EXERCICE 28.8 - : Induction Electromagnetique

Physique
INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE
EXERCICE D’ORAL
- EXERCICE 28.8 -
l ENONCE : « Moteur linéaire »
z
r
B
a/2
Un cadre carré, de côté a, de centre C,
r indéformable, conducteur de résistance R,
y C v x est plongé dans un champ magnétique
-a/2 de la forme :
a
r  x r
B = B0 cos  2π − ω0t  ey
 λ 
r r
Il se déplace à la vitesse constante v = vex (v f 0) , la normale au plan du cadre restant
r
parallèle à e y , et l’on néglige les phénomènes d’auto-induction .
1) Calculer le flux ϕ ( t ) ; on notera x (t ) l’abscisse du centre C du cadre, et l’on

considérera que x (0) = 0 .
2) En déduire la fem d’induction e( t ) , ainsi que le courant i (t ) induit dans le cadre ; on
λω0
posera v0 = .
2π
r
3) Calculer la force de Laplace instantanée Flap (t ) subie par le cadre, puis sa valeur
r
moyenne Flap ( t) ; montrer que la « machine » obtenue peut fonctionner en moteur ou en
t
génératrice électrique selon le signe de v0 − v .

4) En fonctionnement moteur, calculer la puissance moyenne Pméca de la machine ; pour
v
quelle valeur du rapport cette puissance est-elle maximale ?
v0
5) Montrer que pour Pméca ≠ Pméca max
, deux valeurs de v permettent d’obtenir la même
puissance ; en calculant les pertes par effet Joule dans le cadre, déterminer la valeur de v qu’il
vaut mieux choisir.
v0 v0
Rq : en notant v1 la valeur de v inférieure à et v2 la valeur supérieure à , on se
2 2
contentera d’indiquer s’il faut choisir v1 ou v2 .
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Physique
EXERCICE D’ORAL
l CORRIGE : « Moteur linéaire »
1) On oriente le cadre dans le sens horaire, pour que le flux soit orienté dans le sens
r
+ ey ; on a alors :
r r x+ a/ 2 λ   x' 
x+ a/ 2
ϕ (t ) = ∫∫cadre B ⋅ dS = ∫∫cadre B ⋅ dS = ∫x −a / 2 B( x ', t ) adx ' = aB0 × sin 2π − ω0 t  

2π   λ x− a / 2
r
(en effet, B ne dépendant pas de y, on peut prendre dS = adx ' )
B0 aλ πa   2π x 
On en déduit : ϕ (t ) = × sin   ×cos  − ω0 t 
π  λ   λ 
2) La loi de Faraday permet de calculer la fem :
dϕ (t ) B0aλ  π a   2π v   2π x 
e( t ) = − = × sin  × − ω0  × sin  − ω0 t 
dt π  λ   λ   λ 
e( t )
Avec x (t ) = vt + 0 et i (t ) = , on obtient :
R
2B a πa   2π 
i (t ) = 0 × sin   × ( v − v0 ) × sin  (v − v 0 )t 
R  λ   λ 
r r
3) ∗ sur les côtés parallèles à
ex , les forces de Laplace sont portées par ez et se
r
compensent : pour deux points de même abscisse, le champ magnétique B est le même, mais
r
les éléments de longueur dl sont de sens contraire.
∗ sur les autres côtés :
r  2π r  2π r
Flap (t ) = iaB0 cos  ( vt + a /2) − ω0t  ex − iaB0 cos  ( vt − a /2) − ω0t  ex ⇒
 λ  λ 
r πa   2π v   r 4 B02 a 2 πa  2  2π r

Flap (t ) = −2iaB0 × sin   × sin  − ω0  t  ex = × (v0 − v ) × sin 2   × sin  ( v −v 0 )t  e x
 λ   λ   R  λ  λ 
1 r 2 B 2a 2  πa  r
Grâce à sin (...) = , on en déduit :
2
Flap ( t ) = 0 × (v0 − v ) × sin 2   ex
t
2 t R  λ 
Rq : ∗ pour v p v0 , Flap ( t) t f 0 , c’est-à-dire du même signe que la vitesse v ⇒ la puissance

mécanique de la force de Laplace est positive ⇒ la machine fonctionne en moteur.
∗ pour v f v0 , Flap (t ) t p 0 , cette même puissance mécanique est négative ⇒ la machine
fournirait de la puissance électrique (générateur électrique).
r r 2B 2a 2 πa 
4) Par définition : Pméca = Flap ⋅ v = Flap × v = 0 × sin 2   × v (v0 − v )
R  λ 

Physique
EXERCICE D’ORAL
v 1
Par dérivation de la fonction v (v0 − v) , on montre que cette puissance est maximale pour =
v0 2
5) L’étude de la fonction v (v0 − v) montre qu’il existe effectivement deux valeurs de
vitesse permettant d’obtenir la même valeur de puissance : l’une inférieure à v0 / 2 (soit v1 ),
l’autre supérieure à v0 / 2 (soit v2 ).
Les pertes moyennes par effet Joule se calculent selon :
2 B02 a 2  πa  v 
PJ (t ) t = R i 2 (t ) t = × sin 2   (v0 − v ) 2 =  0 − 1 × Pméca
R  λ  v 
v0 v0
Or : v1 p v2 ⇒ p ⇒ il faut choisir v2
v2 v1
Rq : on peut constater que pour v = v1 , PJ (t ) f Pméca (t ) et que pour v = v2 , PJ (t ) p Pméca (t )
***************


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l ENONCE : « Moteur linéaire »

1) Calculer le flux ϕ ( t ) ; on notera x (t ) l’abscisse du centre C du cadre, et l’on

génératrice électrique selon le signe de v0 − v .

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ϕ (t ) = ∫∫cadre B ⋅ dS = ∫∫cadre B ⋅ dS = ∫x −a / 2 B( x ', t ) adx ' = aB0 × sin 2π − ω0 t  

r πa   2π v   r 4 B02 a 2 πa  2  2π r

Rq : ∗ pour v p v0 , Flap ( t) t f 0 , c’est-à-dire du même signe que la vitesse v ⇒ la puissance

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