EES039 Aula01 Conceitos - Basicos

EES039 - Análise Estrutural
Aula 01: Conceitos Básicos
Prof. Rodrigo Guerra Peixoto
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
1o. semestre 2024

Força: características e representação
Uma força é uma grandeza vetorial, caracterizada por:
• Magnitude;
• Direção e sentido;
• Ponto de aplicação.
Magnitude é uma quantidade escalar (F nas figuras acima) que representa

a intensidade da força.
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, representada por
f na primeira figura acima. O sentido é indicado pela seta.
Magnitude, direção e sentido são, em geral, suficientes para caracterizar

uma grandeza vetorial. Em outras palavras, um vetor livre pode ser deslocado
arbitrariamente no espaço, desde que mantenha sua direção e sentido.
Uma força, no entanto, não pode ser classificada como um vetor livre, uma vez
que ela está restrita à sua linha de ação e possui um ponto de aplicação.
Na figura acima, por exemplo, dependendo da localização do ponto A de

aplicação da força, diferentes movimentos do corpo sólido serão verificados.
Representação de uma força em coordenadas Cartesianas:
F = Fx + Fy + Fz = Fx êx + Fy êy + Fz êz (1)
Magnitude: q
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 (2)
Ângulos (ou cossenos) diretores:

cos α = Fx /F, cos β = Fy /F, cos γ = Fz /F (3)
Forças em corpos rígidos
Corpo rígido: Não se deforma sob a atuação de forças, i.e., as distâncias
entre dois pontos distintos do corpo permanecem constantes. Trata-se de
uma idealização matemática para materiais com suficiente rigidez.
Uma dada força pode ser aplicada em qualquer ponto de sua linha de ação
sem alterar o efeito produzido sobre um corpo rígido (princípio da transmis-
sibilidade).
Em outras palavras, quando atuando sobre um corpo rígido, as forças po-

dem ser classificadas como vetores deslizantes, uma vez que podem ser
transladados arbitrariamente ao longo de sua linha de ação.
Forças em corpos rígidos
Um deslocamento paralelo das forças, por outro lado, altera consideravel-

mente o seu efeito sobre um corpo rígido.
A força F na figura acima, quando aplicada numa linha de ação que passa
pelo centro de gravidade do corpo rígido de peso W , consegue mantê-lo em
equilíbrio (situação a).
Quando sua linha de ação é deslocada paralelamente, uma rotação do corpo

é verificada (situação b).
Classificação das forças e diagramas de corpo livre
Na mecânica dos sólidos, as forças podem ser classificadas quanto à:
• Distribuição: forças concentradas, em linha, de volume ou de superfície;
• Origem: ativas ou de reação;
• Natureza: externas ou internas.
Essas classificações são apresentadas a seguir.

Classificação quanto à distribuição
Uma dada força foi apresentada na discussão acima como uma grandeza
vetorial atuante num único ponto. Forças deste tipo são denominadas forças
concentradas e, assim como corpos rígidos, representam uma idealização
matemática, inexistente de fato na mecânica dos sólidos.
As forças atuam sempre de forma distribuída em volumes ou sobre superfícies

de um corpo.
Um exemplo das chamadas forças de volume é o peso próprio de um corpo:

Z
γ(x, y, z) → peso específico (força/volume) ⇒ W = γ dV
V
Já as forças de superfície podem ser exemplificadas pela pressão (força/área)

de fluidos sobre uma estrutura.
Classificação quanto à distribuição
Uma outra idealização matemática são as forças em linha, associadas a uma

distribuição contínua de forças ao longo de uma linha.
[q] → força / unidade de comprimento.
Forças de superfície provocadas por objetos de pequena espessura, quando

comparada às demais dimensões, podem ser idealizadas dessa maneira.
Classificação quanto à origem
Forças ativas:
Refere-se às forças fisicamente prescritas sobre um sistema mecânico, e.g.,
peso próprio, pressão de fluidos, equipamentos fixos ou móveis, etc.
Forças de reação:
Também denominadas reações de apoio, são aquelas oriundas da restrição
aos deslocamentos de um corpo sólido.
As forças de reação ficam visíveis somente quando o corpo é isolado de seus
apoios, como ilustrado abaixo.
W → força ativa; A, B → reações de apoio
O sistema resultante do isolamento da estrutura de seus apoios e elementos

adjacentes é denominado diagrama de corpo livre.
Classificação quanto à natureza
Forças externas:
Refere-se às forças provocadas por agentes externos à estrutura. Todas as
forças ativas e reações de apoio são forças externas.
Forças internas:
São aquelas que atuam entre partes de uma sistema contínuo, mantendo sua
coesão. Esses esforços internos surgem em função das cargas externas
e podem ser visualizados somente a partir do seccionamento do elemento
estrutural.
Cada parte oriunda desse seccionamento configura um diagrama de corpo

livre no qual o balanço de forças (incluindo as externas e internas) deve ser
satisfeito. O cálculo dos esforços internos por esse procedimento é denomi-
nado método das seções.
Indicação de leitura
Capítulo 1
Livro:
Engineering Mechanics 1: Statics
Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.A. e Rajapakse, N.
2a. edição, Springer, 2013

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1o. semestre 2024

Uma força é uma grandeza vetorial, caracterizada por:

Magnitude é uma quantidade escalar (F nas figuras acima) que representa

Magnitude, direção e sentido são, em geral, suficientes para caracterizar

Na figura acima, por exemplo, dependendo da localização do ponto A de

F = Fx + Fy + Fz = Fx êx + Fy êy + Fz êz (1)

Ângulos (ou cossenos) diretores:

Em outras palavras, quando atuando sobre um corpo rígido, as forças po-

Um deslocamento paralelo das forças, por outro lado, altera consideravel-

Quando sua linha de ação é deslocada paralelamente, uma rotação do corpo

Na mecânica dos sólidos, as forças podem ser classificadas quanto à:

• Distribuição: forças concentradas, em linha, de volume ou de superfície;

• Origem: ativas ou de reação;

• Natureza: externas ou internas.

Essas classificações são apresentadas a seguir.

As forças atuam sempre de forma distribuída em volumes ou sobre superfícies

Um exemplo das chamadas forças de volume é o peso próprio de um corpo:

Já as forças de superfície podem ser exemplificadas pela pressão (força/área)

Uma outra idealização matemática são as forças em linha, associadas a uma

[q] → força / unidade de comprimento.

Forças de superfície provocadas por objetos de pequena espessura, quando

W → força ativa; A, B → reações de apoio

O sistema resultante do isolamento da estrutura de seus apoios e elementos

Cada parte oriunda desse seccionamento configura um diagrama de corpo

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