Lie-csoport

Matematika
A matematika alapjai
Halmazelmélet Naiv halmazelmélet Axiomatikus halmazelmélet Matematikai logika
Algebra
Elemi algebra Lineáris algebra Polinomok Absztrakt algebra Csoportelmélet Gyűrűelmélet Testelmélet Mátrixok Univerzális algebra
Analízis
Valós analízis Komplex analízis Vektoranalízis Differenciálegyenletek Funkcionálanalízis Mértékelmélet
Geometria
Euklideszi geometria Nemeuklideszi geometria Affin geometria Projektív geometria Differenciálgeometria Algebrai geometria Topológia
Számelmélet
Algebrai számelmélet Analitikus számelmélet
Diszkrét matematika
Kombinatorika Gráfelmélet Játékelmélet Algoritmusok Formális nyelvek Információelmélet
Alkalmazott matematika
Numerikus analízis Valószínűségszámítás Statisztika Káoszelmélet Matematikai fizika Matematikai biológia Gazdasági matematika Kriptográfia
Általános
Matematikusok Matematikatörténet Matematikafilozófia Portál
Sablon:Matematika m v sz

A matematikában a Lie-csoport egy olyan csoport, amely egyszerre egy sima sokaság, és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Egy sokaság (mint például a kör vagy a tórusz) egy olyan topologikus tér, amely lokálisan egy euklidészi térre hasonlít, a csoport pedig egy olyan struktúra, mely magában foglal egy halmazt és egy, a halmazon definiált kétváltozós műveletet, amely asszociatív (átzárójelezhető) és invertálható, azaz minden csoportelemnek van egy inverz eleme.

A Lie-csoportok alkalmasak a folytonos szimmetriák modellezésére, így a modern matematikában és fizikában rendkívüli fontossággal bírnak.

A Lie-csoportokat a norvég Sophus Lie után nevezték el, aki a folytonos transzformációcsoportok elméletének alapjait fektette le. Először ilyen struktúrákat olyan mátrixcsoportok tanulmányozásával találtak, amelyek az ${\displaystyle n\times n}$ invertálható mátrixok csoportjának (${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ vagy ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$) részcsoportjai. Ezeket a csoportokat azóta klasszikus csoportoknak hívják, a Lie-csoportok elmélete pedig a matematika számos más területére is kiterjedt.

Minden Lie-csoport automatikusan egy topologikus csoport, mivel a csoportműveletek (az inverziót beleértve) folytonosak. Következtetésképp, mivel minden (nem feltétlenül Hausdorff) differenciálható sokaság teljesíti az első szétválaszhatósági axiómát (T₁), minden Lie-csoport automatikusan Hausdorff.

Lie-csoportnak nevezünk egy olyan ${\displaystyle G}$ csoportot, amely egyidejűleg egy sima sokaság, és a kétváltozós asszociatív csoportművelet (szorzás)

${\displaystyle \mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=xy}$

tetszőlegesen sokszor differenciálható. Az inverzfüggvény-tétel következményeképp minden Lie-csoport inverzió művelete:

${\displaystyle \nu :G\to G,\quad \nu (x)=x^{-1}}$

is tetszőlegesen sokszor differenciálható.

• A valós vagy komplex számok halmaza összeadással (${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ vagy ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$) egy Lie-csoport.
• A komplex fázisok, azaz olyan komplex számok, melyek abszolút értéke egy, a szorzással együtt összefüggő Lie-csoportot (${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$) alkotnak, más néven körcsoportnak hívjuk.
• A 2x2-es valós invertálható mátrixok halmaza:

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}}$

a mátrixszorzással együtt egy olyan négydimenziós Lie-csoportot alkot, amely nem kompakt és nem összefüggő.

• A forgatást reprezentáló mátrixok csoportját a következőképp lehet egy ${\displaystyle \varphi }$ forgásszöggel parametrizálni:

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$

Ez a csoport a ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$ részcsoportja, továbbá egy kompakt, összefüggő egydimenziós Lie-csoport, amely diffeomorf a körhöz.

• A speciális relativitáselméletben hasznos Minkowski- és Poincaré-csoport is Lie-csoport.

Már ismert Lie-csoportok segítségével további Lie-csoportok találhatóak:

• Két Lie-csoport Descartes-szorzata egy Lie-csoport
• Egy adott Lie-csoport bármely részcsoportja, amely topológiai értelemben egy zárt halmaz, Cartan tétele szerint egy Lie-csoport.
• Egy adott Lie-csoport egy zárt normálosztójával vett faktorhalmaza automatikusan egy Lie-csoport.
• Egy összefüggő Lie-csoport univerzális fedése egy Lie-csoport. Fontos megjegyezni, hogy egy adott differenciálható sokaság minden fedése egyaránt egy differenciálható sokaság, viszont azzal, hogy az univerzális fedést választjuk, így a csoportaxiómák teljesülésének is eleget teszünk.

Lie-algebrának nevezünk egy ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ vektorteret egy olyan kétváltozós művelettel ${\displaystyle [.,.]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$, amely bilineáris, antikommutatív és a Jakobi-azonosságnak eleget tesz.

Adott ${\displaystyle G}$ Lie-csoport ${\displaystyle e}$ neutrális elemében vett tangens tere egy vektortér, általános jelölése pedig ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=T_{e}G}$. A balról szorzás ${\displaystyle L_{g}:G\to G,\,h\mapsto gh}$ tangens leképezése a neutrális elemben ${\displaystyle T_{e}L_{g}:{\mathfrak {g}}\to T_{g}G}$ egy lineáris izomorfizmus, mivel a balról szorzás egy Lie-csoportban egy diffeomorfizmus. Legyen adott ${\displaystyle g\in G}$, akkor bármely ${\displaystyle v\in {\mathfrak {g}}}$ vektorra a következőképp definiált leképezés:

${\displaystyle L^{v}:G\to TG,\quad L^{v}(g)=T_{e}L_{g}(v)}$

egy sima vektormező. Mivel a vektormezőkön definiált Lie-zárójel (azaz ${\displaystyle [.,.]}$) automatikusan teljesíti a szükséges tulajdonságokat, ezért a ${\displaystyle G}$ Lie-csoport Lie-algebrája a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ vektortér a következő művelettel minden ${\displaystyle v,w\in {\mathfrak {g}}}$ vektorra:

${\displaystyle [v,w]:=[L^{v},L^{w}](e)}$.

Egy Lie-csoport Lie-algebrája a neutrális elem környezetében teljes mértékben meghatározza a csoport struktúráját. Régebbi elnevezések "infinidezimális csoport"ként utalnak rá, ugyanis elemei a Lie-csoport olyan elemeinek felelnek meg, amelyek "infinidezimálisan közel" vannak a neutrális elemhez.

A ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ Lie-csoport Lie-algebrája a mátrixalgebra ${\displaystyle \operatorname {M} (n,\mathbb {C} )}$, ahol az exponenciális leképezés a következőképp van definiálva adott ${\displaystyle X}$ mátrixra:

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$.

Amennyiben egy ${\displaystyle G}$ csoport a ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ zárt részcsoportja, akkor ${\displaystyle G}$ automatikusan egy Lie-csoport, melynek Lie-algebrája a következő:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G\,\,\forall t\in \mathbb {R} \right\}.}$

Az exponenciális leképezés ezen definíciója viszont nem alkalmazható olyan Lie-csoportokra, melyek nem mátrixcsoportok, így egy általánosabb konstrukcióra van szükség.

Egy adott ${\displaystyle G}$ Lie-csoport ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Lie-algebráján bármely ${\displaystyle v}$ vektorra bizonyítható egy egyedi egyparaméteres részcsoport ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to G}$ létezése, amelyre ${\displaystyle c'(0)=v}$. Egyparaméteres részcsoport alatt egy olyan sima leképezést értünk, melyre igaz a következő:

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)}$

minden valós ${\displaystyle s}$-re és ${\displaystyle t}$-re, ahol az egyenlet jobb oldalán található szorzás a Lie-csoport csoportművelete. Az általánosított exponenciális leképezést pedig a következőképpen definiáljuk:

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G,\quad \exp(v)=c(1)}$.

Az exponenciális leképezés ezáltal tetszőlegesen sokszor differenciálható és egy diffeomorfizmus a Lie-algebrában a ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}}$ egy környezete és a ${\displaystyle e\in G}$ egy környezete között. Ez a leképezés a valós számok halmazán is használt exponenciális függvény általánosítása.

Egy Lie-csoportban létezik az egységelemnek egy olyan környezete, melyen a csoportművelet (szorzás) teljes mértékben meghatározható a csoporthoz tartozó Lie-algebra Lie-zárójelével. Ezt az exponenciális leképezés segítségével a Baker-Campbell-Hausdorff formula adja meg: létezik a Lie-algebra neutrális elemének egy olyan környezete, melyben bármely ${\displaystyle X}$-re és ${\displaystyle Y}$-ra igaz:

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right).}$

Amennyiben a ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ kommutál, a képlet egyszerűbb alakot ölt: ${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp(X+Y)}$.

A Baker-Campbell-Hausdorff formula segítségével bizonyítható, hogy bármely kétszer differenciálható Lie-csoport automatikusan valós analitikus, tehát létrehozható egy olyan sima struktúra, melyen bármely ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ térképre a ${\displaystyle y\circ x^{-1}}$ leképezés valós analitikus.

Amennyiben ${\displaystyle G}$ és ${\displaystyle H}$ Lie-csoportok, minden sima ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ csoporthomomorfizmust Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk. Csoporthomomorfizmus alatt azt értjük, hogy a leképezés megtartja a csoportművelet szerkezetét, azaz minden ${\displaystyle g,h\in G}$ csoportelemre igaz ${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)}$. Az exponenciális leképezés tulajdonságaiból kiindulva bizonyítható, hogy bármely két Lie-csoport közötti folytonos csoporthomomorfizmus automatikusan sima.

Bármely Lie-csoport homomorfizmus neutrális elemben vett tangense egy Lie-algebra homomorfizmus, tehát egy olyan lineáris leképezés, amely megtartja a Lie-zárójelet.

Két Lie-csoportot izomorfnak nevezünk, amennyiben létezik közöttük egy bijektív homomorfizmus, melynek inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus, tehát egy olyan diffeomorfizmus, mely egyszerre egy csoporthomomorfizmus. Az eddig említettek következménye, hogy egy folytonos bijektív csoporthomomorfizmus két Lie-csoport között akkor diffeomorfizmus (tehát Lie-csoport izomorfizmus), ha az értelmezési tartomány szeparálható.

Lokális Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk egy olyan sima leképezést, mely két Lie-csoport neutrális elemének környezete között definiált és ezekben a környezetekben ugyanúgy megtartja a csoportműveletet. Két Lie-csoport lokálisan izomorfnak nevezünk, ha létezik közöttük egy olyan lokális Lie-csoport homomorfizmus, ami ezen felül egy diffeomorfizmus és az inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus.

Lie első tétele azt mondja ki, hogy két lokálisan izomorf Lie-csoport Lie-algebrái izomorfak, míg Lie második tétele szerint két izomorf Lie-algebrához tartozó Lie-csoport lokálisan izomorf. Ezen tételek szerint egy Lie-csoport globális struktúráját általánosságban nem határozza meg a Lie-algebra. A fizikában ismert egy fontos példa Lie fundamentális tételei kapcsán, ugyanis az SU(2) és SO(3) Lie-csoportok Lie-algebrái izomorfak,^[1] viszont a Lie-csoportok maguk nem izomorfak, ugyanis SU(2) egyszerűen összefüggő (azaz minden hurok folytonosan összehúzható egy pontba), míg SO(3) nem.^[2]

Ado tétele kimondja, hogy bármely véges dimenziós valós Lie-algebra izomorf egy Lie-mátrixalgebrához. Ennek következménye Lie harmadik fundamentális tétele, miszerint minden véges dimenziós valós Lie-algebra egy lineáris Lie-csoport Lie-algebrája.

Fontos kutatási terület Lie-csoportoknak úgy nevezett ábrázolásait (más néven reprezentációit) vizsgálni, melyek azt fejezik ki, hogy egy adott Lie-csoport hogyan hat egy vektortérre. Egy ${\displaystyle n}$-dimenziós ${\displaystyle V}$ vektortér esetén a ${\displaystyle G}$ Lie-csoport komplex ábrázolása egy Lie-csoport homomorfizmus ${\displaystyle \Pi :G\to \operatorname {GL} (V)}$, ahol ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ identifikálható ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$-vel. Sok esetben az egyszerűség kedvéért ${\displaystyle V}$-t nevezik ábrázolásnak.

Az ábrázoláselméletnek a fizikában is nagy jelentősége van: a hidrogénatom (vagy bármely olyan atom vagy ion, melynek egy vegyértékelektronja van) esetében az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet megoldása egy háromdimenziós problémából egydimenziós problémává egyszerűsíthető, amennyiben felismerjük, hogy a rendszer Hamilton-operátora forgásszimmetrikus (tehát ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$-szimmetrikus). Ez önmagában nem jelenti azt, hogy az operátor sajátállapotai forgásszimmetrikusak lennének, csupán azt, hogy a Schrödinger-egyenlet fix energiájú megoldásainak tere forgásszimmetrikus, melyre ezáltal az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ Lie-csoport ábrázolásaként lehet tekinteni.

• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2. kiadás, Graduate Texts in Mathematics, Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-13467-3 (2015). ISBN 978-3319134666 
• Michael Kunzinger: Lie Groups. University of Vienna, 2023

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lie group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.