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MA13 U10e11
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Unidade 10
Semelhana de tringulos
10.1 Semelhana de tringulos
Dizemos que dois tringulos so semelhantes quando existe uma correspondncia biunvoca entre os vrtices de um e outro tringulo, de modo que os ngulos em vrtices correspondentes sejam iguais e a razo entre os comprimentos de lados correspondentes seja sempre a mesma (gura 10.1).
A kc B ka kb A C c b a B C
Figura 10.1:
Fisicamente, dois tringulos so semelhantes se pudermos dilatar e/ou girar e/ou reetir e/ou transladar um deles, obtendo o outro ao nal de tais operaes. Na gura 10.1, os tringulos ABC e A B C so semelhantes, com a correspondncia de vrtices A A , B B , C C . Assim, A = A , B = B , C = C e existe k > 0 tal que
AB BC AC = = = k. AB BC AC
Tal real positivo k denominado a razo de semelhana entre os tringulos ABC e A B C , nessa ordem (observe que a razo de semelhana entre os 1 tringulos A B C e ABC , nessa ordem, k ). Escrevemos ABC A B C para denotar que os tringulos ABC e A B C so semelhantes, com a correspondncia de vrtices A A , B B , C C . Se ABC A B C na razo (de semelhana) k , ento k tambm a razo entre os comprimentos de dois segmentos correspondentes quaisquer nos dois tringulos. Por exemplo, nas notaes da gura 10.1, sendo M o ponto mdio de BC e M o ponto mdio de B C , temos que
MA a/2 a = = =k a /2 a MA
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Proposio 1
Figura 10.2:
Sendo k o valor comum das razes do enunciado, temos AB = k A B , BC = k B C e AC = k A C . Suponha, sem perda de generalidade, k > 1 e marque (cf. gura 10.3) o ponto B AB tal que AB = A B .
A B C
Demonstrao
Figura 10.3:
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Semelhana de tringulos
Sendo C a interseo com o lado AC da reta que passa por B e paralela ao lado BC , segue do teorema de Tales que
1 AC AB = = , k AC AB
1 de maneira que AC = k AC = A C . Trace, agora, a paralela ao lado AB passando por C , a qual intersecta o lado BC no ponto D. Ento, o quadriltero B C DB um paralelogramo, de sorte que, novamente pelo teorema de Tales, temos
B C BD AC 1 = = = . k BC BC AC
1 Logo, B C = k BC = B C . A discusso acima mostrou que
AB = A B , AC = A C e B C = B C ,
i.e., que os tringulos AB C e A B C so congruentes pelo caso LLL de congruncia. Portanto, temos
B = ABC = AB C = A B C = B ,
e, analogamente, A = A e C = C .
Proposio 2
Proposio 3
Unidade 10
Figura 10.4:
Figura 10.5:
Como corolrio dos casos de semelhana acima, estabelecemos na proposio a seguir as relaes mtricas em tringulos retngulos . Seja ABC um tringulo retngulo em A, com catetos AB = c, AC = b e hipotenusa BC = a. Sendo H o p da altura relativa hipotenusa, CH = x, BH = y e AH = h, temos:
(a) ah = bc. (b) ax = b2 e ay = c2 . ( c ) a2 = b 2 + c 2 . (d) xy = h2 .
Proposio 4
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Semelhana de tringulos
Demonstrao
(a) e (b). Como AHB = C AB e ABH = C BA (gura 10.6), os tringulos BAH e BCA so semelhantes pelo caso AA, com a correspondncia de vrtices A C , H A, B B . Assim,
BH AB AH AC = e = AB BC AB BC
ou, ainda,
x h
a y c B
Figura 10.6:
(c) Somando membro a membro as relaes (b) e (c), obtemos a igualdade a(x + y ) = b2 + c2 . Mas desde que x + y = a, nada mais h a fazer. (d) Multiplicando membro a membro as duas relaes do item (b), obtemos a2 xy = (bc)2 ou, ainda,
xy = bc a
2
= h2 ,
onde utilizamos o item (a) na ltima igualdade acima. O item (c) da proposio acima o famoso teorema de Pitgoras . Apresentamos, no que segue, algumas consequncias importantes do mesmo, a primeira das quais j foi utilizada na seo acima referida.
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Corolrio 5
Se ABCD um quadrado de lado a e diagonais AC e BD (gura 10.7), ento o tringulo ABC retngulo e issceles. Da,
AC = AB + BC =
2 2
Demonstrao
a2 + a2 = a 2.
C a
Figura 10.7:
a 3 . 2
Corolrio 6
Sejam ABC um tringulo equiltero de lado a e M o ponto mdio de BC (gura 10.8). Como AM BC , aplicando o teorema de Pitgoras ao tringulo
A a B M
a 2
Demonstrao
Figura 10.8:
ACM , obtemos
AM = AC CM = a2
a 2
3a2 , 4
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Semelhana de tringulos
donde segue o resultado. O exemplo a seguir utiliza o item (d) da proposio 4 para resolver tricamente uma equao do segundo grau de razes positivas.
geome-
Exemplo 7
construa com
Soluo
s p
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Demonstrao
Figura 10.9:
(b) H BC : sejam AH = h, M o ponto mdio de BC e BH = x (gura 10.10). Podemos supor, sem perda de generalidade, que H BM .
A
Figura 10.10:
donde h2 = ax x2 . Mas a, aplicando novamente o teorema de Pitgoras (agora ao tringulo AHM ), obtemos
AM
2
= AH + HM = h2 + ( BM BH )2 2 a a2 = (ax x2 ) + x = , 2 4
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= 1 donde segue que AM = a BC . Portanto, M equidista dos vrtices de 2 2 ABC e a proposio 7.15, Unidade 7, garante que ABC retngulo em A.
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3. * Sejam ABC e A B C tringulos semelhantes, com razo de semelhana k . Sejam, ainda, ma e ma , ha e ha , a e a respectivamente os comprimentos das medianas, alturas e bissetrizes internas relativas a A e A . Prove que ma ha a = = = k. ma ha a
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Semelhana de tringulos
7. Inscrevemos em um ngulo de vrtice A dois crculos de raios r < R,
tangentes exteriormente em P . Calcule AP em termos de r e R.
termos de a (sugesto: trace por C a paralela a AB e marque seu ponto F de interseo com DE . Use, em seguida, que CF D BM D e CF E AM E ).
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13. * (OCM). Seja ABC um tringulo tal que ABC = 2ACB . Mostre que
b2 = c(a + c) (sugesto: se D o p da bissetriz interna traada a partir de B , mostre inicialmente que ABC ADB ).
16. As retas r e s so tangentes ao crculo circunscrito ao tringulo acutngulo ABC respectivamente em B e em C . Sendo D, E e F os ps das perpendiculares baixadas de A respectivamente a BC e s retas r e s, prove que 2 AD = AE AF (sugesto: ABD ACF e ACD ABE ). Para o problema a seguir, dizemos que um trapzio ABCD, de bases AB e CD e lados no paralelos AD e BC , retngulo em A se DAB = 90 .
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soma AD2 + AE 2 + AF 2 (sugesto: adapte a sugesto do problema 4, pgina 11, a este caso).
21. * Dados reais positivos a e b, seja AB um segmento no plano de comprimento a + b, e H um ponto sobre o mesmo, tal que AH = a e BH = b. Trace um semicrculo de dimetro AB e, em seguida, marque o ponto C , obtido como a interseo do semicrculo com a reta perpendicular a AB e passando pelo ponto H . (a) Calcule o comprimento de CH em funo de a e b. (b) Mostre que a desigualdade (9.6) do volume 1 essencialmente equivalente desigualdade triangular no tringulo (possivelmente degenerado) CHO, onde O o ponto mdio de AB .
22. * Dados segmentos de comprimentos a e b, construa com rgua e compasso um segmento de comprimento problema anterior).
passo um segmento de comprimento a2 + b2 c2 , admitindo que a expresso sob o sinal da raiz seja positiva.
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28. (OCM). Duas torres, uma com 30m de altura e a outra com 40m de
altura, esto situadas a 50m uma da outra. Entre ambas as torres h uma fonte, para a qual dois passarinhos partem, em um mesmo instante e com velocidades iguais, do alto de cada torre. Sabendo que os passarinhos chegam fonte simultaneamente, calcule a distncia da fonte torre mais baixa.
32. ABCD um quadrado de lado 10 e P um ponto sobre seu crculo circunscrito. Calcule o valor da soma P A + P B + P C + P D (sugesto:
2 2 2 2
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se P est sobre o arco menor AD, mostre que AP C = B P D = 90 e use, em seguida, o teorema de Pitgoras).
1 Pode
ser provado que o conjunto dos pontos de tangncia assim obtido coincide com
Q.
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Relaes mtricas no tringulo qualquer
Sumrio
11.1 A trigonometria do ngulo agudo 11.2 A Lei dos Cossenos 11.3 A Lei dos Senos . . . . . . . . . . 2 3 7 9 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 O teorema de Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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So conhecidas as razes trigonomtricas do ngulo agudo. Dado um ngulo agudo XOY = toma-se um ponto P qualquer do lado OY e traa-se a perpendicular P A ao lado OX .
Y P
O A
As razes trigonomtricas associadas ao ngulo so: Seno do ngulo XOY : Cosseno do ngulo XOY : Tangente do ngulo XOY :
sen = cos = tan =
AP OP OA OP AP OA
Observe que essas denies no dependem da escolha do ponto P . De fato, para um outro ponto P sobre OY e sua perpendicular P A sobre OX AP P = OP temos que os tringulos OP A e OP A so semelhantes e, portanto A , OP OA OA AP AP = OP e OA = OA . OP Assim, seno, cosseno e tangente so nmeros associados a cada ngulo agudo de acordo com a denio acima. Nesta unidade estamos identicando cada ngulo com sua medida para tornar a linguagem mais simples. Assim, quando falarmos, por exemplo, no cosseno de 30o (cos 30o ) estaremos nos referindo, na verdade, ao cosseno do ngulo cuja medida 30 o .
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Na primeira gura temos sen = y e cos = x. Na segunda gura temos sen = y e cos = x .
11.2 A Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos uma relao muito til que envolve os trs lados do tringulo e o cosseno de um dos ngulos. A demonstrao bastante simples. Escolhemos inicialmente um dos ngulos do tringulo ABC . Seja A o ngulo escolhido.
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c A x
h D b
c C A b C x
h D
Como de hbito, sejam AB = c, AC = b e BC = a. Como A < 90o ento D est na semirreta AC . Seja AD = x. Assim DC = |b x|. No tringulo BDC o teorema de Pitgoras fornece
a2 = h + |b x|2 = h2 + b2 + x2 2bx .
No tringulo BDA temos, pelo mesmo teorema, h2 = c2 x2 . Substituindo camos com a2 = c2 x2 + b2 + x2 2bx a2 = b2 + c2 2bx Entretanto, em qualquer uma das guras tem-se x = cos A, ou seja, c x = c cos A. Substituindo esse valor de x na ltima relao encontramos
a2 = b2 + c2 2bc cos A .
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A substituio de h2 na primeira relao d a2 = b2 + c2 + 2bx. e, consequentemente, cos A = x , ou seja, Porm, neste caso, cos = x c c x = c cos A. Substituindo na relao anterior camos com a2 = b2 + c2 + 2b(c cos A), ou seja, a2 = b2 + c2 2bc cos A que coincide exatamente com a relao do caso anterior. Esta a Lei do Cosseno para o ngulo A (ou para o lado a). E o que ocorre se o ngulo A for reto? A relao a2 = b2 + c2 2bc cos A continua vlida porque, neste caso, cos A = 0 e o que resta a2 = b2 + c2 , o teorema de Pitgoras. As outras verses desta relao so obtidas simplesmente trocando convenientemente os nomes das letras que representam os lados e os ngulos do tringulo. Elas so:
b2 = a2 + c2 2ac cos B c2 = a2 + b2 2ab cos C
Dentre as aplicaes da Lei dos Cossenos, a mais interessante, na minha opinio, que podemos facilmente obter os cossenos dos ngulos de um tringulo quando seus lados so conhecidos. Acompanhe os exemplos a seguir. Determine o maior ngulo do tringulo cujos lados medem 5, 6 e 7.
Exemplo 1
O maior ngulo do tringulo oposto ao maior lado. Temos ento a situao da gura a seguir:
Soluo
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5 6
O ngulo que queremos calcular oposto ao lado que mede 7. Aplicando a Lei dos Cossenos para o ngulo temos:
72 = 52 + 62 2.5.6. cos
1 5
Exemplo 2 Soluo
Calculamos cos = 1 . Logo, sen = 2 5 6 e, como a rea do tringulo 5 ABC 1 S = AB.AC. sen A 2 2 6 1 encontramos S = 2 .5.6. 5 = 6 6.
Em um tringulo de lados a, b e c, se a o maior lado, a comparao de a com b2 + c2 fornece a natureza desse tringulo.
2
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A Lei dos Senos resolver, principalmente, o caso de obter outros elementos de um tringulo onde os ngulos so conhecidos e apenas um lado conhecido. A Lei dos Senos possui tambm forte relacionamento com a circunferncia circunscrita ao tringulo, como veremos a seguir. A gura abaixo mostra o tringulo ABC , com lados a, b e c, inscrito em uma circunferncia de raio R.
A D
2R
Como de hbito, o ngulo BAC do tringulo ser representado simplesmente por A. Traamos o dimetro BD. Assim, o ngulo BCD reto e os ngulos BAC e BDC so iguais, pois subtendem o mesmo arco BC . BC O seno do ngulo BDC igual a BD = 2a . Ento, sen A = 2a , ou seja, R R a = 2R. sen A Esta relao mostra que a razo entre um lado do tringulo e o seno do ngulo oposto igual ao dimetro da circunferncia circunscrita e, naturalmente, essa relao vale qualquer que seja o lado escolhido. A Lei dos Senos no tringulo ABC escrita assim:
a b c = = = 2R sen A sen B sen C
onde R o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo ABC . A Lei dos Senos fornece um caminho simples para determinar o raio da circunferncia circunscrita a um tringulo. Acompanhe o exemplo a seguir.
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Exemplo 3
Soluo
2 6 . 5
1 5
7 2 6/5
35 6 R= = 3, 57 . 24
Exemplo 4
Duas pessoas A e B esto em uma praia e possuem instrumentos que permitem medir ngulos no plano horizontal (teodolitos, por exemplo). Ambas conseguem ver uma pequena ilha C distante da costa mediram os ngulos BAC = 119o e ABC = 52o . Se a distncia entre A e B de 1km, qual a distncia aproximada entre A e C ?
Soluo
Do tringulo ABC dois ngulos so conhecidos. Entretanto, para nossa felicidade, ningum precisa atravessar uma parte do oceano para medir o ngulo C . Como a soma dos ngulos de qualquer tringulo 180o temos imediatamente que C = 9o . A Lei dos Senos a ferramenta ideal para resolver esse caso:
AC 1 = o sen 52 sen 9o
Obs:
As leis dos senos e dos cossenos sempre estiveram presentes nos clculos de distncias inacessveis. Mesmo hoje, no interior do GPS elas esto l.
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O teorema de Menelaus uma relao bem diferente das anteriores. Ele no envolve ngulo algum, mas uma especialista em calcular razes. O enunciado do teorema o seguinte: Dado um tringulo ABC uma reta transversal corta as retas AB , BC , e CA nos pontos L, M e N , respectivamente. Ento,
LA M B N C . . =1. LB M C N A
Observe o enunciado e a arrumao das letras na relao acima. A beleza est nessa arrumao. Veja uma demonstrao.
s A t L N
A gura acima mostra um tringulo ABC e uma transversal t. Seja s uma reta paralela a t passando por A e seja P a interseo de s com a reta BC . Vamos agora usar duas vezes o teorema de Tales com essas paralelas s e t. LA LB Com as transversais BA e BP temos: M =M . P B MP MC Com as transversais CA e CP temos: N A = N C . LB M C LA Multiplicando membro a membro e simplicando M P temos N =M A B NC o que o mesmo que LA M B N C =1. LB M C N A Para dar um exemplo do poder do teorema de Menelaus, vou mostrar uma questo do Exame de Qualicao de 2012. No tringulo ABC o ponto P do lado AC e o ponto Q do lado BC so 1 tais que AP = 3 AC e BQ = 2 BC . As cevianas AQ e BP cortam-se em J . 3 JA Calcule a razo JQ .
Exemplo 5
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O teorema de Menelaus
Comentrio 1
No fcil, de incio, usar o teorema de Menelaus. Ser preciso alguma prtica para decidir, em cada situao qual o tringulo adequado e qual a transversal que deve ser considerada. A soluo deste exemplo deve dar uma dica.
Soluo
A situao a seguinte.
A b P J 2b
2a
Observando com ateno o teorema de Menalaus a deciso correta considerar o tringulo AQC com a transversal BJP . Ficamos com a gura a seguir:
A b P J 2b
2a
JA 3 JA 2 2 . . = 1, ou seja, = . JQ 3 1 JQ 4
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Dados os pontos A, B e C , sejam L, M e N pontos das retas AB , BC e LA M B N C CA, respectivamente tais que LB . M C . N A = 1 (razes orientadas). Ento, L, M e N so colineares. A demonstrao se apoia no seguinte fato. Dados os pontos A e B e um PA nmero real k ento existe um nico ponto P da reta AB tal que P = k. B Deixamos os detalhes para o leitor.
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Exerccios
11.5 Exerccios
Sugesto: Trace as alturas pelos vrtices da base menor e determine o cosseno de um dos ngulos agudos.
6. Mostre que em qualquer paralelogramo a soma dos quadrados das diagonais igual a soma dos quadrados dos quatro lados. Sugesto: Use o exerccio anterior.
= 2C . Calcule o lado BC . 7. No tringulo ABC , AB = 4, AC = 6 e B
8. Mostre que, em qualquer tringulo ABC tem-se sen A < sen B + sen C . 9. Considere a gura a seguir.
A 4 P B 3 D E 1 2 C
Calcule as razes
PA PB e . PD PE
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N L
LA M B N C . . = 1 (teorema de Ceva) LB M C N A Sugesto 1 : Trace por A uma paralela a BC , assinale as intersees dessa paralela com as retas CL e BN e use semelhana de tringulos.
: Sendo O o ponto comum s cevianas, use o teorema de Menelaus nos tringulos AM B e AM C com as transversais LOC e N OB .
Sugesto 2
(b) Demonstre a recproca desse teorema. Obs: a recproca do teorema de Ceva particularmente importante para vericar se trs cevianas de um tringulo so concorrentes ou no. Em particular ca fcil mostrar que as trs alturas de um tringulo so concorrentes.
12. No tringulo ABC de lados a, b e c considere uma ceviana AD de comprimento x. Sejam m e n as medidas de BD e DC , respectivamente.
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Exerccios
A
D a
ADC .
: A rea do tringulo ABC S = 1 bc sen A, ou seja, 4S 2 = 2 b2 c2 (1 cos2 A). Use a lei dos cossenos para escrever cos A, substitua e...
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1. 3 ou 5. Sim, H dois tringulos diferentes com esses dados. 2. . 4. 0 < x < 2 6 ou 74 < x < 12. 7. 5. 9.
20 15 e . 3 8 3 5
14. So colineares.
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