Komplex számok

Lásd még: A komplex számok tanítása

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.^{[megj 1]}

A komplex számok halmazát ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vagy ${\displaystyle \mathbf {C} }$ betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)

A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.

Halmazelméleti modell	Geometriai modell	Algebrai modell
${\displaystyle \mathbb {C} :=\{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}}$, azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ Descartes-szorzat.	${\displaystyle \mathbb {C} :=\{r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }|r\geq 0,\varphi \in \mathbb {R} \}}$, ahol az ${\displaystyle r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }}$ alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge)	${\displaystyle \mathbb {C} :=\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$, azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az ${\displaystyle {\mathbb {R} [x]}}$ polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai)
Szorzás:	Szorzás:	Szorzás:
${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}$	Itt ${\displaystyle \cdot }$ a függvénykompozíció ( ${\displaystyle \circ }$ ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja	a polinomok szorzása
Összeadás:	Összeadás:	Összeadás:
${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$	a képpontba mutató vektorok összege	a polinomok összeadása
A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:
1 := (1,0)	1 := F0° = id (a nulla fokos forgatás)	1 := az azonosan 1 polinom
Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:
(0,1)${\displaystyle \cdot }$(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1	F+90°${\displaystyle \circ }$F+90° = F180° = – id = – 1	x${\displaystyle \cdot }$x = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.

Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}$

formulával definiáljuk;

a szorzást a kissé légbőlkapott

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)\,}$

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, ${\displaystyle \cdot }$) matematikai struktúra valóban testet alkot a

0 := (0,0) additív neutrális elem és a

1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem

választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

${\displaystyle -(a,b)=(-a,-b)}$

és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

${\displaystyle {\frac {1}{(a,b)}}=\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right).}$

A valós számtestet az

R ${\displaystyle \rightarrow }$ R×R, a ${\displaystyle \mapsto }$ (a,0)

bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:

(0,1)² = (0,1)${\displaystyle \cdot }$(0,1) = (0${\displaystyle \cdot }$0 – 1${\displaystyle \cdot }$1,1${\displaystyle \cdot }$0 + 0${\displaystyle \cdot }$1) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó ${\displaystyle {\mbox{ }}_{r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }}}$ leképezés mátrixa:

${\displaystyle [r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }]=r\cdot {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\;\;\cos \varphi \end{pmatrix}}}$

vagy az a := r${\displaystyle \cdot }$cos(φ), b := r${\displaystyle \cdot }$sin(φ) választással:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$.

Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.

Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás:

${\displaystyle [r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }+s\cdot {\mathcal {F}}_{\psi }]=[r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }]+[s\cdot {\mathcal {F}}_{\psi }]}$

A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás:

${\displaystyle [(r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi })\circ (s\cdot {\mathcal {F}}_{\psi })]=[(r\cdot s)\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi +\psi }]=rs{\begin{pmatrix}\cos(\varphi +\psi )&-\sin(\varphi +\psi )\\\sin(\varphi +\psi )&\;\;\cos(\varphi +\psi )\end{pmatrix}}}$

Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.

A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x² = -1 egyenlet.

Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.

Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x²+1) főideálja szerinti R[x] / (x²+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x²+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x²+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:

${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0}$

Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az

${\displaystyle x^{2}\equiv -1}$

egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x²+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az

${\displaystyle a+bi\,}$

nevezetes algebrai alakban.

Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre

${\displaystyle i^{2}=-1;i^{3}=-i;i^{4}=1;i^{5}=i\,}$

Bárhogy is definiáljuk a komplex számok ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathbb {C} }}$ halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z ∈ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathbb {C} }}$ komplex szám egyértelműen előállítható z = a${\displaystyle \cdot }$1 + b${\displaystyle \cdot }$i alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:

${\displaystyle z=a\,+\,b\cdot i}$

Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és

${\displaystyle \mathrm {Re} \,z}$

-vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének:

${\displaystyle \mathrm {Im} \,z}$

vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát:

${\displaystyle z=\mathrm {Re} \,z\,+\,i\cdot \mathrm {Im} \,z}$

A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor

${\displaystyle |z|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}$.

A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram (Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolút érték (mely az R²-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.

A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \,\varphi +i\!\cdot \!\sin \,\varphi )}$

alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze

${\displaystyle a=r\,\cos \,\varphi }$ és

${\displaystyle b=r\,\sin \,\varphi }$.

A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Illetve nem nulla a esetén:

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\mathrm {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{ha }}a>0\\\pi +\mathrm {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{ha }}a<0.\end{cases}}}$

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

${\displaystyle \arg(a+bi)=\operatorname {arctg2} (b,a)\,}$

Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z₁ és z₂ komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi +\psi )+i\sin(\varphi +\psi ))}$

A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi ))}$

amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:

${\displaystyle (\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi )^{n}=\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi )}$

Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:

${\displaystyle \sin \,z=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}z^{2k+1}}$

${\displaystyle \cos \,z=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}z^{2k}}$

${\displaystyle \exp \,z=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}}$

Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:

${\displaystyle \exp(iz)=e^{iz}=\cos \,z+i\sin \,z}$

Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi }$

Van, amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}$

Tehát minden komplex szám előáll

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$

alakban.

Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}$

Feltéve, hogy r₂ nem nulla:

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}$

${\displaystyle z^{n}=r^{n}\cdot e^{in\varphi }}$

Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }=e^{\varphi _{0}}e^{i\varphi }=e^{\varphi _{0}+i\varphi _{1}}}$

Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ₀+iφ₁, akkor

${\displaystyle z^{w}=(e^{\varphi _{0}+i\varphi _{1}})^{w}=(e^{v})^{w}=e^{v\cdot w}}$

Mielőtt továbblépnénk, jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk ${\displaystyle 2\pi }$-t:

${\displaystyle z=R\cdot e^{i\cdot \phi }=R\cdot e^{i\cdot \left(\phi +k\cdot 2\pi \right)}}$,

ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor ${\displaystyle z}$-ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak ${\displaystyle {\frac {\phi }{n}}}$ ilyen, hanem a következő arkuszok mind:

${\displaystyle {\frac {\phi }{n}}+{\frac {k\cdot 2\pi }{n}}}$,

ahol k=0,1,2, … n-1. Tehát n különböző n-edik gyök létezik

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{R\cdot \left(e^{i\cdot \phi }\right)}}={\sqrt[{n}]{R}}\cdot e^{i\cdot \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {k\cdot 2\pi }{n}}\right)}}$, ahol k=0,1,2, … n-1.

Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen ${\displaystyle z}$. Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes ${\displaystyle \pm 1}$, vagyis a következő két (komplex) szám ${\displaystyle e^{0}=1\,}$ és ${\displaystyle e^{i\cdot \left(0+\pi \right)}=-1}$.

Példaképp most számoljuk ki a

${\displaystyle z=1+i={\sqrt {2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {\pi }{4}}}}$

komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:

${\displaystyle {\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {\pi }{16}}}}$,

${\displaystyle {\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {9\cdot \pi }{16}}}}$,

${\displaystyle {\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {17\cdot \pi }{16}}}}$ és

${\displaystyle {\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {25\cdot \pi }{16}}}}$.

Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:

${\displaystyle {\left({\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {25\cdot \pi }{16}}}\right)}^{4}={\sqrt {2}}e^{i\cdot {\frac {25\cdot 4\cdot \pi }{16}}}={\sqrt {2}}\cdot e^{i\cdot \left({\frac {\pi }{4}}+3\cdot 2\pi \right)}={\sqrt {2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {\pi }{4}}}=1+i}$.

A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a jólrendezési tétel alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).

Tétel – Frobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (algebraizomorfizmus erejéig) a következők:

• a valós számok teste,
• a komplex számok teste,
• a kvaterniók teste.

Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.

Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.

Tétel – A komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:

• karakterisztikája 0,
• a prímteste feletti transzcendencia foka kontinuum,
• algebrailag zárt.

Ez a komplex számok teste.

(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)

Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:

Tétel – Pontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.

Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak (ellentétben a valósokkal).

A racionális számokból a komplex számokat a következő módon kapjuk. Először teljessé tesszük a racionális számok ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ testét a szokásos (arkhimédeszi) abszolút értékre nézve: ez a valós számok ${\displaystyle \mathbb {R} }$ teste. Az így kapott test algebrai lezártja a komplex számok ${\displaystyle \mathbb {C} }$ teste.

Ezzel analóg módon definiálható a komplex számok p-adikus analogonja: ez a p-adikus számok testének olyan bővítése, ami egyszerre teljes és algebrailag zárt. Valóban, a p-adikus számok ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ teste a racionális számok teljessé tétele a (nemarkhimédeszi) p-adikus abszolút értékre nézve, ez tehát a valós számoknak felel meg az arkhimédeszi esetben. A p-adikus számok algebrai ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\mathrm {al} }}$ lezártjára egyértelműen kiterjed a p-adikus abszolút érték, viszont ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\mathrm {al} }}$ nem teljes erre nézve. Például megmutatható, hogy a

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p^{3^{n^{2}}/2^{n^{2}}}}$

sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, de a sor nem konvergál a ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\mathrm {al} }}$ testben.^[1] A ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\mathrm {al} }}$ teljessé tétele viszont szükségképpen teljes, és megmutatható, hogy itt a teljessé tétel során nem vész el az algebrai zártság sem. Az így kapott test tehát teljes és algebrailag zárt: ez a komplex p-adikus számok ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ teste.^[2]

Megmutatható, hogy a komplex számok ${\displaystyle \mathbb {C} }$ teste izomorf a komplex p-adikus számok ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ testével, viszont nem létezik ${\displaystyle \mathbb {C} }$ és ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ közötti topologikus izomorfizmus (azaz olyan testizomorfizmus, ami tiszteletben tartaná az egyes abszolút értékek által definiált topológiát).^[3]

A komplex p-adikus számok fontos szerepet játszanak az aritmetikai geometriában és az algebrai számelméletben. Segítségükkel definiálhatók p-adikus L-függvények (ezek az L-függvények p-adikus avatarjai).^[4][5] A komplex p-adikus számok felett megalkotható a komplex függvénytan analogonja, a p-adikus analízis: ennek egyik alkalmazása a Weil-sejtések egyikének Dwork-féle bizonyítása.^[6]

A fenti konstrukció általánosítható: Kürschák József megmutatta, hogy bármely értékelt testnek létezik olyan bővítése, ami teljes és algebrailag zárt. Sőt, a minimális ilyen bővítést pontosan a fenti három lépés adja meg, azaz a testet először teljessé tesszük, majd algebrailag lezárjuk (az abszolút érték egyértelműen kiterjed erre), majd még egyszer teljessé tesszük.^[7]

A komplex számokat a gyakorlati és természettudományok igen széleskörűen alkalmazzák. Elsősorban a komplex függvények jelennek meg a gyakorlatban, de ezek értéke is komplex szám, aminek aztán fizikai értelmet adhatunk.

A legtipikusabb alkalmazás a rezgések és hullámok vizsgálata. Mivel ezeket szinusz és koszinusz függvények segítségével írjuk le, kézenfekvő az Euler-féle képlet alkalmazása. Ilyen módon a fázisszög is egyszerűen kiolvashatóvá válik a mozgást leíró függvényből. A rezgéseket Fourier-transzformáció segítségével tudjuk harmonikus rezgések összegére felbontani, amit szintén egyszerűbb komplex függvények segítségével megalkotni.

A Fourier-transzformációhoz hasonló Laplace-transzformáció a mérnöki alkalmazások során merül fel. Ennek szerepe, hogy bizonyos problémákat, különösen a differenciálegyenleteket hatékonyan és gyorsan tudjuk megoldani.

Igen speciális szerepet kapnak a komplex számok a modern fizikában, ugyanis a részecskéket leíró Schrödinger-egyenlet is komplex számokat alkalmaz. A függvényérték maga is általában komplex szám, így fizikai értéket nem a függvény, hanem az abszolútértéke, ${\displaystyle \psi \psi ^{*}}$ képvisel, jelesül egy részecske előfordulásának valószínűségét.

• C: #include <complex.h>;
• C++: #include <complex>;
• C#: using System.Numerics;
• D: import std.complex;
• Fortran: alapból kezeli
• Go: import "math/cmplx"
• Julia: alapból kezeli
• Matlab: alapból kezeli
• Octave: alapból kezeli
• Perl: use Math::Complex;
• Python: alapból ismeri, illetve további függvényekhez import cmath
• Rust: use num_complex::Complex;
• R: alapból kezeli

1. ↑ ld. pl. Stephen Hawking: Az idő rövid története Archiválva 2009. január 20-i dátummal a Wayback Machine-ben. Könyvében Hawking amellett is érvel, hogy a fizika számára a téridő megértésének, vagy legalábbis leírásának kulcsfontosságú lépése, hogy az időt képzetes mennyiségnek tekintsük, azaz komplex számokkal mérjük.

• Az algebra alaptétele

• A PlanetMath complex szócikke Archiválva 2007. szeptember 30-i dátummal a Wayback Machine-ben
• A PlanetMath complex number szócikke Archiválva 2009. május 8-i dátummal a Wayback Machine-ben
• A MathWorld complex number szócikke
• A komplex számok története
• Komplex számok szemléltetőfilmjeinek letöltő oldala – az 5. és a 6. fejezet (130 és 190 MB, angol, francia, spanyol vagy arab nyelvű hanggal)
• ↑ Hamburg: Mike Hamburg: Construction of ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ and Extension of p-adic Valuations to ${\displaystyle \mathbb {C} }$, 2004. október 10. (Hozzáférés: 2022. február 20.)
• ↑ Koblitz: Neal Koblitz. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, második, Graduate Texts in Mathematics (angol nyelven), New York: Springer Science+Business Media. DOI: 10.1007/978-1-4612-1112-9 (1984). ISBN 978-0-387-96017-3 
• ↑ Lang: Serge Lang. Cyclotomic Fields I and II – With an Appendix by Karl Rubin, Combined Second Edition, Graduate Texts in Mathematics (angol nyelven) (1990) 
• ↑ Roquette: Peter Roquette (2003. november 19.). „On the History of Valuation Theory”. (Hozzáférés: 2022. február 20.) 

• Láng Csabáné: Példák és feladatok. Egyetemi jegyzet. 1. Komplex számok; ELTE, Budapest, 2003
• Szeitz Judit: Komplex számok. Főiskolai jegyzet; ZMNE BJKMFK, Budapest, 2004
• Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
  • Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
  • Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007
• Takács Miklós: Komplex számok. Példatár; 3. jav. kiad.; Főiskolai, Dunaújváros, 2009
• Móricz Ferenc: Harmonikus analízis a komplex egységkörlapon; Polygon, Szeged, 2013 (Polygon jegyzettár)
• Kecskés Lajos: A halmaz peremén. Cirkálás a komplex végtelenben; Typotex, Budapest, 2021