Resume Modul 3 & 4 Matematika Kelompok 2
Resume Modul 3 & 4 Matematika Kelompok 2
Resume Modul 3 & 4 Matematika Kelompok 2
MATEMATIKA (PDGK4108/4SKS)
MODUL 3
PENALARAN MATEMATIKA
OLEH
KELOMPOK 2
1. Penalaran Induktif
Penalaran induktif adalah kemampuan berpikir seseorang dari hal-hal yang bersifat
khusus untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum. Penalaran ini digunakan untuk
memperoleh dugaan-dugaan tetang rumus atau teorema
2. Penalaran Deduktif
Penalaran deduktif terjadi proses penarikan kesimpulan dari hal-hal umum menuju ke
hal- hal khusus. Penalaran deduktif ini merupakan salah satu penalaran pokok/ utama dalam
matematika. Penalaran ini banyak digunakan dalam membuktikan atau menurunkanrumus/ dalil/
teorema dari devnisi, aksioma/ postulat dan rumus / teorema yang telah dibuktikan sebelumnya.
Menyusun data sederhana dapat kita lihat pola untuk membuat terkaan/ dugaan
Penjumlahan tersebut dapat dilanjutkan hingga n suku. Suku ke n atau bilangan ganjil ke n
adalah (2n-1) maka penjumlahan n suku pertama adalah
1 + 3 + 5+ 7 + ... + (2n-1) = ?
Maka dengan memperhatikan kembali pola hasil penjumlahan yang berupa bilagan kuadrat
sempurna maka dengan mudah bahwa
1 + 3 + 5+ 7 + ... + (2n-1) = n2
jika U1, U2, U3, U4, .... Un berturu adalah suku pertama, suku kedua,, suku ketiga, suku
keempat , ... , suku ke n, ..., maka
Sehingga dapat dengan mudah bahwa Un =a+ (n-1)b (brisn aritmatika dengan a sbg suku pertama
(suku awal) dan b sebabagai beda/selisih suku ke n adalah Un =a+ (n-1)b
Mencari jumlah n suku pertamanya. Misalkan penjumlahan n suku pertama adalah Sn yaitu :
= 1 + 3+ 5 + 7 ... + 199
Pada deret ini, suku pertama a = 1 dan bedanya b= 2 maka jumlahnya 100 suku pertama adalah:
1
Sn= n a+u n
2
1
S100= 100 1+199 = 50 x 200 = 10000
2
Contoh
berapakah banyaknya diagonal segi empat, banyaknya diagonal segi lima, banyaknya diagonal
segi enam, banyaknya diagonal segi tujuh dan seterusnya. Buatlah suatu kesimpulan untuk
menentukan dugaan banyaknya diagonal segi n.
1
Banyaknya diagonal segi n adalah n n−3
2
Kegiatan Belajar 2
Sistem Matematika
Misalnya kita dapat menjumlahkan 3 bilangan asli lebih dahulu dan hasilnya dijumlahkan
dengan bilangan asli ketiga.
Contoh :
a. 6 + 27 = 27 + 6,
b. 35 + 12 = 12+ 35
c. 8+6=6=8
4. Sifat tertutup perkalian
Jika a dan b bilangan –bilangan asli sebarang, maka (a x b) adalah suatu bilangan asli
pula.
8 x 4 x 7 = 8 x 4 =32, 32 x 7= 224
Atau
(8 x 4) x 7 = 8 x (4x 7)
Misal
37 x 4 x 25= ...
Contoh :
6894 6894
32 x 32 x
..... .......
( a + b) x c = a x c + b x c distributif kiri
Misal:
83 x 125 =
Misalnya:
5 +(-5) = (-5) + 5 = 0
8 + (-8) = (-8 ) + 8 = 0 adalah invers penjumlahan (lawan) dari 5 dapat dinyatakan bahwa
jika a sebarang bilangan bulat, maka –a adalah invers penjumlahan (lawan) dari a
Untuk seberang bilangan rasional a, dengan a ada invers perkalian (balikan) dari a
1
(ditulis a−1), sedemikian hingga a x a−1 = a−1 x a = 1 dalam hl ini a−1 =
a
Misalkan:
1 1
Balikan dari 5 adalah karena 5 x = 1
5 5
4 4 −19
Berapakah balikan dari Berapakah balikan dari -3 ? karena −3 = maka
5 5 5
−5 −19 −5 4 −1 4 −1 −5
balikannya adalah sebab x atau dapat ditulis ( -3 ¿ ¿ -3 ¿ ¿ =
19 5 19 5 5 19
RESUME MODUL 4 MATEMATIKA KELOMPOK 2
PEMECAHAN MASALAH
2. Menyusun perencanaan
Tahapan strategi antara lain :
a. Mencari pola yang sesuai
b. Mencari soal-soal yang mungkin penyelesaian mirip dengan soal tersebut
c. Menyederhanakan soal untuk keadaan khusus yang diperkirakan dapat menuju pada
pemecahan soal
d. Membuat tabel dari ketentuan-ketentuan dalam soal
e. Membuat diagram dari ketentuan-ketentuan dalam soal
f. Membuat gambar dari ketentuan-ketentuan dalam soal
g. Menggunakan penalaran langsung
h. Menggunakan penalaran tidak langsung
i. Mencari dan menerapkan rumus yang sesuai
j. Menuliskan persamaan
k. Membuat dugaan dan memeriksa kebenarannya
l. Bekerja mundur, dari hasil yang diharapkan menuju pada ketentuan soal
m. Mengidentifikasi bagian-bagian yang menuju pada penyelesaian keseluruhan
Contoh soal
Contoh 4.2
Tentukan tiga suku berikutnya untuk melengkapi polanya.
1, 2, 4, ----, ----, ----
1, 2, 4, 8, 16, 32
Contoh 4.3
Lengkapilah 4 suku berikutnya pada barisan bilangan ini dan tentukanlah suku ke 11 dan suku
ke-n
Diperiksa kebenaran dari semua perhitungan dan di cek dengan rumus yang diperoleh. Ternyata
dengan membuat tabel data sederhana dari barisan , sedemikian hingga diperoleh pola untuk
membuat kesimpulan tentang rumus umum dapat diperoleh besar suku-suku lain yang
ditanyakan.
Contoh 4.4
Ketika ahli matematika terkenal Karl Gauss masih kecil, gurunya minta agar menghitung jumlah
100 bilangan asli pertama. Dalam benak guru, siswa akan lama mengerjakannya, tettapi gauss
dengan cepat dapat menjawabnya dengan benar. Dapatkah anda menjawabnya dengan benar ?
Contoh 4.8
Jika penukaran tanpa menggunakan uang seribuan, maka cara penukaran tampak seperti tabel
(a). penukaran menggunakan 1 uang seribuan tampak pada tabel (b) dan penukaran dengan
menggunakan 2 uang seribuan pada tabel (c). jadi terdapat 6 + 4 + 2 = 12 cara penukaran uang
Rp. 2.500,00 dengan uang seribuan, limaratusan, dan seratusan.