MAKALAH KONSEP DASAR MATEMATIKA SD

”ATURAN PERKALIAN”

Oleh Kelompok 04 :

1. Chandatya Azzahra (22129253)

2. Dzulhijjatia Arridhi (22129143)
3. Nur Fadira Natasya (22129193)

Dosen Pengampu:

Masniladevi, S.pd., M.pd

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2022
 KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT. yang telah

melimpahkan rahmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan
makalah ini. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada
junjungan kita nabi agung Muhammad SAW. Yang telah membawa risalah
islam yang penuh dengan ilmu pengetahuan, khususnya ilmu-ilmu keIslaman,
sehingga dapat menjadi bekal hidup kita baik di dunia maupun di akhirat
kelak. Makalah ini ditulis untuk memenuhi tugas mata kuliah Konsep
Dasar Matematika SD dengan judul makalah “Aturan Perkalian”.
Dalam penulisan makalah ini, kami sangat menyadari bahwa makalah
ini masih banyak kekurangan baik isi maupun teknik penulisan yang
disebabkan oleh keterbatasan penulis sendiri. Kami ingin menyampaikan
banyak terimakasih semua pihak yang telah memberikan bantuannya kepada
terutama yang terhormat Ibu Masniladevi, S.pd., M.pd selaku Dosen
Pengampu Konsep Dasar Matematika SD. Tidak ada yang dapat diberikan
kepada mereka selain iringan do'a yang tulus dan ikhlas semoga amal baik
mereka diterima dan mendapat balasan yang lebih baik dari Allah SWT. Tidak
lupa kritik dan saran yang konstruktif sangat diharapkan dari pembaca demi
kesempurnaan makalah ini. Akhirnya kami berharap semoga makalah ini
bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan pembaca pada umumnya.

Padang,18 November 2022

Kelompok 01

2
 DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL............................................................................... 1

KATA PENGANTAR ............................................................................ 2

DAFTAR ISI........................................................................................... 3

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................... 4

A. Latar Belakang .................................................................................... 4

B. Rumusan Masalah ................................................................................ 4

C. Tujuan Penulisan ................................................................................. 5

BAB II PEMBAHASAN......................................................................... 6

A. Aturan Perkalian .................................................................................. 6

1. Pengertian dan Persamaan Aturan Perkalian ................................. 6

2. Menyelesaikan Aturan Perkalian ................................................... 8
a. Diagram Pohon ................................................................. 8
b. Tabel Silang ...................................................................... 10
c. Pasangan Berurut .............................................................. 11

BAB III PENUTUP ................................................................................

A. Kesimpulan ......................................................................................... 14

B. Saran ................................................................................................... 14

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 15

3
 BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Aturan pencacahan adalah dasar dari perhitungan peluang. Dengan menguasai

aturan pencacahan, seseorang dapat menentukan banyaknya kemungkinan pengaturan
unsur atau objek dalam suatu percobaan. Ada dua macam aturan pencacahan, yaitu
aturan perkalian (aturan pengisian tempat yang tersedia) dan aturan penjumlahan.
Aturan Perkalian adalah mengalikan banyaknya kemungkinan cara (pilihan) dari
setiap kejadian yang terjadi secara bersamaan.

Dengan makalah ini, pembaca dapat belajar mengenai kaidah pencacahan secara
signifikan dan sesuai dengan konteks kehidupan yang menjadi bagian dari keseharian
kehidupan mereka. Menanamkan konsep – konsep dari yang ada di sekitar kita
diharapkan dapat membuat pembaca memiliki bekal sehingga kedepannya dapat
memecahkan masalah, merancang dan menghasilkan karya dan inovasi baru.

Dengan makalah “Aturan Perkalian”, diharapkan pembaca dapat memahami

berbagai peristiwa terkait dengan aturan perkalian, baik itu mengenai pengertian dari
aturan perkalian, serta cara penyelesaian persoalan mengenai aturan perkalian itu
sendiri.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dirumuskan rumusan masalah dari
makalah ini adalah, sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan Aturan Perkalian?

2. Bagaimana rumus ataupun persamaan yang dipakai pada Aturan Perkalian?

4
 3. Apa saja cara yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan terkait
Aturan Perkalian?

C. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka dapat dirumuskan tujuan dari penulisan
makalah ini adalah, sebagai berikut:

1. Mengetahui dan memahami yang dimaksud dengan Aturan Perkalian.

2. Mengetahui rumus ataupun persamaan yang dipakai pada Aturan Perkalian.
3. Dapat menyelesaikan berbagai persoalan yang ada terkait dengan Aturan
Perkalian.

5
 BAB II

PEMBAHASAN

A. Aturan Perkalian

1. Pengertian dan Persamaan Aturan Perkalian

Aturan perkalian adalah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk
menentukan pilihan dari suatu permasalahan. Aturan perkalian ini tentang
mengalikan atau menggandakan banyaknya kemungkinan cara yang dapat
dipilih dari satu kejadian bersamaan. Jadi apabila kemungkinan memilih dari
unsur pertama adalah 𝑥 dan kemungkinan memilih dari unsur kedua adalah 𝑦,
maka banyaknya kemungkinan cara memilih adalah 𝑥 × 𝑦.
Maka dari penjelasan diatas dapat kita rumuskan aturan perkalian
secara umum yaitu:
Apabila kemungkinan memilih dari kejadian pertama adalah 𝑘1
pilihan, kejadian kedua adalah 𝑘2 pilihan dan seterusnya sampai 𝑛 kejadian,
dan kejadian yang terjadi dapat secara bersamaan atau bersambung. Maka
banyaknya kemungkinan cara memilih adalah K, dimana :
𝐾 = 𝑘1 × 𝑘2 ×. . .× 𝑘𝑛
Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang
sekaligus terjadi.
Sebelum kita membahas prinsip dasar aturan perkalian, perhatikan
masalah berikut!
1) Masalah 1.1. Melambungkan Sekeping Uang Logam dan Sebuah Dadu
Di SMP, kalian telah mempelajari tentang ruang sampel. Banyak
anggota ruang sampel dari sekeping mata uang logam ada 2, yaitu
Angka dan Gambar atau bisa ditulis dengan S1 = {A, G}. Banyak
anggota ruang sampel dari sebuah dadu ada 6, yaitu mata dadu 1, 2, 3,
4, 5, dan 6 atau bisa ditulis dengan S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

6
  Ambillah sekeping mata uang logam dan sebuah dadu,
kemudian lambungkan keduanya bersama-sama.
 Catatlah hasil-hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan.
Misalnya, jika setelah melambungkan uang logam dan dadu
tersebut diperoleh sisi gambar pada uang dan angka 1 pada
dadu, maka ditulis dalam pasangan berurutan (A, 1).

Dapatkah kalian menentukan semua hasil yang mungkin berupa

pasangan berurutan dari percobaan di atas?

Kalau kita mendaftarnya, kita bisa menuliskan semua hasil yang

mungkin sebagai anggota himpunan ruang sampel S berikut ini.

S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3),
(G, 4), (G, 5), (G, 6)}

Banyak anggota dari ruang sampel S atau ditulis n(S) = 12. Berarti
banyak hasil yang mungkin dari pelambungan sekeping mata uang
logam dan sebuah dadu adalah 12.

Coba kita mencari hubungan antara n(S) = 12 dengan banyaknya hasil

yang mungkin untuk objek mata uang logam yakni n(S1) = 2 dan
banyaknya hasil yang mungkin untuk objek dadu yakni n(S2) = 6.

Kalau kita amati secara seksama ternyata n(S) = 12 = 2  6 = n(S1) 

n(S2).

7
 Atau n(S) merupakan hasil perkalian antara banyak cara munculnya
hasil yang mungkin pada sekeping mata uang logam dengan banyak
cara munculnya hasil yang mungkin pada sebuah dadu.

Secara khusus aturan perkalian berbunyi sebagai berikut.

“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan setiap kejadian
pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam n cara, maka
kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara bersama-sama
terjadi dalam (m × n) cara.”

Aturan perkalian dapat diperluas sebagai berikut.

“Jika ada k kejadian (pilihan) dengan setiap kejadian (pilihan)

memiliki hasil n1, n2, n3, …, nk yang berbeda, maka banyak hasil
berbeda yang mungkin dari k kejadian (pilihan) tersebut secara
berurutan diberikan oleh hasil kali: 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 × …× 𝑛𝑘 ”.

2. Menyelesaikan Aturan Perkalian

Penentuan ruang sampel pada aturan perkalian terdiri atas 3 cara, yaitu
diagram pohon, table silang, dan pasangan terurut. Untuk membedakan
penentuan ruang sampel pada pelemparan dua dadu dengan ketiga aturan
tersebut, perhatikan uraian berikut:
a. Diagram Pohon
Contoh:
1) Sebuah dadu memiliki 6 mata dadu. Dengan demikian, setiap mata
dadu pada dadu pertama dipasangkan dengan semua mata dadu pada
dadu kedua.

8
 Berdasarkan diagram pohon tersebut, kejadian mata dadu yang muncul
pada pelemparan dua dadu ada 36. Ruang sampelnya dapat dibuat
sebagai berikut. S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2,
2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,
5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} dan n(S) = 36.

2) Pak Andi memiliki 4 kemeja dan 3 celana. Kemeja-kemeja yang

dimiliki Pak Andi bermotif persegi, titik, garis, dan polos, sedangkan
celana yang dimilikinya berwarna merah, biru, dan cokelat. Berapa
banyakkah pasangan baju dan celana yang dapat digunakan Pak Andi
untuk pergi ke kantor?

9
 Jawab:

Dengan menggunakan diagram pohon diperoleh:

Berdasarkan diagram pohon tersebut, terdapat 12 pasang baju dan

celana yang dapat dikenakan Pak Andi.

b. Table Silang
Contohnya:
Dalam suatu rapat perusahaan akan dibentuk tim yang terdiri atas dua
orang. Kedua orang tersebut akan ditugaskan meninjau persiapan
pembukaan kantor cabang di kota X. Sebagai calonnya telah dipilih
empat orang, yaitu Pak Hasan, Pak Wiro, Bu Ina, dan Bu Rasti. Ada
berapakah susunan tim yang dapat terbentuk?

Jawab:
Susunan tim yang terbentuk dapat ditentukan menggunakan tabel
silang berikut:

10
 Dalam penyusunan tim tersebut tidak ada jabatan, hanya menentukan
kombinasi orang-orang yang terlibat dalam tim sehingga susunan-
susunan berikut memiliki arti yang sama.
(Hasan, Wiro) = (Wiro, Hasan)
(Hasan, Ina) = (Ina, Hasan)
(Hasan, Rasti) = (Rasti, Hasan)
(Ina, Wiro) = (Wiro, Ina)
(Ina, Rasti) = (Rasti, Ina)
(Rasti, Wiro) = (Wiro, Rasti)
Susunan tim tersebut dapat dilihat pada tabel berikut:

c. Pasangan Terurut
Misalkan, A adalah himpunan kejadian yang muncul dari dadu I
B adalah himpunan kejadian yang muncul dari dadu II.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan B ditulis sebagai
berikut.

11
 A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4,
2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Himpunan pasangan terurut tersebut merupakan ruang sampel pada
pelemparan dua dadu.

Selain menggunakan tiga cara tersebut, kita juga bisa menggunakan rumus
aturan perkalian, yaitu:

𝐾 = 𝑘1 × 𝑘2 ×. . .× 𝑘𝑛

Contohnya:

1) Kandidat anggota dewan dari Partai I adalah A, B, C dan D, kandidat

dari Partai II adalah E, F dan G, dan kandidat dari Partai III adalah H,
I, J, K dan L. Jika anggota dewan yang akan dipilih hanya satu orang
dari masing-masing partai, berapakah bentuk susunan anggota dewan
yang mungkin terpilih?

Jawab:
Banyaknya kemungkinan terpilih dari Partai I adalah 4 (n=4),
(n=4), Partai II adalah 3 (n=3) (n=3) dan Partai III adalah 5 (n=5).
(n=5).

Dengan demikian, banyaknya kemungkinan susunan anggota dewan

tersebut adalah

4×3×5=60 susunan.

2) Dalam suatu tim terdapat 5 orang kandidat yang akan mengisi posisi
jabatan ketua, sekretris dan bendahara. Berapa cara yang dapat

12
diperoleh untuk pemilihan tersebut jika setiap orang tidak boleh
mengisi jabatan rangkap?

Jawab:
Pada kasus ini memiliki 3 percobaan yang berurutan, yaitu memilih
ketua, memilih sekretaris dan memilih bendahara. Banyaknya cara
untuk memilih masing-masing posisi jabatan adalah

1. memilih ketua yaitu 5 dari 5 orang,

2. memilih sekretaris yaitu 4 dari 4 orang,
3. memilih bendahara yaitu 3 dari 3 orang.

Dengan demikian, cara yang dapat diperoleh untuk memilih ketua,

sekretaris dan bendahara adalah

5×4×3=60 cara.

13
 BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Aturan perkalian adalah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk

menentukan pilihan dari suatu permasalahan. Aturan perkalian ini tentang
mengalikan atau menggandakan banyaknya kemungkinan cara yang dapat dipilih dari
satu kejadian bersamaan. Jadi apabila kemungkinan memilih dari unsur pertama
adalah 𝑥 dan kemungkinan memilih dari unsur kedua adalah 𝑦, maka banyaknya
kemungkinan cara memilih adalah 𝑥 × 𝑦.

Persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan aturan perkalian ialah: 𝐾

= 𝑘1 × 𝑘2 ×. . .× 𝑘𝑛 . Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian
yang sekaligus terjadi.

Selain menggunakan persamaan diatas, penentuan ruang sampel pada aturan

perkalian juga dapat dilakukan melalui 3 cara, yaitu diagram pohon, tabel silang, dan
pasangan terurut.

B. Saran

Melalui penulisan makalah ini, penulis berharap bahwa setelah pembaca membaca
makalah ini, maka diharapkan teman-teman pembaca bisa memahami tentang
“Aturan Perkalian” dalam kehidupan sehari-hari.

Penulis sadar bahwa penulisan ini masih memiliki banyak kekurangan

dikarenakan keterbatasan dari penulis sendiri. Maka saran serta kritik yang
membangun sangat penulis nantikan agar makalah ini bisa menjadi semakin baik
nantinya.

14
 DAFTAR PUSTAKA

Achmad, Asmar (2020) Modul pembelajaran SMA matematika umum kelas XII:
kaidah pencacahan.

Djumanta, Wahyudin. (2007). Buku Pelajaran untuk Kelas VIII Semester 1 Sekolah
Menengah Pertama. Bandung: Grafindo Media Pratama.

Kanginan, Marthen. Cerdas Belajar Matematika untuk Kelas XI Sekolah Menengah

Atas/ Madrasah Aliyah. Bandung: Grarindo Media Pratama.

Lind A. Douglas. DKK. (2007). Teknik - teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi
Menggunakan Kelompok Data Global, Edisi 13 Buku 1. Jakarta: Salemba
Empat

Nathania, D. D. (2021). Kaidah Pencacahan.

15