Maths X PC 1998 M2 (Enoncé 1)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE 1998 107
2ème composition 1 / 4
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 1998 OPTION PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 3 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
***
On a,ttachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction.
***
Le but de ce problème est d'étudier le mouvement d'une boule de billard dans un
billard circulaire sans frottement.
On considère dans un plan horizontal un billard circulaire, de rayon 1. On l'identifie

au disque unité du plan complexe,
D={zECllzl�l}.
Le bord du billard s'identifie .donc au cercle unité de centre 0,
r={zECllzl=l}.
Une boule de billard. supposée ponctuelle, est lancée à lïnstant t = O. d'un point A10 du
- ....
bord du billard d'affixe z0 , avec un vecteur vitesse initial V0 , de module 1, l'angle orienté
de A/0 0 vers ¼J ayant pour mesure un nombre réel a tel que a E - ,
] 27r 27r[. On désigne
par z(t) l'affixe de la position Jf (t) de la boule de billard à l'instant t � O. On suppose
que le mouvement de la boule de billard se poursuit à l'infini sans frottement : entre deux
chocs successifs sur le bord, le mouvement est supposé rectiligne uniforme.
N* désigne l'ensemble des nombres entiers supérieurs ou égaux à 1.
Première partie
Billard circulaire à réflexion élastique
On suppose dans cette partie que les chocs de la boule sur le bord du billard sont des
réflexions élastiques, c'est-à-dire que
108 ÉCOLE POLYTECHNIQUE 1998
- la composante tangentielle du vecteur vitesse après le choc est égale à celle du vec
teur vitesse avant le choc,
- la composante radiale du vecteur vitesse après le choc est opposée à celle du vecteur
vitesse avant le choc.
1.a) Montrer que la boule de billard rebondit sur le bord r du billard en les points
Mn ,n EN*, d'affixes Zn= zoe in/3, où {3 est un nombre réel tel que O < /3 < 2?r, que l'on
déterminera en fonction de o.
b) Calculer le temps mis par la boule pour parcourir la corde Mj - l Mj , j E N*, et le

temps mis pour atteindre le point Mn , n EN*.
c) Trouver l'affixe z(t) de la position .M(t) de la boule à l'instant t. [On notera [y]
la partie entière d'un nombre réel y.]
2.a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur o pour que le mouvement de la
boule soit périodique. Trouver alors la période du mouvement.
b) Montrer que, si le mouvement de la boule est périodique, sa trajectoire est une

partie fermée du plan.
Deuxième partie
Billard circulaire à réflexion inélastique
Soit f un nombre réel tel que O < f < 1.
On suppose dans cette partie que les chocs de la boule de billard sur le bord du billard
sont des réflexions inélastiques avec coefficient f, c'est-à-dire que
- la composante tangentielle du vecteur vitesse après le choc est égale à celle du vec
teur vitesse avant le choc,
- la composante radiale V/ du vecteur vitesse après le choc et la composante radiale

vr- du vecteur vitesse avant le choc sont liées par la relation
½,+ = -1�-
On pose o0 = o et l'on suppose dans cette partie que O < o 0 <
2.
7T
On se propose
d'étudier le mouvement de la boule lorsque t tend vers +oo.
Pour n EN*, on désigne par Mn le n-ième point de choc, par Zn son affixe et par O n
- -
la mesure de l'angle orienté de Mn O vers Mn Mn+l telle que O <On < . On désigne par
7r
2
Tn le temps de parcours de Mo à Mn ,
3.a) Etudier la série de terme général 2an - 1r.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE 1998 109
b) Montrer que la suite (z n ) nE N a une limite Z quand n tend vers +oo.
c) Montrer que le point Jvf d'affixe Z est atteint par la boule de billard en un temps
fini, que l'on notera T.
4.a) Montrer qu'il existe une unique fonction à valeurs vectorielles W définie sur [O, T]
vérifiant les conditions suivantes
• W(O) = Vo,
• 'ï/n E N*, W (Tn ) est la vitesse de la boule après le choc en Mn ,
• 'ï/n EN*, Vt E ]Tn , Tn+ 1[, W(t) est la vitesse de la boule au temps t,
• W est continue au temps T.
b) On admet que la vitesse de la boule au temps Test W(T). Quel est le mouvement
de la boule pour t 2: T ?
c) Calculer, pour t 2: T, z(t) en fonction de z(T), a et t - T.
5. Soit g une fonction réelle continue d'une variable réelle, périodique de période 2rr.
On désigne par 0(t) un argument continu de z(t) pour t 2: O.
a) Montrer que
lim
t->+oo
(!t lor t g(0(r))dr - _l
t - T lr
t
_ r g(0(r))dr) = 0
b) En déduire que
I lot 1 lo21r
lim - g(0(r))dr = - g(0)d0
t-++oo t O 27r 0
Troisième partie
Réflexion élastique, points adhérents aux trajectoires non périodiques
Dans cette partie, indépendante de la précédente. on considère à nouveau le cas de la

réflexion élastique et l'on se propose d'étudier les trajectoires non périodiques. On étudie
d'abord les sous-groupes additifs de R
On rappelle que x E IR est un point adhérent à une partie X de IR si et seulement s'il

existe une suite d'éléments de X qui tend vers x.
6. Soit G un sous-groupe du groupe additif R non réduit à {0}. On considère

c + = { x E G I x > o}
a) Montrer que c + a une borne inférieure. On la désigne par a.
110 ÉCOLE POLYTECHNIQUE 1998
2ème composition 4/ 4
b) Montrer que si a > 0, alors G est le sous-groupe
G a= {najnEZ} .
c) Montrer que si a = 0, alors tout point de IR est un point adhérent à G. (On

montrera d'abord que O est un point adhérent à c + .]
7. Soit ;3 E R On suppose que (!_ n'est pas rationnel.

7r
On considère l'ensemble
H/1 = { k/3 + 2e1r I k E z' e E Z}

a) Montrer que tout nombre réel est un point adhérent à H.B·
On pose
H1t = {x E HJ I x > 0}
s3 = { k/3 + 2e1r I k EN, eE z, k/3 + 2e1r > o}
s:3 = {-k/3 + Urr I k EN, e E Z, -k/3 + 2e1r > ·Ü}
b) l\fontrer que O est un point adhérent à S,3 ou à s:3 •

c) On suppose que (-k 11 p + 2e 11 1r) nE N est une suite des; qui converge vers O. Mon
trer que la suite (k 11 ) nEN d'éléments de N n'est pas bornée. En déduire qu'il existe une
suite de S. 3 qui converge vers O.
d) Montrer que tout nombre réel positif est un point adhérent à S13.
8. On reprend les notations de la première partie et l'on suppose que le mouvement

de la boule de billard n'est pas périodique.
a) Montrer que, pour tout z E r. il existe une suite d'entiers positifs ou nuls (kn )nEf.i
telle que lim Zk,, = z.
11--x
b) l\fontrer que, pour tout point :: de la couronne Cn = { z E C 11 sin a 1 :5 1 z 1 :5 1},

il existe une suite de nombres réels positifs ou nuls (t 11 ) ne N telle que lim z(t 11 ) = ::.
n---+'"JO
c) Déterminer quels sont les points du billard qui sont adhérents à la trajectoire de
Afo.

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L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On considère dans un plan horizontal un billard circulaire, de rayon 1. On l'identifie

N* désigne l'ensemble des nombres entiers supérieurs ou égaux à 1.

b) Calculer le temps mis par la boule pour parcourir la corde Mj - l Mj , j E N*, et le

b) Montrer que, si le mouvement de la boule est périodique, sa trajectoire est une

Soit f un nombre réel tel que O < f < 1.

- la composante radiale V/ du vecteur vitesse après le choc et la composante radiale

3.a) Etudier la série de terme général 2an - 1r.

b) Montrer que la suite (z n ) nE N a une limite Z quand n tend vers +oo.

• W est continue au temps T.

c) Calculer, pour t 2: T, z(t) en fonction de z(T), a et t - T.

Dans cette partie, indépendante de la précédente. on considère à nouveau le cas de la

On rappelle que x E IR est un point adhérent à une partie X de IR si et seulement s'il

6. Soit G un sous-groupe du groupe additif R non réduit à {0}. On considère

b) Montrer que si a > 0, alors G est le sous-groupe

c) Montrer que si a = 0, alors tout point de IR est un point adhérent à G. (On

7. Soit ;3 E R On suppose que (!_ n'est pas rationnel.

H/1 = { k/3 + 2e1r I k E z' e E Z}

b) l\fontrer que O est un point adhérent à S,3 ou à s:3 •

8. On reprend les notations de la première partie et l'on suppose que le mouvement

b) l\fontrer que, pour tout point :: de la couronne Cn = { z E C 11 sin a 1 :5 1 z 1 :5 1},

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