Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Scribd Logo
Importer

Bienvenue sur Scribd !

  • 105 vues

    Serie2 SMIA-20

    Transféré par

    Youssef Zghari

    Droits d'auteur :

    © All Rights Reserved
    Téléchargez comme PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd

    Serie2 SMIA-20

    Transféré par

    Youssef Zghari
    105 vues2 pages

    Titre original

    serie2 SMIA-20

    Copyright

    © © All Rights Reserved

    Formats disponibles

    PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd

    Avez-vous trouvé ce document utile ?

    Ce contenu est-il inapproprié ?

    Droits d'auteur :

    © All Rights Reserved
    Téléchargez comme PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd
    Télécharger au format pdf ou txt
    105 vues2 pages

    Serie2 SMIA-20

    Transféré par

    Youssef Zghari

    Droits d'auteur :

    © All Rights Reserved
    Téléchargez comme PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd
    Télécharger au format pdf ou txt
    sur 2

    Université Moulay Ismail Année universitaire 20-21

    Faculté des Sciences Filières : SMIA


    Département de Mathématiques Analyse (S1 )

    Série n◦ 2
    Exercice 1 :
    On considère la suite de nombres réels (un ) dénie par un = 3n−1
    2n+3
    pour tout entier n.
    1. Démontrer que cette suite est croissante et majorée.
    lim un = 32 .
    2. Démontrer, en utilisant la dénition de la limite d'une suite, que n→+∞

    Exercice 2 :
    Soit (un ) une suite dénie par la relation de récurrence un+1 = 12 un+1 + 1 et la donnée de
    u0 .

    1. (a) Montrer que si u0 ≤ 2 alors pour tout n ≥ 0, un ≤ 2 et que la suite (un )n∈N est
    monotone.
    (b) En déduire que la suite (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite.
    2. (a) Montrer que si u0 ≥ 2 alors pour tout n ≥ 0, un ≥ 2 et que la suite est monotone.
    (b) En déduire que la suite (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite.
    3. (a) On pose vn = un − 2. Montrer que la suite (vn )n∈N est une suite géométrique de
    raison 21 .
    (b) En déduire une expression de un en fonction de n et u0 . Retrouver le résultat
    des deux premières questions.
    Exercice 3 :
    Soient x, y ∈ R tels que x < y.
    1. Vérier qu'il existe un entier naturel n tel que 1 < n(y − x).
    2. Soit m = E(nx) + 1. Montrer que
    m
    x< <y
    n

    3. En utilisant 2), montrer qu'il existe α ∈ R\Q tel que :


    x<α<y

    4. Soit x ∈ R. Montrer qu'il existe une suite (xn )n d'éléments de Q (resp. R\Q) telle
    que (xn ) converge vers x.

    Exercice 4 :
    Soient (un )n et (vn )n deux suites convergentes. On note `, `0 les limites respectives de
    (un )n et (vn )n . On suppose que ` < ` . Montrer qu'il existe N tel que ∀ n ≥ N , un < vn .
    0

    Réciproque?
    Exercice 5 :
    Soit (un ) une suite de nombres réels.
    1. On suppose que (u2n ) et (u2n+1 ) convergent vers la même limite `. Montrer que (un )
    converge vers `.
    2. Donner un exemple de suite telle que (u2n ) et (u2n+1 ) convergent mais (un ) diverge.
    3. On suppose que les suites (u2n ), (u2n+1 ) et (u3n ) convergent. Montrer que la suite
    (un ) converge.

    4. Montrer que la suite (un ) dénie par


    1
    un = cos((n + )π)
    n
    est divergente.
    n
    (−1)k
    5. Soit (un ) la suite dénie par : un =
    X
    .
    k=0
    k+1
    Montrer que les suites (u2n ) et (u2n+1 ) sont adjacentes. En déduire que (un ) converge.
    6. Soient a, b > 0 et (un )n , (vn )n les suites dénies par :
    u0 = a, v0 = b et pour tout entier naturel n,
    √ un + vn
    un+1 = un vn , vn+1 =
    2
    Montrer que (un ) et (vn ) sont convergentes vers une même limite appelée moyenne
    arithmético-géométrique de a et b.
    Exercice 6 :
    Soit (un ) une suite réelle. On suppose que (un ) n'est pas majorée. Montrer que (un )
    admet une suite extraite (uϕ(n) ) qui diverge vers +∞.
    Exercice 7 :
    Étudier la nature des suites (un ) suivantes et donner leur limite éventuelle.
    1. un = 3n e−3n
    2. un = ln(2n2 − n) − ln(3n + 1)
    √ √
    3. un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1
    ln(n!)
    4. un =
    n2
    1 3
    5. un = (2 sin + cos n)n
    n 4
    Exercice 8 :
    Soit θ ∈ R tel que θ 6= nπ pour tout n ∈ Z. On considère les suites (un ) et (vn ) dénies
    par :
    un = cos nθ , vn = sin nθ
    1. Montrer que (un ) converge si et seulement si (vn ) converge (penser à une relation
    entre les limites éventuelles).
    2. En déduire que (un ) et (vn ) divergent (on pourra supposer le contraire, utilser
    les relations démontrées dans 1) et remarquer que si ` = lim un , `0 = lim vn alors
    `2 + `02 = 1).

    Vous aimerez peut-être aussi