Math Analyse III automne 2018

Feuille 1 : Intégrales généralisées et séries numériques

Intégrales impropres (ou généralisées)

Exer. 1.1 Déterminer si les intégrales impropres suivantes convergent ou pas, et calculer la
valeur dans le cas de convergence :
Z ∞ Z ∞ Z +∞
(a) sint dt (b) e−x dx (c) e−|x| dx
0 0 −∞

dx
Z ∞
(d) (discuter en fonction de α ∈ R)
1 xα
Z 1
dx
(e) (discuter en fonction de α ∈ R)
0 xα
Z 1 Z +∞
ln x
Z ∞
(f) e−t cost dt (g) ln x dx (h) dx
0 0 1 x2
sin 2 x
Z 1
dx
Z ∞
Exer. 1.2 Étudier les intégrales impropres et dx.
0 1 − x2 1 x2

Exer. 1.3 Déterminer si les intégrales impropres suivantes sont absolument convergentes :

ex
Z 1 Z 1
ln(t)
Z ∞
(a) t lnt dt (b) 2
dx (c) dt
0 0 1+x 0 t 1/2
Z 1   Z ∞ −x
2 1 e
Z ∞
−x 10


(d) e 3 + 2 cos x dx (e) cos dt (f) √ dx
0 0 t 0 x

x
Exer. 1.4 On définit une fonction x 7→ f (x) par la règle f (x) = .
x 2 + 8x + 20
(a) Pourquoi la fonction f est-elle définie et continue partout sur R ?
Z ∞
(b) Prouver que l’intégrale impropre f (x) dx diverge vers +∞.
1
x dx
Z ∞
(c) Prouver que l’intégrale impropre 2
converge.
1 (x 2 + 8x + 20)

Exer. 1.5 La fonction gamma.

(a) Prouver la convergence, pour a > 0 fixé, de l’intégrale généralisée
Z ∞
Γ(a) := x a−1 e−x dx.
0

(b) Montrer que, pour tout a > 0, Γ(a + 1) = aΓ(a).

(c) Calculer Γ(n + 1) pour n ∈ N.

1
Exer. 1.6 Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue.
(a) On suppose que f admet une limite ` en +∞.
R∞
• Montrer que si l’intégrale 0 f (t) dt converge alors ` = 0.
R∞
• La condition ` = 0 suffit-elle à garantir la convergence de l’intégrale 0 f (t) dt ?
(b) Donner un exemple de fonction continue f : [0, +∞[→ R à valeurs positives et non bornée
(et donc telle que f ne tend pas vers 0 en +∞) telle que l’intégrale 0∞ f (t) dt converge.
R

Exer. 1.7 Intégrales de Bertrand. Soient α, β ∈ R. On veut étudier la nature de l’intégrale

impropre Z +∞
1
dt.
e t (lnt)β
α

(a) On suppose α > 1.

tγ
• Montrer qu’il existe γ > 1 tel que −→ 0 quand t tend vers +∞.
t α (lnt)β
• En déduire la convergence de l’intégrale étudiée.

(b) On suppose α = 1.
Z x
1
• Soit x > e. Calculer dt.
e t(lnt)β
• Déterminer pour quels β ∈ R l’intégrale étudiée converge.

(c) On suppose enfin α < 1.

t
• Déterminer la limite de lorsque t tend vers +∞.
t α (lnt)β
• En déduire la nature de l’intégrale étudiée.

Exer. 1.8 Soient D ⊂ R et c ∈ R et soient f , g : D → R deux fonctions.

(a) Définir et nommer la condition f (x) = ox→c (g(x)).
(b) Définir et nommer la condition f (x) ∼x→c g(x).
(c) Refaire (a)(b) dans le cas c = +∞.
Z +∞
(d) Énoncer un résultat sur la convergence d’une intégrale impropre de la forme f (t) dt
a
qui utilise deux hypothèses de type (b).

Exer. 1.9 Donner une condition nécessaire et suffisante sur a ∈ R pour la convergence de
Z +∞
t − sint
l’intégrale impropre dt.
0 ta

2
Exer. 1.10 Déterminer la nature des intégrales suivantes :
Z +∞
arctan(x)
Z +∞ √ Z +∞ √
− t
(a) dx (b) e dt (c) e− ln(t) dt
1 x ln(2 + x2 ) 0 1

Z +∞ √
x sin 1/x2
Z 1

cosh x − cos x
(d) dx (e) dx
0 x5/2 0 ln(1 + x)

Exer. 1.11 Discuter, selon les valeurs du paramètre α ∈ R, la convergence des intégrales généralisées
suivantes :
Z +∞
t lnt
1. dt
0 ( 1 + t 2 )α
Z +∞
2. xα ln(x + eα x ) dx
0
Z +∞ p p 
3
3. x4 + x2 + 1 − x 3
x + αx dx où α ∈ [−4, +∞[ .
2

Z ∞
Exer. 1.12 Étudier la convergence de l’intégrale ln(tht) dt .
0

Exer. 1.13 Déterminer si les fonctions suivantes sont intégrables sur les intervalles donnés :
√ sin3 (3x)
(a) x 7−→ x − 1 + x2 sur [0, +∞[ (b) x 7−→ sur ]0, π/2[
sin2 (2x)

sin(y)
Z ∞
Exer. 1.14 (a) Montrer que l’intégrale impropre suivante converge : dy.
0 y
(b) On montre maintenant que l’intégrale n’est que semi-convergente.

1. Montrer que pour tout t ∈ R, | sint| ≥ sin2 t.

Z +∞
cos(2t)
2. Démontrer que l’intégrale dt est convergente.
1 t
Z +∞
| sin(y)|
3. En déduire que dy diverge.
0 y

sin(y)
Z ∞
(c) On va maintenant calculer la valeur de dy.
0 y
1 1
1. Montrer que la fonction f (y) = y − sin(y) est prolongeable en une fonction C1 sur ]−π, π[
R π/2
et en déduire que 0 f (y) sin(ny) dy tend vers 0 lorsque n → +∞.
R π/2 sin(ny)
2. Pour tout entier n ≥ 0, on pose Jn = 0 sin(y) dy. Trouver une relation entre Jn et Jn−2
et en déduire la valeur de Jn .

sin(y)
Z ∞
3. Déterminer la valeur de dy.
0 y

Z +∞
Exer. 1.15 Prouver que l’intégrale de Fresnel sin(x2 ) dx est semi-convergente.
0

3
Exer. 1.16 Montrer que l’intégrale généralisée

ln(t)dt
Z ∞

0 1 + t2
converge. Grâce à un changement de variables simple, montrer qu’elle est nulle. En déduire
que, pour tout a > 0,
ln(t)dt π ln(a)
Z ∞
2 2
= .
0 a +t 2a

R π/2 R π/2
Exer. 1.17 (a) Montrer que les intégrales impropres I = 0 ln(sin(t))dt et J = 0 ln(cos(t))dt
convergent et sont égales.
(b) Montrer que 2I = − π ln 2
2 + I et en déduire la valeur de I. On pourra commencer par écrire
2I = I + J puis utiliser l’identité sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
(c) En déduire la valeur de I = J.

R 1 ln(t)
Exer. 1.18 (a) Montrer que l’intégrale impropre I = 0 t−1 dt est absolument convergente.
(b) Montrer qu’il existe une suite de réels (εn )n≥0 tendant vers 0 telle que, pour tout entier n ≥ 0,
n Z 1
I=−∑ t k ln(t)dt + εn .
k=0 0

(c) En déduire que la suite (∑n+1 1 n+1 1

k=1 k2 )n≥0 converge et que I = limn→+∞ ∑k=1 k2 . On peut montrer
π2
que cette limite vaut 6 .

Exer. 1.19 Soient f , g :]a, b[→ R continues telles que les intégrales ab f (t)2 dt et
Rb
g(t)2 dt
R
a
soient convergentes. Montrer que ab f (t)g(t)dt est absolument convergente et que
R

s s
Z b Z b Z b
| f (t)g(t)|dt ≤ f (t)2 dt g(t)2 dt.
a a a

Séries numériques

Exer. 1.20 Étudier les séries suivantes (déterminer la nature, donner la somme si possible) :
1 n
 
1 n −n
(a) ∑ (b) ∑ ln (c) ∑ e (d) ∑ 1 +
n≥0 n + 100 n≥1 n+1 n≥0 n≥1 n

Exer. 1.21 Une balle de caoutchouc tombe d’une hauteur initiale de 10m. Chaque fois qu’elle
frappe le sol, elle rebondit de 2/3 de sa hauteur précédente. Quelle est la distance totale parcou-
rue par la balle avant qu’elle devienne stationnaire ?

4
Exer. 1.22 (1) Énoncer les règles de comparaison et de comparaison à la limite portant sur la
convergence/divergence des séries.
(2) Étudier chacune des séries suivantes, en utilisant ces règles :
3 1 1
(a) ∑ (b) ∑ (c) ∑
n≥1 5n + 2 n≥1 (n3 + 10)1/4 n≥1 nn

Exer. 1.23 (1) Énoncer les règles de Cauchy, de D’Alembert, et de comparaison intégrale.
(2) Donner la nature de chacune des séries suivantes, en utilisant une de ces trois règles :
n2 1 1
(a) ∑ (b) ∑ (c) ∑
n≥0 en n≥2 n ln n n≥2 n(ln n)2

1 n! n3
(d) ∑ (e) ∑ (f) ∑
n≥2 (ln n)n n≥0 (2n)! n≥1 (ln 2)n

Exer. 1.24 (1) Énoncer la règle de Riemann sur la convergence/divergence des séries.
(2) Étudier chacune des séries suivantes, en utilisant cette règle :
1 ln n 1
(a) ∑ √ (b) ∑ (c) ∑
n≥1 n3 + 3 n≥1 n2 + 1 n≥2 (ln n) 10

Exer. 1.25 Prouver que les séries suivantes convergent, et trouver leur somme :
2n n 1
(a) ∑ (b) ∑ (c) ∑
n≥0 n! n≥1 (n + 1)! n≥1 n(n + 4)

1
Exer. 1.26 Les séries de Bertrand ont leur terme général de la forme un = ,
nα (ln n)β
où α et β sont des paramètres réels.
(a) Prouver qu’elles convergent si α > 1 (pour tout β ) et divergent si α < 1 (pour tout β ).
(b) Lorsque α = 1, montrer qu’elles convergent pour β > 1 et divergent pour β ≤ 1.

Exer. 1.27 On peut montrer que la règle de Cauchy est plus générale que la règle de D’Alembert
(c-à-d, que la première permet en principe de traiter tous les cas où la seconde est concluante).
On donne ici un exemple qui montre que la différence est stricte : un cas où la règle de Cauchy
permet de conclure, mais pas la règle de D’Alembert. On fixe a > 0, b > 0 et on pose
(
ap bp si n = 2p est pair
un =
a p+1 b p si n = 2p + 1 est impair

(a) Montrer que un+1 /un n’admet pas de limite quand a 6= b, et que par conséquent la règle de
D’Alembert ne s’applique pas.
√ √
(b) Montrer que n un → ab , et en déduire par la règle de Cauchy que la série converge si
ab < 1 et diverge si ab > 1.
(c) Déterminer la nature de la série dans le cas ab = 1.

5
Exer. 1.28 On rappele que deux séries ∑ un et ∑ vn sont dites équivalentes à l’infini (et on
écrit un ∼ vn ) lorsque lim un /vn = 1. C’est une proposition du cours que deux séries positives
équivalentes ont la même nature. Employer ce résultat (éventuellement à l’aide d’un DL afin de
trouver l’équivalence) pour étudier les séries dont le terme général un est donné par :
p
n(n − 1) √ 1 1 π
(a) √ (b) e 2n−1 −1 (c) sin √
n3 − 2 n + 3 ln n n 2n
Exer. 1.29 Déterminer la nature de chacune des séries suivantes :
√3
arctan n n2 n4 + 1
(a) ∑ (b) ∑ (c) ∑ √
n≥1 n2 + 1 n≥1 en n≥2 n n−1

(−1)n (n + 1) (−1)n (−1)n (n + 1)

(d) ∑ (e) ∑ (f) ∑
n≥0 3n n≥2 n ln n n≥1 2n + 1

n + 3 n ln n
   
1 1
(g) ∑ (h) ∑ √ (i) ∑ 1 − cos
n≥1 2n + 1 n≥1 n + (−1)n n n≥1 n
√ 1 n
 
1 1
(j) ∑ √ −√ (k) ∑ e− n
(l) ∑ e − 1 +
n≥1 n2 − 1 n2 + 1 n≥1 n≥1 n

1 1 1
Exer. 1.30 (constante d’Euler) Nous montrons que la quantité f (n) = 1 + + + · · · + − ln n
2 3 n
admet une limite finie γ, appelée constante d’Euler.
1 1
(a) On pose un = f (n + 1) − f (n). Montrer par un DL suivant que un ∼ − 2 .
n 2n
(b) En déduire que ∑ un converge, et que, par conséquent, f (n) admet une limite γ quand n tend
vers l’infini. (La valeur précise de γ est 0, 5772 . . . , trouvée en 1781 par vous savez qui.)

Exer. 1.31 On sait que pour deux séries positives ∑ un et ∑ vn , si on a un ∼ vn quand n → ∞

(c-à-d, lim un /vn = 1), alors les séries ont la même nature. On développe ici un exemple qui
montre que cette conclusion fait défaut pour les séries de signes variables. On pose
(−1)n (−1)n
un = √ , vn = √ .
n + (−1)n n
un
(a) Montrer que limn → ∞ = 1.
vn
(b) Prouver que ∑ vn est une série alternée qui converge.
(c) Pourquoi le théorème sur les séries alternées ne s’applique-t-il pas à ∑ un ?
(d) Prouver que u 2p + u 2p+1 ∼ − 1p quand p → ∞. En déduire que la série ∑ un diverge.

Exer. 1.32 Lorsqu’une série est convergente mais non absolument convergente, il peut arriver
que la somme de la série n’est pas stable par un regroupement de ses termes. On illustre ce
(−1)n+1
phénomène par un exemple. On pose un = √ .
n
1 1 1
(a) Montrer que la série ∑ un = 1 − √ 2 + √ 3 − √ 4 + . . . est conditionnellement (et non pas
n≥1
absolument) convergente.

6
Écrivons la somme de la série d’une façon regroupée ainsi :
       
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 + √ − √ + √ + √ − √ + √ + √ − √ . . .+ √ +√ −√ +...
3 2 5 7 4 9 11 6 4p − 3 4p − 1 2p
 
et en appelant v p (p ≥ 1) le terme général √ 1 + √ 1 − √1 .
4p−3 4p−1 2p

(b) Montrer que ∑ v p est une série positive divergente.

(On montre que ce phénomène d’instabilité par rapport à un regroupement de termes ne se
produit pas lorsque la série est absolument convergente.)

Exer. 1.33 Le produit de Cauchy de deux séries ∑ an et ∑ bn est la série ∑ cn de terme général
n
cn = ∑ ak bn−k .
k=0

(a) Montrer que si les suites (an )n≥0 et (bn )n≥0 sont nulles à partir d’un certain rang alors
! ! !
+∞ +∞ +∞
∑ an ∑ bn = ∑ cn .
n=0 n=0 n=0

(b) Montrer que si les séries ∑ an et ∑ bn sont absolument convergentes alors il en va de même
de ∑ cn et que l’on a dans ce cas
! ! !
+∞ +∞ +∞
∑ an ∑ bn = ∑ cn .
n=0 n=0 n=0

n
(c) Pourquoi la série ∑ (−1)
√
n
est-elle semi-convergente ? Montrer le produit de Cauchy par
n
elle-même de la sÈrie ∑ (−1)
√
n
diverge. On pourra remarquer que k(n − k) ≤ (n − 1)2 pour tout
entier k compris entre 1 et n.