Deret Bilangan PDF
Deret Bilangan PDF
Deret Bilangan PDF
BAHAN AJAR
DERET BILANGAN
Oleh :
Junainah (13144100156)
Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian
bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan
riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang.
Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2
mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir.
Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar.
Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk
menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya
ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18.
Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan
yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil.
Bilangan genap 1 – 20 ketika itu sedang berkumpul, tiba- tiba ketua bilangan riil meminta untuk bilangan genap
berbaris. Para bilangan genappun segera berbaris. Saat itun sang ketua bilangan riil menghitung jumlah bilangan
genap yang berbaris.
Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian
bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan
riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang.
Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2
mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir.
Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar.
Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk
menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya
ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18.
Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan
yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil.
By : Putri Kinanti A
Mari Berdiskusi
Setiap akhir minggu Nita selalu menyisihkan uang saku yang ia dapatkan
untuk ditabung. Ia bertekad untuk dapat menabung uang lebih banyak pada
minggu-minggu berikutnya. Pada akhir minggu pertama Nita menabung
Rp.1.000,00, pada akhir minggu kedua Nita menabung Rp.2.000,00, pada akhir
minggu ketiga Nita menabung Rp.3.000,00 begitu seterusnya Ia selalu menabung
Rp.1.000,00 lebih banyak dari minggu sebelumnya.
Tuliskan jumlah uang yang ditabung serta jumlah total uang tabungan Nita
setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah ini.
Jawab : .......................................................................................................
........................................................................................................
Mari
Menyimpulkan
Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Deret
dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika diketahui barisan bilangan U1, U2,
U3, ... , Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un.
Seperti halnya barisan, deret pun dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu deret
aritmetika dan deret geometri .
A. DERET ARITMATIKA
Mari Berdiskusi
4 suku
Mari
Menyimpulkan
n
Kamu telah mengetahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan aritmetika
adalah Un = a + (n – 1) b, dengan a adalah U1, b adalah pembeda, dan n
bilangan asli. Maka suku ke-2. Ke-3, dan ke-(n-1) dapat dituliskan dalam
bentuk seperti berikut:
𝑈 𝑎
𝑈3 𝑎
𝑈𝑛−1 𝑎 𝑛− 𝑏
𝑆𝑛 .. (i)
𝑆𝑛 (ii)
𝑆𝑛 .. (i)
𝑆𝑛 .. (ii)
+
𝑆𝑛 𝑎 𝑛− 𝑏 𝑎 𝑛− 𝑏 𝑎 𝑛− 𝑏 𝑎 𝑛− 𝑏
n suku
𝑆𝑛 𝑎 𝑛− 𝑏
𝑎 𝑛− 𝑏
𝑆𝑛
Mari Menyimpulkan
Jika .... menunjukkan banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika, ....
menunjukkan suku pertama, .... suku ke-n dari barisan aritmatika, maka jumlah n
suku pertama dari barisan aritmatika yang disimbolkan dengan .... adalah .....
Contoh Soal 1
B. DERET GEOMETRI
Mari Berdiskusi
Tuliskan jumlah kelereng yang dibeli Amin serta jumlah total kelereng
setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah ini.
Perhatikan bahwa bayaknya kelereng yang dibeli Amin membentuk suatu barisan
geometri dengan r (rasio) = 2. Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan Sn,
maka S5 menyatakan jumlah 5 suku pertama dari suatu barisan. Sekarang coba
jumlahkan 5 suku pertama dari barisan tersebut.
− −
− −
−
−
Mari
Menyimpulkan
Jumlah 5 suku pertama pada barisan di atas disimbolkan dengan .... Bilangan ....
pada bagian menunjukkan suku ke-1 dari barisan tersebut, sedangkan
bilangan .... menunjukkan rasio dari barisan tersebut. Penjumlahan suku-suku
pertama pada barisan di atas disebut dengan deret barisan bilangan geometri atau
biasa disingkat dengan deret ageometri.
Berapakah jumlah 10 suku pertama barisan diatas? Temukan cara tercepat tanpa
perlu menjumlahkan satu persatu semua sukunya. Perhatikan langkah-langkah
yang telah kamu lakukan dalam menghitung jumlah 5 suku pertama barisan di
atas dan coba kamu lengkapi langkah-langkah di bawah ini.
Kamu telah mengetahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah
Un = arn-1, dengan a adalah U1, r adalah rasio, dan n bilangan asli. Maka
suku ke-2. Ke-3, dan ke-(n-1) dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut:
𝑈 𝑎𝑟
𝑈3 𝑎𝑟
−1
𝑈𝑛 𝑎𝑟
Secara umum jumlah n suku pertama baisan geometri dapat ditulis sebagai
tersebut.
𝑆𝑛 𝑎 ... 𝑖
𝑟𝑆𝑛 𝑎𝑟 ... 𝑖𝑖
𝑟𝑆𝑛 𝑎𝑟 ... 𝑖𝑖
𝑆𝑛 𝑎 ... 𝑖
Mari
Menyimpulkan
Jika .... menunjukkan banyaknya suku dari suatu barisan geometri, ....
menunjukkan suku pertama, .... menunjukkan rasio dari barisan tersebut, maka
jumlah n suku pertama dari barisan geometri yang disimbolkan dengan .... adalah
.....
PENTING
Secara umum jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut.
𝑟 𝑛 −1
𝑆𝑛 𝑎 𝑟−1
, r >1
1−𝑟 𝑛
𝑆𝑛 𝑎 , r <1
1−𝑟
Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.
Contoh Soal 2
Penyelesaian :
= 3
.
b. Deret tersebut merupakan deret geometri naik karena r > 1
Mari Kita Berlatih 2
1) Tentukan pembanding dan suku ke-10 dari barisan geometri berikut jika
diketahui:
a. 88, 44, 22, 11, ....
b. U3 = 18 dan U6 = 486
c. a = 9 dan U4 = 243 e. U4 = 64 dan U7 = –4096
d. a = 48 dan U4 = –6
2) Diketahui deret 2 – 4 + 8 – 16 + 32 – ....
a. Tentukan pembanding dari deret tersebut
b. Tentukan rumus suku ke-n
c. Tentukan jumlah 8 suku pertama deret tersebut.
Rangkuman
1. Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan.
Deret dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika diketahui barisan
bilangan U1, U2, U3, ... , Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1
+ U2 + U3 + ... + Un. Seperti halnya barisan, deret pun dapat dibagi menjadi
dua macam, yaitu deret aritmetika dan deret geometri .
2. Deret aritmatika dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu
barisan bilangan aritmatika.
3. Secara umum jumlah dari suatu deret aritmatika adalah sebagai berikut
𝑎 𝑛− 𝑏
𝑆𝑛
4. Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan
bilangan geometri.
5. Secara umum jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut.
𝑟 𝑛 −1
𝑆𝑛 𝑎 , r >1
𝑟−1
1−𝑟 𝑛
𝑆𝑛 𝑎 , r <1
1−𝑟
Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.
Uji Kompetensi 1
a. 12 jam;
b. 23 jam.
DAFTAR PUSTAKA