Regola di Ruffini

In algebra la regola di Ruffini è un metodo efficiente per dividere un polinomio per un binomio di primo grado della forma ${\displaystyle x-a}$. Questa regola è stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809 ed è un caso particolare della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica^[1].

La regola di Ruffini fornisce un metodo per dividere il polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

per il binomio

${\displaystyle A(x)=x-r,}$

ottenendo il polinomio quoziente

${\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0},}$

e un resto ${\displaystyle R}$ che è un termine costante (eventualmente nullo), poiché deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore^[2].

L'algoritmo è una versione più efficiente della divisione polinomiale di ${\displaystyle P(x)}$ per ${\displaystyle A(x)}$.

Per dividere ${\displaystyle P(x)}$ per ${\displaystyle A(x)}$, si seguono i seguenti passi^[3]:

1. Si scrivono in ordine i coefficienti di ${\displaystyle P(x)}$, e si scrive ${\displaystyle r}$ in basso a sinistra, sopra la riga:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$

2. Si copia il coefficiente più a sinistra ${\displaystyle a_{n}}$ in basso, sotto la riga:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

3. Si moltiplica il numero più a destra di quelli sotto la riga, per ${\displaystyle r}$, e il risultato lo si scrive sopra la riga, spostato di un posto a destra:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

4. Si somma questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}$

Si ripetono i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti

${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}}$

I valori ${\displaystyle b_{n-1},b_{n-2},\dots ,b_{0}}$ sono i coefficienti del polinomio risultante ${\displaystyle Q(x)}$, il cui grado sarà inferiore di uno a quello di ${\displaystyle P(x)}$, invece ${\displaystyle R}$ è il resto della divisione.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

La regola di Ruffini ha varie applicazioni pratiche, molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati^[4].

Siano

${\displaystyle P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6,}$

${\displaystyle A(x)=x+1.}$

Vogliamo dividere ${\displaystyle P(x)}$ per ${\displaystyle A(x)}$ usando la regola di Ruffini. Poiché ${\displaystyle A(x)}$ non è della forma ${\displaystyle x-r}$, ma piuttosto ${\displaystyle x+r}$, è sufficiente riscrivere ${\displaystyle A(x)}$ come

${\displaystyle A(x)=x+1=x-(-1).}$

Applichiamo ora l'algoritmo.

1. Scriviamo i coefficienti di ${\displaystyle P(x)}$ e ${\displaystyle r}$:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}}$

2. Copiamo il primo coefficiente sotto:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}$

3. Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga, per ${\displaystyle r}$, e scriviamolo al posto successivo sopra la riga:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}$

4. Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}}$

5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}}$

Abbiamo ottenuto, quindi, che:

${\displaystyle P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R,}$

dove

${\displaystyle Q(x)=2x^{2}-7x+6,}$

${\displaystyle R=0.}$

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado ${\displaystyle A(x)=ax-k}$. Infatti, considerando la relazione fondamentale

${\displaystyle P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x),}$

dividendo tutto per ${\displaystyle a}$ (sicuramente diverso da ${\displaystyle 0}$) otteniamo

${\displaystyle {\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}.}$

Detti ${\displaystyle {\frac {P(x)}{a}}=P'(x)}$ e ${\displaystyle {\frac {R(x)}{a}}=R'(x)}$ otteniamo:

${\displaystyle P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x).}$

Dunque il quoziente richiesto ${\displaystyle Q(x)}$ è anche il quoziente della divisione di ${\displaystyle P'(x)}$ per ${\displaystyle x-k/a}$, che si può ottenere con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto ${\displaystyle R(x)}$ basterà moltiplicare il resto ottenuto ${\displaystyle R'(x)}$ per ${\displaystyle a}$.

Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$

ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma ${\displaystyle p/q}$, dove ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ sono interi coprimi, ${\displaystyle p}$ è un divisore (non necessariamente positivo) di ${\displaystyle a_{0}}$ e ${\displaystyle q}$ è un divisore di ${\displaystyle a_{n}}$. La ricerca delle radici razionali riguarderà sempre un numero finito di valori dato che ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle a_{0}}$ hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. Ad esempio, se il nostro polinomio è

${\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2,}$

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di ${\displaystyle -2/1}$ che sarà:

${\displaystyle \left\{+1,-1,+2,-2\right\}.}$

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè, ${\displaystyle a_{n}=1}$); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici potrebbe includere alcune frazioni. In ogni caso, per i polinomi monici, ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera deve essere un divisore del termine costante.

Pertanto, provando a porre ${\displaystyle r}$ uguale a ciascuna delle radici possibili, si può tentare di dividere il polinomio per ${\displaystyle x-r}$. Se il polinomio quoziente risultante ha resto 0, abbiamo trovato una radice. Questo metodo però non permette di trovare radici irrazionali o complesse.

È evidente che se ${\displaystyle a_{i}>0}$ per ${\displaystyle i=0,1,2,\ldots ,n}$, cioè se tutti i termini del polinomio ${\displaystyle P(x)}$ hanno coefficiente positivo, allora le uniche radici possibili per cui provare a dividere il polinomio sono quelle di segno negativo, inteso che nel polinomio vi sia almeno un termine con potenza di ${\displaystyle x}$ ed ${\displaystyle n}$ dispari.

Se, per esempio, volessimo trovare le radici del precedente polinomio ${\displaystyle P(x)}$, dovremmo dividere ${\displaystyle P(x)}$ per il binomio ${\displaystyle x-a}$ dove ${\displaystyle a}$ è una delle radici possibili. Se il resto è uguale a ${\displaystyle 0}$, il numero utilizzato è una radice:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+1&&+1&-3&+2\\\hline &+1&-3&+2&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-1&&-1&+5&-10\\\hline &+1&-5&+10&-12\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+2&&+2&-4&+2\\\hline &+1&-2&+1&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-2&&-2&+12&-34\\\hline &+1&-6&+17&-36\\\end{array}}}$

${\displaystyle x_{1}=+1}$ e ${\displaystyle x_{3}=+2}$ sono radici, mentre ${\displaystyle x_{2}=-1}$ e ${\displaystyle x_{4}=-2}$ non lo sono.

Possiamo quindi scrivere il polinomio scomposto:

${\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)(x^{2}-3x+2)=(x-2)(x^{2}-2x+1)=(x-1)(x-1)(x-2).}$

Uguagliando ${\displaystyle P(x)=0}$ per trovare le radici del polinomio, otteniamo che queste sono ${\displaystyle x=1}$ (con molteplicità ${\displaystyle 2}$) e ${\displaystyle x=2.}$

Dopo avere usato il metodo "${\displaystyle p/q}$" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore ${\displaystyle x-r}$ che divide un polinomio dato corrisponde una radice ${\displaystyle r}$, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

e abbiamo trovato come sue radici:

${\displaystyle R=\left\{\alpha \in \mathbb {Q} :P(\alpha )=0\right\},}$

consideriamo il prodotto:

${\displaystyle Q(x)=a_{n}{\prod _{r\in R}(x-r)}.}$

Per il teorema fondamentale dell'algebra, ${\displaystyle Q(x)}$ sarebbe uguale a ${\displaystyle P(x)}$ se tutte le radici di ${\displaystyle P(x)}$ fossero razionali. Ma è assai probabile che ${\displaystyle Q(x)}$ non sia uguale a ${\displaystyle P(x)}$, dato che ${\displaystyle P(x)}$ potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

${\displaystyle S(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}$

Se ${\displaystyle S(x)=1}$, allora ${\displaystyle Q(x)=P(x)}$. Altrimenti, ${\displaystyle S(x)}$ sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di ${\displaystyle P(x)}$ che non ha radici razionali in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Dunque

${\displaystyle P(x)=Q(x)\cdot S(x),}$

è una fattorizzazione completa di ${\displaystyle P(x)}$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ se ${\displaystyle S(x)=1,}$ altrimenti sarà una fattorizzazione completa su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ma ci saranno altri fattori su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o su ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Sia

${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2.}$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di ${\displaystyle P(x)}$ sono:

${\displaystyle R=\left\{+1,-1,-2\right\}.}$

Pertanto, il prodotto di (${\displaystyle x}$ − ciascuna radice) è

${\displaystyle Q(x)=1(x-1)(x+1)(x+2),}$

${\displaystyle P(x)/Q(x)}$ dà

${\displaystyle S(x)=1.}$

E così il polinomio fattorizzato è ${\displaystyle P(x)=Q(x)\cdot 1=Q(x)}$:

${\displaystyle P(x)=(x-1)(x+1)(x+2).}$

Sia

${\displaystyle P(x)=2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-2x-8.}$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di ${\displaystyle P(x)}$ sono:

${\displaystyle R=\left\{-1,+2\right\}.}$

Pertanto, il prodotto di (${\displaystyle x}$ − ciascuna radice) è

${\displaystyle Q(x)=(x+1)(x-2),}$

${\displaystyle P(x)/Q(x)}$ dà

${\displaystyle S(x)=2x^{2}-x+4.}$

Dato che ${\displaystyle S(x){\neq }1}$, il polinomio fattorizzato sui razionali è ${\displaystyle P(x)=Q(x)\cdot S(x)}$:

${\displaystyle P(x)=(x+1)(x-2)(2x^{2}-x+4).}$

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica, vol. 3, Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu, vol. 1, 2ª ed., Bologna, Zanichelli, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla regola di Ruffini

• (EN) Eric W. Weisstein, Regola di Ruffini, su MathWorld, Wolfram Research.

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