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Apostila Pré-Cálculo Cederj Aulas 1, 2 e 3
Apostila Pré-Cálculo Cederj Aulas 1, 2 e 3
Apostila Pré-Cálculo Cederj Aulas 1, 2 e 3
9 788576 483618
Sum
ario
Aula 1 N
umeros naturais e inteiros
. . . . . . . . . . . . . . .
Aula 2 N
umeros racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Aula 3 N
umeros irracionais - enfoque geometrico . . . . . . . . 41
Aula 4 N
umeros reais representacao decimal . . . . . . . . . . 55
Aula 5 N
umeros reais: potencias, radicais e expressoes numericas 71
Aula 6 N
umeros reais: relacao de ordem, intervalos e inequacoes 85
Aula 7 Modulo de um n
umero real, distribuicao de n
umeros na
reta e inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Aula 8 Sistemas de coordenadas em um plano . . . . . . . . . . 125
Aula 9 Distancia entre pontos do plano euclidiano . . . . . . . 145
Aula 10 Equacao da reta e inclinacao . . . . . . . . . . . . . . 153
Aula 11 Equacao da reta e inclinacao continuacao . . . . . . 175
Aula 12 Mudancas de coordenadas e equacoes quadraticas . . . 187
Aula 13 Equacoes quadraticas continuacao . . . . . . . . . . 201
Aula 14 Inequacoes lineares e quadraticas . . . . . . . . . . . . 211
Aula 15 Coletanea de exerccios programados . . . . . . . . . . 219
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
Aula 1 N
umeros naturais e inteiros
Objetivos
rever propriedades basicas dos n
umeros naturais e inteiros;
compreender a representacao dos n
umeros inteiros sobre uma reta;
utilizar o algoritmo de Euclides na divisao entre n
umeros inteiros.
N
umeros naturais
Vivemos e nos orientamos num mundo de n
umeros. Temos horarios
para ir e voltar do trabalho, nosso endereco tem um n
umero de CEP, nossa
identidade e CPF sao n
umeros. Acrescente-se ainda os n
umeros de emergencia:
polcia, bombeiros, hospitais. Seria exaustivo lembrar tantos n
umeros. Os
n
umeros acompanham a evolucao do ser humano primitivo vindo das cavernas e hoje, com o uso dos computadores, sao ferramentas fundamentais na
revolucao que presenciamos na organizacao de nossa sociedade.
Os n
umeros estao de tal modo presentes em nossas vidas, que os usamos
automaticamente sem lembrar que sao criacoes abstratas da mente humana.
A mais antiga ideia de n
umero surge da necessidade de contar. No
princpio da aventura humana, o antigo pastor ao comparar seu conjunto
de ovelhas ao correspondente conjunto de pedrinhas, identificava uma caracterstica comum aos conjuntos. Esta caracterstica quantitativa evolui
posteriormente para a ideia abstrata de n
umero e a expressao desta ideia
atraves de smbolos. Por exemplo, o n
umero 5. Pare um pouco e pense na
imensa abstracao por tras deste smbolo.
Os livros did
aticos citam,
freq
uentemente, a hist
oria do
ancestral pastor que a cada
ovelha de seu rebanho fazia
corresponder uma pedrinha
em seu bolso. Com este procedimento simples, o pastor
contava e controlava seu rebanho, evitando o desaparecimento ou comemorando o
nascimento de um pequeno
animal.
O conjunto dos n
umeros naturais, representado pela letra N, e o conjunto
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
Notamos que e indiferente inclurmos ou nao o n
umero 0 (zero) no
conjunto N. Historicamente, a ideia abstrata de um n
umero zero surge mais
tarde, associado `a ausencia de objetos para contar.
importante que voce pare um pouco e reflita sobre o significado dos
E
tres pontinhos que aparecem na definicao do conjunto dos n
umeros naturais
N. Os pontinhos expressam que N e um conjunto infinito e que conhecemos
de antemao como escrever indefinidamente um apos outro os elementos de N.
9
CEDERJ
N
umeros naturais e inteiros
N
umeros inteiros
Os n
umeros naturais sao u
teis para resolver problemas de contagem,
no entanto insuficientes para solucionar problemas do dia-a-dia, como perda,
prejuzo etc ...
No fim do mes passado, dia 28, recebi uma terrvel notcia ao pedir,
no banco, o extrato de minha conta corrente num terminal eletronico. Os
valores impressos em tinta vermelha (advertencia!) sentenciavam
Saldo atual: 305, 00.
Os negativos de n
umeros
naturais inicialmente n
ao
eram considerados n
umeros
de verdade. Entretanto eles
mostraram
indispens
aveis
aos c
alculos pr
aticos, e ganharam direito de integrarem
o universo dos n
umeros.
Uma reaca
o muito interessante contra os n
umeros negativos tinha a seguinte argumentaca
o: se 1 < 1, ent
ao
1
1
por que
=
?
1
1
O absurdo apontado pelos
incr
edulos dos n
umeros negativos era a igualdade das
fraco
es acima.
Como isto
pode acontecer se a primeira fraca
o tem o numerador menor que o denominador enquanto na segunda
fraca
o ocorre justamente o
contr
ario!
CEDERJ
10
E e isto. Convencionamos para representar, por exemplo, a perda de 2 ovelhas em colocar o sinal antes do n
umero. Assim, 2 expressaria esta
perda. Do mesmo modo, meu saldo de 305, 00 no dia 28, expunha minha
desagradavel condicao de devedor junto ao banco.
Incorporando aos n
umeros naturais, os n
umeros negativos e o n
umero
zero, chegamos ao conjunto dos n
umeros inteiros,
Z = {. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .} .
Os n
umeros naturais tambem sao chamados de inteiros positivos.
Note que como conjuntos,
N Z.
Adi
c
ao e multiplica
c
ao de n
umeros inteiros
No conjunto Z temos as operacoes fundamentais de adicao e multiplicacao. Estas operacoes permitem construir novos n
umeros a partir de
pares de n
umeros dados, e sao essenciais para o processo de contagem.
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
11
CEDERJ
N
umeros naturais e inteiros
4. O produto de qualquer n
umero inteiro por (1) e igual ao simetrico do
n
umero
1(a) = a = a(1) .
Exemplo 1.2
Simplifique a expressao 5x(y) + y(x), onde x e y representam inteiros
quaisquer.
Solucao:
5x(y) + y(x) = 5xy yx = 5xy xy
= 6xy
Representa
c
ao de Z sobre uma reta
muito u
E
til representar os n
umeros inteiros sobre uma reta orientada.
Escolha uma reta no plano e sobre ela marque dois pontos, o ponto O e o
ponto I. Vamos associar aos pontos O e I, respectivamente, os n
umeros 0
(zero) e 1.
O
12
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
-1
Figura 1.2: Os n
umeros inteiros na reta.
Atividade 1.1
Refor
cando:
Quaisquer
dois pontos consecutivos
marcados para representar
n
umeros inteiros na reta
definem
segmentos
de
comprimento unit
ario.
1
0
Rela
c
ao de ordem
A representacao dos n
umeros inteiros sobre uma reta orientada permite
estabelecer uma relacao de ordem no conjunto Z.
Defini
c
ao
Dizemos que o n
umero inteiro m e menor que o n
umero inteiro n se
na representacao sobre uma reta orientada o ponto que representa m
aparecer antes do ponto que representa n.
13
CEDERJ
N
umeros naturais e inteiros
Valor absoluto
Vamos recordar a definicao de valor absoluto de um n
umero e usa-la
nas regras de sinal, muito u
teis ao operar com n
umeros.
Defini
c
ao
O valor absoluto de um n
umero inteiro m, o qual representaremos por
|m| e definido por
(i) |m| = m se m > 0.
(ii) |m| = m se m < 0.
(iii) |0| = 0.
Exemplo 1.3
| 4| = 4,
-4
|4|
Figura 1.3: O m
odulo como dist
ancia.
CEDERJ
14
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
Exemplo 1.4
Calcule a soma 6 + (43)
Exemplo 1.5
Calcule a soma 63 + 43
Temos a adicao de um n
umero negativo com um n
umero positivo.
O n
umero negativo tem maior valor absoluto. Portanto a soma sera um
n
umero negativo, cujo valor absoluto e a diferenca entre o maior e o menor
valor absoluto.
63 + 43 = (63 43)
= 20
O produto de dois inteiros que tem sinais diferentes e um n
umero negativo
cujo valor absoluto e obtido pelo produto do valor absoluto dos n
umeros.
Exemplo 1.6
Calcule (63) 43
(63) 43 = (63 43)
= 2709
15
CEDERJ
N
umeros naturais e inteiros
Exemplo 1.7
Calcule (3) (4)
(3) (4) = +(3 4) = +12 = 12
Atividade 1.2: Hierarquia das operacoes aritmeticas:
Observe os exemplos a) e b):
a) 9 2 3 9 2 3
Solucao
As multiplicacoes sempre devem ser efetuadas antes das adicoes ou
subtracoes, a menos que a expressao contenha parenteses, chaves, colchetes,
etc... que subvertam essa hierarquia.
Expressoes numericas que envolvam apenas adicoes ou subtracoes, podem ser calculadas de acordo com a ordem em que as operacoes vao surgindo.
Portanto
9 2 3 9 2 3 = 9 54 6
= 9 60
= 51
b) (9 2 3) (9 2 3)
Solucao
Agora devemos efetuar primeiro as operacoes entre parenteses
923 =96= 3
Assim
(9 2 3) (9 2 3) = 3 3
= 9
Note que os exemplos a) e b) contem os mesmos n
umeros e as mesmas operacoes. Todavia as respostas sao completamente diferentes, devido `a
presenca de parenteses.
CEDERJ
16
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
17
CEDERJ
N
umeros naturais e inteiros
Definicao 1.2
Dados dois n
umeros inteiros nao nulos a e b, o mnimo m
ultiplo comum dos
n
umeros e o menor n
umero inteiro positivo que e m
ultiplo de ambos. Usamos
a notacao m.m.c(a, b) para representar este n
umero.
Atividade 1.4
a) Encontre o mnimo m
ultiplo comum de cada um dos seguintes pares de
n
umeros:
m.m.c(5, 7) = . . . , m.m.c(5, 10) = . . . ,
e m.m.c(6, 14) = . . .
18
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
Exemplo 1.10
Escrevemos abaixo, em ordem crescente, os oito primeiros n
umeros primos e
colocamos os tres pontinhos exprimindo que existem infinitos outros n
umeros
primos.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .}
Definicao 1.5
Dois n
umeros inteiros m e n sao primos entre si se admitirem apenas o n
umero
1 como divisor positivo comum.
Exemplo 1.11
a) 3 e 50 sao primos entre si. De fato, os divisores positivos de 3 sao 1
e 3, e os divisores positivos de 50 sao 1, 2, 5, 10, 25, 50. Logo, 1 e o
u
nico divisor comum positivo.
b) 28 e 21 sao primos entre si. De fato, 1, 2, 4, 7, 14, 28 sao os divisores
positivos de 28, e 1, 3, 7, 21 sao os divisores positivos de 21. Logo, 1
e o u
nico divisor positivo de ambos.
Atividade 1.5
a) Qual o menor n
umero natural m, maior que 1, que e primo com
n = 36 ?
b) Escreva uma lista com todos os divisores positivos do n
umero 6 e
que sao menores que 6. Estes sao os divisores proprios de 6. Em seguida,
calcule a soma dos n
umeros da lista. Voce encontrou 6? Correto.
Voce sabia que um n
umero que tem a propriedade de ser igual `a soma
de seus divisores proprios chama-se n
umero perfeito?
c) A distribuicao dos n
umeros perfeitos entre os naturais e bem espacada.
Por exemplo, 496 e um n
umero perfeito, pois
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 .
Voce sabia que existe apenas mais um n
umero perfeito entre 6 e 402.
Este n
umero e menor que 50 e voce esta desafiado a descobri-lo.
Para finalizar esta aula, convido voce a estudar um importante resultado.
19
CEDERJ
N
umeros naturais e inteiros
O algoritmo de Euclides
Vamos tratar a questao da divisibilidade do ponto de vista geometrico.
Isto sera muito u
til mais tarde.
Vamos comecar com um exemplo. Considere os n
umeros inteiros 17 e
3. Queremos dividir 17 por 3. Tomando os primeiros m
ultiplos positivos de
3 encontramos
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, . . . .
Na seq
uencia anterior, identificamos o n
umero 15 como o u
ltimo n
umero que
e menor que 17. O proximo n
umero, 18, ja supera 17.
Escrevemos
Euclides
325 / 265 a.C.
Quase nada se sabe sobre a
vida deste not
avel matem
atico
grego.
O que se costuma
afirmar
e que Euclides fundou
uma escola de Matem
atica em
Alexandria e, do conhecimento
acumulado a
`
epoca, escreveu
Os Elementos.
Para saber mais, acesse:
http://www.numaboa.com.br/
criptologia/historia/euclides.php
17 = 3 5 + 2
ou
17
3
5
ou
-18
3
7
-3
20
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
Note que neste processo, a diferenca entre a posicao final dos sapinhos
e os pontos de chegada sao sempre inferiores ao comprimento do pulo. Esta
diferenca pode ser nula no caso excepcional em que o sapinho caia exatamente
sobre o dividendo.
21
CEDERJ
N
umeros naturais e inteiros
Atividade 1.6
Realize geometricamente na reta os tres exemplos com os dados: a) dividendo
101, divisor 13; b) dividendo 47, divisor 8; c) dividendo 121, divisor 11.
Exerccios
1) Escreva, se possvel, uma expressao mais simples e equivalente a` expressao dada, onde a, b, m, x e y sao n
umeros inteiros.
a) 13a + 5a
d) 3(x + 2y) 2y
b)21x 10x
c) 3(5m 14m)
e) 4(3x + 2) + (2x + 3)
2) Dois n
umeros inteiros a e b sao tais que 5ab2 + 2a2 b + a2 b2 = 99 e
5b + 2a + ab = 3. Calcule o produto desses n
umeros.
CEDERJ
22
N
umeros naturais e inteiros
MODULO
1 - AULA 1
3) A soma de dois n
umeros e 119. O quociente da divisao do maior pelo
menor e 3 e o resto o maior possvel. Calcule os n
umeros.
4) Achar o menor m
ultiplo de 13 que dividido por 15, 24 ou 40 deixa
sempre resto 10.
5) Tres pessoas viajaram hoje para Sao Paulo. A primeira faz essa mesma
viagem de 15 em 15 dias, a segunda vai a Sao Paulo de 20 em 20 dias e
a terceira de 24 em 24 dias. Daqui a quantos dias elas voltarao a viajar
juntas?
d) 21, nao
3) a) {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}, {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}
4) a) 35, 10, 42
5) a) 5
b) 35
b) 30 minutos
b) 6 = 1 + 2 + 3
6) a) 101 = 713+10 ,
c) 28
b) 47 = 68+1 ,
c) 121 = 1111.
23
CEDERJ
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
Aula 2 N
umeros racionais
Objetivos
trabalhar com propriedades operatorias do conjunto dos n
umeros racionais;
recordar a representacao dos n
umeros racionais na reta numerica;
revisar a representacao decimal dos n
umeros racionais.
Voce esta numa festa de aniversario e o dono da casa oferece um saboroso pedaco de bolo. Em virtude daquele regime que voce comecou ontem,
o pedaco parece exagerado. Voce exclama a duras penas:
muito grande! Por favor, quero apenas um terco deste pedaco de
-E
bolo.
O que aconteceu? O pedaco de bolo representava uma unidade que lhe
era oferecida e voce solicita que esta unidade seja dividida em tres partes
iguais, das quais apenas uma sera sua parte. Voce deseja uma exata parte,
ou uma fracao da unidade oferecida. A maneira abstrata de representar esta
1
ideia e escrever .
3
Os n
umeros racionais surgem para expressar ou medir quantidades onde
aparecem envolvidas partes da unidade.
Veja na figura a seguir, um bolo de forma retangular dividido, em partes
iguais de dois modos diferentes. Em 3 partes e em 9 partes, respectivamente.
CEDERJ
N
umeros racionais
m
umeros inteiros e n 6= 0, sao
Expressoes do tipo , onde m e n sao n
n
chamadas fracoes. O termo acima do traco e o numerador e o termo abaixo
1
3
do traco e o denominador da fracao. Note que e igual a , pelo simples
3
9
fato que multiplicamos por 3 o n
umero de divisoes da unidade e tambem
multiplicamos por 3 o n
umero das partes que utilizamos para formar a nova
fracao.
Este exemplo permite induzirmos que ao multiplicarmos o numerador
e o denominador de uma fracao pelo mesmo n
umero inteiro nao nulo, nao
alteramos o valor da fracao. Isto e,
p
m
= ,
n
q
se existe um n
umero inteiro k, nao nulo, tal que p = k m e q = k n.
Igualdade ou equival
encia de fra
c
oes
m p
e sao equivalentes ou iguais se e somente se mq = pn.
n q
Em smbolos, vale a regra do produto cruzado:
Duas fracoes
m
p
=
mq = pn .
n
q
p
pn
=
.
q
qn
N
umeros racionais
Nota: Duas fraco
es equivalentes representam o mesmo n
umero racional.
CEDERJ
26
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
Soma e produto de n
umeros racionais
Sejam
p
m
e
n
umeros racionais quaisquer. Entao:
n
r
m p
rm+np
+ =
n
r
nr
m p
mp
=
n r
nr
81
27
9
9
=
=
=
.
126
42
14
14
27
CEDERJ
N
umeros racionais
4) Igualdade de n
umeros racionais
p
m
e
sao iguais se e somente se mr = np.
Dois n
umeros racionais
n
r
Em smbolos:
m
p
=
m r = n p .
n
r
Comentario: Ja tivemos ocasiao de falar sobre esta igualdade antes da definicao do conjunto Q. Este resultado e referido como regra do produto
cruzado para identificar duas fracoes iguais ou dois n
umeros racionais iguais.
5) Divisao de n
umeros racionais
Se
m
p
p
6= 0, a divisao do n
umero
por e definida por
r
n
r
m r
mr
m p
=
=
.
n
r
n
p
np
6) Inverso de n
umeros racionais
Se
p
p
r
p r
6= 0, o inverso de e o n
umero racional . Note que = 1.
r
r
p
r p
7) Simetrico de um n
umero racional
O simetrico de um n
umero racional q e o n
umero racional s tal que
q +s = 0.
a
a
Comentario: Assim, o simetrico de q = e o n
umero racional q = . O
b
b
simetrico de 0 e o proprio 0.
Observe que
a
a a
a + a
a
+ =
+ =
= 0.
b b
b
b
b
a
a
= .
Tendo em vista a definicao de simetrico, conclumos que
b
b
a
a
Uma conta parecida mostra que
= . Assim,
b
b
a
a
a
=
=
b
b
b
CEDERJ
28
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
Representa
c
ao geom
etrica dos n
umeros racionais
Ja sabemos como representar os n
umeros inteiros numa reta. Recorde o
que foi feito na Aula 1. Vamos ampliar nossa representacao colocando sobre
a reta todos os n
umeros racionais. Vamos comecar com alguns exemplos.
29
CEDERJ
N
umeros racionais
Exemplo 2.2
Voce se lembra do bolo da festa? Pois e ...
2
que
Considere agora o problema de representar o n
umero racional
3
representa a parte do bolo que voce nao comeu.
Este n
umero e uma fracao da unidade. Basta dividir a unidade em tres
partes iguais, e avancar duas casas a partir do ponto inicial. Veja a Figura
2.2.
2
.
3
Exemplo 2.3
O mesmo procedimento vale quando queremos representar o n
umero racional
r
, onde 0 r < n.
n
Nesta situacao geral, dividimos o segmento que representa a unidade
em n partes iguais, e avancamos r casas a partir do ponto inicial.
0
-1
I
1
n
...
r
n
r
.
n
Exemplo 2.4
153
. Usando o algoritmo de Euclides, podemos
Considere o n
umero racional
4
escrever
153 = 4 38 + 1 .
Entao,
153
4 38 + 1
4 38 1
1
=
=
+ = 38 + .
4
4
4
4
4
39
IR
CEDERJ
30
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
39
IR
38+1/4
Figura 2.5: Representacao do n
umero
153
.
4
Exemplo 2.5
127
.
5
Pelo algoritmo da divisao de Euclides,
Representar na reta o n
umero racional
127 = 5 25 + 2 .
Da,
127 = 5 25 2 .
Mas nao devemos esquecer que o resto na divisao euclidiana e sempre positivo ou nulo.
A fim de obter um resto euclidiano, basta subtrair e adicionar o divisor
5.
127 = 5 25 5 + 5 2 = 5 26 + 3 = 5 (26) + 3 .
Portanto, a divisao euclidiana de 127 por 5 resulta um quociente 26
e um resto 3.
Prosseguindo,
127
5 (26) + 3
5 (26) 3
3
=
=
+ = 26 + .
5
5
5
5
5
Portanto, entre os pontos da reta que representam os n
umeros 26 e 25,
127
. Veja a Figura
localizamos o ponto que representa o n
umero racional
5
2.6.
-27
-26
-25
-127
5
127
.
5
31
CEDERJ
N
umeros racionais
-3
2
...
-2
-1
73
4
18 19
Rela
c
ao de ordem nos n
umeros racionais
A representacao dos n
umeros racionais sobre uma reta orientada permite estabelecer uma relacao de ordem no conjunto Q. Suponha que os
n
umeros racionais estao representados sobre uma reta horizontal, estando os
n
umeros negativos `a esquerda e os positivos `a direita.
Definicao 2.1
m
Dizemos que o n
umero racional q =
e menor que o n
umero racion
p
nal s = se na representacao sobre uma reta orientada o ponto que
r
representa q estiver `a esquerda do ponto que representa s.
m p
e
Para explorar um pouco mais a relacao de ordem, suponha que
n r
estao escritos de modo que n > 0 e r > 0. Note que
m
mr
=
n
nr
p
pn
=
.
r
rn
32
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
Exemplo 2.6
Determine o conjunto de todos os racionais r para os quais a expressao
1
r
1
r
1
r
r
1
= 2
r 1
r 1
r
2
3 12 9
19
,
,
e
;
6
5
13
5
b) Escreva estes n
umeros em ordem crescente.
c) Mostre que
13
4
>
20
64
33
CEDERJ
N
umeros racionais
Representa
c
ao decimal de n
umeros racionais
Os n
umeros racionais expressos em forma de fracao, apresentam dificuldades de uso na linguagem mais coloquial. Na pratica do comercio,
nas medidas de temperatura, em medidas cientficas, muitas vezes aparecem
n
umeros como 12,48 ou 0,267 ou 3, 51, para representar as medidas de certas grandezas. Esta e a notacao decimal para os n
umeros racionais. Qual e
a convencao adotada? Ou melhor dizendo, que n
umero estamos expressando
atraves da notacao decimal?
Vamos explicar isso.
A convencao e a seguinte: o n
umero antes da vrgula e um n
umero
inteiro, o primeiro algarismo depois da vrgula expressa os decimos, o segundo
algarismo os centesimos, o terceiro algarismo os milesimos e assim por diante.
O n
umero representado na notacao decimal e a soma dessas quantidades.
Assim,
12, 48 = 12 +
8
1200 + 40 + 8
1248
312
4
+
=
=
=
.
10 100
100
100
25
312
.
25
6
7
200 + 60 + 7
2
+
+
=
.
10 100 1000
1000
Assim,
0, 267 =
267
.
1000
Tambem,
5
2
352
88
300 + 50 + 2
3, 52 = 3 +
+
=
= .
=
10 100
100
100
25
Logo,
3, 52 =
88
.
25
34
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
(2.1)
onde m e um n
umero inteiro e n1 , . . . np sao algarismos, e a representacao
decimal do n
umero racional obtido pela seguinte soma:
m, n1 n2 n3 . . . np = m +
n2
n3
np
n1
+
+
+ . . . + p , se m 0
10 100 1000
10
e
n1
n2
n3
np
m, n1 n2 n3 . . . np = m +
+
+
+ . . . + p , se m < 0 .
10 100 1000
10
Basta efetuar a soma das fracoes e as simplificacoes convenientes para encontrar, nas expressoes acima, `a direita, o n
umero racional em forma de fracao.
Neste momento e importante formular uma pergunta:
- Todo n
umero racional pode ser expresso em notacao decimal?
Ou perguntando de outro modo:
- Partindo de um n
umero racional
m
podemos escreve-lo na forma
n
m
= a0 , a1 a2 . . . ap ?
n
Para encontrar uma resposta, voltemos aos tres exemplos trabalhados
312
= 12, 48 ,
25
267
= 0, 267 e
1000
88
= 3, 52 .
25
25
12,48
267
- 2000
6700
- 6000
7000
- 7000
0
1000
0, 267
88
- 75
130
- 125
50
- 50
0
25
3,52
CEDERJ
N
umeros racionais
3
0,33 . . .
80
- 66
140
- 132
80
33
0,2424 . . .
- 66
140
- 132
80
..
.
8
1
e
Os resultados da divisao mostram a necessidade de expressar
3 33
atraves de somas envolvendo infinitas parcelas
3
3
3
1
= 0, 333 . . . =
+
+ ...+ n + ...
3
10 100
10
e
2
4
2
4
8
= 0, 2424 . . . =
+
+
+
+ ... .
33
10 100 1000 10000
8
= 0, 2424 . . . .
33
36
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
3
3
3
300 + 30 + 3
333
+
+
=
=
.
10 100 1000
1000
1000
Note que
333
1000 999
1
1
1
=
=
<
.
3 1000
3000
3000
1000
Isso mostra que
1
0, 333, com erro de um milesimo.
3
1
O smbolo le-se aproximadamente. Entao e aproximadamente 0,333 e
3
o erro e inferior a um milesimo.
Numa maquina de calcular, quando dividimos 1 por 3 aparece no visor o
n
umero zero, seguido de um ponto (substituindo a vrgula) e uma quantidade
finita de algarismos 3. Quanto maior for a capacidade da maquina, maior
o n
umero de dgitos 3 apos o ponto (ou a vrgula) e tanto mais proximo do
1
valor exato e o valor fornecido pela maquina.
3
Atividade 2.4
a) Mostre que
1
< 0, 334.
3
1
1
<
.
3
1000
1
0, 334 com erro inferior a um milesimo .
3
37
CEDERJ
N
umeros racionais
Exemplo 2.7
29
na forma decimal com erro inferior a um decimo de
Expressar o n
umero
17
milesimo.
Solucao
Usando o algoritmo euclidiano
29
-17
120
-119
100
-85
150
-136
14
17
1,7058
29
1, 7058 com erro inferior a um decimo de milesimo.
17
De fato, veja as contas que comprovam isto:
Entao,
1, 7058 = 1 +
0
5
8
17058
7
+
+
+
=
.
10 100 1000 10000
10000
Entao,
290000 289986
14
17
1
1
29 17058
=
=
<
=
= 4.
17 10000
170000
170000
170000 10000
10
Exerccios propostos
1. Determine os n
umeros naturais n que satisfazem a inequacao
n
4
<
n+2
5
CEDERJ
38
N
umeros racionais
MODULO
1 - AULA 2
Respostas
Atividade 2.1:
274 244
61
121
11
822
=
,
=
e
=
.
81
27
132
33 143
13
Atividade 2.2:
73
1 3
1
= 18 + ,
= 2 + .
4
4 2
2
Atividade 2.3
3
1 12
3 19
1
a) = ,
= 3 + e
= 4 + .
6
2 5
5 5
5
12
3
9
19
<
< <
b)
5
5
6
13
c) Basta mostrar que
4
13
1
13
<
<
64 < 65 .
20
64
5
64
39
CEDERJ
N
umeros racionais
Atividade 2.4
1
334
> , uma vez que 3 334 > 1000
1000
3
1
334
1
1002 1000
2
1
b) 0, 334 =
=
=
<
3
1000 3
3000
3000
1000
c) Basta examinar o resultado em b)
a) 0, 334 =
Exerccios propostos
1. n < 8
2. a) e b) x 6= 1 e x 6= 1
c) x 6= 2
3. a) e b)
4. a)
5
,
2
b) r > 4 ou r < 0
21
31
< 0, 3259 <
< 2, 1342 < 2, 134201
7
10
b) 24, 30034
5. a)
6. z = 60
CEDERJ
40
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
MODULO
1 - AULA 3
Aula 3 N
umeros irracionais - enfoque
geom
etrico
Objetivos
concluir que os n
umeros racionais sao insuficientes para realizar todas
as medidas;
descrever uma infinidade de n
umeros irracionais;
realizar sobre a reta real a representacao geometrica de alguns n
umeros
irracionais.
um
Estamos acompanhando o desenvolvimento da ideia de n
umero. E
processo longo que pontuou a historia do homem sobre a Terra. Relato da
necessidade humana de contar objetos que levou `a ideia abstrata de n
umeros
naturais. E a partir da, a necessidade de considerar n
umeros negativos e
n
umeros racionais, estes u
ltimos como expressoes de partes da unidade.
Tambem trabalhamos nas aulas passadas a representacao dos n
umeros
naturais sobre uma reta orientada. Recorde com a Figura 3.1. A representacao e tal que a distancia entre o ponto 0 e o ponto 1 define uma unidade
de medida. Assim dois n
umeros inteiros quaisquer consecutivos estao localizados na reta distantes um do outro, exatamente de uma unidade padrao de
medida.
-11
3
-4
11
4
2
3
-3
-2
-1
a
3
Figura 3.1: N
umeros racionais na reta.
11
e tal que
3
11
9+2
2
=
= 3+
.
3
3
3
Por exemplo, o n
umero
11
e um ponto `a esquerda da reta, situado entre os pontos
3
11
4 e 3. Para dar conta da posicao exata do n
umero
, dividimos o
3
intervalo definido pelos n
umeros 4 e 3 em tres partes iguais e assinalamos a
posicao procurada naquele ponto mais proximo de 4. Com isto, localizamos
11
sobre a reta. Volte e observe a Figura 3.1.
o n
umero
3
Isto significa que
41
CEDERJ
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
m
m
um n
umero racional. Como localizar
na reta
De modo geral, seja
n
n
numerica?
m
Vamos supor que, inicialmente, m e n sao positivos e, portanto
e
n
positivo. Temos duas situacoes para examinar: m < n ou m n.
m
< 1.
Primeiro caso: m < n ou seja,
n
Nesta situacao, dividindo o intervalo cujos extremos sao 0 e 1 em n
m
partes iguais e tomando m destas partes, localizamos o n
umero . Veja na
n
2
Figura 3.1, a localizacao do n
umero .
3
m
Segundo caso: m > n ou seja,
1.
n
Neste caso, podemos efetuar a divisao euclidiana de m por n. Suponha
que
m = q n+ r, 0 r < n.
qn+r
qn
r
r
m
=
=
+ = q + . Em vista da divisao efetuada,
Logo,
n
n
n
n
n
m
conclumos que o n
umero
e um ponto sobre a reta, localizado entre os
n
n
umeros inteiros q e q + 1. Isto e
q
m
< q +1.
n
P+1
Para encontrar n
umeros racionais no intervalo definido pelos n
umeros p
e p + 1, escolhemos um n
umero natural n, dividimos o intervalo em n partes
iguais. Cada ponto definido por uma destas divisoes representa um n
umero
racional.
CEDERJ
42
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
MODULO
1 - AULA 3
Note que o n
umero de divisoes n pode ser qualquer n
umero natural
10
(por exemplo n = 1010 ). Este processo descreve todos os pontos da reta
que representam n
umeros racionais entre p e p + 1. Agora fazendo p variar
nos n
umeros inteiros cobrimos toda a reta. Este e o modo de localizar a
posicao de qualquer n
umero racional.
Por outro lado, volte e observe o ponto a na Figura 3.1.
- Qual e a distancia do ponto a ao ponto 0?
Ou, a mesma pergunta feita de dois modos distintos:
- Qual e o n
umero que deve ser gravado no lugar de a?
m
maior que 5 e menor que 6, tal que
- Existe um n
umero racional
n
m
a= ?
n
Como veremos com exemplos, ainda nesta aula, existem pontos na reta
que nao podem ser representados por n
umeros racionais. O ponto a na
Figura 3.1 poderia ser um destes pontos. Isto significaria que, a medida do
segmento de reta cujos extremos sao o ponto zero e o ponto a nao pode ser
expressa por um n
umero racional. Volte a observar a Figura 3.1.
Atividade 3.1
a) Encontre um n
umero inteiro q tal que q <
187
< q + 1.
13
N
umeros irracionais
Estamos em plena viagem exploratoria pelo mundo dos n
umeros!
Temos motivacao suficiente vendo a importancia que os n
umeros representam na organizacao de nossa sociedade. Pitagoras no seculo V a.C., um
dos maiores matematicos que o mundo conheceu, apregoava: os n
umeros
governam o mundo. Na concepcao de Pitagoras, o conjunto de n
umeros
que deveriam governar o mundo eram os n
umeros racionais. E ja naquele
tempo percebeu-se que isto nao era suficiente. Vamos aos fatos:
Para Pitagoras, a beleza da estrutura dos n
umeros era que a unidade e
suas fracoes eram suficientes para expressar toda a beleza do universo. Naquela epoca tao remota, a Matematica confundia-se com a religiao. Pitagoras
e seus seguidores formaram o que hoje denominamos irmandade. O fato sur43
CEDERJ
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
preendente ocorreu quando um discpulo de Pitagoras de nome Hipaso, percebeu que a medida da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos
medem uma unidade, nao pode ser expressa por um n
umero racional.
Vamos direto aos fatos: veja a Figura 3.3 onde representamos um
triangulo retangulo ABC cujos catetos AB e AC medem 1.
44
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
MODULO
1 - AULA 3
(3.1)
Mas, Cuidado!
Leia com atencao a afirmacao 3.1 acima! Para qualquer afirmacao que
se faca, em particular para esta afirmacao com a qual estamos trabalhando,
existem somente duas possibilidades: a afirmacao e falsa ou e verdadeira.
Nosso trabalho e mostrar que e verdadeira (. . .) ou mostrar que ela nao e
falsa. Isto em Matematica e incrvel! E veja como provar que a afirmacao
escrita em (3.1) nao e falsa.
Suponha que e falsa. Entao encontraremos algum n
umero natural m
2
2
tal que m e par e m e mpar (m par m mpar). Uma situacao destas
claro que nao. O passo intermediario, mostrou que se m e
pode existir? E
mpar entao m2 e mpar (m mpar m2 mpar). Juntando os raciocnios
encontramos que
m2 par m mpar m2 mpar .
Temos uma contradicao, evidenciando que a implicacao (3.1) nao pode ser
falsa. Portanto, a afirmacao (3.1) e verdadeira.
Isto finaliza a prova da Proposicao 3.1.
O m
etodo de prova, usado na
proposica
o 3.1,
e chamado de
m
etodo da contraposica
o. O
m
etodo garante que para provar que A B
e suficiente
mostrar que a suposica
o que A
e verdadeira e B
e falsa induz
uma contradica
o.
45
CEDERJ
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
m
e uma fracao irredutvel. Ou
Na igualdade anterior podemos supor que
n
seja, m e n nao possuem divisores comuns alem da unidade. Agora, se
existisse um n
umero racional com as propriedades anteriores, entao
m2 = 2n2 .
Vamos em frente! Veja a igualdade acima. Ela diz que m2 e par. Ora
se m2 e par entao m e par (proposicao 3.1). Isto e, m = 2p, para algum
p N. Entao voltando `a igualdade escrevemos
(2p)2 = 2n2 4p2 = 2n2 2p2 = n2 .
Au
ltima igualdade mostra que n2 e par. Mas entao n tambem e par (usamos
aqui de novo a proposicao 3.1). Mas da, m e par e n e par. Uma contradicao,
m
pois sendo a fracao
irredutvel nao pode ser simplificada por 2. Isto mostra
n
que a igualdade 3.2 nao pode acontecer.
Conclusao: Existem medidas que nao podem ser expressas por um n
umero
racional. Veja a Figura 3.4, que localiza sobre a reta orientada o n
umero
2
a, tal que a = 2. Denotamos, simbolicamente, este n
umero por a = 2 e o
denominamos a raiz quadrada de 2.
1
a
2
Figura 3.4: O n
umero irracional 2.
-2
-1
CEDERJ
46
m
, quaisquer que sejam m , n Z .
n
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
MODULO
1 - AULA 3
m
m
p 2=
2=
.
n
np
Isto implicaria que
irracional.
Conclusao: temos ja um n
umero infinito de n
umeros irracionais
. . . 3 2, 2 2, 2, 2, 2 2, 3 2, 4 2, . . .
2
e um
Afirmamos tambem que, para qualquer n
umero natural n,
n
n
umero irracional.
p
2
= , onde p, q Z, q 6= 0. Entao
De fato, suponha por absurdo que
n
q
pn
implicando que 2 seria racional. Esta contradicao garante que
2=
q
2
e irracional.
n
2
- Como representar na reta numerica
?
n
Tomamos o segmento de reta cujos extremos sao os pontos 0 (zero) e
2 e dividimos o segmento
em n partes iguais. O ponto
da divisao mais
2
2
. Veja na figura o ponto
.
proximo de zero, representa
n
3
2
3
0
2
Figura 3.5
CEDERJ
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
2
p
. Em seguida, dividimos o segmento
Primeiro, note que
2=p
q
q
2,
cujos extremos sao os pontos representados
pelo
n
u
mero
zero
e
o
n
u
mero
2
e localizamos o ponto que representa
. A partir da, tomamos sucessiq
vamente p destes segmentos
um apos o outro, para localizar o ponto que
3
2
. Veja na figura os n
umeros irracionais
2e
representa o n
umero p
q
4
5
2.
4
3 2
4
2
4
0
5 2
2 4
2
Figura 3.6
Atividade 3.2
Usando o Teorema de Pitagoras, determine as medidas x, y, z e w dos
segmentos da Figura 3.7.
Figura 3.7
Encontramos o primeiro n
umero irracional 2 como o n
umero que fornece a medida de um segmento da reta. Esta e a u
nica maneira de obter
n
umeros irracionais.
Para nossos objetivos agora, podemos enunciar uma definicao geometrica:
Definicao 3.1
Um n
umero e irracional quando ele e o valor da medida de um segmento de
m
reta e que nao pode ser escrito na forma , onde m e n sao n
umeros inteiros.
n
CEDERJ
48
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
MODULO
1 - AULA 3
O n
umero
Outra medida importante detectada na antig
uidade e que nao pode ser
expressa por um n
umero racional foi o n
umero .
Para entender, tome um crculo de diametro igual a 1 e force este crculo
a rolar sem deslizamento ao longo de uma reta, como na Figura 3.8.
A
A
A
Figura 3.8: O permetro do crculo.
CEDERJ
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
m m = m.
O n
umero m e dito a raiz quadrada de m e uma questao relevante e a
seguinte: dado um n
umero natural m, decidir se m e racional ou irracional.
r2
r2
= q 3k 2 2kr .
3
3
- O que mostra a u
ltima igualdade?
q = 3k 2 + 2kr +
CEDERJ
50
(3.3)
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
MODULO
1 - AULA 3
O n
umero 3 e irracional.
Prova: De fato, suponha, por absurdo, que
onde
3=
3 e um n
umero racional. Entao
m
,
n
m
e uma fracao irredutvel com n > 0. Logo,
n
2
m
= ( 3)2 m2 = 3n2 .
n
Au
ltima igualdade mostra que m2 e divisvel por 3. Entao a Proposicao 3.2
garante que m e divisvel por 3. Isto e, m = 3q, para algum n
umero natural
q. Entao
m2 = 3n2 (3q)2 = 3n2 3q 2 = n2 .
Entao n2 e divisvel por 3. De novo, a Proposicao 3.2 garante que n e divisvel
por 3. Mas isto nao pode ocorrer, porque m e n divisveis por 3 contraria o
m
fato que
e uma fracao irredutvel. Este absurdo prova que
n
m
3 6= ,
n
para quaisquer n
umeros inteiros m e n. Portanto, 3 e irracional.
Proposicao 3.4
Se p e um n
umero natural mpar entao 2p e irracional.
De fato, vamos supor, por absurdo, que existe uma fracao irredutvel
m
, n > 0, tal que
n
p
m
.
(3.4)
2p =
n
51
CEDERJ
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
Entao,
2p =
m
n
2
m2 = 2pn2 .
logo m2 e par. Pela Proposicao 3.1, m e tambem par. Isto e, m = 2k, para
algum k N. Logo,
(2k)2 = 2pn2 4k 2 = 2pn2 2k 2 = pn2 .
Isto mostra que pn2 e par. Mas como p e um n
umero mpar, para pn2 ser par a
u
nica possibilidade e que n2 seja par. Pela Proposicao 3.1, n2 sendo par temos
m
que n e par. Ora, m par e n par implica que
e redutvel (podemos dividir
n
por 2). Isto e uma contradicao. Logo nao e possvel escrever a igualdade
umero irracional.
(3.4) e 2p e um n
Atividade 3.3
Prove com auxlio da Proposicao 3.4, que sao irracionais os n
umeros:
a)
2+
b)
Exerccios
1. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmacoes
abaixo e justifique sua resposta.
(a) Se r e q sao n
umeros racionais entao r + q e um n
umero racional.
(b) Se r e q sao n
umeros racionais e ambos nao inteiros entao r q
pode ser um n
umero inteiro.
(c) Se r e q sao n
umeros racionais, com q 6= 0, entao r + q 2 e sempre
irracional.
(d) Existem infinitos n
umeros irracionais.
2. A partir de dois segmentos de reta de medidas m e n, mostre como
CEDERJ
52
2 + p e um n
umero irracional se p e um n
umero primo.
N
umeros irracionais - enfoque geometrico
MODULO
1 - AULA 3
Respostas
Atividade 3.1
8
187
= 15 +
,
a)
13
13
Atividade 3.2 x =
2, y =
q = 15
3, , z = 4 = 2, w = 5
Atividade 3.3
m
2+ 3=
e eleve ao quadrado. Use a proposicao 3.4.
n
b) Mesma sugestao de a).
a) Escreva
Exerccios
1. a) V
b) V
c) V
d) V
53
CEDERJ