Corriges de la seance 2

Chap 3: Cinematique - acceleration

Questions pour reflechir

4 p. 106 Oubliant le mouvement propre de la planete, pourquoi peut-on dire

que tout objet qui se deplace dune distance appreciable sur la surface de
la Terre est accelere?

Parce que la surface de la Terre nest pas plate. Le vecteur vitesse de lobjet en
mouvement change de direction; il y a donc acceleration.

v1

v2v1 v2

11. p 106 Supposons que vous etes dans un ascenseur en chute libre et
que vous laissez tomber vos cles sans vitesse initiale juste devant vos yeux.
Expliquez ce qui arrive a ces cles.

Le trousseau de cles restera devant vos yeux tout le long de la chute. Considerons
ce qui se passe depuis un referentiel inertiel immobile exterieur a lascenseur. Les
cles sont lachees avec une vitesse initiale v0 egale a celle du passager au moment
du lacher. Puis elles tombent en chute libre. Elles subissent donc une acceleration
g identique a celle du passager et de lascenseur, qui tombent eux aussi en chute
libre. Donc en tout instant laltitude du passager et des cles restent les memes.

1
Exercices - Notions dacceleration

2. [1] p 107 Un oiseau migrateur est observe a 14 h 02 min se dirigeant vers

le sud a une vitesse de 50 km/h. A 14 h 06 min, il est observe toujours dirige
vers le sud mais avec une vitesse de 40 km/h. Calculer son acceleration
moyenne sur cette periode.

~v1 = 50 km/h ~1S

 
t1 = 14 h 02 min
&
t2 = 14 h 06 min ~v2 = 40 km/h ~1S
ou ~1S est un vecteur dunite dirige vers le sud.

t = t2 t1 = 4 min = 1/15 h. La difference de vitesses est ~v = ~v2 ~v1 = 10

km/h ~1S .

Lacceleration moyenne est donnee par

~v 10 km/h ~1S
~am = = = 150 km/h2~1S = 0, 012 m/s2~1S
t (1/15) h

18. [II] p. 108 La figure P18 est une representation graphique de la vitesse
scalaire en fonction du temps pour trois cyclistes. Decrire leurs mou-
vements et calculer leur accelerations moyennes sur tout lintervalle (de
temps) considere.

mouvement (2): la vitesse augmente lineairement avec le temps lacceleration

instantanee est constante et vaut lacceleration moyenne.
v v2 v 1 (6 1) m/s
a= = = = 1 m/s2
t t2 t1 (7 2) s

2
mouvement (3): vitesse constante pendant 2 s, puis acceleration constante pendant
3 s. Comme les vitesses de depart et darrivee sont les memes que pour le mouve-
ment 2, lacceleration moyenne sur lintervalle de temps [2, 7] s est aussi la meme.
mouvement (1): acceleration instantanee variable sur [2, 7] s, mais meme acceleration
moyenne que pour les autres mouvements.

(27) [cc] p 109 Une souris se
deplace le long
2dun tube de verre droit selon
3 3 2
lequation s (t) = 0, 10m/s t 0, 60m/s t +(0, 90m/s) t ou s est mesure
a partir de lextremite du tube. (a) Determiner la valeur algebrique de la
vitesse a tout instant t. (b) Quelles sont les valeurs algebriques de la
vitesse aux instants t =1,0s, 2,0s et 4,0s ? (c) A quel instant la souris
est-elle au repos?

(a) La vitesse est la derivee de s par rapport a t:

ds d m
v(t) = = 0, 30t2 1, 20t + 0, 90; pour rappel: t = mtm1
dt dt

(b) Les valeurs de la vitesse sont:

v t

0 m/s 1,0s
-0,30 m/s 2,0s
0,90 m/s 4,0s
Le graphique de la vitesse en fonction du temps est:

2.5

1.5
v (m/s)

0.5

-0.5
0 1 2 3 4 5
t(s)

3
(c) La souris est au repos quand v = 0. On sait de la question (b) que pour t = 1s,
la vitesse est nulle, mais v(t) etant un polynome de second degre il y a 0, 1 ou 2
solutions reelles:
p
(1, 20) (1, 20)2 4 0, 30 0, 90
t1,2 = = 1s et 3s
2 0, 30
La souris est donc au repos aux instants t = 1s et t = 3s.

24 [III] p109 Deux motocyclistes roulent directement lun vers lautre. Cha-
cun sest lance de larret avec une acceleration constante de 5,5 m/s2 . A
quelle vitesse sapprochent-ils lun vers lautre apres 2,0s? A cet instant,
quelle distance ont-ils parcourue depuis leur point de depart?

Si m1 , m2 sont les deux motocyclistes, a leurs accelerations, leurs vitesses sont

donnees par 
vm1 = at
vm2 = at
la vitesse relative de m2 par rapport a m1 est
hmi
v = vm2 vm1 = 2at = 11t
s
1 2
a t = 2s, v = 22 m/s = 79 km/h. Ils ont chacun parcouru d = 2 at =
0, 5 5, 5m/s2 4s2 = 11m.

Exercices - Mouvement uniformement accelere / Chute libre

40. [I] p. 109 Un kangourou peut sauter verticalement a une hauteur de

2,5m. Quelle est sa vitesse de decollage?

Dans le cas dun mouvement uniformement accelere, la distance parcourue s et les

vitesses initiale vi et finale vf sont liees par
vf2 = vi2 + 2as.
Au sommet du saut, vf = 0 m/s. La vitesse initiale vaut donc
p
vi = 2 g 2, 5m = 7, 1m/s.

NB: on peut aussi resoudre lexercice en partant des equations du mouvement du

kangourou: 
v(t) = vi gt
z(t) = vi t 21 gt2
ou vi est sa vitesse de decollage et laxe des z est oriente vers le haut. On sait aussi
que

4
 zmax = z(tmax ) = 2, 5m.

Au moment ou le kangourou atteint ces 2,5m, sa vitesse doit etre nulle, car
il inverse son mouvement et retombe au sol v(tmax ) = 0.

On remplace ces deux informations dans les equations de la vitesse et du deplacement:

vi
v(tmax ) = 0 = vi gtmax tmax =
g
et
2
1 vi2
  
vi 1 vi
zmax = 2, 5m = 0 + vi g 2, 5m = vi = 7, 1m/s
g 2 g 2 g

44. [I] p.110 En roulant a 80 km/h un jour de brouillard, ou la visibilite est

seulement de 80 m, le conducteur voit brusquement une voiture arretee au
milieu de la route a cause dun accident. Quelle doit etre sa deceleration
pour eviter la collision avec cette voiture?

vi = 80 km/h; vf = 0 km/h (arret)

visibilite = 80m = distance maximale darret

En utilisant la formule vf2 = vi2 + 2as, on trouve immediatement:

vi2 802
a= = = 4, 0 104 km/h2 = 3, 1m/s2 .
2s 2 0, 080

NB: on peut aussi resoudre lexercice en partant des equations du mouvement:


v(t) = vi + at
x(t) = vi t + 12 at2

Quand la voiture a completement freine, v(tarret ) = 0 0 = vi + atarret , c.a.d.

vi
tarret =
a
On veut quau maximum, la voiture sarrete apres une distance de 80 m, donc

1 v2
0, 080 km = vi tarret + at2arret = i
2 2a
On obtient ainsi la deceleration
802
a= = 4 104 km/h2 = 3, 1 m/s2 .
2 0, 080

5
Le temps darret est tarret = 7, 2s.

77. [I] p.111 Supposons que vous pointiez un fusil horizontalement exacte-
ment vers le centre dune cible situee a une distance de 100m. Si la vitesse
de la balle au sortir du canon est de 1000 m/s, ou frappe-t-elle la cible? (On
suppose que les effets aerodynamiques sont negligeables).

Le mouvement se fait en deux dimensions. Dans la direction 1~x il ny a pas de

frottement ni dacceleration. Dans la direction 1~z dirigee vers le haut, la balle est
soumise a la pesanteur terrestre: ~g = g 1~z .

vx = v0x
vz = v0z gt

Le deplacement est 
x = v0x t + x0
z = z0 + v0z t 12 gt2
On choisit le referentiel suivant: x0 = 0, z0 = 0 et lenonce nous donne les valeurs
initiales des vitesses: v0x = 1000 m/s, v0z = 0.
Le temps de vol tvol est determine par le mouvement horizontal:
x 100
x = v0x tvol tvol = = s = 0, 1s
v0x 1000

Le deplacement vertical vaut donc 21 gt2vol = 0.5 10 0, 12 = 0, 05m. La

balle touche la cible 5 cm sous le centre de celle-ci.

(67.) [I] p.111 Vous tombez dune chaise haute de 0,50m. Negligeant la
resistance de lair, a quelle vitesse heurtez-vous le plancher?

Equations du mouvement (1~z dirige vers le haut, ~g = g 1~z , g = 10 m/s2 ):


vz = v0z gt
z = z0 + v0z t 12 gt2

Conditions initiales: 
v0z = 0
z0 = 0, 5m
Temps de chute:

vz (tchute ) = gtchute p
1 2 tchute = 2(0, 5)/10 = 0, 32s
0 = 0.5 2 10(tchute )

et la vitesse au moment ou on touche le plancher vz (tchute ) = 10 0, 32 = 3, 2

m/s.

6
(82) [I] p.111 Lattraction gravitationnelle a la surface de la Lune est
denviron g/6. Si une balle lancee verticalement atteint une hauteur de
25m sur Terre, quelle hauteur atteint-elle sur la Lune, si elle est lancee a la
meme vitesse? Negliger les effets de la resistance de lair.

Prenons 1~z dirige vers le haut, ~g = g 1~z , g = 10 m/s2 . Au temps tmax ou la balle
sarrete on a:
v2

0 = v0 gtmax v0
1 2 tmax = h= 0
hmax = v0 tmax 2 gtmax g 2g
donc
hL = v02 /gL v2
  
hT
mais gL = gT /6 hL = 6 0 = 6v02 = 6hT
hT = v02 /gT gT v02
hL = 6 25 = 150m.

49. [II] p110 Un conducteur conduisant a 60 km/h voit un animal sauter

sur la route; il freine. Son acceleration etant -7 m/s2 , il sarrete apres avoir
parcouru 23,3m. Quel etait son temps de reaction ?

Avant que le conducteur ne reagisse, la voiture roule a vitesse constante. Pendant

le freinage, la voiture decelere uniformement a -7m/s2 . La distance de freinage est
donnee par
v2
df reinage = 0 = 19, 8m.
2a
La distance parcourue a vitesse constante avant de reagir vaut dreaction = 23, 3m
3,5m
19, 8m = v0 treaction . Donc treaction = 16,7m/s = 0, 21s.

(100.) [II] p.112 Le saumon, nageant pour revenir a sa zone de reproduc-

tion, bondit au-dessus de toutes sortes dobstacles. Le record de saut en
hauteur atteint par ce poisson est de 3,45m. Supposant quil saute a 45o ,
quelle est sa vitesse a la sortie de leau?

z
h max

x

d max

Le mouvement est en deux dimensions. Dans la direction z on a un mouvement

uniformement decelere, donc
vz2 = v0z
2
2ghmax .

7

On trouve v0z = 2 9, 81 3, 45 = 8, 23m/s. Le module du vecteur vitesse
vaut donc |~v | = v0z / sin = 11, 6m/s.
NB: On peut aussi resoudre lexercice a partir des equations du mouvement:

x(t) = v0x t
z(t) = v0z t 1/2gt2
On projette le vecteur vitesse initiale sur les axes x et z:
v~0 = v0x 1~x + v0z 1~z
 
~ ~
= |v~0 | cos 1x + sin 1z

ou = 45o . On a donc v0x v0z = v0 / 2.

On determine la hauteur maximale en imposant vz (tmax ) = 0:

v0z v0
vz (tmax ) = 0 = v0z gtmax tmax = =
g 2g
La hauteur maximale est de 3,45m, ce qui implique une vitesse initiale de
1 v2 p
hmax = 3, 45 = v0z tmax gt2max = 0 v0 = 4ghmax = 11, 6m/s
2 4g

65. [III] p.111 Superman court le long de la voie ferree a la vitesse de

100km/h. Il atteint larriere dun train de marchandises de longueur 500m
roulant a 50 km/h. A ce moment-la il accelere a 10m/s2 . Quelle distance
parcourt le train jusqua ce que Superman atteigne la locomotive ?

Les positions respectives de Superman (S) et de la locomotive (T) sont

xS = v0S t + 12 aS t2


xT = v0T t + LT
ou LT = 500m, v0S = 100 km/h = 27,8 m/s, aS = 10m/s2 et v0T = 13, 9 m/s. Les
distances parcourues en fonction du temps sont representees a la figure ci-dessous.

1400 Superman
Train
1200

1000
x (m)

800

600

400

200

0
0 5 10 15 20 25
t(s)

8
Lintersection des deux courbes correspond au moment ou Superman atteint lextremite
de la locomotive. Les courbes se croisent a tC et xS (tC ) = xT (tC ), c.a.d.
1
v0S tC + aS t2C = LT + v0T tC 5, 00t2C + 13, 9tC 500 = 0
2
La solution generale dune equation de deuxieme ordre est

b b2 4ac
at2 + bt + c = 0 t = 2a

Pour a = 5, 00, b = 13, 9, c = 500, la solution est tC = 8, 7s.

La distance parcourue par le train en ces tC secondes est xT = v0T tC = 121m.

QUESTION DE LEXAMEN DE JANVIER 2006

Une personne a lache un petard du haut dune tour, et la entendu exploser

5,00 s plus tard. La vitesse du son etant de 330 m/s et lacceleration de la
gravitation g = 9,81 m/s2 , de combien etait tombe le petard avant dexploser
? (negligez les frottements).

La hauteur de chute du petard avant lexplosion est donnee par h = 1/2gt21 , ou t1

est le temps de chute du petard. La meme hauteur de chute est parcourue a vitesse
constante par le son: h = vs t2 , ou t2 est le temps mis par le son pour atteindre la
personne. Le temps total ecoule est T = t1 + t2 = 5, 00 s.
On a donc:
1 2
h = gt = vs (T t1 )
2 1
1 2
gt + vs t1 vs T = 0
2 1 q
vs vs2 + 4. 21 gvs T
t1 =
g
p
330 3302 + 2.9, 81.330.5
=
9, 81
= 4, 675 s
h = 330.(5 4, 675) = 107 m.