Campo di numeri

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In matematica un campo di numeri (o campo numerico) ${\displaystyle K}$ è un'estensione finita del campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali. Questo significa che ${\displaystyle K}$ è un campo contenente ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Lo studio dei campi di numeri e, più in generale, delle estensioni del campo dei numeri razionali, è uno degli argomenti principali della teoria algebrica dei numeri.

Un campo algebrico di numeri o più semplicemente un campo di numeri ${\displaystyle F}$ è per definizione un sottocampo del campo dei numeri complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ che sia un'estensione di grado finito ${\displaystyle n}$ del campo dei numeri razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• Un primo esempio banale è il campo dei numeri razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, che è esso stesso un campo di numeri, essendo un'estensione di grado ${\displaystyle 1}$ di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• Un esempio non banale sono i campi quadratici, cioè le estensioni ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ con ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} \setminus \{0,1\}}$ privo di fattori quadratici. Ovviamente se ${\displaystyle d=-1}$ allora ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]}$ è il campo dei razionali gaussiani.

• Un altro esempio è l'${\displaystyle n}$-esimo campo ciclotomico, cioè il campo ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta ]}$ con ${\displaystyle \zeta }$ radice primitiva ${\displaystyle n}$-esima dell'unità, questo campo ha grado ${\displaystyle [\mathbb {Q} [\zeta ]:\mathbb {Q} ]=\varphi (n)}$ dove ${\displaystyle \varphi }$ è la funzione di Eulero.

• Un "non" esempio è ${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$, che è un'estensione di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ma il suo grado è infinito, per cui non è un campo di numeri. Per vedere che ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\infty }$, basta ricordare che ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ha cardinalità del continuo, mentre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ è numerabile.

Sappiamo dalla teoria dei campi che data un'estensione ${\displaystyle K|F}$, un elemento ${\displaystyle k\in K}$ è detto algebrico su ${\displaystyle F}$ se ${\displaystyle k}$ è radice di un polinomio monico ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$, e chiamiamo estensioni algebriche le estensioni di campi i cui elementi sono tutti algebrici; in particolare se ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ chiamiamo numero algebrico un elemento ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ che sia algebrico su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, inoltre se ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ è radice di un polinomio monico a coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diremo che ${\displaystyle \alpha }$ è un intero algebrico.

Ora, dato un campo di numeri ${\displaystyle K}$, definiamo ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}=\{\alpha \in \mathbb {C} \ |\ \alpha \ {\text{radice di un polinomio monico}}\ f(x)\in \mathbb {Z} [x]\}}$ (si dimostra che ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}}$ è un anello), si definisce ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}={\bar {\mathbb {Z} }}\cap K}$ anello degli interi algebrici di ${\displaystyle K}$.

In generale dato un campo di numeri ${\displaystyle K}$, il rispettivo anello degli interi ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ non è un UFD (vedi esempio sotto), ma è possibile dimostrare che gode di altre interessanti proprietà, in particolare, che è un dominio di Dedekind, per cui ammette una fattorizzazione unica in termini di ideali primi.

Dato il campo quadratico ${\displaystyle F=\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]}$, si ha ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]\subset {\mathcal {O}}_{F}}$ (in realtà si può dimostrare che ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$), per cui abbiamo

${\displaystyle 3\cdot 2=6=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}),}$

dunque ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ non è UFD.

• (EN) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1996 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2.
• (EN) Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• (EN) Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• (EN) Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• (EN) Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics, 3ª ed., Berlin, Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267.
• (EN) Jürgen Neukirch, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021.
• (EN) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001.
• (EN) André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

• Campo quadratico
• Campo ciclotomico
• Estensione di campi
• Teoria dei campi (matematica)
• Teoria algebrica dei numeri

• (EN) Eric W. Weisstein, Campo di numeri, su MathWorld, Wolfram Research.

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