Loi Du Moment Cinétique
Loi Du Moment Cinétique
Loi Du Moment Cinétique
Plan
I. Moment cinétique 2
1. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point . . . . . . . . . . 2
a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
b) Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un axe orienté . . . . . . 3
3. Moment cinétique d’un système de points par rapport à un axe orienté . . . . 5
4. Cas du solide en rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.Pendule pesant 18
1. Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Intégrale première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
V. Pendule de torsion 21
1. Couple de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Intégrale première du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
VII.
Bilan énergétique pour un système déformable 28
1. Première constatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Travail des forces intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Théorème de l’énergie cinétique pour un système déformable . . . . . . . . . . 29
4. Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
Quand on tourne le volant d’une voiture, on exerce deux forces opposées en deux points dia-
métralement opposés. D’après la loi de la quantité de mouvement on vérifie que le centre de
masse du système ne se déplace pas. Pourtant, le fait d’exercer ce "couple" de force permet de
mettre en mouvement le volant. Le mouvement va donc être décrit par une nouvelle loi, bien
adaptée à l’étude des mouvements de rotation : la loi du moment cinétique.
I. Moment cinétique
1. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point
a) Définition
Soit M un point matériel se déplaçant à la vitesse ~v dans un référentiel R. Soit A un point
quelconque. On définit ~σA (M )/R le moment cinétique du point M en A par rapport au réfé-
rentiel R
−−→ −−→
~σA (M )/R = AM ∧ p~(M )/R = AM ∧ m~v (M )/R
b) Propriété
−−→
~σB (M )/R = BM ∧ p~(M )/R
−→ −−→
= (BA + AM ) ∧ p~(M )/R
−→
= BA ∧ p~(M )R + ~σA (M )/R
−→
~σB (M )/R = ~σA (M )/R + BA ∧ p~(M )R
Dimensionnellement [k~σ k] = M.L2 .T −1 ( kg.m2 .s−1 en unité SI). On peut remarquer que ces
dimensions sont les mêmes que celles de la constante de Planck h 1 .
~ A (M )/R .
Autre écriture courante : le moment cinétique ~σA (M )/R est fréquemment noté L
Pour alléger l’écriture on ne précisera plus par la suite le référentiel d’étude R dans la notation.
3
2. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un axe orien-
té
Soit un axe ∆.
σ∆ (M ) = ~σO (M ).~u∆
Quelques remarques :
. Le signe de σ∆ dépend du sens d’orientation choisi.
. La définition est indépendante de la position du point O choisi sur l’axe.
Soit O0 ∈ ∆ tel que OO~ 0 6= ~0.
−−→
D’après la propriété établie précédemment ~σO0 (M ) = ~σO (M ) + O0 O ∧ p~(M ), d’où
−−→ ~ )).~u∆ = ~σO (M ).~u∆ = σ∆
~σO0 (M ).~u∆ = ~σO (M ).~u∆ + (O0 O ∧ p(M
| {z }
−−→
=0 car O0 Ok~
u∆
ainsi par projection σ∆ = ~σO (M ).~u∆ = ~σO (M ).~uz = mr vθ = rpθ = mr2 θ̇ avec pθ = p~.~uθ
composante orthoradiale de la quantité de mouvement.
σ∆ = r pθ = rmvθ = mr2 θ̇
4
On a tracé sur les figures ci-dessous uniquement la composante orthoradiale de la vitesse
Pour θ̇ > 0, vθ = rθ̇ > 0, le point M tourne autour de l’axe ∆ dans le sens direct σ∆ > 0.
Pour θ̇ < 0, vθ = rθ̇ < 0, le point M tourne autour de l’axe ∆ dans le sens indirect σ∆ < 0.
Le sens direct (sens positif) est lié à l’orientation de l’axe ∆ par la règle du tire-bouchon.
Le moment cinétique sera nul si vθ = 0. Dans ce cas le vecteur vitesse ~v est contenu dans le
plan défini par M et l’axe ∆.
5
3. Moment cinétique d’un système de points par rapport à un axe
orienté
On considère un système S de points matériels Mi de masse de mi avec i = 1 . . . n. Le moment
cinétique en O du système, par rapport à un référentiel R donné est la somme des moments
cinétiques de chacun des points.
n n
X X −−→
~σO = ~σO (Mi ) = OMi ∧ mi~v (Mi )
i=1 i=1
Par projection, le moment cinétique du système S par rapport à un axe ∆ orienté sera
n
X n
X
σ∆ = ~σO .~u∆ = ~σO (Mi ).~u∆ = σ∆ (Mi )
i=1 i=1
En se plaçant en coordonnées cylindriques de telle sorte que l’axe ∆ soit confondu avec Oz, on
aura :
n
X
σ∆ = mi ri2 θ̇i
i=1
∀i θ̇i = θ̇ = ω
6
Le moment cinétique par rapport à l’axe ∆ est donc proportionnel à la vitesse angulaire de
rotation du solide autour de l’axe. On exprimera σ∆ sous la forme
!
X
σ∆ = J∆ ω avec J∆ = mi ri2
i
Exemples :
m
• Système de masse m, constitué de deux points matériels de masses 2
rigidement liés par une
tige de masse négligeable :
2
m ` `2
J∆ = 2 × =m
2 2 4
`2
J∆ = m
12
Dans ce deuxième cas, la même masse m est répartie uniformément sur toute la longueur de la
tige : le moment d’inertie est plus faible que celui trouvé dans le premier cas où la toute masse
m se trouvait aux points les plus éloignés de l’axe ∆.
De manière générale plus la masse est répartie loin de l’axe, plus le moment d’iner-
tie augmente (exemple : suivant que l’on place les bras perpendiculairement au corps ou le
long du corps, on modifie son moment d’inertie par rapport à un axe vertical passant par G,
voir cas du patineur).
`2
J∆ = m
3
Si toute la masse m était concentrée à l’autre extrémité de la tige, le moment d’inertie vaudrait
J∆ = m`2 . Il est donc normal ici de trouver une valeur inférieure.
Justification :
On découpe la tige en petits éléments, de longueur dr, de masse dm = m` dr car la tige est
homogène. Chaque élément de longueur possède un moment d’inertie dm r2 . On additionne
7
ensuite tous ces moments d’inertie en posant l’intégrale :
Z ` Z `
m ` 2 m `3 `2
Z
2 m 2
J∆ = dm r = dr r = r dr = =m
0 0 ` ` 0 ` 3 3
J∆ = mR2
1
J∆ = mR2
2
2
J∆ = mR2
5
8
II. Moment d’une force
1. Moment d’une force par rapport à un point
Soit M le point d’application d’une force F~ .
Soit O un point quelconque.
On définit M~O (F~ ) le moment en O de la force F~ par
−−→
M~O (F~ ) = OM ∧ F~
Dimensionnellement kM~O (F~ )k est homogène à une force multipliée par une longueur. Cela
correspond également aux dimensions d’une énergie mais en unité SI, le moment d’une force
s’exprime généralement en N.m.
Propriété :
−−→
M~O0 (F~ ) = O0 M ∧ F~
−−→ −−→
= (O0 O + OM ) ∧ F~
−−→
= O0 O ∧ F~ + M~O (F~ )
−−→
M~O0 (F~ ) = M~O (F~ ) + O0 O ∧ F~
9
2. Moment d’une force par rapport à un axe orienté
a) Définition
Soit un axe ∆.
. Par analogie avec le calcul du moment cinétique par rapport à un axe, on peut affirmer que
seule la composante orthoradiale de la force contribue au moment par rapport à l’axe ∆.
On note F~ = Fr ~ur + Fθ ~uθ + Fz ~uz .
On avait σ∆ = mrvθ = rpθ avec pθ la composante orthoradiale de p~. On aura M∆ (F~ ) = rFθ .
ainsi par projection M~∆ = M~O (F~ ).~u∆ = M~O (F~ ).~uz = r Fθ
Il existe une méthode alternative pour calculer le moment d’une force par rapport à un axe.
Plutôt que de projeter cette force sur ~uθ pour calculer ensuite rFθ on utilise plutôt le "bras
de levier".
10
b) Bras de levier
On peut décomposer la force F~ en une composante F~k parallèle à l’axe ∆ et une composante
F~⊥ située dans le plan perpendiculaire à ∆.
11
1er cas : F~ tend à faire tourner M dans le sens positif
Bilan :
12
Remarque :
Reprenons le premier cas ( F~ tend à faire tourner M dans le sens direct, dans ce cas sa
composante orthoradiale Fθ est positive).
M∆ (F~ ) = rFθ
Illustrations :
– Forces exercées sur une porte. Moment par rapport à l’axe de rotation de la porte dans
différents cas.
– Principe du levier
13
3. Moment résultant. Couple de force
a) Moment résultant
On considère un système soumis à n forces F~i , i = 1 · · · n s’appliquant respectivement aux
points Mi . Le moment résultant en O sera :
n n
X X −−→ ~
M~0 = M~O (F~i ) = OMi ∧ Fi
i=1 i=1
b) Couple de force
On nomme couple un système de forces dont la résultante est nulle mais dont
le moment résultant en un point O quelconque est non nul.
On peut vérifier sur un exemple que le moment d’un couple est indépendant du point où on le
calcule.
Soient F~1 et F~2 , deux forces s’appliquant respectivement en deux points M1 et M2 et telles que
F~1 + F~2 = ~0.
Supposons qu’il existe un point O où le moment résultant, noté ~Γ0 , est non nul :
~Γ0 = −
−−→ −−−→
OM1 ∧ F~1 + OM2 ∧ F~2
Soit O0 un point quelconque :
14
Exemple :
– Rotation d’un volant automobile
4. Liaison pivot
Une liaison pivot est un dispositif mécanique permettant la rotation d’un objet
autour d’un axe fixe, tout en empêchant la translation suivant cet axe.
Exemple : charnière de porte de placard
sur un vélo : beaucoup de liaisons pivot au niveau des roues, du pédalier et
des pédales, du guidon...
Au niveau d’une liaison pivot, les actions mécaniques peuvent être modélisées par un couple
(couple moteur, couple résistant, cf chapitre suivant).
15
III. Loi du moment cinétique
1. Forces intérieures - forces extérieures
On considère un système S de n points Mi i = 1 · · · n.
Chaque point Mi subit des forces de résultante f~i qui
se décompose en
Seul le moment des forces extérieures peut contribuer à la rotation d’un système.
Si M~Oext = ~0 alors le moment cinétique est conservé : le moment cinétique d’un système
isolé se conserve.
Si un système est à l’équilibre, son moment cinétique est nul et donc M~ext = ~0.
O
Remarque :
On a montré que on peut déduire de la loi de la quantité de mouvement que la résultante des
forces intérieures à un système est nulle.
On peut déduire de la loi du moment cinétique que le moment résultant des forces intérieures
est nul.
Prenons l’exemple d’un système de deux points M1 et M2 qui subissent respectivement les
forces :
16
puis au système M2
d~σO (M2 ) −−−→
= OM2 ∧ (f~1→2 + f~2ext )
dt
et enfin au système {M1 , M2 }
d~
σO/R
La loi du moment cinétique en O fixe dans R galiléen donne dt
= M~Oext . On projette
R
cette loi sur l’axe ∆ :
d~σO/R
.~u∆ = M~Oext .~u∆ = M∆ext
dt R
d~u∆
~u∆ étant fixe dans R, = ~0.
dt R
d~σO/R d(~σO/R .~u∆ ) dσ∆
On peut écrire .~u∆ = =
dt R dt R dt
17
On en déduit la loi scalaire du moment cinétique par rapport à l’axe ∆ orienté
dσ∆
= M∆ext
dt
dω
J∆ = M∆ext
dt
Supposons que l’on mette le solide en rotation puis qu’on le laisse tourner librement. S’il n’y a
pas de frottement au niveau de l’axe, sa vitesse angulaire restera constante au cours du temps.
Dans le cas d’une liaison pivot idéale le moment des forces de liaison est nul :
En général, pour les machines tournantes on fait intervenir la notion de stator et de rotor.
Le rotor est la partie mobile en rotation par rapport au stator qui est fixe et en général
lié au bâti. C’est le stator qui, via l’axe de rotation exerce un couple moteur ou résistant
(freinage) sur le rotor.
Nous reverrons également ces notions en fin d’année, lors de l’étude des moteurs électriques.
18
IV. Pendule pesant
1. Description
Système : {Σ}
Référentiel : labo galiléen
Bilan des actions mécaniques : – Poids m~g qui s’exerce en G
– Réaction de l’axe R ~ qui s’exerce sur l’axe donc
M∆ (R) = 0
~
– Liaison idéale : Γ∆,liaison = 0
On peut vérifier que le point d’application du poids correspond au centre de masse du système.
Pour cela considérons un système de deux points M1 et M2 de masses respectives m1 et m2 .
Le poids de l’ensemble vaut m1~g (M1 ) + m2~g (M2 ) = (m1 + m2 )~g si l’on suppose que le champ
de pesanteur ~g est uniforme à l’échelle du système (~g (M1 ) = ~g (M2 ) = ~g ). Soit O un point
quelconque. Soit M le point d’application de la résultante (m1 + m2 )~g . On aura
−−→ −−−→ −−−→
OM ∧ (m1 + m2 )~g = OM1 ∧ m1~g + OM2 ∧ m2~g
−−−→ −−−→
= (m1 OM1 + m2 OM2 ) ∧ ~g
−→
= (m1 + m2 ) OG ∧ ~g
On en déduit que M = G. Ce résultat est généralisable à tout sytème placé dans un champ de
pesanteur uniforme.
2. Équation du mouvement
L’axe ∆ étant fixe dans le référentiel du labo supposé galiléen, on peut appliquer la loi scalaire
du moment cinétique.
dσ∆ dω
= J∆ = M∆ (m~g ) = −mgl sin θ
dt dt
On a utilisé ici le bras de levier pour calculer directement M∆ (~g ).
19
Pour les accros au calcul de produit vectoriel on peut aussi
écrire :
−→
M~O (m~g ) = OG ∧ m~g = l ~ur ∧ mg(cos θ~ur − sin θ~uθ )
= −mgl sin θ~ur ∧ ~uθ
= −mgl sin θ ~u∆
J∆ θ̈ = −mgl sin θ
mgl
θ̈ + sin θ = 0
J∆
On peut vérifier que cette équation est en accord avec l’équation du pendule rigide simple consti-
tué d’une masse m accrochée à l’extrémité de la tige rigide de longueur l et de masse négligeable.
Dans ce cas J∆ = ml2 et mgl J∆
= mgl
ml2
= gl . On retrouve alors l’équation du pendule simple
θ̈ + gl sin θ = 0.
L’équation du pendule pesant n’est pas linéaire. On peut, pour des petites oscillations θ 1 rad
linéariser le sinus : sin θ ' θ.
mgl
θ̈ + θ=0
J∆
mgl
En posant ω02 = J∆
on retrouve alors l’équation de l’oscillateur harmonique :
r
mgl
θ̈ + ω02 θ = 0 avec ω0 =
J∆
Les oscillations de faibles amplitudes sont harmoniques et donc isochrones. Si on augmente
l’amplitude, les oscillations ne sont plus harmoniques et la période des oscillations dépendra
de l’amplitude (elle augmente quant l’amplitude augmente). La résolution de l’équation non
linéaire ne peut se faire que numériquement.
20
3. Intégrale première
D’après la loi scalaire du moment cinétique
J∆ θ̈ = −mgl sin θ
On multiplie chaque membre de l’égalité par θ̇.
4. Portrait de phase
Voir chapitre sur l’énergie et le polycopié sur le portrait de phase.
21
V. Pendule de torsion
1. Couple de torsion
Lorsqu’on accroche le milieu d’une tige homogène à
l’extrémité d’un fil métallique, celle-ci se stabilise à
une position d’équilibre où la tension du fil compense
son poids (les deux forces s’exerçant en O) et où
aucun couple ne s’exerce par rapport à l’axe ∆.
Γ∆ = −K θ
Dimensionnellement K a les mêmes dimensions que Γ∆ et se mesure en N.m (Newton.mètre)
en unités SI.
2. Équation du mouvement
Système : {T ige}
Référentiel : labo galiléen
Bilan des actions mécaniques : – Poids m~g qui s’exerce en O donc M∆ (m~g ) = 0
– Tension du fil T~ qui s’exerce en O donc M∆ (T~ ) = 0
– Couple de torsion Γ∆ = −Kθ
On note J∆ le moment d’inertie de la tige par rapport à ∆. La loi scalaire du moment cinétique
donne :
dσ∆ dω
= J∆ = Γ∆ = −Kθ
dt dt
J∆ θ̈ = −Kθ
K
θ̈ + θ=0
J∆
K
On pose ω02 = J∆
. On reconnaît l’équation de l’oscillateur harmonique :
r
K
θ̈ + ω02 θ = 0 avec ω0 =
J∆
qui admet des solutions de la forme
θ = θ0 cos(ω0 t + ϕ)
22
3. Intégrale première du mouvement
On procède comme précédemment : on exprime la loi scalaire du moment cinétique que l’on
multiplie ensuite par θ̇.
J∆ θ̈ = −Kθ
J∆ θ̈θ̇ = −Kθθ̇
ce qui permet de faire apparaître les dérivées temporelles :
d 1 2 d 1 2
J∆ θ̇ = − Kθ
dt 2 dt 2
d 1 2 1 2
J∆ θ̇ + Kθ = 0
dt 2 2
1 1
J∆ θ̇2 + Kθ2 = Cte
2 2
Cette constante est homogène à une énergie. Le premier terme est le même que celui obtenu
pour le pendule pesant et correspond à l’énergie cinétique de la barre. Le second est un terme
d’énergie potentielle dont nous établirons l’expression dans le chapitre suivant.
Le premier terme représente, comme on le vérifiera par la suite, l’énergie cinétique du solide
en rotation autour d’un axe fixe.
23
VI. Approche énergétique du solide en rotation
1. Énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
On considère un solide Σ en rotation autour d’un axe
∆ fixe dans un référentiel R.
On peut assimiler le solide à un système indéformable
de points.
Tous les points constituant le solide décrivent un
mouvement circulaire d’axe ∆ avec la même vitesse
angulaire θ̇ = ω.
L’énergie cinétique du point Mi auquel on attribue la
masse Mi vaudra
1 1
ECi = mi vi2 = mi ri2 ω 2
2 2
L’énergie cinétique totale vaudra donc
!
X 1 X
Ec = ECi = mi ri2 ω 2
2
X i i
On reconnaît l’expression du moment d’inertie J∆ = mi ri2 qui permet d’aboutir à l’expres-
i
sion
1
Ec = J∆ ω 2
2
P = F~ .~v = F~ . rω ~uθ = Fθ rω
avec Fθ = F~ .~uθ la composante orthoradiale de la vi-
tesse. On reconnaît M∆ (F~ ) = rFθ , le moment de la
force F~ par rapport à l’axe ∆. Ainsi
P = M∆ (F~ )ω
24
Cette expression est également applicable à la puissance d’un couple de moment Γ∆ par rapport
à l’axe ∆ :
P = Γ∆ ω
La puissance associée à une action mécanique dont le moment par rapport à l’axe ∆ orienté
est M∆ vaut, pour une vitesse angulaire de rotation ω,
P = M∆ ω
δW = M∆ dθ
Le travail total effectué entre un état initial où θ = θA et un état final où θ = θB s’exprimera
sous la forme
Z B Z θB
WA→B = δW = M∆ dθ
A θA
dEc
= M∆ext ω = P ext
dt
La dérivée de l’énergie cinétique Ec par rapport au temps (puissance cinétique) est égale à la
puissance des actions mécaniques extérieures.
On a les formes équivalentes
Z θB
∆Ec = M∆ext dθ
θA
25
4. Action mécaniques conservatives - Énergie potentielle
Une action mécanique de moment M∆ par rapport à un axe ∆ orienté sera conservative si son
travail élémentaire peut s’écrire sous la forme
δW = M∆ dθ = −dEp
avec Ep énergie potentielle associée à l’action mécanique considérée. Ep est une fonction de θ.
Dans ce cas
Z B Z θB Z θB
WA→B = δW = M∆ dθ = −dEp = Ep (θA ) − Ep (θB )
A θA θA
δW = Γ∆ dθ = −Kθ dθ = −dEp
dEp = Kθ dθ
1
Ep = Kθ2 + Cte
2
Si on choisit Ep = 0 pour θ = 0 alors Cte=0 et
1
Ep = Kθ2
2
Ep = −mgl cos θ
26
Remarque : On a établi dans le cours que Ep = mgz,
avec l’axe Oz orienté vers le haut et Ep = 0 pour z = 0.
Ici z correspondra à la coordonnée verticale du centre
de masse G du système.
zG = −l cos θ
5. Énergie mécanique
On considère toujours un solide en rotation autour d’un axe fixe dans un référentiel R galiléen.
Le théorème de l’énergie cinétique donne
ext ext
dEc = δWcons + δWn.c.
ext
δWcons travail élémentaire des actions mécaniques extérieures conserva-
ext
tives δWcons = −dEpext
ext
δWn.c. travail élémentaire des actions extérieures non conservatives (ex : couple de frotte-
ment ou couple moteur).
Ainsi
dEc = −dEpext + δWn.c.
ext
ext
dEm = δWn.c.
dEm
= Pn.c.
ext
dt
avec Pn.c.
ext
la puissance des forces non conservatives.
Exemple :
On peut retrouver l’équation du mouvement du pendule de torsion à partir de la conservation
de l’énergie mécanique.
Au cours du mouvement, la seule action mécanique qui travaille est le couple de rappel qui
dérive de l’énergie potentielle 12 Kθ2 . Le mouvement est conservatif.
27
1 1
Em = Ec + Ep = J∆ θ̇2 + Kθ2 = Cte
2 2
dEm 1 1
= J∆ 2 θ̇θ̈ + K 2 θθ̇ = θ̇(J∆ θ̈ + Kθ) = 0
dt 2 2
La solution θ̇ = 0 étant sans intérêt, on conserve
J∆ θ̈ + Kθ = 0
On retrouve bien ainsi l’équation du mouvement.
28
VII. Bilan énergétique pour un système déformable
1. Première constatation
Considérons deux patineurs initialement immobiles sur la glace. S’ils se repoussent mutuelle-
ment ils vont alors s’éloigner dans deux directions opposées. Le système constitué des deux
patineurs n’aura acquis aucune quantité de mouvement (le c.d.m. G du système reste fixe) et
aucun moment cinétique. Pourtant le système a acquis de l’énergie cinétique : cette énergie
cinétique provient du travail des forces intérieures au systèmes qui est intervenu lorsque les
deux patineurs se sont repoussés mutuellement.
On note δW int le travail élémentaire des forces intérieures pour des déplacements élémentaires
−−→ −−→
dOMi de Mi et dOMj de Mj .
−−→ −−→
δW int = f~i→j .dOMj + f~j→i .dOMi
−−→ −−→
= f~i→j .dOMj − f~i→j .dOMi
−−→ −−→
= f~i→j .(dOMj − dOMi )
−−−→
= f~i→j .dMi Mj
−−−→ −−−→
Or Mi Mj = rij ~ui→j , d’où dMi Mj = drij ~ui→j + rij d~ui→j .
~ui→j étant un vecteur unitaire k~ui→j k = 1, ~u2i→j = 1, d(~u2i→j ) = 0. On en déduit
2~ui→j .d~ui→j = 0
29
3. Théorème de l’énergie cinétique pour un système déformable
On se place dans un référentiel R galiléen. La dérivée par rapport au temps de l’énergie
cinétique d’un système mécanique est égale à la somme des puissances des forces intérieures et
extérieures.
dEc
= P int + P ext
dt
Autres formulations :
où δW int représente le travail élémentaire des forces intérieures et δW ext le travail élémentaire
des forces extérieures,
ainsi que
où W int représente le travail des forces intérieures et W ext les travail des forces extérieures.
Remarque :
On peut écrire δW int = −dEpint + δWn.c.int
où −dEpint représente le travail élémentaire des forces
int
intérieures conservatives (dérivant de l’énergie potentielle Epint ) et où Wn.c. représente le travail
des forces intérieures non conservatives.
De même δW ext = −dEpext + δWn.c. ext
où −dEpext représente le travail élémentaire des forces
extérieures conservatives (dérivant de l’énergie potentielle Epext ) et où δWn.c.
ext
représente le travail
des forces intérieures non conservatives. Ainsi
int ext
dEm = δWn.c. + δWn.c.
30
Système : {tabouret tournant+homme+haltères}
J2 < J1
Loi scalaire du moment cinétique :
dσ∆
= M∆ext
dt
Le moment du poids par rapport à l’axe ∆ est nul (le poids est parallèle à l’axe). Le moment
de la réaction du support de l’axe est nulle (puisqu’elle s’exerce sur l’axe) et enfin on a supposé
la liaison pivot idéale (Γ∆,liaison = 0). On a donc M∆ext = 0.
dσ∆
=0
dt
→ le moment cinétique par rapport à l’axe se conserve.
σ∆ = J2 ω2 = J1 ω1
J1
ω2 = ω1
J2
J1 > J2 donc ω2 > ω1 la vitesse angulaire de rotation augmente.
On peut alors calculer la variation d’énergie cinétique
1 1
∆Ec = J2 ω22 − J1 ω12 = W ext
| {z } +W
int
2 2
=0
W ext = 0 car la liaison pivot au niveau de l’axe de rotation du tabouret est supposée idéale et
que les autres forces extérieures (poids, réaction) ne travaillent pas au cours du mouvement.
2
1 2 1 J1 J1 1 2 J1
Ec2 = J2 ω2 = J2 ω1 = J1 ω1 = Ec1
2 2 J2 J2 2 J2
J2 < J1 d’où Ec2 > Ec1 .
Seule la prise en compte du travail des forces intérieures permet d’expliquer la variation de
l’énergie cinétique du système.
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