Sottogruppo di Frattini

In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, il sottogruppo di Frattini ${\displaystyle \Phi (G)}$ di un gruppo ${\displaystyle G}$ è l'intersezione di ${\displaystyle G}$ e di tutti i sottogruppi propri massimali di ${\displaystyle G.}$ In particolare, secondo la definizione, se ${\displaystyle G}$ non ha sottogruppi propri massimali allora ${\displaystyle \Phi (G)}$ coincide con ${\displaystyle G}$ stesso. È simile al radicale di Jacobson che si incontra nella teoria degli anelli. Intuitivamente può essere pensato come il sottogruppo di "piccoli elementi", infatti è caratterizzato dall'essere l'insieme di tutti i "non generatori" di ${\displaystyle G.}$

Il suo nome deriva da Giovanni Frattini, che ne definì il concetto in un lavoro pubblicato nel 1885.

• ${\displaystyle \Phi (G)}$ coincide con l'insieme di tutti i "non generatori" di ${\displaystyle G}$^[1]. (Un elemento ${\displaystyle a\in G}$ è un non generatore se può essere sempre rimosso da un insieme di generatori del gruppo senza che quest'ultimo perda tale qualità; cioè ${\displaystyle a}$ è tale che per ogni ${\displaystyle X}$ insieme generatore di ${\displaystyle G,}$ si ha che ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ è ancora un insieme generatore di G^[2].)
• ${\displaystyle \Phi (G)}$ è sempre un sottogruppo caratteristico di ${\displaystyle G;}$ in particolare, è sempre un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$).
• Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito, allora ${\displaystyle \Phi (G)}$ è un gruppo nilpotente^[3].
• Se ${\displaystyle G}$ è un p-gruppo, allora ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}[G,G].}$ Così il sottogruppo di Frattini, rispetto all'inclusione, è il più piccolo sottogruppo normale ${\displaystyle N}$ tale che il gruppo quoziente ${\displaystyle G/N}$ è un ${\displaystyle p}$-gruppo abeliano elementare^[4], il che equivale a dire isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici di ordine ${\displaystyle p.}$ Inoltre, se il gruppo quoziente ${\displaystyle G/\Phi (G)}$ (chiamato anche il quoziente (o fattore) di Frattini di ${\displaystyle G}$) ha ordine ${\displaystyle p^{k},}$ allora ${\displaystyle k}$ è il più piccolo numero di generatori di ${\displaystyle G}$ (cioè la minima cardinalità per un insieme di generatori di ${\displaystyle G}$). In particolare, un p-gruppo finito è ciclico se e solo se il suo quoziente di Frattini è ciclico (di ordine ${\displaystyle p}$). Un ${\displaystyle p}$-gruppo è un gruppo abeliano elementare se e solo se il suo sottogruppo di Frattini è il gruppo banale.

Un esempio di gruppo con sottogruppo di Frattini non banale è un gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle p^{2},}$ con ${\displaystyle p}$ numero primo. Se indichiamo con ${\displaystyle G}$ il gruppo ciclico e con ${\displaystyle a}$ un suo generatore, allora si ha ${\displaystyle \Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle }$.

• Argomento di Frattini

• (EN) Da PlanetMath:
  • «Frattini subgroup» Archiviato il 15 giugno 2010 in Internet Archive. (definizioni alternative)
  • «Frattini subset», su planetmath.org. URL consultato il 3 ottobre 2009 (archiviato dall'url originale il 15 giugno 2010).
  • «The Frattini subgroup of a finite group is nilpotent» Archiviato il 30 maggio 2009 in Internet Archive. (dimostrazione)
• (EN) Eric W. Weisstein, "Frattini Subgroup", da MathWorld—A Wolfram Web Resource
• (FR) Hailé Béréda, «Sur une classe de p-groupes» Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 5^ième série, Tome 4, N. 2, p 191-194

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