MAKALAH KONSEP DASAR MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA : OPERASI NEGASI, OPERASI

KONJUNGSI, OPERASI DISJUNGSI, OPERASI IMPLIKASI, OPERASI
BIIMPLIKASI

DISUSUN OLEH :

KELOMPOK 2 (KELAS 1H)

Irham Tri Atmojo 1901025154

Fadia Dwi Amanda 1901025190

Muflika Choirunnisa 1901025461

Arninda Christa Putri 1901025020

Zulfatul Laely 1901025460

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

UNIVERSITAS MUHAMMADIYYAH PROF. DR. HAMKA

JAKARTA

2019
 KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat dan karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini guna memenuhi
tugas kelompok mata kuliah Konsep Dasar Matematika, dengan judul “ Logika Matematika:
Operasi Negasi, Operasi Konjungsi, Operasi Disjungsi, Operasi implikasi, Operasi
Biimplikasi”.

Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari kata sempurna, oleh
karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun guna perbaikan di
masa yang akan datang. Kami juga berharap makalah ini dapat memberikan manfaat bagi
pembaca.

2
 DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .............................................................................................................. 2

DAFTAR ISI............................................................................................................................. 3
BAB I PENDAHULUAN........................................................................................................ 4
1.1 Latar Belakang ............................................................................................................ 4
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................................... 4
1.3 Tujuan penulisan ......................................................................................................... 4
BAB II PEMBAHASAN .......................................................................................................... 5
A. Ingkaran (Negasi )........................................................................................................... 5
B. Konjungsi ........................................................................................................................ 6
C. Disjungsi ......................................................................................................................... 7
D. Implikasi ......................................................................................................................... 8
E. Biimplikasi ...................................................................................................................... 9
BAB III PENUTUP ................................................................................................................ 11
Kesimpulan........................................................................................................................... 11
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 12

3
 BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi
sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari, didalam mata pelajaran
matematika maupun mata pelajaran lainnya. Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang
ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang shahih dan yang tidak
shahih. Karenanya logika sangat berguna bagi siswa, disamping dapat meningkatkan daya
nalar atau proses berfikir yang terjadi di saat menurunkan dan menarik kesimpulan dari
pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar, namun dapat diaplikasikan di
dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari. Tujuan pembelajaran logika matematika pada
dasarnya adalah agar para siswa dapat menggunakan aturan-aturan dasar logika
matematika untuk penarikan kesimpulan. Dalam maklah ini dibahas beberapa operasi
dasar yang akan digunakan dalam logika matematika.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan operasi negasi?
2. Bagaimana menentukan nilai kebenaran dari operasi negasi?
3. Apa yang dimaksud dengan operasi konjungsi?
4. Bagaimana menentukan nilai kebenaran dari operasi konjungsi?
5. Apa yang dimaksud dengan operasi disjungsi?
6. Bagaimana menentukan nilai kebenaran dari operasi disjungsi?
7. Apa yang dimaksud dengan operasi implikasi?
8. Bagaimana menentukan nilai kebenaran dari operasi implikasi?
9. Apa yang dimaksud dengan operasi biimplikasi?
10. Bagaimana menentukan nilai kebenaran dari operasi biimplikasi?

1.3 Tujuan penulisan

Untuk mengetahui pengertian dan cara menentukan nilai kebenaran dari operasi dasar
logika matematika yang meliputi : operasi negasi, operasi konjungsi, operasi disjungsi,
operasi implikasi, operasi biimplikasi.

4
 BAB II
PEMBAHASAN

A. Ingkaran (Negasi )

Negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai benar (B), jika
pernyataan semula bernilai salah (S) dan sebaliknya. Misalnya seperti ini, apabila
kalimat pernyataan bernilai benar, maka setelah dinegasikan, kalimat itu bernilai
salah. Sebaliknya, apabila kalimat pernyataan bernilai salah, maka setalah
dinegasikan, kalimat itu bernilai benar.

Misalnya pernyataan p : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. Maka

negasi dari pernyataan tersebut adalah “tidak benar bahwa semua bilangan prima
adalah bilangan ganjil” atau “ada bilangan prima yang tidak ganjil”. Ingkaran p
dilambangkan dengan ~p (dibaca tidak p).

Tabel Kebenaran dari Ingkaran atau Negasi

p ~p
B S
S B

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini dan tentukan pula nilai
kebenarannya.
a) Senin adalah hari setelah selasa.
b) Surabaya terletak di kalimantan

Penyelesaian :

a) Senin adalah hari setelah setelah selasa (benar)

Negasinya: Tidak benar bahwa Senin adalah hari setelah selasa (salah)

b) Surabaya terlatak di Kalimantan (salah)

Negasinya: Surabaya tidak terletak di Kalimantan (benar)

5
B. Konjungsi

Konjungsi merupakan dua pernyataan atau kalimat terbuka yang dihubungkan

dengan kata hubung “dan” serta dilambangkan dengan simbol “∧”.
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’
sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang
dilambangkan dengan “p∧q”.

Perhatikan contoh pernyataan : “Hasna sedang belajar dan mendengarkan musik”.

Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut : “Hasna sedang
belajar” dan sekaligus “Hasna sedang mendengarkan musik”.

Jika Hasna benar sedang belajar dan mendengarkan musik, maka pernyataan
tersebut benar. Akan tetapi jika Hasna sedang belajar tetapi tidak mendengarkan
musik atau Hasna tidak sedang belajar namun mendengarkan musik atau
kemungkinan lainnya Hasna tidak sedang belajar dan tidak juga sedang
mendengarkan musik maka pernyataan tersebut di atas salah.

Dari pernyataan diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan
bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar.
Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.

p q p∧q
B B B
B S S
S B S
S S S

Contoh :

Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut ini.

a. 4 + 2 = 6 dan ibukota Jawa Timur adalah Surabaya.
b. -4 adalah bilangan bulat dan 4 adalah bilangan prima.

Penyelesaian :

a) Misalkan p: 4 + 2 = 6 dan q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya, maka:

p: 4 + 2 = 6 bernilai benar (B)
q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya bernilai benar (B)
karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

b) Misalkan p: -4 adalah bilangan bulat dan q: 4 adalah bilangan prima, maka:

p: -4 adalah bilangan bulat bernilai benar (B)
q: 4 adalah bilangan prima bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ∧ q salah.

6
C. Disjungsi
Disjungsi adalah proposisi majemuk yang menggunakan perangkai “atau”.
Poposisi “p atau q” dinotasikan p V q. Tidak seperti pernyataan berperangkai
“dan” yang mempersyaratkan terpenuhinya kebenaran semua unsurnya, pernyata
an berperangkai “atau” menawarkan suatu pilihan, artinya jika paling tidak salah
satu dari kedua unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk
pernyataan tersebut dikatakan benar.

Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q sebagai berikut:

p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan
q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya
Maka kalimat disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.
p ∨ q: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada
adiknya.

Berikut tabel kebenaran dari disjungsi :

p q pVq
B B B
B S B
S B B
S S S

Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap disjungsi berikut ini.
a) 3 × 5 = 15 atau 15 adalah bilangan ganjil.
b) 3 × 5 = 15 atau 15 adalah bilangan genap.
c) 3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm

Penyelesian :
a) Misalkan p: 3 × 5 = 15 dan q: 15 adalah bilangan ganjil maka:
p: 3 × 5 = 15 bernilai benar (B)
q: 15 adalah bilangan ganjil bernilai benar (B)
karena p dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.
b) Misalkan p: 3 × 5 = 15 dan q: 15 adalah bilangan genap maka:
p: 3 × 5 = 15 bernilai benar (B)
q: 15 adalah bilangan genap bernilai salah (S)
karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p ∨ q benar.
c) Misalkan p: 3 + 4 = 12 dan q: 2 meter sama dengan 200 cm maka:
p: 3 + 4 = 12 bernilai benar (S)
q: 2 meter sama dengan 200 cm bernilai benar (B)
karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.

7
D. Implikasi
Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam bermacam-macam arti,
misalnya : untuk menanyakan suatu syarat : “Jika kamu tidak membeli karcis, maka
kamu tidak akan dipebolehkan masuk” atau untuk menyatakan suatu hubungan sebab
akibat : misalnya “Jika rajin belajar, maka lulus ujian”.

Implikasi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan.

Implikasi juga bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan dimana
pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama.
Implikasi pernyataan p dan q dinotasikan dengan “ p => q ” dengan memakai
kata hubung “ jika....maka...... “. Sehingga notasi p => q dibaca “ jika p, maka q”.

Pernyataan majemuk jika p maka q disebut pernyataan bersyarat, dilambangkan

sebagai
p => q bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan premis atau anteseden)
dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga
yang menamakan konsekuen).

Berikut tabel kebenaran dari implikasi :

p q p => q
B B B
B S S
S B B
S S B

Dalam percakapan sehari-hari pernyataan jika...maka...., sering digunakan dan

biasanya ada hubungan sebab akibat antara anteseden dan konsekuen. Tetapi dalam
matematika hubungan pernyataan bersyarat hanya ditentukan oleh kebenaran
pernyataan-pernyataan penyusunannya dengan tidak melihat ada tidaknya hubungan
sebab akibat antara anteseden dan konsekuen.

Contoh :
Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Penyelesaian :
a. Benar, sebab anteseden salah sedangkan konsekuennya benar.
b. Salah, sebab anteseden benar sedangkan konsekuennya salah.
c. Benar, sebab antesedennya benar dan konsekuennya benar.

8
 Dari pernyatan bersyarat p => q dapat dibentuk 3 persyaratan bersyarat lain, yaitu :
1. Konvers : q => p
2. Invers : ~p => ~q
3. Kontraposisi : ~q => ~p

Contoh :
Diberikan pernyataan dengan perangkai implikasi berikut:
Implikasi : Jika hutan gundul, maka akan terjadi banjir.
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

Penyelesaian :
Konvers : Jika terjadi banjir, maka hutan gundul .
Invers : Jika hutan tidak gundul, maka tidak akan banjir.
Kontraposisi : Jika tidak banjir, maka hutan tidak gundul.

E. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang
dinyatakan dengan notasi “p ↔ q” yang bernilai sama dengan p → q) ∧ (q → p)
sehingga dapat dibaca “p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”.

Berikut tabel kebenaran dari biimplikas :

p q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B

Contoh :

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.

a)p:3×2=6
q : 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6}
b) p : Persegi memiliki 5 simetri lipat.
q : Persegi memiliki 2 simetri putar.

9
Penyelesaian :

a) p : 3 × 2 = 6 bernilai benar
q : 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6} bernilai salah
Karena p bernilai benar dan q bernilai salah. Maka p ↔ q bernilai salah.

b) p : Persegi memiliki 5 simetri lipat bernilai salah

q : Persegi memiliki 2 simetri putar bernilai salah
Karena p bernilai salah dan q bernlai salah. Maka p ↔ q bernilai benar.

10
 BAB III
PENUTUP

Kesimpulan

1. Negasi (ingkaran) suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai

benar (B), jika pernyataan semula bernilai salah (S) dan sebaliknya. Ingkaran p
dilambangkan dengan ~p (dibaca tidak p).

2. Pernyataan majemuk adalah pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan

tunggal yang dihubungkan kata hubung. Dalam ilmu matematika, terdapat 4
macam pernyataan majemuk : Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan
Biimplikasi.

3. Konjungsi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dengan

menghubungkan dua pernyataan menggunakan kata “dan”. Misalkan p dan q
adalah 2 buah penyataaan. Pernyataan p dan q dilambangkan dengan “p ∧ q”,
bernilai benar jika kedua pernyataan p dan q bernilai benar.

4. Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perangkai “atau”. ”.

Misalkan p dan q adalah 2 buah penyataaan. Pernyataan p atau q dilambangkan
dengan “p v q”, bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu pernyataan
peenyusunnya bernilai benar.

5. Implikasi adalah kalimat majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan dengan
menggunakan perangkai “jika.....maka....”. Pernyataan majemuk jika p maka q
disebut pernyataan bersyarat, dilambangkan sebagai “p => q”, bernilai salah
hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Dari pernyatan bersyarat p =>
q dapat dibentuk 3 persyaratan bersyarat lain, yaitu : konvers, invers, dan
kontraposisi.

6. Biimplikasi adalah kalimat majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan

dengan menggunakan perangkai “jika dan hanya jika”. Misalkan p dan q adalah
dua pernyataan. Pernyataan p jika dan hanya jika q disebut pernyataan
dwisyarat, dilambangkan dengan “p ↔ q”, bernilai benar jika p dan q memiliki
nilai kebenaran yang sama.

11
 DAFTAR PUSTAKA

1. Khairunnisa, Afidah. 2014. Matematika Dasar. Jakarta: PT Raja Grafindo

Persada
2. https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/04/contoh-soal-ingkaran-
logika-matematika.html
3. https://www.zenius.net/blog/22984/memahami-logika-matematika-dengan-
mudah
4. https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-konjungsi-
dalam-logika-matematika-dan-pembahasannya.html
5. https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-disjungsi-
dan-pembahasannya.html?m=0
6. https://blog.ruangguru.com/logika-matematika
7. https://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/
8. https://salimhadi.blogspot.com/2013/10/operasi-uner-dan-biner-dalam-
logika.html?m=1
9. https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-
biimplikasi-dalam-logika-matematika.html

12