trs
direes que desejarmos. Normalmente, usam-se como referncia trs
direes ortogonais entre si, escolhidas de acordo com a convenincia do problema.

A resultante F ou soma das suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado.

Quando as foras agem numa mesma linha de ao so

chamadas de coincidentes. A resultante destas foras ter a
mesma linha de ao das componentes, com intensidade e sentido
igual a soma algbrica das componentes.

Quando as foras agem numa mesma linha de ao so chamadas de coincidentes. A

resultante destas foras ter a mesma linha de ao das componentes, com intensidade e
sentido igual a soma algbrica das componentes.

Calcular a resultante das foras F1 = 50N, F2 = 80 N e F3 = 70 N

aplicadas no bloco da figura abaixo

Duas ou mais foras constituem um sistema de foras, cada uma

delas chamada de componente. Todo sistema de foras pode
ser substitudo por uma nica fora chamada resultante, que
produz o mesmo efeito das componentes.

CARACTERSTICAS DAS FORAS

Qualquer fora contida em um plano tambm pode ser decomposta

segundo duas direes. Normalmente so usadas duas direes
perpendiculares entre si, tambm escolhidas de acordo com a convenincia do problema. No caso plano que
o mais usual:

Sendo dada uma fora F num plano xy, possvel decomp-la

em duas outras foras Fx e Fy , como no exemplo abaixo:

ento, para o exemplo acima, temos:

CARACTERSTICAS DAS FORAS

No caso em que as foras tm um mesmo ponto de aplicao, ou

se encontram num mesmo ponto depois de prolongadas,
recebem o nome de foras concorrentes. A resultante destas
foras pode ser determinada grfica ou analiticamente.

Calcular as componentes horizontal e vertical da fora de 200N

aplicada na viga conforme figura abaixo.

Calcular as componentes horizontal e vertical da fora de 200N

aplicada na viga conforme figura abaixo.

O conceito de fora introduzido na mecnica em geral. As foras

mais conhecidas so os pesos, que tem sempre sentido vertical para
baixo, como por exemplo, o peso prprio de uma viga, ou o peso de
uma laje sobre esta mesma viga
As foras podem ser classificadas em concentradas e distribudas. Na
realidade todas as foras encontradas so distribudas, ou seja, foras
que atuam ao longo de um trecho, como os exemplos citados
anteriormente e ainda em barragens, comportas, tanques, hlices,
etc.
Quando um carregamento distribudo atua numa regio de rea
desprezvel, chamado de fora concentrada.
A fora concentrada, tratada como um vetor, uma idealizao, que
em inmeros casos nos traz resultados com preciso satisfatria. No
estudo de tipos de carregamentos, mais a diante, retornaremos a este assunto.

FORAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura, e so o

motivo de sua existncia. Ex: peso do pedestre em uma passarela,
peso prprio das estruturas, etc...

FORAS INTERNAS: so aquelas que mantm unidos os pontos

materiais que formam o corpo slido de nossa estrutura
(solicitaes internas).

resistncia dos materiais

Video1_ Exemplo de Equilbrio de Partcula

MOMENTO DE UMA FORA ou Momento esttico

Seja F uma fora constante aplicada em um corpo, d a distncia
entre o ponto de aplicao desta fora e um ponto qualquer P.

MOMENTO DE UMA FORA ou Momento esttico

Seja F uma fora constante aplicada em um corpo, d a distncia entre o ponto de aplicao desta fora e um ponto qualquer P. Por

, o momento M realizado pela fora F em relao ao ponto P

dado pelo seguinte produto vetorial:
definio

Cuidado !!!!!!!

videos\momento de uma fora constante-teoria.mp4

EXEMPLO: Calcular o momento provocado na alavanca da morsa,

durante a fixao da pea conforme indicado na figura abaixo:

EXEMPLO: Calcular o momento provocado na alavanca da morsa,

durante a fixao da pea conforme indicado na figura abaixo:

Alavancas
De acordo com a posio do apoio, aplicao da fora motriz (FM) e da fora resistente (FR),
as alavancas podem ser classificadas como:

A relao entre estas foras e os braos (motriz e resistente) das

alavancas apresentadas, de acordo com a equao de equilbrio:

FM .bM = FR.bR

Alavancas
De acordo com a posio do apoio, aplicao da fora motriz (FM) e da fora resistente (FR),
as alavancas podem ser classificadas como:

FM .bM = FR.bR

videos\princpio da alavanca-teoria.mp4

Momento resultante
Para somar os momentos de vrias foras atuando num mesmo
corpo, adota-se a seguinte conveno de sinais:
(+) giro no sentido anti-horrio

(-) giro no sentido horrio

Exemplo: Qual o momento resultante das foras com relao ao eixo da roda do carrinho
de mo esquematizado abaixo?

M F d2 - Peso d1

EQUILBRIO ESTTICO DOS CORPOS RGIDOS

Tomando 3 eixos ortogonais como referencia de espao, e isto se faz
necessrio por uma questo de classificao e organizao de mtodo, pode-se dizer que um corpo no
espao tem 6 possibilidades de movimento ou 6 graus de liberdade.

Um corpo est em equilbrio esttico quando as foras atuantes

formam entre si um sistema equivalente a zero, isto , sua
resultante e o seu momento polar em relao a qualquer ponto so
nulos.
R=0
Mp = 0

EQUILBRIO NO PLANO

Quando o corpo est submetido a foras atuantes em um s

plano, devemos prever o seu equilbrio neste plano.
Supondo um corpo com cargas em apenas um plano, por
exemplo, x, y.
Neste caso o corpo possui apenas 3 graus de liberdade, pois pode
apresentar 2 translaes (na direo dos dois eixos) e 1 rotao
(em torno do eixo perpendicular ao plano que contm as foras
externas).

Neste caso o corpo possui apenas 3 graus de liberdade, pois pode

apresentar 2 translaes (na direo dos dois eixos) e 1 rotao
(em torno do eixo perpendicular ao plano que contm as foras
externas).

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto

apresentando 3 graus de liberdade, as condies de equilbrio se reduzem apenas s
equaes:

Estas equaes de equilbrio so chamadas de equaes fundamentais da esttica.

videos\G1 - Professor de fsica fala sobre

equilbrio de corpos extensos.mp4

Equilbrio esttico (exemplo)

Exerccios
Exemplo 1a: Determine a resultante F dos sistemas de foras a seguir:

Exerccios

Exerccios
Exemplo 1b: Determine a resultante F dos sistemas de foras a seguir:

Exerccios
Exemplo 1b: Determine a resultante F dos sistemas de foras a seguir:

Exemplo 2: Determine os componentes ortogonais Fx e Fy de

uma carga F de 100N que forma 40 com a horizontal.

Exemplo 2: Determine os componentes ortogonais Fx e Fy de

uma carga F de 100N que forma 40 com a horizontal.

Exemplo 3 : As componentes de uma carga F, so respectivamente:

Fx, = 120 N e Fy= 90 N

Determinar:
a) A resultante F.
b) O ngulo que F forma com a horizontal.
c) O ngulo que F forma com a vertical.

Exemplo 3 : As componentes de uma carga F, so respectivamente: Fx, = 120 N e Fy= 90 N

Determinar:
a) A resultante F.
b) O ngulo que F forma com a horizontal.
c) O ngulo que F forma com a vertical.

Exemplo 4: Calcular a carga nos cabos que sustentam o peso de 4 kN,

como indicado nas figuras:

Exemplo 4: Calcular a carga nos cabos que sustentam o peso de 4 kN, como indicado nas figuras:

Exemplo 4: Calcular a carga nos cabos que sustentam o peso de 4 kN, como indicado nas figuras:

videos\resoluo-ex3-esttica do corpo extenso.mp4

Exemplo 5: Calcular a fora P necessria para levantar a pedra

sobre a alavanca abaixo e a fora feita pelo ponto de apoio

Exemplo 5: Calcular a fora P necessria para levantar a pedra sobre a alavanca abaixo e a fora feita
pelo ponto de apoio

Exemplo 6: Qual o valor da fora potente (P) aplicada a esta

alavanca interfixa afim de se obter o equilbrio?

Exemplo 6: Qual o valor da fora potente (P) aplicada a esta alavanca interfixa afim de se obter o equilbrio?

P 2x = x 20
P 2 = 20
P = 10 N

videos\resoluo-ex4-esttica do corpo extenso.mp4

videos\resoluo-ex5-esttica do corpo extenso.mp4

Video2_Momento de uma fora

CUIDADO COM O SENTIDO POSITIVO E NEGATIVO !!!!!!!!!!!!!!

momento no sentido horrio negativo e anti-horrio positivo

Exemplo 7: Calcule as reaes RA e RB nos esquemas abaixo:

(Um corpo est em equilbrio quando a soma dos momentos que

atuam sobre ele, em relao a qualquer ponto, nulo). Verificamos
os momentos que atuam, no corpo, em relao ao ponto A e B:

momento no sentido horrio negativo e anti-horrio positivo

Exemplo 7: Calcule as reaes RA e RB nos esquemas abaixo:

- +
RA

RB

MB = 0
- RA . 5 + 5000 . 3 = 0
RA = 3000 N

momento no sentido horrio negativo e anti-horrio positivo

Exemplo 7: Calcule as reaes RA e RB nos esquemas abaixo:

- +
RB

RA

MA = 0
- 5000 . 2 + RB 5 = 0
RB = 2000 N

Exemplo 8: Calcular as reaes nos apoios A e B no esquema abaixo

sabendo que o corpo est em equilbrio

Exemplo 8: Calcular as reaes nos apoios A e B no esquema abaixo sabendo que o corpo
est em equilbrio

momento no sentido horrio positivo e

anti-horrio negativo

momento no sentido horrio positivo e anti-horrio negativo

MB = 0
RA . 10 400 . 8 600 . 3 = 0
10 RA 3200 1800 = 0
10 RA = 5000
RA = 500 N

momento no sentido horrio positivo e anti-horrio negativo

MA = 0
400 . 2 + 600 . 7 RB .10 = 0
800 + 4200 = 10 RB
10RB = 5000
RB = 500 N

Exemplo 8: Calcular as reaes nos apoios A e B no esquema abaixo sabendo que o

corpo est em equilbrio

RA

RB

Exemplo 8: Calcular as reaes nos apoios A e B no esquema abaixo sabendo que o

corpo est em equilbrio

RA

RB

o estudo do equilbrio neste mtodo, consiste em decompor as

componentes das foras coplanares atuantes no sistema em x e y
Exemplo: A construo representada na figura est em equilbrio. Calcular as foras
normais atuantes nos cabos 1, 2 e 3

Os cabos esto todos tracionados (cabo no suporta compresso), portanto

os ns A, B, C, D esto sendo "puxados". Baseados no exposto, podemos colocar os vetores
representativos das foras nos cabos.

Para determinarmos a intensidade das foras,

iniciamos os clculos pelo n que seja o mais conveniente, ou seja, que
possua a soluo mais rpida,

n com o menor nmero de

incgnitas, para o nosso caso n D.

N D

F3 = P

Determinada a fora na barra 3,

partimos para determinar F1 e F1

que sero calculados atravs do

N D

N C

N C.

Exemplo: Uma carga de 1000 kgf est suspensa conforme mostra a

figura. Determinar as foras normais atuantes nas barras 1, 2 e 3.

Exemplo: Uma carga de 1000 kgf est suspensa conforme mostra a figura.
Determinar as foras normais atuantes nas barras 1, 2 e 3.

Iniciamos os clculos pelo n D. A carga

de 1000 kgf traciona a barra 3, portanto
teremos o sistema de foras abaixo.

Fy = O
F3 = 1000 kgf

Exemplo: Uma carga de 1000 kgf est suspensa conforme mostra a figura. Determinar as foras normais
atuantes nas barras 1, 2 e 3.

Cuidado barra no fio !!!!

A barra 3, tracionada, tende a "puxar" o n A para baixo, sendo

impedida pela barra 1; que o "puxa" para cima, auxiliada pela barra
2; que o segura" para no cair assim h um equilbrio.

A barra 3, tracionada, tende a "puxar" o n A para baixo, sendo impedida pela

barra 1; que o "puxa" para cima, auxiliada pela barra 2; que o segura" para no
cair assim h um equilbrio.

portanto a barra 1 tracionada e a barra 2 comprimida, resultando

no sistema de foras atuante no n A representado na figura.
Temos