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TD 2 2023

Le document contient 8 exercices sur les suites réelles portant sur la convergence, la limite, les valeurs d'adhérence et autres propriétés des suites. Les exercices explorent des notions comme les suites stationnaires, adjacentes, croissantes ou non de Cauchy.

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Université Ibn Zohr Agadir Année Universitaire 2023-2024

École nationale des Sciences Appliquées Agadir Module : Analyse 1


Cycle préparatoire 1ère Année Prof : S.Taarabti

Série No 2 : Les suites réelles (1ère partie)

Exercice 1
Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes :

3n −(−2)n ( )n
1. un = 3n +(−2)n 4. un = 1 + n1
√ √
2. un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1 5. un = n21+1 + n21+2 + · · · + n21+n
√
2
3. un = n−√n2 +1
n+ n −1
6. un = √ n4
n +1
+ √nn4 +2 + · · · + √nn4 +n

Exercice 2
Démontrer qu’une suite stationnaire est convergente.
Montrer que si la suite est à valeurs dans Z, la réciproque est vraie.

Exercice 3
an
Pour a > 0, étudier de la suite de terme général un = .
n!
( exploiter la relation liant un+1 à un ) .

Exercice 4
n2 + 1
Soit a, la suite de terme général an = .
+n+2 n2
1. Trouver un entier N, tel que, si n ⩾ N, on ait |an − 1| < 10−2 .
2. Plus généralement, ε étant un nombre réel strictement positif, déterminer un entier N, tel
que, si n ⩾ N, on ait |an − 1| < ε. Qu’a-t-on démontré pour la suite (an )?

Exercice 5
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers ℓ et ℓ′ avec ℓ < ℓ′ .
Montrer qu’à partir d’un certain rang un < vn .

Exercice 6
On suppose que (un ) est une suite réelle croissante telle que (u2n ) converge.
Montrer que (un ) converge.

Exercice 7
∑n
1 √ ∑ n
1 √
On pose un = √ − 2 n et vn = √ − 2 n + 1..
k=1
k k=1
k
Montrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers une limite commune.

Exercice 8
Soit (un ) une suite réelle. On dit que le réel l est valeur d’adhérence de la suite s’il existe une
suite extraite de (un ) qui converge vers l.
1. Quelles sont les valeurs d’adhérence d’une suite convergente ?
2. Quelles sont les valeurs d’adhérence de la suite (−1)n ? de la suite cos(nπ/3)?
3. Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d’adhé-
rence.

1
Exercice facultatifs

Exercice 9 1. Soit {un }n∈N∗ une suite numérique convergente vers ℓ ∈ R. Appelons vn la
moyenne arithmétique :
1∑
n
u1 + u2 + . . . + un
vn = = uk .
n n
k=1

Montrer que (vn )n∈N∗ converge également vers la même limite ℓ.


2. Calculer les limites suivantes :
n (
∏ )1 ∑
n ( )
1 n 1 2 k
L1 = lim 2+ , L2 = lim 1+
n→+∞ k n→+∞ n k
k=1 k=1

Exercice 10 Soient (un ) et (vn ) les deux suites définies pour n ⩾ 1 par :

∑
n
1 1
un = , v n = un + .
k! n × n!
k=0

1. Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. On note e leur limite commune.
2. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , n!un < n!e < n!un + n1 .
3. En déduire que e est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l’absurde).

Exercice 11 Soit (un )n⩾2 la suite définie par

∑
n
1
un =
k
k=2

1. Montrer que la suite un n’est pas de Cauchy


2. Déduire que lim un = +∞.
3. Mêmes questions pour la suite Sn définie par :

∑n
1
Sn = √ .
k=2
k

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