Kemampuan Penalaran Matematis
Kemampuan Penalaran Matematis
Kemampuan Penalaran Matematis
OLEH
KELOMPOK 4
OFIS LIMOSIN DAMANIK 22205023
SEPRI YENSI 22205024
DIAH MAYA FITRIH HRP 22205028
DOSEN PENGMPU
Dr. ALI ASMAR, M.Pd.
Kelompok 4
i
DAFTAR ISI
ii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seiring dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi, manusia
dituntutmemiliki kemampuan berpikir kritis, sistematis, logis, kreatif, bernalar, dan
bekerjasama secara efektif sehingga dapat berkembang maju di masa globalisasi ini. Dalam
upaya mengantisipasi perkembangan yang semakin maju tersebut, pembelajaran matematika
dikelas perlu direformasi, (Tandaliling, 2011).
Dalam pembelajaran matematika, terdapat beberapa kemampuan yang merupakan
kemampuan matematis, baik itu kemampuan dalam hal konten materi ataupun dalam hal proses
matematis, salah satu kemampuan matematis berdasarkan proses matematis adalah
kemampuan penalaran. Sampai saat ini peran guru dalam membangun kemampuan penalaran
matematis siswa khususnya dalam pembelajaran matematika masih sangat terbatas. Tugas dan
peran bukan lagi sebagai pemberi informasi (transfer of know ledge), tetapi sebagai pendorong
siswa belajar (stimulation of learning) agar dapat mengkonstruksi sendiri pengetahuannya.
Materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan
yaitu materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dipahami dan dilatih
melalui belajar materi matematika.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana pengertian kemampuan penalaran matematis?
2. Bagaimana indikator kemampuan penalaran matematis?
3. Bagaimana jenis kemampuan penalaran matematis?
4. Bagaimana rubrik penilaian dan contoh kemampuan penalaran matematis?
5. Bagaimana faktor-faktor yang mempengaruhi kemampuan penalaran matematis?
C. Tujuan Pembelajaran
1. Untuk mengetahui pengertian kemampuan penalaran matematis
2. Untuk mengetahui indikator kemampuan penalaran matematis
3. Untuk mengetahui jenis kemampuan penalaran matematis
4. Untuk mengetahui rubrik penilaian dan contoh kemampuan penalaran matematis
5. Untuk mengetahui faktor-faktor yangmempengaruhi kemampuan penalaran
matematis.
1
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
3
B. Indikator Kemampuan Penalaran Matematis
Indikator-indikator penalaran dalam matematika dalam istilah yang dinyatakan
Sumarmo (2004) adalah sebagai berikut:
a. Menarik kesimpulan logik
b. Memberikan penjelasan dengan mengunakan model, fakta, sifat, dan hubungan
c. Memperkirakan jawaban dan proses solusi
d. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematik, menarik
analogi dan generalisasi.
e. Menyusun dan menguji konjektur
f. Memberikan lawan contoh (counter examples)
g. Menyusun argumen yang valid
4
C. Macam-macam Penalaran Matematis
a. Penalaran Logis
• Penalaran kondisional
• Penalaran Silogisme Contohnya:
Tiga orang berjalan ke motel meminta kamar. Petugas mengatakan sewa kamar
adalah$ 30 sehingga masing-masing orang membayar $10 untuk biaya. Kemudian,
petugas itu meyadari bahwa dia melakukan kesalahan, bahwa sewa kamar seharusnya
$25. Dia menyuruh bellboy untuk mengembalikan sisa $5 untuk tiga orang. Bellboy tidak
ingin berantakan dengan banyak perubahan membagi $5 dengan tiga orang. Ia
memutuskan untuk berbohong tentang harga, dan mengembalikan kepada setiap orang
$1 dan menyimpan untuk dirinya $2. Akhirnya setiap orang membayar $9 terhadap
ruangan dan pelayan yang mendapat $ 2, dengan jumlah total $ 29.Tapi biaya asli $ 30,
dimana tambahan $1 pergi ?
b. Penalaran Induktif
Penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang berupa penarikan
kesimpulan umum (berlaku untuk semua) atas dasar pengetahuan tentang hal yang
khusus (fakta). Artinya dari fakta-fakta diturunkan suatu kesimpulan. Penalaran induktif
melibatkan tentang keteraturan, misalnya kesamaan dari contoh-contoh yang berbeda
atau kesamaan pola gambar. Penalaran induktif juga dapat dilakukan dalam kegiatan
nyata, contohnya melalui suatu permainan atau melakukan sesuatu secara terbatas
dengan mencoba-coba, contohnya pada permainan menara hanoi. Oleh karena itu,
penalaran induktif merupakan proses penarikan kesimpulan dari kasus-kasus individual
nyata menjadi kesimpulan yang bersifat umum.
Aktivitas yang termasuk pada penalaran induktif (Maulana, 2017) meliputi :
a. Bekerja dengan pola
Bekerja dengan pola merupakan menggunakan pola-pola atau sifat dalam matematika
untuk menyelesaikan suatu permasalahan.
b. Membuat dugaan (Conjecture) Mengajukan dugaan atau konjektur pada saat meneliti
pola, mendiskusikan ide matematik, mengajukan model, menguji kumpulan data, dan
membuat spesifikasi tentang suatu hasil yang didapatkan dari suatu percobaan.
c. Pembentukan generalisasi Generalisasi adalah proses menarik kesimpulan secara
5
umum berdasarkan pada beberapa data yang telah diamati. Generalisasi dilakukan
ketika adanya model atau pola yang mendasari, bahkan ketika kita tidak dapat
membuat kesimpulan.
Kesimpulan umum dari suatu penalaran induktif tidak merupakan bukti. Hal
tersebut dapat dipahami karena aturan umum yang diperoleh ditarik dari pemeriksaan
beberapa contoh khusus yang benar, tetapi belum tentu berlaku untuk semua kasus.
Kesimpulan tersebut boleh jadi valid (sah) pada contoh yang diperiksa, tetapi bisa jadi
tidak dapat diterapkan pada keseluruhan contoh. Dengan demikian dalam penalaran
induktif dapat dihasilkan suatu kesimpulan yang benar berkenaan dengan contoh khusus
yang dipelajari, tetapi kesimpulan tersebut tidak terjamin untuk generalisasi. Contohnya:
tuliskan berikutnya tiga angka di urutan 5, 7, 11, 17, 25, …
c. Penalaran Deduktif
Penalaran Deduktif merupakan suatu proses berpikir (penalaran) yang bertolak dari
sesuatu proposisi yang sudah ada menuju kepada suatu proposisi baru yang berbentuk suatu
kesimpulan. Penalaran deduktif juga merupakan proses penalaran untuk menarik
kesimpulan dari hal-hal atau fakta-fakta yang bersifat umum ke hal-hal yang bersifat
khusus.
Deduktif atau deduksi adalah salah satu bentuk pemikiran yang biasanya digunakan
untuk menentukan pernyataan-pernyataan yang terungkap atau bisa juga untuk menyatakan
ide yang sama dengan bentuk sebaliknya. Ini adalah bentuk pemikiran yang kesimpulannya
muncul secara signifikan setelah ada pernyataan-pernyataan. Pernyataan dalam pemikiran
tersebut disebut premis-premis. Jika hubungan antara premis-premis menghasilkan
kesimpulan (konklusi) maka hubungan tersebut dikatakan valid/sah. Validitas suatu
kesimpulan timbul dari bentuk argumen dan bukan dari kebenaran premis-premis.
Argumen deduksi disebut valid/sah, bila premis-premisnya benar maka kesimpulannya
benar dan bila premisnya salah maka kesimpulannya salah. Contoh penalaran deduktif:
Persamaan (a2 - b2) = (a + b) (a - b) adalah persamaan benar.
Penalaran deduktif dapat dilakukan secara :
6
1) Aturan inferensial
Contohnya: Semua bilangan imajiner adalah bilangan kompleks.
2) Bukti langsung
Buktikan bahwa diskriminan persamaan kuadrat lebih besar dari nol mempunyai akar
real berbeda.
3) Bukti tidak langsung
Buktikan bahwa jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y
kedua-duanya ganjil.
7
4. Tahap 4
Tahap ini sebagai refleksi sejauh mana kemampuan berpikir anak dapat
diaplikasikan dalam menganalisis, memahami, mengkomunikasikan pemecahan
masalah baik yang berkaitan dengan konsep matematika masalah dalam kehidupan
sehari-hari.
8
Menggunakan fakta yang ada 2
dengan penjelasan, tapi kurang
lengkap
Menggunakan fakta yang ada 3
dengan penjelasan dan
penghitungannya lengkap dan
tepat.
3 Memberikan penjelasan dengan Tidak ada jawaban atau tidak 0
menggunakan konsep dan memberikan penjelasan
sifatsifatnya.
11
Modus adalah datum dengan 2
frekuensi tertinggi. Karena
diketahui modus data adalah
satu yaitu 8 maka yang tidak
mungkin adalah
p≥70,frekuensi kumulatif data
diatas 6 adalah 80 sedangkan
frekuensi kumulatif data
dibawah 6 adalah 20+p+49 = 69
+p, maka p yang tidak mungkin
adalah p < 11
Jadi p yang tidak mungkin
adalah 𝑝 < 11 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝 ≥ 70
Modus adalah datum dengan 3
frekuensi tertinggi. Karena
diketahui modus data adalah
satu yaitu 8 maka yang tidak
mungkin adalah p≥70,.
Sedangkan median atau nilai
tengahnya adalah 6, artinya
frekuansi data dibawah 6 harus
sama dengan frekuensi data
diatas 6, frekuensi kumulatif
data diatas 6 adalah 80
sedangkan frekuensi kumulatif
data dibawah 6 adalah 20+p+49
= 69 +p, maka p yang tidak
mungkin adalah p < 11 Jadi p
yang tidak mungkin adalah 𝑝 <
11 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝 ≥ 70
12
No Indikator SOAL JAWABAN SKOR
Penalaran
3 Memberikan Suatu Hari Annisa menemukan sobekan koran yang memuat data Diketahui = 345 1
penjelasan kecelakaan yang terjadi selama lima tahun belakang, berupa gambar
dengan diagram batang berikut:
menggunakan
konsep dan Berdasarkan konsepnya
sifatsifatnya.
13
No Indikator SOAL JAWABAN SKOR
Penalaran
Diketahui = 345 2
Berdasarkan konsepnya
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑡𝑢𝑚
=
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑑𝑎𝑡𝑢𝑚
Berdasarkan konsepnya
14
4 Mengkonstruk Dalam sebuah kelas, diketahui nilai rata-rata ulangan matematika 1
atau menilai kelompok putri adalah 8,5 sedangkan kelompok putra 7,7. Jika rata-
konjektur/argumen rata kelas 7,9. Tunjukkan bahwa siswa putra lebih banyak dari pada
matematika siswa putri!
𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎𝑝𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑋
15
2
16
No Indikator SOAL JAWABAN SKOR
Penalaran
5 Menggambarkan Pak Agus dan Pak Harif masing-masing memiliki lima ekor kambing. ̅̅̅ 𝑘 1
konklusi logis Berat rata-rata kambing Pak Agus 40 kg, sedangkan berat rata-rata 𝑋 = 5.40 = 200 𝑘
𝑎
tentang sejumlah kambing Pak Harif hanya 38 kg. Seekor kambing Pak Harif ditukarkan
ide dan dengan seekor kambing Pak Agus sehingga berat rata-rata kambing Pak ̅̅̅ 𝑘
keterkaitanya Harif sama dengan berat rata-rata kambing Pak Agus. Tentukanlah
𝑋𝑏 = 5.38 = 180 𝑘
Selisih berat kambing pak Agus dan Pak Harif yang ditukarkan? Kambing mereka
dipertukarkan m dengan n
sehingga rata-rata kambing
mereka sama;
17
No Indikator SOAL JAWABAN SKOR
Penalaran
2
𝑋𝑏 = 5.38 = 190 𝑘
Kambing mereka
dipertukarkan m dengan n
sehingga rata-rata kambing
mereka sama;
2𝑚 − 2𝑛 = 200 − 190
= 10 𝑘
18
No Indikator SOAL JAWABAN SKOR
Penalaran
3
𝑋𝑏 = 5.38 = 190 𝑘
Kambing mereka
dipertukarkan m dengan n
sehingga rata-rata kambing
mereka sama.
𝑟𝑎𝑡𝑎-rata 𝑘𝑎𝑚𝑏𝑖𝑛 𝐴= rata-rata
kambing B
19
F. Faktor-faktor yang mempengaruhi Penalaran Matematis Siswa
Faktor-faktor yang mempengaruhi tingkat penalaran matematika siswa rendah adalah sebagai
berikut:
a. Siswa mudah lupa dengan materi yang sudah diajarkan.
b. Siswa tidak memiliki ide dalam menyelesaikan soal.
c. Siswa kurang teliti dalam memahami permasalahan pada soal.
d. Siswa kurang paham terhadap rumus mana yang akan digunakan dalam
menyelesaikan soal.
e. Siswa kurang paham terhadap konsep materi Segiempat dan segitiga
Penalaran Matematika yang mencakup kemampuan untuk berpikir secara logis dan
sistematis merupakan ranah kognitif matematik yang paling tinggi. Sumarmo (2002)
memberikan indikator kemampuan yang termasuk pada kemampuan penalaran
matematika, yaitu sebagai berikut:
Membuat analogi dan generalisasi
Memberikan penjelasan dengan menggunakan model
Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika
Menyusun dan menguji konjektur
Memeriksa validitas argumen
Menyusun pembuktian langsung
Menyusun pembuktian tidak langsung
Memberikan contoh penyangkal
Mengikuti aturan enferensi
20
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Penalaran matematis merupakan salah satu jantung dalam pembelajaran, sehingga
perlu menumbuh kembangkan dalam aktivitas pembelajaran matematika. Penalaran
matematis adalah suatu aktivitas atau proses penarikan kesimpulan yang ditandai dengan
adanya langkah-langkah proses berpikir.
B. Saran
Demikianlah penyusunan makalah ini, kami sadar bahwa dalam penyusunan
makalah ini masih banyak kekurangan, karena keterbatasan kemampuan kami atau
kurangnya referensi. Maka dari itu kritik dan saran yang bersifat membangun dari para
pembaca sangat kami harapkan untuk perbaikan pada makalah selanjutnya. Semoga
makalah ini berguna bagi para pembacanya dan bisa menambah ilmu pengetahuan kita
semua.Aamiin.
21
DAFTAR PUSTAKA
Depdiknas. 2006. Standar Isi Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs. Jakarta: Depdiknas.
Emilya, Devi. 2010. Pengembangan Soal-Soal Open-Ended Materi Lingkaran untuk
Meningkatkan Penalaran Matematika Siswa Kelas VIII Sekolah Menengah Pertama
Negeri 10 Palembang. Jurnal Pendidikan Matematika, 4 (1). hal. 8-18.
Shadiq, Fajar. 2004. Pemecahan Masalah, Penalaran dan Komunikasi. Makalah disampaikan
Pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar di PPPG
Matematika. Yogyakarta.
Sumarmo, Utari. 2013. Berpikir dan Disposisi Matematik serta Pembelajaran. Bandung:
Universitas Pendidikan Indonesia.
Sumartini, Tina Sri. 2015. Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa Melalui
Pembelajaran Berbasis Masalah. Jurnal Pendidikan Matematika, 5 (1), hlm 1-10.
Suriasumantri, Jujun S. 1999. Filsafat Ilmu Sebuah Pengantar Populer. Jakarta: Sinar Harapan
Thontowi, Ahmad. 1993. Psikologi Pendidikan. Bandung: Angkasa
Wibowo, Aji. 2017. Pengaruh Pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik dan Saintifik
terhadap Prestasi Belajar, Kemampuan Penalaran Matematis dan Minat Belajar.
Jurnal Riset Pendidikan Matematika 4 (1), hal. 1-10.
Yusdiana, Bentang Indria dan Wahyu Hidayat. 2018. Analisis Kemampuan Penalaran
Matematis Siswa SMA pada Materi Limit Fungsi. Jurnal Pembelajaran Matematika
Inovatif, 1(3), DOI 10.22460/jpmi.v1i3.409-414.
22