FOLHA DIRIGIDA ONLINE - Caderno do Vestibular nº 01 - Matemática

Para que o estacionamento obtenha lucro, deve-

Fuvest 2004 A Fuvest atrai milhares de estu-
dantes de todo o país. O motivo mos ter:
é a oferta de vagas para a Universidade de São Paulo R > 320 ∴ 3x + 240 > 320 ∴ x > 26,66... (III)
(USP). Outras instituições também oferecem vagas no Como o número de usuários é igual ao número de
concurso. Fazer as questões de Matemática da Fuvest
2004 é um bom exercício: primeiras horas, temos que o menor natural x que sa-
tisfaz III é 27.
Questão 1 Resposta: C

Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já

contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com
Questão 3
18% de álcool. Em uma semi-circunferência de centro C e raio R,
Deseja-se completar o tanque com uma nova mis- inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto
tura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante onde a bissetriz do ângulo ACBˆ intercepta a semi-cir-
—
tenha 20% de álcool. cunferência. O comprimento da corda AD é:
A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve
ser de:
a) 20%
b) 22%
c) 24%
d) 26%
e) 28%
RESOLUÇÃO
• Mistura inicial: 18% de 30L = 5,4L de álcool
• Mistura resultante: 20% de 40L = 8L de álcool
Logo, os 10L da mistura a ser adicionada devem
conter 2,6L de álcool.
Portanto, a porcentagem de álcool nessa mistura

deve ser de , isto é, 26%.

Resposta: D

Questão 2 RESOLUÇÃO
Do enunciado, temos a figura:
Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira hora
de uso, R$3,00 por hora adicional e tem uma despesa
diária de R$320,00.
Considere-se um dia em que sejam cobradas, no
total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo
de usuários necessário para que o estacionamento ob-
tenha lucro nesse dia é:
a) 25
b) 26
c) 27
d) 28 Aplicando o teorema dos co-senos no triângulo
e) 29 ACD, temos:

RESOLUÇÃO
Sendo: x = nº de primeiras horas
y = nº de horas adicionais
R = receita diária
Então:
x + y = 80 ∴ y = 80 – x (I)
R = 6x + 3y (II)
substituindo-se (I) em (II):
R = 6x + 3(80 – x) ∴ R = 3x + 240 Resposta: A

1
Questão 4 Questão 5
Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde
Um lateral L faz um lan-
ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é:
çamento para um atacante
A, situado 32m à sua fren-
te em uma linha paralela à
lateral do campo de fute-
bol. A bola, entretanto, se-
gue uma trajetória retilínea,
mas não paralela à lateral e
quando passa pela linha de
meio do campo está a uma
distância de 12m da linha
que une o lateral ao atacan-
te. Sabendo-se que a linha
de meio do campo está à mesma distância dos dois
jogadores, a distância mínima que o atacante terá que
percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:
a) 18,8m
b) 19,2m
c) 19,6m
d) 20m
e) 20,4m

RESOLUÇÃO
Do enunciado, temos a figura, na qual a distância
pedida mede AP.

RESOLUÇÃO
A função dada por y = 2–x, com x ≥ 0, é decrescen-
te, positiva e menor ou igual a 1.

Aplicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo

LMH, temos:

Como os triângulos LAP e LHM são semelhantes,

resulta que:
Temos então a seqüência de gráficos:

Resposta: B
 Resolução:
Com x > 2, temos:

Resposta: C

Questão 6
Um número racional r tem representação decimal da
forma r = a1a2, a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9.
Supondo-se que:
• a parte inteira de r é o quádruplo de a3, Resposta: D
• a1, a2, a3 estão em progressão aritmética,
• a2 é divisível por 3,
então a3 vale:
Questão 8
a) 1 Uma matriz real A é ortogonal se AAt = I, onde I
b) 3 indica a matriz identidade e At indica a transposta de A.
c) 4
d) 6
e) 9 Se é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:

RESOLUÇÃO:
Do enunciado, temos:
10a1 + a2 = 4a3 e
a3 = 2a2 . a1, pois (a1, a2, a3) e uma P. A.
Logo, 10a1 + a2 = 4(2a2 . a1), ou seja,
14a1 = 7a2, ou ainda,
a2 = 2a1 ∴ a2 ∈ {2, 4, 6, 8}.
Como a2 e divisível por 3, podemos concluir que a2 = 6.
Portanto, a1 = 3.
De a3 = 2a2 . a1, temos a3 = 9.

Resposta: E

Questão 7 Resolução:
Do enunciado:
Se x é um número real, x > 2 e log2(x – 2) – log4x
= 1, então o valor de x é:
 Se a cerca reta
perpendicular ao lado
AB divide ABCD em
dois lotes de áreas
Resposta: E iguais, então a cerca
reta está à direita do
Questão 9 ponto C e origina dois
lotes de área 4 cada
Duas irmãs receberam como herança um terreno um, conforme a figu-
na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo ra:
em um sistema de coordenadas. Elas pretendem divi- A área do triân-
di-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado gulo isósceles EPB é
AB e passando pelo ponto P = (a, 0). 4.
Logo:

O valor de a para que se obtenham dois lotes de

mesma área é:

Resposta: B

Questão 10
Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois
tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a
partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a,
Resolução: soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilus-
Do enunciado, temos a figura: trado abaixo.

A área S1 do quadrilátero AHCD é:

A área S2 do triângulo CHB é:

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Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A Resolução:
e B, respectivamente, tem-se: Do enunciado, temos a figura:
a) VA = 2VB
b) VB = 2VA
c) VA = VB
d) VA = 4VB
e) VB = 4VA

Resolução:
Do enunciado, temos a figura:
Devemos ter: Sendo S a área do retângulo ABCD, então a área do

quadrilátero AMCD é Na figura, onde H é a

altura da pirâmide de base ABCD e h é a altura da pirâ-

mide de base AMCD, VQ é base média do triângulo

EPC. Logo,

Resposta: A

Questão 11
A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E
representada na figura tem volume 4. Se M é o pon-
to médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta
EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e
vértice V é: Resposta: B

Questão 12
Três empresas devem ser contratadas para realizar
quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada
trabalho será atribuído a uma única empresa e todas
elas devem ser contratadas. De quantas maneiras dis-
tintas podem ser distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
a) 1 d) 72
b) 1,5 e) 108
c) 2
d) 2,5
e) 3
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Resolução:
Uma das empresas necessariamente ficará com 2
trabalhos. Podemos efetuar a escolha desse bloco de 2
trabalhos de C4,2 modos.
Esse bloco de 2 trabalhos junto com os dois traba-
lhos restantes podem ser distribuídos às 3 empresas
de 3! maneiras.
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem:

Resposta: C