Pemodelan Matematika
Pemodelan Matematika
Pemodelan Matematika
Makalah
Oleh :
i
DAFTAR ISI
ii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Model matematika dari suatu masalah adalah rumusan masalah dalam bentuk
persamaan atau fungsi matematika. Pemodelan matematika dari suatu masalah adalah
langkah-langkah yang ditempuh untuk memperoleh dan memanfaatkan persamaan
atau fungsi metematika dari suatu masalah.
Model matematika dari suatu masalah adalah ibarat peta suatu wilayah. Syarat
utama model yang baik adalah (1) representatif: model mewakili dengan benar
sesuatu yang diwakili, makin mewakili, model makin kompleks; (2) dapat difahami/
dimanfaatkan: model yang dibuat harus dapat dimanfaatkan (dapat diselesaikan secara
matematis), makin sederhana makin mudah diselesaikan.
Berdasarkan hal tersebut maka penulis akan membahas tentang metode dan jenis-
jenis model matematika
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut maka, penulis merumuskan masalah yang akan di
bahas dalam makalah ini adalah :
1. Bagaimana metode dalam pemodelan matematika ?
2. Apa saja jenis-jenis dalam pemodelan matematika ?
C. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan makalah ini adalah
1. Untuk mengetahui metode dalam pemodelan matematika
2. Untuk mengetahui jenis-jenis dalam pemodelan matematika
1
BAB II
PEMBAHASAN
A. Metode Model Matematika
Beberapa metode model matematika yang dapat kita gunakan untuk membuat sebuah
model matematika dalam penyelesaian masalah yang ditemukan dalam persoalan
matematika, diantaranya :
Ada ide dasar, namun sangat kuat yang merupakan pusat pemodelan matematika, yaitu,
bahwa setiap persamaan yang kita gunakan harus homogen secara dimensi atau konsisten
secara dimensi. Sangat logis bahwa setiap istilah dalam persamaan energi memiliki dimensi
total energi, dan bahwa setiap istilah dalam keseimbangan massa harus memiliki dimensi
massa. Pernyataan ini memberikan dasar untuk teknik yang disebut analisis dimensi.
analisis dimensi adalah alat yang banyak digunakan di berbagai cabang ilmu pengetahuan
dan teknik untuk lebih memahami fenomena yang melibatkan keberadaan besaran fisik yang
berbeda. Magnitudo memiliki dimensi dan dari sini satuan-satuan ukuran yang berbeda
diturunkan.
Asal usul konsep dimensi ditemukan dalam ahli matematika Prancis Joseph Fourier, yang
menciptakannya. Fourier juga memahami bahwa, agar dua persamaan dapat diperbandingkan,
mereka harus homogen sehubungan dengan dimensi mereka. Artinya, Anda tidak bisa
menambahkan meter dengan kilogram.
Dengan demikian, analisis dimensi bertanggung jawab untuk mempelajari besaran,
dimensi dan homogenitas persamaan fisik. Untuk alasan ini, sering digunakan untuk
memeriksa hubungan dan perhitungan, atau untuk membangun hipotesis tentang pertanyaan
rumit yang selanjutnya dapat diuji secara eksperimental.
Dalam diskusi itu juga perlu meninjau perbedaan penting antara dimensi fisik yang
menghubungkan kuantitas (diturunkan) dengan kuantitas fisik mendasar dan unit yang
merupakan ekspresi numerik dari dimensi kuantitas yang dinyatakan dalam standar fisik
tertentu.
Prinsip Fourier, juga dikenal sebagai prinsip homogenitas dimensional, mempengaruhi
penataan ekspresi yang tepat yang menghubungkan kuantitas fisik secara aljabar..
Ini adalah prinsip yang memiliki konsistensi matematis dan menyatakan bahwa satu-
satunya pilihan adalah untuk mengurangi atau menambah besaran fisik yang sifatnya sama.
Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menambahkan massa dengan panjang, atau waktu
dengan permukaan.
Keputusan penting dalam pemodelan adalah memilih tingkat detail yang sesuai untuk
masalah yang dihadapi, dan dengan demikian mengetahui tingkat detail apa yang ditentukan
untuk model yang ada. Proses ini disebut abstraksi dan biasanya memerlukan pendekatan
yang bijaksana untuk mengidentifikasi fenomena yang ingin kita fokuskan, yaitu, untuk
menjawab pertanyaan mendasar tentang mengapa model dicari atau dikembangkan.
2
Misalnya, pegas elastis linier dapat digunakan untuk memodelkan lebih dari sekadar
hubungan antara kekuatan dan ekstensi relatif pegas melingkar sederhana, seperti dalam skala
tukang daging kuno atau pegas mobil. Hal ini juga dapat digunakan untuk memodelkan
perilaku statis dan dinamis dari sebuah gedung tinggi, mungkin untuk memodelkan pemuatan
angin, mungkin sebagai bagian dari menganalisis bagaimana bangunan akan merespons
gempa. Dalam contoh-contoh ini, kita dapat menggunakan model yang sangat abstrak dengan
merangkum berbagai detail dalam parameter model itu.
Selain itu, ketika kita berbicara tentang menemukan tingkat abstraksi yang tepat atau
tingkat detail yang tepat, kita secara bersamaan berbicara tentang menemukan skala yang
tepat untuk model yang kita kembangkan. Misalnya, pegas dapat digunakan pada skala mikro
yang jauh lebih kecil untuk memodelkan ikatan atom, berbeda dengan tingkat makro untuk
bangunan. Gagasan penskalaan mencakup beberapa ide, termasuk efek geometri pada skala,
hubungan fungsi dengan skala, dan peran ukuran dalam menentukan batas — yang semuanya
diperlukan untuk memilih skala yang tepat untuk model dalam kaitannya dengan “ kenyataan
”yang ingin kami tangkap.
Ketika kita mengembangkan model matematika, kita sering mulai dengan pernyataan
yang menunjukkan bahwa beberapa bagian dari suatu objek atau sistem sedang dikerjakan.
Sebagai contoh, kita dapat menganalisis gerakan benda yang bergerak di jalur yang ideal,
tanpa gesekan dengan mencatat bahwa energinya yang dikerjakan. Kadang-kadang, seperti
ketika kita memodelkan populasi suatu kumpulan hewan atau volume aliran sungai, kita
harus menyeimbangkan jumlah, masing-masing hewan atau volume air, yang melintasi batas
yang ditentukan. Kami akan menerapkan prinsip keseimbangan atau konservasi untuk
menilai efek mempertahankan atau melestarikan tingkat sifat fisik bagian-bagiannya.
Persamaan konservasi dan keseimbangan saling terkait — pada kenyataannya, hukum
konservasi adalah kasus khusus hukum keseimbangan.
Model Aliran Maksimum sesuai dengan namanya adalah sebuah model yang dapat
digunakan untuk mengetahui nilai maksimum seluruh arus di dalam sebuah sistem jaringan.
Jaringan listrik, pipa saluran, dan jalur lalu-lintas dalam sebuah sistem jaringan yang tertutup
adalah contoh-contohnya.
Model aliran maksimum pada dasarnya merupakan penyederhanaan model distribusi
terkendali. Prinsip keseimbangan antara input dengan output di dalam model distribusi
terkendali juga dipakai oleh model aliran maksimum. Bila pada model distribusi kendali
biaya total distribusi di seluruh jaringan di minimumkan maka pada model aliran maksimum
arus yang mengalir pada seluruh jaringan dimaksimumkan.
Secara matematis. Fungsi tujuan model distribusi terkendali adalah :
3
4. Membangun Model Linier
Dalam statistik , istilah model linier digunakan dalam berbagai cara sesuai dengan
konteksnya. Kejadian yang paling umum adalah sehubungan dengan model regresi dan istilah
ini sering dianggap sama dengan model regresi linier . Namun, istilah ini juga digunakan
dalam analisis deret waktu dengan makna yang berbeda. Dalam setiap kasus, penunjukan
"linier" digunakan untuk mengidentifikasi subkelas model yang memungkinkan pengurangan
substansial dalam kompleksitas teori statistik terkait.
Linearitas adalah salah satu konsep terpenting dalam pemodelan matematika. Model
perangkat atau sistem dikatakan linier ketika persamaan dasarnya — apakah aljabar,
diferensial, atau integral — sedemikian rupa sehingga besarnya perilaku atau respons yang
dihasilkan berbanding lurus dengan eksitasi atau input yang mendorongnya.
Linearitas adalah sifat hubungan yang linear antar variabel, artinya setiap perubahan yang
terjadi pada satu variabel akan diikuti perubahan dengan besaran yang sejajar pada variabel
lainnya.
Pengertian Istilah Linier. Istilah linier dapat diartikan dengan dua cara yang berbeda,
yaitu (Gujarati, 1995) :
1. Linieritas dalam variabel
Arti pertama dan mungkin lebih alamiah dari linieritas bahwa harapan bersyarat
(conditional expectation) dari Y adalah fungsi linier dari Xi atau
atau dapat dikatakan bahwa nilai rata-rata harapan variabel
tak bebas adlah suatu fungsi linier dari variabel bebas. Secara geometrik, suatu fungsi
regresi dalam kasus ini adalah suatu garis lurus.
Dalam interpretasi, suatu fungsi regresi seperti adalah
bukan fungsi regresi linier karena variabel X nampak dengan pangkat dua atau
kuadratik.
4
B. Jenis-jenis model matematika
Jenis – jenis model matematika dapat dibagi dalam lima kelas yang berbeda, yaitu :
a. Model Ikonik : adalah model yang menirukan sistem aslinya, tetapi dalam
suatu
skala tertentu.
Contoh : model pesawat.
b. Model Analog : adalah suatu model yang menirukan sistem aslinya dengan
hanya mengambil beberapa karakteristik utama dan menggambarkannya dengan
benda atau sistem lain secara analog. Contoh : aliran lalu lintas di jalan
dianalogkan dengan aliran air dalam sistem pipa c. Model Simbolis : adalah
suatu model yang menggambarkan sistem yang ditinjau dengan simbol-simbol
biasanya dengan simbol-simbol matematik. Dalam hal ini sistem diwakili oleh
variabel-variabel dari karakteristik sistem yang ditinjau.
a. Deterministik : dalam model ini pada setiap kumpulan nilai input, hanya ada
satu output yang unik, yang merupakan solusi dari model dalam keadaan pasti.
b. Probabilistik : model probabilistik menyangkut distribusi probabilistik dari
input atau proses dan menghasilkan suatu deretan harga bagi paling tidak satu
variabel output yang disertai dengan kemungkinan-kemungkinan dari harga-
harga tersebut.
c. Game : teori permainan yang mengembangkan solusi-solusi optimum dalam
menghadapi situasi yang tidak pasti
5
5) Kelas V, pembagian menurut tingkat generalitas .
a. Umum
b. Khusus
Model yang akan disusun dalam penelitian ini termasuk model Simbolis, yaitu model
yang menggambarkan sistem yang ditinjau dengan simbol-simbol biasanya dengan simbol-
simbol matematik. Dalam hal ini sistem diwakili oleh variabel-variabel dari karakteristik
sistem yang ditinjau. pemodelan adalah deskriptif lengkap mengenai satu sistem dari
perspektif tertentu atau suatu bentuk penyederhanaan dari sebuah elemen dan komponen
yang sangat komplek untuk memudahkan pemahaman dari informasi yang dibutuhkan.
Pemodelan matematika merupakan proses dalam memperoleh pemahaman matematika
melalui konteks dunia nyata Dalam pemodelan matematik bahwa masalah nyata yang sering
dihadapi dalam kehidupan sehari-hari perlu disusun dalam suatu model matematik sehingga,
mudah dicari solusinya.
Proses pembentukan model matematika melalui tahap abstraksi dan idealisasi. Dalam
proses ini diterapkan prinsip-prinsip matematika yang relevan sehingga menghasilkan sebuah
model matematika yang diharapkan. Beberapa hal penting dan perlu agar model yang dibuat
sesuai dengan konsep masalah antara lain, masalah itu harus dipahami karakteristiknya
dengan baik, disusun formulasi modelnya, model itu divalidasi secara cermat, solusi model
yang diperoleh diinterpretasikan dan kemudian diuji kebenarannya. Metodologi dasar dalam
proses penentuan model matematika atau sering disebut pemodelan matematika, ada
beberapa tahap yaitu
a) tahap masalah
b) karakterisasi masalah,
c) formulasi model matematika,
d) analisis,
e) validasi,
f) perubahan dan
g) model yang memadai
Pemodelan matematika merupakan proses dalam memperoleh pemahaman
matematika melalui konteks dunia nyata. Menurut Lovitt (1991) pemodelan matematika
ditandai oleh dua ciri utama, yaitu (1) pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata,
(2) pemodelan membentuk suatu siklus. (Senk dan Thompson, 2003).
Pemodelan matematika adalah penyusunan suatu deskripsi dari beberapa perilaku
dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang disebut
dunia matematika (mathematical world). Pemodelan matematika juga merupakan
representasi dari objek, proses, atau hal lain yang diharapkan dapat diketahui polanya
sehingga dapat dianalisis.
(Dym and Ivey, 1980)
Pemodelan matematika adalah penyusunan suatu deskripsi dari beberapa perilaku
dunia nyata (fenomena - fenomena alam) ke dalam bagian - bagian matematika yang disebut
6
dunia matematika. Ada dua tipe model matematika, yaitu model bertipe deterministik dan
model bertipe empirik. Model deterministik merupakan suatu model matematika yang
dibangun berlandaskan hukum-hukum atau sifat sifat yang berlaku pada sistem. Sedangkan
model empiric lebih cenderung kepada fakta yang diberikan oleh sistem atau data (Giordano
dan Weir,2002)
Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk
merepresentesi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem di dunia real dalam
pernyataan matematik sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia real ini menjadi
lebih tepat.
1) model empiris
pada model empiris data yang berhubungan dengan problem menentukan peran yang
penting. Dalam pendekatan ini gagasan yang utama adalah mengkronstruksi formula
7
(persamaan) matematika yang dapat menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocoan
data
2) Model simulasi
Dalam pendekatan ini program komputer dituliskan didasarkan pada aturan-aturan yang
dipercaya untuk membentuk suatu proses
3) Model stokastik
Model Stokastik adalah model matematika dimana gejala-gejala dapat diukur dengan
derajat kepastian yang tidak stabil Pada Model Stokastik disebut juga model probabilistik
peluang dari masing-masing kejadian benar-benar di hitung, menyusun sebuah model
stokastik cenderung lebih sulit dari model deterministic Kaidah-kaidah peluang adalah
alat matematika yang cukup vital dalam menyusun model stokastik.
Contoh model stokastik adalah teori antrian dan teori permainan, dimana ini merupakan
pengembangan dari riset operasi modern. Berkenaan dengan karakteristik persoalan yang
hendak diselesaikan dengan pendekatan OR, maka dibedakan dua jenis permasalahan (1)
Deterministik, dicirikan oleh nilai-nilai parameternya yang pasti dan time-invariant, (2)
Stokastik, dicirikan oleh ketidakpastian nilai parameter-parameternya dan time-variant.
Contoh penerapan pemodelan stokastik adalah : Rantai Markov dengan Waktu Diskret,
Proses Poisson, Rantai Markov dengan Waktu Kontinu, Proses Bercabang Dan Proses
Pembaruan dan Penerapannya Kejadian stokastik adalah kebolehjadian yang hanya dapat
ditentukan distribusi frekuensinya. jadi kejadian stokastik ini tidak dapat ditentukan
fungsinya dengan pasti, namun hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat
ditetapkan. Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang berguguran setiap
harinya. Helai-helai daun berguguran dari hari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapa
jumlahnya dan fungsi seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun
tersebut Kejadian stokastik ini dapat didekati dengan suatu fungsi interval yang bentuknya
akan menyerupai, yaitu pada saat-saat tertentu mencapai nilai maksimal sedangkan saat yang
lain mencapai titik minimal. (Widowati dan Sutini 2007).
8
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Metode Model Matematika terdiri atas empat hal yaitu : (1) Homogenitas dan
Konsistensi Dimensi ; (2) Abstraksi dan Penskalaan ; (3) Prinsip Konservasi dan
Keseimbangan ; dan (4) Membangun Model Linier.
Jenis-jenis model matematika dibagi dalam lima kelas yaitu : (1) Kelas menurut
fungsi ; (2) Kelas menurut struktur ; (3) Kelas menurut referensi waktu ; (4) Kelas
menurut referensi kepastian dan (5) Kelas menurut tingkat generalitas.
B. Saran
Penulisan makalah metode dan jenis-jenis pemodelan matematika ini dapat
menjadi referensi bagi pembaca yang sedang mempelajari topik atau bahasan
mengenai pemodelan matematika.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan, oleh sebab itu kritik dan saran dalam pengembangan makalah menjadi
lebih baik sangat penulis harapkan.
9
DAFTAR PUSTAKA
Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. Fox .2002.”A first course in mathematical
modeling”
Senk dan Thomson .2003.” Standards-based School Mathematics Curricula: What Are
They? What Do Students Learn?”
https://id.thpanorama.com/articles/fsica/anlisis-dimensional-tcnicas-principio-de-homogeneidad-y-
ejercicios.html
http://web-suplemen.ut.ac.id/espa4312/espa4312a/pengertian_istilah_linieristilah.htm
10