Harmonikus analízis
A harmonikus analízis a matematikának egy olyan ága, amely egy függvény és annak frekvenciában való megjelenítése közötti összefüggések vizsgálatával, egyszerű függvények szuperpozíciójával történő előállíthatóságának kérdéseivel foglalkozik. A matematikának e területe a francia matematikus és fizikus, Jean-Baptiste Joseph Fourier által bizonyos fizikai jelenségek értelmezése során vizsgált trigonometrikus sorokkal[1] kapcsolatosan alakult ki. A huszadik század elején Riesz Frigyes, Fejér Lipót és Haar Alfréd magyar matematikusokat is foglalkoztatta a téma kutatása. A frekvencia-reprezentációt a Fourier-transzformáció segítségével találjuk meg a korlátlan tartományokon, például a teljes valós számegyenesen, vagy a Fourier-sorozatok segítségével a korlátos tartományokon, különösen a véges intervallumokon elhelyezkedő periodikus függvények[2] esetében. Ezen transzformációk más tartományokra való általánosítását általában Fourier-analízisnek nevezik, bár ezt a kifejezést néha felcserélhetően használják a harmonikus analízissel. A harmonikus analízis hatalmas témává vált, és olyan változatos területeken alkalmazzák, mint a számelmélet, az ábrázoláselmélet[3], a jelfeldolgozás, a kvantummechanika, az árapályelemzés és az idegtudomány.
A "harmónia" kifejezés az ógörög harmonikos szóból származik, ami azt jelenti, hogy "zenében jártas".[4] A fizikai sajátérték-problémákban olyan hullámokat kezdett jelenteni, amelyek frekvenciái egymás egész számú többszörösei, akárcsak a hangjegyek harmonikusainak frekvenciái, de a kifejezést az eredeti jelentésén túl általánosították.
Klasszikus harmonikus analízis
[szerkesztés]Történelmileg a harmonikus függvények a Laplace-egyenlet megoldásai voltak,[5] ezt a fogalmat először speciális függvényekre,[6][7] majd általános elliptikus operátorokra[8][9] terjesztették ki, napjainkban pedig a harmonikus függvényeket a periodikus függvények általánosításának tekintik[10] a sokaságon meghatározott függvénytereken, például általános, nem feltétlenül elliptikus parciális differenciálegyenletek[11] megoldásaként, beleértve bizonyos peremfeltételeket, amelyek szimmetriát vagy periodicitást[12] eredményezhetnek.[13]
Fourier-analízis
[szerkesztés]A klasszikus Fourier-transzformáció az Rn-n még mindig folyamatban lévő kutatási terület, különös tekintettel az általánosabb objektumok Fourier-transzformációjára, mint például a temperált eloszlásokra. Például, ha bizonyos követelményeket támasztunk egy f eloszlásra, megpróbálhatjuk ezeket a követelményeket lefordítani f Fourier-transzformációjával. A Paley–Wiener-tétel egy példa erre. A Paley–Wiener-tétel[14] azonnal azt jelenti, hogy ha f a kompakt támogatás nullától eltérő eloszlása (ezek közé tartoznak a kompakt támogatás[15] függvényei), akkor a Fourier-transzformációja soha nem támogatott kompaktan (vagyis ha egy jel korlátozott az egyik tartományban, akkor korlátlan a másikban). Ez a bizonytalansági elv nagyon elemi formája harmonikus elemzési környezetben. A Fourier-sorok kényelmesen tanulmányozhatók a Hilbert-terek kontextusában, amely kapcsolatot teremt a harmonikus analízis és a funkcionálanalízis között. A Fourier-transzformációnak négy változata létezik, a transzformáció által leképezett terektől függően:
- diszkrét/periodikus-diszkrét/periodikus: diszkrét Fourier transzformáció[16],
- folyamatos/periodikus-diszkrét/periodikus: Fourier-sor,
- diszkrét/periodikus-folyamatos/periodikus: diszkrét idejű Fourier-transzformáció[17],
- folytonos/periodikus–folyamatos/periodikus: Fourier-transzformáció.
Absztrakt harmonikus analízis
[szerkesztés]Az absztrakt harmonikus analízis elsősorban azzal foglalkozik, hogy a valós vagy komplex értékű függvények (gyakran nagyon általános tartományokon) hogyan tanulmányozhatók szimmetriák, például transzlációk vagy rotációk segítségével (például a Fourier-transzformáción és rokonain keresztül); ez a terület természetesen rokon a valós változós harmonikus analízissel, de szellemiségében talán közelebb áll az ábrázoláselmélethez[18] és a funkcionálanalízishez.[13]
A harmonikus analízis egyik legmodernebb ága, melynek gyökerei a XX. század közepére nyúlnak vissza, a topológiai csoportok[19] analíziséhez. Az alapvető motivációs ötletek a különféle Fourier-transzformációk, amelyek általánosíthatók Hausdorff lokálisan kompakt[20] topológiai csoportokon meghatározott függvények transzformációjára.[21]
Az abeli lokálisan kompakt[20] csoportokra vonatkozó elméletet Pontrjagin[22] kettősségnek nevezik.[23]
A harmonikus analízis ennek a kettősségnek és a Fourier-transzformációnak a tulajdonságait vizsgálja, és megpróbálja kiterjeszteni ezeket a jellemzőket különböző beállításokra, például a nem Abel-féle Lie-csoportok esetére.[24]
Az általános nem-abeli lokálisan kompakt csoportok esetében a harmonikus elemzés szorosan kapcsolódik az egységes csoportreprezentációk elméletéhez. Kompakt csoportok[25] esetében a Peter–Weyl-tétel[26] megmagyarázza, hogyan kaphatunk harmonikusokat, ha minden reprezentáció ekvivalenciaosztályából választunk egy irreducibilis reprezentációt.[27] A felharmonikusoknak ez a megválasztása élvezi a klasszikus Fourier-transzformáció néhány hasznos tulajdonságát a konvolúciók pontszerű szorzatokba való átvitelében, vagy más módon az alapul szolgáló csoportstruktúra bizonyos megértésében. Lásd még: Nem kommutatív harmonikus elemzés.[28]
Ha a csoport sem nem Abel-féle, sem nem kompakt, akkor jelenleg nem ismert általános kielégítő elmélet (a „kielégítő” legalább olyan erős, mint a Plancherel-tétel[29]). Sok konkrét esetet azonban elemeztek, például az SLn-t. Ebben az esetben a végtelen dimenziójú reprezentációk[30] döntő szerepet játszanak.
Alkalmazott harmonikus analízis
[szerkesztés]
A harmonikus analízis számos tudományos és mérnöki alkalmazása abból az elképzelésből vagy hipotézisből indul ki, hogy egy jelenség vagy jel egyedi oszcillációs komponensek összegéből áll. Az óceán árapálya és a vibráló húrok gyakori és egyszerű példák. Az elméleti megközelítés gyakran az, hogy a rendszert differenciálegyenlettel vagy egyenletrendszerrel próbálják leírni, hogy megjósolják a lényeges jellemzőket, beleértve az oszcilláló komponensek amplitúdóját, frekvenciáját és fázisait. A konkrét egyenletek a területtől függenek, de az elméletek általában olyan egyenleteket próbálnak kiválasztani, amelyek az alkalmazható fő elveket képviselik.
A kísérleti megközelítés általában a jelenséget pontosan számszerűsítő adatok beszerzése. Például az árapályok tanulmányozása során a kísérletvezető mintákat vett a vízmélységről az idő függvényében, elég szoros időközönként ahhoz, hogy lássa az egyes oszcillációkat, és elég hosszú ideig ahhoz, hogy valószínűleg több oszcillációs periódus is beletartozzon. A rezgő húrokon végzett vizsgálat során gyakori, hogy a kísérletező a várt legmagasabb frekvencia legalább kétszeresével és a legalacsonyabb frekvencia várható periódusának sokszorosával mintavételezett hanghullámot kap.
Például a jobb oldali felső képen lévő jel egy basszusgitár hanghulláma, amely egy A hangnak megfelelő nyitott húron játszik 55 Hz-es alapfrekvenciával. A hullámforma oszcillálónak tűnik, de összetettebb, mint egy egyszerű szinuszhullám, ami további hullámok jelenlétét jelzi. A hanghoz hozzájáruló különböző hullámösszetevők feltárhatók a Fourier-transzformáció néven ismert matematikai elemzési technika alkalmazásával, melynek eredményét az alsó ábra mutatja. Vegye figyelembe, hogy van egy kiemelkedő csúcs 55 Hz-en, de vannak más csúcsok is 110 Hz-en, 165 Hz-en és más frekvenciákon, amelyek az 55 Hz egész számú többszöröseinek felelnek meg. Ebben az esetben az 55 Hz-et a húrrezgés alapfrekvenciájaként azonosítjuk, az egész többszöröseket pedig harmonikusoknak[32] nevezzük.
Egyéb ágak
[szerkesztés]- A laplace-i sajátértékek és sajátvektorok vizsgálata tartományokon[33], sokaságokon[34] és (kisebb mértékben) gráfokon szintén a harmonikus analízis egyik ágának tekinthető. Lásd például a dob alakjának hallását.[35][36]
- Az euklideszi tereken végzett harmonikus analízis az Rn-en lévő Fourier-transzformáció olyan tulajdonságaival foglalkozik, amelyeknek nincs analógja az általános csoportokon. Például az a tény, hogy a Fourier-transzformáció forgásinvariáns. A Fourier-transzformáció radiális és gömb alakú összetevőire bontása olyan témákhoz vezet, mint a Bessel-függvények és a gömbharmonikusok[37].
- A csőtartományok harmonikus elemzése a Hardy-terek[38] tulajdonságainak magasabb dimenziókra történő általánosításával foglalkozik.
- Az automorfikus formák[39] egy szimmetriacsoportra vonatkoztatott, általánosított harmonikus függvények. Ezek a harmonikus analízis régi és egyben aktív fejlesztési területe a Langlands-programmal való kapcsolatuk miatt.[40]
- A nem lineáris harmonikus analízis a harmonikus- és funkcionálanalízis eszközeinek és technikáinak alkalmazása a nemlineáris rendszerek tanulmányozására. Ez magában foglalja mind a végtelen szabadsági fokú problémákat,[41] mind a nem lineáris operátorokat és egyenleteket.[42]
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ A matematikában a 'trigonometrikus sorozat' egy végtelen sorozat
- ↑ A periodikus függvény olyan függvény, amely szabályos időközönként megismétli az értékeit. Például a trigonometrikus függvények, amelyek Radián időközönként ismétlődnek, periodikus függvények. A periódusos függvényeket az egész tudományban használják az oszcillációk, hullámok és egyéb periodicitást mutató jelenségek leírására.
- ↑ Az ábrázoláselmélet a matematikának egy olyan ága, amely az absztrakt algebrai struktúrákat tanulmányozza úgy, hogy elemeiket vektorterek lineáris transzformációjaként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezeken az absztrakt algebrai struktúrákon.
- ↑ "harmonic". Online Etymology Dictionary.
- ↑ https://www.math.ru.nl/~burtscher/lecturenotes/2021PDEnotes.pdf
- ↑ A speciális függvények olyan különleges matematikai függvények, amelyeknek a matematikai analízisben, funkcionálanalízisben, geometriában, fizikában vagy más alkalmazásokban betöltött jelentőségük miatt többé-kevésbé bevett nevük és jelölésük van.
- ↑ N. Vilenkin. Special functions and the theory of group representation (1968)
- ↑ A parciális differenciálegyenletek elméletében az elliptikus operátorok olyan differenciáloperátorok, amelyek általánosítják a Laplace-operátort.
- ↑ Lásd még Atiyah-Singer index-tétel
- ↑ Harmonic analysis | Mathematics, Fourier Series & Waveforms | Britannica
- ↑ A másodrendű lineáris parciális differenciálegyenleteket elliptikus, hiperbolikus vagy parabolikus egyenletekbe sorolják.
- ↑ A periodicitás, ciklus vagy ismétlődés általában egy dolog vagy folyamat azon tulajdonságára utal, amely egy adott esemény bekövetkezése tekintetében rendszerességet mutat.
- ↑ a b https://www.math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes0.pdf
- ↑ A matematikában a Paley–Wiener-tétel bármely olyan tétel, amely összefüggésbe hozza egy függvény vagy eloszlás végtelenben lévő bomlási tulajdonságait a Fourier-transzformációjának analitikusságával. A tétel Raymond Paley (1907–1933) és Norbert Wiener (1894–1964) nevét viseli.
- ↑ Az Topologikus téren kompakt támogatású függvények azok, amelyek zárt támogatása kompakt részhalmaza. . Ha a valós egyenes vagy -dimenziós euklideszi tér, akkor egy függvénynek akkor és csak akkor van kompakt támogatása, ha korlátos, mivel az részhalmaza kompakt, ha és csak akkor, ha zárt és korlátos.
- ↑ A matematikában a diszkrét Fourier-transzformáció egy függvény egyenlő távolságú mintáinak véges sorozatát alakítja át a diszkrét idejű Fourier-transzformáció egyenlő távolságú mintáinak azonos hosszúságú sorozatává, amely a frekvencia komplex értékű függvénye.
- ↑ A matematikában a diszkrét idejű Fourier-transzformáció, amelyet véges Fourier-transzformációnak is neveznek, a Fourier-analízis egyik formája, amely értéksorozatra alkalmazható.
- ↑ A reprezentációelmélet a matematikának egy olyan ága, amely absztrakt algebrai struktúrákat tanulmányoz úgy, hogy azok elemeit vektortér lineáris transzformációiként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezen absztrakt algebrai struktúrák felett.
- ↑ A topológiai csoportok logikailag csoportok és topológiai terek kombinációja, azaz egyszerre csoportok és topológiai terek, így a csoportműveletek folytonossági feltétele összekapcsolja ezt a két struktúrát, következésképpen nem függetlenek egymástól.
- ↑ a b A matematikában a lokálisan kompakt csoport egy G topológiai csoport, amelynél az alapul szolgáló topológia lokálisan kompakt és Hausdorff. A lokálisan kompakt csoportok azért fontosak, mert a matematikában előforduló csoportok sok példája lokálisan kompakt, és ezeknek a csoportoknak van egy természetes mértéke, amelyet Haar-mértéknek neveznek. Ez lehetővé teszi a Borel-mérték függvény integrálok meghatározását G-n, így általánosíthatóak a szabványos elemzési fogalmak, mint például a Fourier-transzformáció és az terek.
- ↑ Alain Robert. Introduction to the Representation Theory of Compact and Locally Compact Groups
- ↑ Lev Szemjonovics Pontrjagin (1908. szeptember 3. - 1988. május 3.) szovjet matematikus. A Fourier-transzformációk absztrakt elméletével foglalkozott, valamint bevezette a Pontrjagin osztályok fogalmát a topológiában.
- ↑ A matematikában a Pontryagin-dualitás a lokálisan kompakt Abel-csoportok kettőssége, amely lehetővé teszi a Fourier-transzformáció általánosítását az összes ilyen csoportra, beleértve a körcsoportot (egy modulusú komplex számok multiplikatív csoportja), a véges Abel-csoportokat (diszkrét topológiával), és az egész számok additív csoportja (szintén diszkrét topológiával), a valós számok és minden véges dimenziós vektortér a valós értékek vagy egy p-adikus mező felett.
- ↑ Gerald B Folland. A Course in Abstract Harmonic Analysis
- ↑ A matematikában a kompakt (topológiai) csoport olyan topológiai csoport, amelynek a topológiája kompakt topológiai térként valósítja meg.
- ↑ A Peter–Weyl tétel a harmonikus analízis elméletének alapvetõ eredménye, amely kompakt, de nem feltétlenül Abel-féle topológiai csoportokra vonatkozik. Eredetileg Hermann Weyl és tanítványa, Fritz Peter bizonyította be egy kompakt G topológiai csoport beállításában (Peter & Weyl 1927).
- ↑ A matematikában, különösen a csoportok és algebrák reprezentációelméletében, egy algebrai struktúra irreducibilis reprezentációja vagy irrepje egy nem nulla reprezentáció, amelynek nincs megfelelő nemtriviális részreprezentációja , ahol részhalmaz zárva van a csoporthatásra.
- ↑ A matematikában a nem kommutatív harmonikus elemzés az a terület, ahol a Fourier-analízis eredményeit kiterjesztik a nem kommutatív topológiai csoportokra.
- ↑ A Plancherel-tétel (néha Parseval–Plancherel azonosságnak nevezik) a harmonikus analízis eredménye, amelyet Michel Plancherel 1910-ben bizonyított. Kimondja, hogy egy függvény négyzetes modulusának integrálja egyenlő a frekvenciaspektruma négyzetes modulusának integráljával.
- ↑ A reprezentációelmélet matematikai területén a csoportreprezentációk absztrakt csoportokat írnak le a vektortér önmaga bijektív lineáris transzformációi (vagyis vektortér automorfizmusok) szempontjából; különösen használhatók csoportelemek invertálható mátrixként való ábrázolására, így a csoportművelet mátrixszorzással ábrázolható.
- ↑ A More Accurate Fourier Transform (angol nyelven). SourceForge , 2015. július 7. (Hozzáférés: 2024. augusztus 26.)
- ↑ A harmonikus olyan hullám, amelynek frekvenciája az alapfrekvencia, az eredeti periodikus jel frekvenciájának pozitív egész számú többszöröse, például szinuszos hullám.
- ↑ A matematikai analízisban egy tartomány (domén) vagy régió egy nem üres összefüggő nyílt halmaz egy topológiai térben, különösen az Rn valós koordinátatér vagy a Cn komplex koordinátatér bármely nem üres összekapcsolt nyitott részhalmaza. A koordinátatér összekapcsolt nyílt részhalmazát gyakran használják egy függvény tartományára, de általában a függvények olyan halmazokon is definiálhatók, amelyek nem topológiai terek.
- ↑ A matematikában a sokaság egy topológiai tér, amely lokálisan hasonlít az euklideszi térre az egyes pontok közelében. Pontosabban, egy -dimenziós sokaság, vagy röviden -sokaság, egy topológiai tér azzal a tulajdonsággal, hogy minden pontnak van egy szomszédsága, amely homeomorf az -dimenziós euklideszi tér nyitott részhalmazával.
- ↑ A dob alakját hallani annyit tesz, mint a dobfej alakjára vonatkozó információkat a kibocsátott hangból, azaz a felhangok listájából következtetni matematikai elmélet segítségével.
- ↑ Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane, 2nd, New York, NY: Springer, 37. o. (2013. november 15.). ISBN 978-1461479710
- ↑ A gömbharmonikusok a gömb felületén meghatározott speciális függvények.
- ↑ Komplex analízisben a Hardy-terek (vagy Hardy-osztályok) Hp holomorf függvények bizonyos terei az egységkorongon vagy a felső félsíkon. Riesz Frigyes vezette be és G. H. Hardyról nevezte el őket. A valós analízisben a Hardy-terek a valós egyenes eloszlásának bizonyos terei, amelyek (eloszlások értelmében) a komplex Hardy-terek holomorf függvényeinek határértékei, és a funkcionálanalízis Lp-tereihez kapcsolódnak. 1 ≤ p < ∞ esetén ezek a valódi Hp Hardy-terek Lp bizonyos részhalmazai, míg p < 1 esetén az Lp-terek nemkívánatos tulajdonságokkal rendelkeznek, és a Hardy-terek sokkal jobban viselkednek.
- ↑ A harmonikus analízisben és a számelméletben az automorf forma egy jól viselkedő függvény egy G topológiai csoporttól a komplex számokig (vagy komplex vektortérig), amely invariáns a topológiai csoport diszkrét alcsoportjának hatására.
- ↑ Az ábrázoláselméletben és az algebrai számelméletben a Langlands-program a számelmélet és a geometria közötti kapcsolatokra vonatkozó messzemenő és következetes feltevések hálózata.
- ↑ Számos tudományterületen egy rendszer szabadságfoka a rendszer azon paramétereinek száma, amelyek egymástól függetlenül változhatnak.
- ↑ Non-Linear Harmonic Analysis, Operator Theory and P.d.e., Beijing Lectures in Harmonic Analysis. (AM-112), 1–46. o.. DOI: 10.1515/9781400882090-002 (1987. november 15.). ISBN 978-1-4008-8209-0
Lásd még
[szerkesztés]Bibliográfia
[szerkesztés]- Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
- Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
- Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
- Terence Tao, Fourier Transform. (Introduces the decomposition of functions into odd + even parts as a harmonic decomposition over ℤ₂.)
- Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
- George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
- M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498-6509.
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Harmonic analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
