Etude Des Propriétés Structurales Et Électroniques Du Composé KAlSe2 - Castep
Etude Des Propriétés Structurales Et Électroniques Du Composé KAlSe2 - Castep
Etude Des Propriétés Structurales Et Électroniques Du Composé KAlSe2 - Castep
DIPLOME DE MASTER
Présenté par :
sarra sadeddine
THEME
ABDE ELOUHABE
Sarra.
2
كثافة,ويات الطاقة
Résumé
Figure ІІ.3: Représentation du remplacement d’une fonction d’onde exacte ψ(r) tous
électrons et du potentiel associé V(r) par une pseudo-fonction d’onde ϕ(r) et un
pseudopotentiel Vpseudo(r). ...................................................................................... 32
Figure .III.1. Représentation des plus petites zones irréductibles.(a) Pour un réseau
triangulaire. (b) Pour un réseau carré. ..................................................................... 39
Figure ІІІ.8. Structure de bandes électroniques calculée le long des lignes à grande
symétrie dans la première zone de Brillouin pour KAlSe2. Le niveau de Fermi, ligne
horizontal pointillée rouge, est réglé à l’énergie zéro ............................................. 47
Figure .ІІІ.9. Densités d'états électroniques totales (TDOS) et partielles (PDOS) pour
KAlSe2 .................................................................................................................... 48
Liste des Tableaux
Tableau ІІІ.2 Valeurs des cordonnées atomiques (x, y, z) calculées [cal.] et mesurées
[Exp.] pour KAlSe2............................................................................................... 44
Tableaux ІІІ.3 .les résultats de calcul des bandes interdites Eg pour le composé
KAlSe2 par rapport aux données expérimentales de certains composés
isostructurales. (D) bande interdite direct............................................................ 48
INTREDUCTION GENERALE
Introduction
Les méthodes de simulation ont joué un rôle très nécessaire pour la détermination des
différents propriétés; elles ont, en effet, donné une nouvelle dimension à la réalisation
scientifique de nombreux phénomènes physiques et chimiques. Aujourd’hui il ya plusieurs
méthodes qui représente un outil de base pour le calcul des différentes propriétés des systèmes
les plus complexes parmi ces méthodes la méthode de calcul ab-initio, parfois ces méthode
ont pu remplacer les expériences qui sont très difficile à réaliser et très couteuses. Ceci a
permis de mieux comprendre l’organisation de la matière à l’échelle atomique, mais aussi la
création d’un grand nombre de matériaux utilisés actuellement dans l’industrie, et une grande
rapidité de calcul des propriétés de nombreux matériaux.
Ces nouvelles méthodes de calculs, qui utilisent l’outil informatique, reposent sur la
théorie de la fonctionnelle de la densité. Cette dernière a bien réussi dans la prédiction des
propriétés structurales, magnétiques, électroniques, élastiques, thermodynamiques et optiques
des matériaux. Parmi ces matériaux, on cite les composés chalcogénures dont la structure
chimique est AMQ 2 (A=métal alcalin=Al, Ga ,Q=élément chalcogénure) qui sont considéré
comme des semi conducteurs .
1
Introduction
théorèmes de Kohn − Hohenberge et Kohn −Sham qui ont substitué la fonction d’onde de N
variables par la densité électronique de trois variables.
2
CHAPITRE І
GENERALITE
Chapitre I Généralité
Introduction :
La physique des solides décrit les propriétés d’un solide en considérant la nature de ses
atomes et leur configuration dans l’espace. Cette partie de la physique est étudié la plus part
les cristaux, en raison de la régularité de leur structure. En effet, les atomes d'un cristal
forment un réseau uniforme, ils sont arrangé régulièrement dans l ̍espace, la théorie quantique
est appliqué aux cristaux grâce à ҫa périodicité géométrique et uniformité de structure, la
cristallographie des cristaux repose principalement sur la théorie des bandes qui permet de
décrire les propriétés physiques des systèmes solide uniforme.tel que la conductivité
thermique et électrique ou leurs propriétés optique.
Au zéro absolu (0°K) les bandes de valence (les niveaux les plus pas énergie) sont
rempli, et les bandes de conduction (les niveaux de plus hautes énergies) sont vides. A des
températures supérieures, les électrons acquièrent de l'énergie certains se déplacent alors vers
des niveaux d'énergie plus élevés. Le niveau de Fermi constitue la « ligne de séparation » au-
dessus de laquelle la bande de conduction tende a être vide et en dessous de laquelle la bande
valence tende à être rempli. Donc le niveau de Fermi permet de déterminer les propriétés de
conduction d'un matériau.
Le niveau de Fermi peut se trouver dans trois cas, le premier Si le niveau de Fermi est
situé au milieu d'une bande autorisée, le solide est conducteur d'électricité, exemple : cuivre,
argent. Si le niveau de Fermi est situé au-delà d'une bande autorisée et qu'il existe un
intervalle relativement grand entre celui-ci et la bande autorisée suivante, alors le solide est
isolant, exemple : diamant ou le quartz, en fin si le niveau de Fermi est proche de la limite
supérieure d'une bande en plus intervalle de gap énergétique situé au dessus du niveau est
étroit, le solide est un semi conducteur, exemple : silicium [1].
4
Chapitre I Généralité
І.1.1-les isolants :
Dans un isolant tout les électrons se trouve dans la bande de valence et la bande de
conduction est vide en plus il existe un large gap énergétique. Pour espérer rendre un tel
matériau conducteur il faudrait fournir de l’énergie aux électrons de valence pour passer au
bande de conduction cette énergie fourni dépend de la zone interdite, qui est très large donc
l’énergie fourni doivent être supérieur.
Exemple : lorsque cette énergie est donné par un échauffement de la matière et le gap de
l’ordre de plusieurs électronvolts (eV) à dizaines d’eV ce qui signifie qu’il faudrait chauffer le
matériau de plusieurs centaines, voire plusieurs milliers de degrés pour que cela soit possible.
Un isolant fondrait donc avant qu’on ne puisse faire passer du courant à travers. [1]
5
Chapitre I Généralité
І.1.2.-les conducteurs:
І.1.3-Les semi-conducteur :
Les semi-conducteurs sont des matériaux trouvé entre les isolants et les métaux, la
hauteur de la bande interdite est faible (≈ 1𝑒𝑉).La conduction du semi conducteur est faible,
varie beaucoup avec la température, un semi-conducteur peut être soit pur donc il est dit
« intrinsèque » soit dopé par des impuretés (qui permet de contrôler sa résistivité), alors il est
dit « extrinsèque ».
Certains isolants peuvent être rendus conducteurs, en les dopant : on parle de semi-
conducteurs dopés ou extrinsèques, puisque la conductivité de ces matériaux vinrent par un
dopage P ou N.
Il existe deux types de semi-conducteurs : ceux à gap direct, et ceux à gap indirect. Les
caractéristiques de chacun d’entre eux déterminent la nature des transitions électroniques. [1]
6
Chapitre I Généralité
*Gap direct :
Un gap direct signifie que le minimum de la bande de conduction est situé juste au-
dessus du maximum de la bande de valence, si le système absorbe ou émisse un photon
l’énergie des électrons monte ou descente verticalement, après l’absorption (ou émission) de
photon, l’électron attient donc directement sa position d’énergie la plus affirmatif. Il n’a
aucune relaxation à effectuer. Les semi conducteur qui ont un gap direct permettent assurer
d’excellentes propriétés optiques, et l’on peut se servir de tels matériaux comme détecteurs de
lumière, ou bien comme émetteurs de lumière.
*Gap indirect :
Les semi-conducteurs à gap indirect sont des matériaux le plus utilisé parmi les
conducteurs grâce à leurs propriétés conductrices à haute température. Un gap indirect signifie
que le maximum de bande de valence et le minimum de bande de conduction sont situé dans
différent point K,un gap indirect entraîne des phénomènes complexes: en cas d’absorption
d’un photon, l’électron va d’abord monter verticalement dans la bande de conduction, puis
7
Chapitre I Généralité
descendre en énergie en émettant des phonons [3], ce dernier chauffe le matériau et perturber
les propriétés électroniques et entraîner des interactions électron/phonon [1].
En générale, les semi conducteurs se cristallisent dans les structures suivantes : structure
diamant, structure zinc blende (cubique), structure wurtzite (hexagonale), structure NaCl [2].
І.2.1-Structure diamant :
Une structure diamant, les atomes sont très serrés, et chaque atome est relié de
manière tétraédrique à quatre autres atomes de carbone, donnant ainsi une structure
tridimensionnelle solide et rigide au diamant. Dans la structure diamant il y a 4 atomes placés
aux nœuds du réseau CFC et 4 autres atomes placés en (¼, ¼, ¼), (¾, ¼, ¾), (¼, ¾,¾) et
(¾,¾,¼).
- Chaque atome de carbone est entouré de 4 autres atomes C (les plus proches voisins), la
coordinence des atomes de carbone entre eux est donc 4.
8
Chapitre I Généralité
- Le réseau CFC a 4 nœuds par maille alors pour un nœud est associé un motif de 2 atomes
[2].
La structure de zinc blinde est différente au diamant par le remplacement des quatre
atomes situé à l’intérieur du diamant par quatre atomes d’un autre élément. Dans le cas de
ZnS (semi-conducteurs de la classe II-VI), les quatre atomes de soufre S en occupent les sites
de coordonnées (¼, ¼, ¼), (¾, ¼, ¾), (¼, ¾,¾) et (¾,¾,¼). Les atomes du zinc occupent les
nœuds du réseau CFC.[2]
9
Chapitre I Généralité
Le ZnS qui cristallise aussidans la structure hexagonale.Dans cette structure les atomes
de Zn occupent les position Zn (0,0,0) et S (1/3,2/3,1/2).
10
Chapitre I Généralité
І.2.4-Structure NaCl :
La structure cristalline de NaCl est cubique, la constant de réseau a=5.64 A , dans cette
structure les atomes de Na occupent les nœuds du réseau CFC et les atomes du Cl occupent le
centre de la maille et les milieux des arêtes. Le motif est constitué de l’ion Na (0,0,0) et de
l’ion Cl (1/2,0,0)
Les liaisons covalentes sont directionnelles. La géométrie des liaisons est déterminée
par la dépendance angulaire des orbitales atomiques, qu’elles soient pures ou hybridées [3].
11
Chapitre I Généralité
Considérons deux atomes identiques de gaz rare, ou bien deux molécules apolaires
identiques dans lesquelles tous les électrons sont en couche fermée ou impliqués dans une
liaison covalente. Sans qu’aucun électron de valence ne soit disponible, ces entités peuvent
pourtant former une liaison via l’interaction de leurs moments dipolaires instantanés et
induits. Les moments dipolaires instantanés peuvent de se créer par suite des fluctuations
quantiques de la densité électronique autour des noyaux. Pendant leur brève existence, ceux-ci
induisent d’autres moments dipolaires avec lesquels ils interagissent. Le potentiel
d’interaction s’écrit :
−𝟐ū𝜶
U VNW = 6
……………………………….(I.1)
𝑹
Le caractère aléatoire des moments dipolaires instantanés fait de la liaison Van der
Waals/London une liaison non directionnelle. Il s’agit d’une liaison très faible : le gain en
énergie des électrons est de l’ordre de 1 meV par paire liée [3].
I.3.1.1. Exemples de structures basées sur des liaisons de type Van der
Waals/London :
Les liaisons de type Van der Waals/ London, très faibles, ne se manifestent qu’à basses
températures ou lorsqu’elles se trouvent très nombreuses, entre macromolécules par exemple.
Les liaisons Van der Waals se rencontrent également dans les structures cristallines
dites en feuillets ou lamellaires dont la structure est constituée d’une succession de feuillets de
structure hexagonale décalés les uns par rapport aux autres. Les liaisons sont covalentes dans
un même feuillet.
Et de type Van der Waals entre feuillets. Là encore, c’est le nombre important
d’atomes dans les feuillets qui permet aux forces de Van der Waals de donner une certaine
cohésion au solide [3].
12
Chapitre I Généralité
І.4.1.Réseau direct :
𝑅⃗ =n 1 𝒂
⃗ 1 +n 2 𝒂
⃗ 2 +n 3 a⃗ 3 ………………………….(I.2)
n1, n2, n3 sont des entières et⃗⃗⃗𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 sont appelés vecteurs de translation fondamentaux (ou
primitifs) [4]
La cellule de Wigner Seitz est une cellule primitive, elle possède de plus la symétrie du
réseau de Bravais
13
Chapitre I Généralité
On l’obtient en traçant des lignes qui connectent le point du réseau considéré a tous les autres
et en traçant les plans bissecteurs de chaque ligne.
Le plus petit polyèdre contenant le point considéré et limité par les plans bissecteurs est la
cellule de Wigner-Seitz [5].
І.4.3.Réseau réciproque :
A un réseau de Bravais donne (ou réseau direct), on associe le réseau réciproque, forme de
l’ensemble des vecteurs G :
(iG · R) = 1 …………………….(І.3)
Considérons pour le montrer une grandeur ρ(r) invariante par translation d’un vecteur R du
réseau de Bravais, soit :
ρ(r+R ) = ρ(r)……………………..(І.4)
La condition (I.4) implique que les vecteurs G de (I.5) satisfont la condition (I.1). Montrons
que l’on peut décomposer G en la somme de 3 vecteurs tels que
14
Chapitre I Généralité
Ou h, k, ℓ sont des entiers. On vérifie, en remplaçant (A.6) dans (A.3), que pour un choix
arbitraire de R, la définition (A.3) de G ne peut être satisfaite que.
a i .b j =2πδ ij …………………..(І.7)
Les 3 vecteurs de base b 1 ; b 2 ; b 3 que nous avons ainsi définis forment la base
de l’espace réciproque. Ils sont donnes par les expressions :
𝒂2 ˄𝒂3 𝐚 3 ˄ 𝐚1 𝒂 2 ˄𝒂 3
b 1 =2π , 𝒃 2 =2π ,b 3 =2π … … (І. 𝟖)
𝑽 𝑽 𝑽
On peut montrer que les propriétés de symétrie du réseau réciproque sont les mêmes que
celles du réseau direct. Le réseau réciproque appartient au même groupe ponctuel que le
réseau de Bravais. [5]
u, v et w entiers.
Se note [uvw]. (Indices entre des crochets, sans virgules de séparation).
Les indices négatifs sont surlignés u, v, w.
Un plan réticulaire (plan cristallin) d’équation :
Ces indices u, v, w pour les directions et h, k, l pour les plans sont les indices de Miller.
Pour u, v et w sont tout simplement les cordonnées d’un vecteur reliant l’origine O (0,
0, 0) du repère oxyz avec un autre point qui se trouve sur la surface de la maille (le cube pour
le système cubique).
Pour h, k et l sont les inverses des longueurs découpées sur les axes ox, oy et oz
respectivement par le plan noté (hkl) [6].
15
Chapitre I Généralité
Remarque :
Dans le cas général, pour trouver rapidement les indices d’une famille de plans
réticulaires à partir d’un plan il faut considérer :
• qu’une famille de plans est définie par 3 entiers (h k l) appelés indices de Miller.
• que ces indices h, k et l sont proportionnels aux inverses des longueurs interceptées sur ch
Indices de Miller-Bravais :
Les trois indices de Miller (hkl) sont utilisés pour tous les systèmes cristallins (6
systèmes)
sauf le système hexagonal on utilise quatre (4) indices (hkk’l) (et non plus trois), et ce pour
une raison de symétrie hexagonal du réseau, qui n’apparait pas avec la maille simple à base
losange. Tel que : k’= - (h+k) [6].
Les zones de Brillouin sont une caractéristique nécessaire pour décrire les structures
cristallines. Il est plus facile pour suivre les ZB pour les surfaces bidimensionnelles que pour
une surface tridimensionnelle. On définit une zone de Brillouin (ZB) comme sous-ensemble
de l’espace réciproque de volume minimal permettant de décrire entièrement les fonctions
périodiques (par exemple l'énergie des électrons) dans cet espace [7].
Figure.І.11.zone de Brillouin.
(a- ZB bidimensionnelle b- ZB tridimensionnelle).
16
CHAPITRE II
DFT
Chapitre II DFT
ІІ.1.Introduction :
Pour décrire les propriétés des électrons dans un cristal il faut résoudre l’équation de
Schrödinger appropriée.
HѰ=EѰ………………(ІІ.1).
Les solution nous donnent soit la structure de bande soit le spectre électronique.vu
grand nombre des atomes dans le cristal (N atomes) et les forces électrostatiques entre les
atomes avec la vibration de réseaux, l’obtention du spectre électronique est très difficile. Ce
problème peut être simplifié par une équation de mouvement et par un hamiltonien.
H tot =T e +V ee +V e n +V nn +T n ………………….(ІІ.2)
Où
Tn est l’énergie cinétique des noyaux.
Vn-n est l’énergie potentielle de répulsion entre les noyaux.
Vn-e est l’énergie potentielle d’attraction noyaux-électrons.
Ve-e est l’énergie potentielle de répulsion entre les électrons.
Te est l’énergie cinétique des électrons.
La solution de l’équation (II.1) avec H total conduit à la résolution d’un problème à N
corps. [ 8]
OU :
Ces opérateurs peuvent s’écrire (en unités électrostatiques telles que 40=1) :
2 2
ħ ħ
T e (r) = – 𝟐𝒎 ∑𝒏𝒊 𝛁 i 2 et T n (R)=– 𝟐𝑴 ∑𝑨𝑰 𝛁 I 2 …………………….(ІІ.3)
2 2
𝒆 𝒁i 𝒁 j 𝒆
V ee (r)=∑𝒊<𝒋 et V nn =∑𝒊<𝒋 ……………………….(ІІ.4)
|𝒓 i −𝒓 j | j
|𝑹 i −𝑹 |
2
𝒁I𝒆
V n e (R, r)=∑𝒊,𝑰 …………………………………………… (ІІ.5)
|𝒓 i −𝑹 I |
Ou : ħ=h/2 et h la constante de Planck, m la masse d’un électron, M la masse du noyau
Z sa charge.
18
Chapitre II DFT
L’approximation de Born Oppenheimer repose sur le fait que dans un système la masse
des noyaux est très supérieure à celle des électrons par conséquent l’énergie cinétique des
noyaux est négligeable à celle des électrons pour cela on peut subdiviser le système en deux
sous-systèmes séparés : l’un pour les électrons, et l’autre pour les noyaux [10] :
𝛙≈ 𝛙 BO =𝛙 elec × 𝛙 noyaux
………………………………………..(ІІ.6)
Ainsi pour les deux termes de l’équation (II.3) ne dépendant que des noyaux T n peut
On peut alors résoudre l’équation de Schrödinger pour cette position des noyaux. Les
hamiltoniens électroniques et nucléaire ainsi obtenus s’écrivent :
a/Approximation de Hartree :
19
Chapitre II DFT
H=∑𝒏𝒊=𝟏 𝒉(𝒊)………………………………(II.9)
La fonction d’onde de N variable est écrit d’autre forme appelée le produit de Hartree
qui constitué d’un produit mono électronique et il s’écrit comme suivant :
𝛙 HP
(x 1 , x 2 ,………………x n ) = (φ i (x 1 ) φ j (x 2 ) …….… φ k (N))….. (ІІ.10)
b. Approximation de Hartree-Fock :
En 1930 Fock a remplacé les fonctions d’onde de Hartree par un déterminant de Slater
qui tient compte de l’indiscernabilité des électrons dont la fonction d’onde est antisymétrique.
Ce théorème permet d’exprimer les fonctions d’ondes poly électroniques en termes de
combinaison linéaire de déterminant de Slater, c-à-d le déterminant comprend les fonctions
d’onde mono-électroniques comme combinaison linéaire de toutes les fonctions de Hartree.
On écrit le déterminant de Slater comme
20
Chapitre II DFT
Dans l'équation (I.15), le facteur (N!) 1/ 2 est la constante de normalisation de cette
fonction d’onde, comme pour les spin-orbitales. Ce déterminant présente la propriété d'être
orthonormé:
˂ 𝛙 | 𝛙 ˃=1……………………. (ІІ.14)
s s
Notons que cette méthode néglige toute corrélation entre les positions relatives de
deux électrons en dehors de celle introduite par la forme antisymétrique de Ѱ, ceci peut avoir
une influence non négligeable sur la précision des calculs. [11]
Théorème 01:
a/-Pour un système d’électron en interaction le potentiel extérieur V ext (𝑟⃗) est calculé a
Théorème 02:
21
Chapitre II DFT
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
⃗⃗)=N∫ … … . ∫ |Ѱ(𝒙
ρ (𝒓 1 … … … … . 𝒙 N )| dσ 1 dσ 2 .. ………dr N ………. (ІІ.15) [14]
ρ(r)=∑𝑵
𝒊=𝟏 |𝝋 i (𝒓)| …………………………………(ІІ.16)
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2
𝛁i
T KS =∑𝑵
𝟏
|𝝋 i (𝒓)⟩= 𝟐 ∑𝑵 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒊=𝟏 ⟨𝝋 i (𝒓)| 𝒊=𝟏 |𝛁 i 𝝋 i (𝒓)| ………………….(ІІ.18)
2
𝟐
22
Chapitre II DFT
V ext (ρ) : inclut l’interaction coulombienne des électrons avec les noyaux.
Donc le calcul de l’énergie totale du système d’électron interactifs est devenu facile
grâce au calcul de la densité d’un système fictif [15] qui ce fait d’une manière interactive,
selon le diagramme de la figure (ІІ.1).
ІІ.3.3.Formulation de l’échange-corrélation :
23
Chapitre II DFT
24
Chapitre II DFT
Mattheiss [19] a utilisé la formule de Wigner [20] pour obtenir le potentiel interstitiel
d’échange et de corrélation suivant :
1/ 3
𝟎.𝟗𝟒𝟑𝟔𝟓𝟔+𝟖.𝟖𝟗𝟑𝟔𝝆
[𝟎. 𝟗𝟖𝟒 + ]……………………………………… (ІІ.20)
1/ 2
V XC =−𝝆
1/ 3 2
(𝟏+𝟏𝟐.𝟓𝟕𝝆 )
Ou :
ɛ XC
[ρ] : l'énergie d'échange-corrélation pour une particule d'un gaz homogène
d'électron.
ɛ XC
(ρ) = ɛ X (ρ) + ɛ C (ρ)………………………………………. (ІІ.22)
ɛ X
(ρ) : une contribution d'échange.
ɛ C
(ρ) : une contribution de corrélation.
ɛ X
est connue et provient de la fonctionnelle d'énergie d'échange formulée par Dirac
𝟑 𝟑
𝐄𝐗𝐋𝐃𝐀 [ρ(𝐫⃗)] = − 𝟒 ( 𝛑 ρ(𝐫⃗))
1/ 3
……………………………………..(ІІ.23)
Lorsque le spin est pris en compte dans l’approximation de la densité locale on parle
dans ce cas d’une nouvelle approximation qui est LSDA (local spin density approximation).
Cette dernier permet de résoudre certains problèmes liés à l’approximation LDA notamment
le traitement des systèmes soumis à des champs magnétiques et les systèmes où les effets
relativistes deviennent importants.
25
Chapitre II DFT
𝟑 𝟑
𝛙𝑳𝑺𝑫𝑨 (𝛒) = −𝟐 .− 𝟒 (𝛑) ∫ 𝛒 (𝐫⃗) ρ (𝐫⃗) d r………………………………….(ІІ.24)
1/ 3 1/ 3 4/3 4/3 3
𝒙
a/- Donne généralement de bons résultats pour les propriétés de volume et des surfaces
des systèmes ioniques, covalents et métalliques.
b/-La LDA permet de décrire seulement l’état fondamental des systèmes électroniques
mais n’est pas les états excités.
c/-Les résultats sont cependant moins bons pour les systèmes où l’inhomogénéité de la
densité est plus forte comme c’est le cas pour les atomes, les molécules isolées ou sur une
surface.
L’approximation LDA se base sur le modèle de gaz d’électron uniforme c-à-d une
densité électronique uniforme. Lorsque on considère que tous les systèmes réels sont
inhomogènes c'est-à-dire que la densité électronique possède une variation spatiale, une
nouvelle approximation apparait qui consiste à rendre la fonctionnelle E XC [ρ(𝑟⃗)] dépendante
𝑬𝑮𝑮𝑨
𝑿𝑪 [𝝆] = ∫ 𝝆(𝒓
⃗⃗) ɛ XC [𝝆(𝒓
⃗⃗), |𝛁𝝆(𝒓
⃗⃗)|] dρ (𝒓
⃗⃗)……………………………..(ІІ.25)
26
Chapitre II DFT
On rappelle que :
a/-La fonctionnelle GGA sert à réduire le pourcentage d’erreur c-à-d accroitre de façon
significative la précision des calculs comparativement à la fonctionnelle LDA. Par exemple :
l’ordre de grandeur de l’erreur relative commise au niveau du calcul d’énergie d’atomisation
est abaissée à3-7% lorsqu’une fonctionnelle GGA est utilisée tandis qu’une fonctionnelle
LDA conduit à des surestimations de l’ordre de 20 à 30%.
c/-une meilleure description des volumes à l’équilibre, des module d’élasticité, et des propriétés
magnétiques des composés comparativement à LDA. [22]
ІІ.4.Théoréme de Bloch :
⃗⃗
𝛙𝒌𝒏 (𝒓)=𝒆𝒊𝒌𝒓⃗⃗ 𝝋𝒌𝒏 (r)……………………………..(ІІ.26)
Avec k vecteur du réseau réciproque du cristal et 𝜑𝑛𝑘 (r) est une fonction périodique, de
même périodicité du cristal. Le théorème de Bloch nous montre que, la fonction d ̍onde de
cellule du réseau direct est le même par un facteur de phase prés. de plus quel que soit k du
réseau réciproque, les fonctions 𝛙kn et 𝛙kn+K sont équivalents.
Donc le théoreme de Bloch sert à réduire le problème de toutes les fonctions d’onde de
réseau à une cellule unitaire qui a la même symétrie avec le réseau. [24].
27
Chapitre II DFT
En pratique, les points k appartiennent au réseau réciproque qui a une relation de taille
inverse avec le réseau direct, donc le réseau direct est de grand dimension, le réseau
réciproque sera petite et le nombre de point k nécessaire pour un bon échantillonnage est donc
plus faible. Par contre dans le cas où le réseau direct est petit le réseau réciproque sera grand
le nombre de points k sera plus important pour intégrer la ZB correctement. De plus, le
nombre de points k dans une direction de l’espace doit également être proportionnel à celui
des autres directions.
28
Chapitre II DFT
L'ensemble des ondes planes est une base de projection des fonctions d'ondes, on la
retrouve dans de nombreux codes : CASTEP, CPI\4D, Abinit, VASP,... Dans le cadre de la
théorie de la DFT.
L’idée la plus simple pour déterminer la fonction d’onde du réseau réciproque est de
décomposer en onde planes à l’aide de la série de Fourier :
⃗⃗
𝛙𝒌𝒏 (𝒓 ⃗⃗⃗) 𝒆𝒊𝒈⃗⃗⃗𝒌 …………………………..(ІІ.28)
⃗⃗) = ∑𝒈 𝑪𝒌𝒏 (𝒈
⃗⃗ ⃗𝐤=2πn ………………………………(ІІ.29)
𝐠
La manière standard de choisir la base d’ondes planes est de considérer toutes les ondes
planes dont l’énergie cinétique est inférieure à une certaine limite, l’énergie de coupure :
En principe, on ne peut pas travailler avec la base d ̍onde plane qui a un nombre de
vecteur 𝐺⃗ infini, cependant les coefficients 𝑐𝑘⃗𝑛⃗ +𝐺⃗ sont très importent pour les ondes planes de
faible énergie cinétique en comparaison avec les ondes planes d’une grande énergie cinétique.
En pratique, on peut donc limiter la base et ne prendre en compte que les ondes planes dont
l’énergie cinétique est inférieure à une certaine énergie appelée énergie de coupure E cut-off :
2
ħ
⃗⃗⃗ + 𝐠
|𝐊 ⃗⃗| ≤E cutoff
2
……………………………………………(ІІ.31)
𝟐𝐦
Cela permet de choisir une sphère de rayon Gmax centrée à l’origine de l’espace
⃗⃗ + 𝑔⃗| ≤g Max
réciproque en imposant la condition |𝐾
𝟏 𝟑/𝟐
N pw ≈N K × 2
Ω 𝐄𝐜𝐮𝐭−𝐨𝐟𝐟 ……………………………………(ІІ.32)
𝟐𝛑
29
Chapitre II DFT
ІІ.7.Méthode de calcule :
Il ya plusieurs méthode basées sur la DFT, nous choisissons de nous concentrer ici sur
la méthode que nous avons principalement utilisé : L'approche ondes planes- pseudo
potentiels
ІІ.7.1.Pseudo-potentiels :
L'idée du pseudo potentiel [28] est basée sur la substitution du potentiel d ̍interaction
coulombienne de noyaux et des électrons de cœurs qui sont fortement liés par un potentiel
effectif seulement des électrons de la dernière couche qui sont dit électrons de valence. Cette
méthode permet de réduire le nombre de variable de N électrons et ne traiter que les électrons
de faible énergie (électrons de valence)
1- Les valeurs propres de valence dans les deux types de calculs : calcul avec tous les
électrons et calcul avec le pseudopotentiel correspondent à la même valeur propre de
la configuration atomique de référence.
2-La fonction d’onde exacte et la pseudo-fonction d’onde doivent être identiques au-
delà du rayon de coupure R C (fig. II.2) :
⃗⃗)= Ø𝒏⃗𝒌⃗ (𝒓
𝛙𝒏⃗𝒌⃗ (𝒓 ⃗⃗)…………………………………..(ІІ.33) pour r < 𝑹 C
n
⃗⃗⃗𝛆𝒏 )
𝛅𝐥𝐧𝛙𝒏 (𝐫, ⃗⃗⃗𝛆𝒏 )
𝛅𝐥𝐧Ø (𝐫,
| r R = | r R …………………………………………….(ІІ.34)
𝛅𝐫 𝛅𝐫
30
Chapitre II DFT
Figure ІІ.3.: Représentation du remplacement d’une fonction d’onde exacte ψ(r) tous
électrons et du potentiel associé V(r) par une pseudo-fonction d’onde ϕ(r) et un
pseudopotentiel Vpseudo(r) [30]
Une autre méthode introduite par Bloch [32] permettant de générer des pseudopotentiels
ultra doux est la méthode PAW (Projected Augmented Wave). Cette méthode permet de
31
Chapitre II DFT
générer des pseudopotentiels ultra-doux pour lesquels la grille utilisée pour reconstituer la
fonction d’onde autour de chaque atome est radiale. Ce type de pseudopotentiel est adaptée
notamment pour les systèmes magnétiques cette suffisance provient du fait que la fonction
d’onde de valence reconstruite par les pseudopotentiels PAW est exacte. Avec tous les nœuds
dans la région du cœur et ceci pour de faibles rayons de coupure.
ǀ𝛙〉=ǀ𝛙
ps
〉 − ∑𝐢 |Ø𝐩𝐬
𝒊 〉c i +∑𝐢 | Ø i 〉c i ……………………………………….(ІІ.36)
∑𝑖 ǀØ𝑝𝑠
𝑖 〉c i : est le développement du ǀ𝛙 〉 sur une base de pseudo ondes partielles.
ps
𝐩𝐬
c i =⟨𝐩 i |Ø𝒊 ⟩…………………………………………..(ІІ.37)
L’ensemble des calculs présentés dans le manuscrit ont été réalisé en utilisant le code
de modélisation numérique appelé CASTEP (Cambridge Serial Total Energy Package)
développé à l’origine en 1988 par Payne et al [33-35]. Il s’agit d’un code de calcul ab initio et
il fait partie d’un ensemble de logiciels de simulation numériques nommé Material Studio
(MS) commercialisés par Accelrys ©. CASTEP utilise la DFT pour la résolution de l’équation
de Schrödinger et emploi des conditions périodiques, des supercelles, une intégration sur la
zone de Brillouin (ZB), une base d’ondes planes et des pseudopotentiels pour calculer
l’énergie totale d’un système donné. Les fonctions d’ondes électroniques sont développées
dans une base d’ondes planes définie par l’utilisation des conditions aux limites périodiques
(PBC) et le théorème de Bloch. Le potentiel électron-ion est décrit au moyen de
pseudopotentiels ab initio avec les deux formulations ; pseudopotentiels à norme conservée et
pseudopotentiels ultra_doux (ultrasoft). Des procédures de minimisation directe de l'énergie
sont utilisées pour obtenir, les fonctions d'onde électroniques et la densité de charge
correspondante. Seules les orbitales de Kohn-Sham dont le vecteur G appartient à la partie
irréductible de la ZB sont calculées, car la densité électronique peut être construite
uniquement à partir de ces états, avec une étape de symétrisation qui fait appel aux matrices
du groupe d’espace. Une étape de symétrisation est aussi nécessaire pour les forces et le
stress. En conséquence, la densité électronique est explicitement symétrisée. L’utilisation de
32
Chapitre II DFT
la symétrie permet de réduire de manière importante le temps de calcul, en particulier pour les
petites mailles contenant beaucoup de points-k car CASTEP est efficacement parallélisé en
fonction des points-k. Comme mentionné précédemment, CASTEP utilise la méthode de
Monkhorst-Pack pour l’échantillonnage de la zone de Brillouin [36]. Cette méthode permet de
générer un quadrillage uniforme le long des trois axes de l’espace réciproque. La symétrie du
système est utilisée pour réduire le nombre de points-k de la cellule primitive. Les forces
exercées sur les atomes, le tenseur des contraintes et par conséquent les déplacements
atomiques et les variations des paramètres de la maille cristalline sont toujours symétrisés.
̂ |𝛙λ ⟩………………………………………….(ІІ.38)
E =⟨𝛙λ |𝐇
𝐝𝐄 ̂
𝛛𝐇
𝐝
̂ |𝛙 ' ⟩ |λ = λ′ + ⟨𝛙 |
=𝐝𝛌′ ⟨𝛙 ' |𝐇 |𝛙 ⟩…………………………(ІІ.39)
𝐝𝛌 𝛛𝛌
𝒅𝐄 ̂
𝝏𝑯
= ⟨𝛙 | |𝛙 ⟩ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(ІІ.40)
𝒅𝝀 𝝏𝝀
𝜕𝐸 ̂
𝜕𝐻 𝒁 I (𝒓−𝑹 I ) (𝑹 I −𝑹 J )
FI= − =⟨𝛙|− |𝛙⟩=∫ ρ(r) 𝑑 3 r +∑𝒋≠𝒊 𝒁 I 𝒁 J 3
…………(ІІ.41)
𝜕𝑅 I 𝜕𝑅 I |𝒓−𝑹 I | |𝑹 I −𝑹 J |
Cette équation peut être utilisé pour trouver les géométries d'équilibre d'une molécule
ou d’un solide en faisant varier toutes les RI jusqu'à l'énergie soit minimale et -∂E/∂RI = 0 peut
être utilisé pour trouver les géométries d'équilibre d'une molécule ou d’un solide.
33
Chapitre II DFT
La meilleure méthode pour l’analyse des résultats est de constituer des courbes de
densité d’états électroniques totale (TDOS, Total Density of States) ou de densité d’états
électroniques partielle (PDOS, Partial density of states). Le nombre d’états monoélectroniques
en fonction de l’énergie présenté, sous forme d’histogramme c’est la TDOS. Les PDOS sont
basées sur l’analyse des populations de Mulliken [40], PDOS permet de montrer la
contribution des orbitales dans chaque bande en termes d'orbitales (s, p, d, ou f) des atomes
constitutifs du système.
𝒅𝑲
N n (E)=∫ 3
δ(E−E n (k))………………………………….(ІІ.42)
𝟒𝝅
La densité d’états totale, N(E), est obtenue par sommation sur toutes les bandes.
L'intégrale de N(E) de moins l'infini au niveau de Fermi donne le nombre total d'électrons
dans la maille unitaire.
34
CHAPITRE ІІІ
RESULTAT ET DISCUSSION
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
Les structures cristallines peuvent donc être classées, selon leur symétrie, en 230
groupes spatiaux (ou groupes d’espace ; voir Tableau 3). Chaque groupe spatial est
caractérisé par un mode de réseau, ainsi que par des éléments de symétrie « finis » (centre de
symétrie, axes de symétrie, plans de symétrie, axes d’inversion) ou « infinis » (axes
hélicoïdaux, plans de glissements). La notation générale des groupes spatiaux peut s’écrire :
Xa/mb/nc/o
Avec :
Il est prouvé que parcourir la zone de Brillouin par les points de haute symétrie
équivaut à se déplacer dans toute la structure périodique et dans toutes les directions.
En utilisant les points de haute symétrie pour le calcul des valeurs propres pour chaque
valeur de k, il n’est pas nécessaire de calculer les grandeurs physiques pour tout l’espace
36
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
réciproque, et non plus pour toute la zone de Brillouin. Comme dans la théorie des semi-
conducteurs, on peut limiter le calcul à une petite partie de la zone.
𝜋 𝜋 𝜋
Les points de haute symétrie de réseaux carré : Γ(0,0) X(𝑑 ,0) M (𝑑 , 𝑑)
2𝜋 2𝜋 2𝜋
Les points de haute symétrie de réseaux triangulaire Γ(0,0) K (3𝑑 , √3𝑑) M(0, √3𝑑) [43]
a/-Potassium : C’est un élément chimique son nombre atomique est Z=19, est un métal
alcalin mou, cet élément sensible à l’air se cristallise dans une structure cubique centré.
37
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
b/- Aluminium : un élément chimique du tableau périodique son nombre atomique est Z=13,
est un métal malléable, très oxydable, et se cristallise dans une structure cubique à face centré.
c/- Sélénium : c’est un élément chimique du tableau périodique son nombre atomique est
Z=34, cet élément est un chalcogène et non-métal, et se cristallise dans une structure
hexagonale.
38
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
39
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
- Le composé une structure chimique riche avec des propriétés physiques intéressantes.[44]
-Il est considéré comme un matériau prometteur pour l’utilisation dans des dispositifs
d’optiques non linéaires dans des gammes de longueurs d’ondes à court et moyen infrarouge.
[45-47]
-La synthèse de ce composé est très difficile en raison de sa sensibilité à l’aire [51] .C’est
pour ça on trouve les premieres synthèses sur les composés halogénure faites sont à base de
lithium [45,48-50]. Jusqu’à 2000 kim et Hughbanks ont synthétisé les composés KMQ2
(M=Al, Ga) et ils ont déterminé leurs structures cristallines [51].
-Le diffraction des rayons X (DRX) montre que le composé KAlSe 2 est isostructure avec les
structures en couches des composés KGaSe2, RbInQ2, TiGaSe2, KInQ2 et AInS2 donc on peut
déduit les propriétés physiques de ce composé a partir de ces structures [40,52,53].
-On utilise la méthode de pseudopotentiel dans le cadre de DFT implémentée dans le code
CASTEP. [54]
40
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
- la cellule unitaire du KAlQ2 du cristal KAlSe 2 est se forme des couches bidimensionnelles
- Une liaison inter couche (interlayer bonding) est formée entre les atomes K et Se tandis que
celle entre les atomes Al et Se est une liaison intra couche (intralayer bonding) [52].
- Les positions atomiques de Wyckoff des cristaux KAlSe2 sont présentées sur le
Tableaux.III.1
*Comme une première étape vers la description des propriétés physiques du matériau KAlSe2,
les paramètres structurales ont été optimisés à pression zéro en utilisant les données
expérimentales,en tant que données d'entrée. Les paramètres de maille optimisés (a, b et c), le
volume V de la maille, l'angle 𝛽 et les coordonnés atomiques internes sont rassemblés dans les
Tableau III.2 avec les données expérimentales correspondantes disponibles dans la littérature
pour le composé considéré.
41
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
a B C Β V
Expérimental
10.885(6) 10.884(5) 15.382(7) 100.19(2) 1793.6(17)
[41]
Tableau ІІІ.2. : Paramètres structuraux du composé KAlSe2: paramètres de maille (a, b et c,
en Å), l’angle 𝛽 (en degré) et le volume de la maille élémentaire (V, en Å3).
X Y Z
Atomes W. P.
Cal. Exp. Cal. Exp. Cal. Exp.
Se1
4e 0.0 0.0 0.5727 0.5705 0.25 0.25
Se2
4e 0.0 0.0 0.0524 0.0532 0.25 0.25
Se3
8f 0.2041 0.2047 0.0625 0.0630 0.0714 0.0695
Se4
8f 0.2585 0.2588 0.3124 0.3118 0.2506 0.2508
Se5
8f 0.0460 0.0459 0.3125 0.3124 0.4292 0.4315
Al1
8f 0.1021 0.1019 0.1881 0.188 0.1652 0.1622
Al2
8f 0.1455 0.1461 0.4372 0.4361 0.3351 0.3391
K1
8f 0.4636 0.4632 0.3112 0.311 0.1073 0.1078
K2
8f 0.2853 0.2837 0.0616 0.0613 0.3892 0.3842
Tableau ІІІ.1. Valeurs des cordonnées atomiques (x, y, z) calculées [cal.] et mesurées [Exp.]
[51] pour KAlSe2.
42
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
On résulte :
D’après les calculs réalisés par le code CASTEP les valeurs obtenues sont en bon
accord avec les données expérimentales disponibles. L’incertitude d'environ 1,4% pour l’axe
c et inférieure à 0,5% pour les paramètres de réseau restants. Ce qui montre la précision et la
justesse de la méthode utilisée dans ce travail.
La structure de bandes électronique calculée pour KAlSe2 le long des lignes reliant les
points de hautes symétrie dans la première zone de Brillouin (BZ).La premuére zone de
Brillouin du cristal KAlSe2 est donnée par la Figure III.7 et L(-1/2,0,1/2), M (-1/2,-1/2,1/2), A
(-1/2,0,0), Z (0,-1/2,1/2), et V(0,0,1/2) représentés les points de haute symétrie de cette
structure.
43
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
Figure III.7. La zone de Brillouin pour une maille primitive du monocristal KAlSe2; les
points particuliers de la première zone de Brillouin, et le trajet le long duquel le spectre de la
structure de bande est présenté; L(-1/2,0,1/2), M (-1/2,-1/2,1/2), A (-1/2,0,0), Z (0,-1/2,1/2), et
V(0,0,1/2).
-D’après les calculs le composé KAlSe 2 est classé comme un semi conducteur a gap direct
(le minimum de la bande de conduction et le maximum de la bande de valence sont situés
dans le même point Γ de BZ.
44
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
Figure. ІІІ.8. Structure de bandes électroniques calculée le long des lignes de haute symétrie
dans la première zone de Brillouin pour KAlSe2. Le niveau de Fermi, ligne horizontal
pointillée rouge, est réglé à l’énergie zéro
-La valeur calculée de gap énergétique est sous-estimée par rapport à la valeur expérimentale
en raison de l’utilisation de GGA [57].
-Le gap d’énergie calculé est comparé avec des résultats d’autres composés telle que
(KGaSe2, RbInS2 et RbInSe2) puis qu’il n’ya pas des mesures expérimentale disponible pour
KAlSe2.
45
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
Eg (eV)
KAlSe2 Présent 2.63(d)
KGaSe2 Exp [44] 2.60(d)
RbInS2 Exp [53] 2.8(d)
RbInSe2 Exp [53] 2.0(d)
TiGaSe2 Exp[58,59] -
TiGaS2 Exp[58,59] -
TiInS2 Exp[58,59] -
Tableaux ІІІ.3. Les résultats de calcul des bandes interdites Eg pour le composé KAlSe2 par
rapport aux données expérimentales de certains composés isostructurales. (d) bande interdite
directe
Selon les résultats donnés dans le Tableau III.3, nos résultats sont similaires aux résultats de
ces matériaux isostructurales (semi-conducteurs à large gap).
Pour avoir une idée sur l’origine des bandes énergetiques nous avons calculé la densité d’etats
totale et partielle du composé KAlSe2 (voir Figure III.9)
Figure .ІІІ.9. Densités d'états électroniques totales (TDOS) et partielles (PDOS) pour
KAlSe2
46
Chapitre ІІІ : Résultat et discussion
- L’analyse des densités d’états totales et partielles (TDOS et PDOS, respectivement) permet
de connaitre la contribution orbitale des éléments, dans notre alliage la bande de valence se
compose de cinq grands groupes étiquetés V1, V2, V3, V4 et V5.
- Le groupe V5 n’apparaitre pas en raison de son intensité. Ile est originaire des états localisés
K-3s structure V4 suivante, centrée à peu près à -13,6 eV, on observe que l’orbitale p
d’élément K est dominante due au état k− 3p.
-Dans la gamme d’énergie -12 eV à -11 eV Le groupe V3 est dérivé d'un mélange des états K-
4s3p, Al-3s4p et Se-5s.
- Le groupe V2, dans la gamme d'énergie de -5.13eV à -3,72 eV est principalement constitué
des états Al-3s hybridés avec les états Se-5p avec une petite contribution des états Al-3p et
Se-5s.
-Le groupe V1 dans la gamme -3 eV à 0 eV (niveau de Fermi) est principalement formé des
états p hybridées des atomes Al et Se avec une petite contribution d’orbitales K-3p.
Cette hybridation suggère la présence d'une liaison chimique covalente entre les atomes Al et
Se dans les structures KAlSe2.
47
CONCLUSION GENERALE
Conclusion générale :
Conclusion générale :
Dans ce travail, nous avons étudié les propriétés structurales, électroniques (structure
de bandes, densité d’états), d’un composé chalcogénure KALSe2 en utilisant la méthode de
pseudopotentiel et ondes planes (PW) dans le cadre de la DFT, tout en considérant
l’approximation de gradient généralisée (GGA) implémentée dans le code CASTEP.
Dans cette conclusion, nous tenons, à marquer les points importants suivants:
- nous avons traité les propriétés structurales qui caractérisent l’état fondamental
du système ou nous avons trouvé un bon accord avec les valeurs théoriques
expérimentales obtenues précédemment.
- Par ailleurs l’analyse de la structure de bande et la densité d’états total (TDOS) et
partiels (PDOS) prédit que le composé ternaire chalcogénure à base d’aluminium
KAlSe2 est un semi-conducteur à large et direct gap.
Finalement, d’après nos calculs par le code CASTEP il est clair que ce dernier est
un code très puissant en traitement et peut servir à étudier toutes les propriétés des
matériaux que nous espérons entamer dans le futur.
49
Référence
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