Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi)

In matematica, il teorema di Cauchy è un teorema della teoria dei gruppi finiti; afferma che, se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito di ordine ${\displaystyle n>1}$, e ${\displaystyle p}$ è un numero primo che divide ${\displaystyle n}$, allora esiste in ${\displaystyle G}$ un elemento di ordine ${\displaystyle p}$, e quindi un sottogruppo con ${\displaystyle p}$ elementi.

Prende nome da Augustin-Louis Cauchy.

Il teorema di Cauchy è un inverso parziale del teorema di Lagrange, ed è generalizzato dal primo teorema di Sylow (che garantisce l'esistenza di sottogruppi di ordine ${\displaystyle p^{k}}$ se ${\displaystyle p}$ è un numero primo e ${\displaystyle p^{k}}$ divide l'ordine del gruppo).

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo e ${\displaystyle p}$ un primo che divide l'ordine del gruppo. Consideriamo il seguente insieme di ${\displaystyle p}$-uple di elementi di ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle P=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p})\mid a_{1}a_{2}\cdots a_{p}=e\}}$,

dove ${\displaystyle e}$ è l'identità del gruppo.

L'insieme ${\displaystyle P}$ contiene esattamente ${\displaystyle n^{p-1}}$ elementi: i primi ${\displaystyle p-1}$ possono essere scelti ciascuno in ${\displaystyle n}$ modi distinti, mentre la scelta dell'ultimo è obbligata (deve essere l'inverso di ${\displaystyle a_{1}\cdots a_{p-1}}$).

Diciamo ora che due ${\displaystyle p}$-uple sono equivalenti se e solo se una è ottenibile dall'altra permutandone ciclicamente gli elementi; ovvero, le ${\displaystyle p}$-uple equivalenti a ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{p})}$ sono quelle del tipo

${\displaystyle (a_{t},a_{t+1},\ldots ,a_{p},a_{1},\ldots ,a_{t-1})}$,

per un intero ${\displaystyle t}$ compreso tra ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle p}$. Questa è una relazione di equivalenza; le classi di equivalenza possono anche essere considerate come le orbite dell'azione naturale di ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ su ${\displaystyle P}$.

Se tutti gli elementi della ${\displaystyle p}$-upla ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p})}$ sono uguali, allora essa è l'unico elemento della sua classe di equivalenza; d'altro canto, se due elementi della ${\displaystyle p}$-upla sono distinti, allora (essendo ${\displaystyle p}$ un numero primo) la classe di equivalenza comprende esattamente ${\displaystyle p}$ elementi.

Esiste almeno una ${\displaystyle p}$-upla in ${\displaystyle P}$ con tutti gli elementi uguali, quella in cui sono tutti uguali all'elemento neutro; di conseguenza, se non ce ne fossero altre, si avrebbe

${\displaystyle \vert P\vert =n^{p-1}=1+hp}$,

dove ${\displaystyle h}$ è un intero positivo. Poiché ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle n}$, questo è assurdo, e quindi deve esistere un ${\displaystyle a}$ diverso dall'elemento neutro tale che ${\displaystyle (a,a,\ldots ,a)\in P}$; in particolare, l'ordine di ${\displaystyle a}$ è esattamente ${\displaystyle p}$.

Una conseguenza immediata di questo teorema è il fatto che, se tutti gli elementi di un gruppo finito hanno per ordine una potenza di ${\displaystyle p}$, allora anche l'ordine ${\displaystyle n}$ del gruppo è una potenza di ${\displaystyle p}$: se infatti ${\displaystyle n}$ fosse diviso da un altro primo ${\displaystyle q}$, esisterebbe un sottogruppo con ${\displaystyle q}$ elementi, contro l'ipotesi.

• Antonio Machì, Gruppi, Springer, 2007, ISBN 978-88-470-0622-5.

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