Euklideszi tér (lineáris algebra)

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! (2007 júniusából)

A „Tér” lehetséges további jelentéseiről lásd: Tér (egyértelműsítő lap).

Euklideszi térnek^[1] nevezzük azon T számtest, vagy integritási tartomány feletti vektortereket, melyekben a vektorterek axiómáin felül értelmezve van, egy ún. skaláris szorzat (euklideszi norma).

1. A skaláris szorzat a V-beli rendezett párokhoz egy, T-beli elemet rendelő függvény, vagyis

   ${\displaystyle \forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,{\bigl (}{\vec {a}},{\vec {b}}{\bigr )}\colon V\times V\to T}$

2. A skaláris szorzat részben kommutatív, vagyis

   ${\displaystyle \forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,{\bigl (}{\vec {a}},{\vec {b}}{\bigr )}={\overline {{\bigl (}{\vec {b}},{\vec {a}}{\bigr )}}}}$,

   ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli. (Természetesen a valós esetben kommutatív).

3. A skalárszoros (skalár az alkotó testből, vagy int. tart.-ból) „elölről” kiemelhető, vagyis:

   ${\displaystyle \forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,\forall \lambda \in T,(\lambda {\vec {a}},{\vec {b}})=\lambda ({\vec {a}},{\vec {b}})}$

4. Összeg elölről „szétszedhető”, vagyis:

   ${\displaystyle \forall {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in V,{\bigl (}{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}{\bigr )}={\bigl (}{\vec {a}},{\vec {c}}{\bigr )}+{\bigl (}{\vec {b}},{\vec {c}}{\bigr )}}$

Több kérdés is felmerülhet a definíciókkal kapcsolatban, először is az, hogy miért kellett a konjugálást bevezetni, elvetve így a kommutativitást, valamint, hogy miért pont hátulról kiemelhetők a tagok, és mi a helyzet az elöl lévő skalárszorzóval, és összeggel? Utóbbi két kérdést két egyszerű tétellel azonnal meg lehet válaszolni:

TÉTEL: ${\displaystyle \forall {\vec {a}},{\vec {b}}\in V,\forall \lambda \in T,({\vec {a}},\lambda {\vec {b}})={\overline {\lambda }}({\vec {a}},{\vec {b}})}$
Bizonyítás: Egyszerűen az axiómákból, csak „hátulra kell varázsolni a skalárszorost” a részleges kommutativitást kihasználva, így jön be a képbe a konjugált, formálisan:
${\displaystyle ({\vec {a}},\lambda {\vec {b}})=}$ (2. axióma) ${\displaystyle {\overline {(\lambda {\vec {b}},{\vec {a}})}}=}$ (3. axióma) ${\displaystyle {\overline {\lambda ({\vec {b}},{\vec {a}})}}=}$ (komplex konjugálás szorzattartó)

${\displaystyle ={\overline {\lambda }}{\overline {({\vec {b}},{\vec {a}})}}=}$(2. axióma) ${\displaystyle {\overline {\lambda }}({\vec {a}},{\vec {b}})}$ QED

TÉTEL: ${\displaystyle \forall {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in V,({\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}})=({\vec {a}},{\vec {b}})+({\vec {a}},{\vec {c}})}$
Bizonyítás: Teljesen hasonlóan az előzőhöz, vegyük észre, hogy ha felcseréljük a tagokat (természetesen konjugálással együtt), akkor a 4. axiómát alkalmazva kapjuk a kívánt képletet. QED

Minden euklideszi térben bevezethető valamilyen, „hosszúságszerű” fogalom. Ezt fogjuk euklideszi normának hívni, definíciója a következő:
Az euklideszi norma egy, V-ből T-be képező, nemnegatív értékeket felvevő függvény, amelyre (jelöléssel együtt):
${\displaystyle \left|\left|{\vec {a}}\right|\right|}$:= ${\displaystyle {\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}})}}}$

A norma és skalárszorzat segítségével már definiálható két vektor hajlásszöge, melyen síkvektoroknál a nemnagyobb szöget értettük. A hajlásszög, csakúgy mint középiskolában azon érték lesz, melyet a cos függvény a ${\displaystyle {\frac {({\vec {a}},{\vec {b}})}{\left|\left|{\vec {a}}\right|\right|\cdot \left|\left|{\vec {b}}\right|\right|}}}$ helyen felvesz, vagyis ennek az arkusz koszinusza.
A definíció jogosságához be kéne látni, hogy ez az érték mindig a [-1;1] intervallumba esik, de ez azonnal következik a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenségből. (Vagyis a számláló mindig kisebb vagy egyenlő abszolút értékben mint a nevező.)
A hajlásszög definíciójával már definiálni lehet az egymásra ortogonális, merőleges vektorokat is.

Két vektort egymásra merőlegesnek, ortogonálisnak mondunk, ha skaláris szorzatuk 0. Könnyen meggondolható, hogy a szokásos sík-, és térvektorok esetén ez pont akkor teljesül, ha egymással bezárt szögük ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$, vagyis a „derékszög”, hiszen ennek a koszinusza 0, így a skaláris szorzat is 0 lesz.

A következő tételhez még egy definíció kell, a normált vektoré.
Egy vektort normáltnak mondunk, ha normája az alkotó számtest (szorzás szerinti) egységeleme.

Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció Minden euklideszi térben létezik ortonormált bázis, vagyis olyan bázis, melynek minden vektora páronként merőleges, normájuk pedig az egységelem.

1. ↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi tér, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

Dr. Szalay Mihály, Lineáris algebra előadás, ELTE-TTK/IK, (az elméleti háttér)