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Ibntaymia-Marrakech Nombres réels 2012/2013
EXERCICE 1 : soit x ∈ R
Montrer que ∀ε > 0; x ≤ ε alors :x ≤ 0
Que peut-on dire de x si on suppose de plus x ≥ 0 ?
1
EXERCICE 2 Montrer que si |x − 2| 6 alors
4
x 1 2 1 17
1 − 6 , 1 − 6 et x − 4 6 .
2

2 8 x 7 16
EXERCICE 3 Montrer que ∀(a, b, c) ∈ R3 ab + ac + bc ≤ a2 + b2 + c2
EXERCICE 4 Soit x1 , x2 , ..., xn ∈ R montrer que :

| x1 + x2 + ... + xn |=| x1 | + | x2 | +...+ | xn |⇔ les xi sont de même signe
EXERCICE 5 Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
√ √2 √2
EXERCICE 6 1. Calculer ( 2 )
2. En déduire l'existence d'irrationnels a, b > 0 tels que ab soit rationnel.
EXERCICE 7 Déterminer les bornes inférieures et supérieures ;s'elles existent ; de chacun des ensembles sui-
vants :
1 1 (−1)m
A={ + (−1)n /n ∈ N∗ } ; B = { + /(m, n) ∈ N∗ × N∗ }
n n m
3n − 1
C={ /n ∈ N∗ } ; D = {x2 + y 2 /(x, y) ∈ R2 et 2x + 3y = 5}
2n + 1
EXERCICE 8 Determiner inf {(x1 + .. + xn )( x11 + .. + 1

xn )/x1 ..xn > 0}
EXERCICE 9 Soit A et B deux parties non vides bornées de R

1. Montrer que :
sup(A ∪ B )= max (sup A,sup B ) et inf(A ∪ B )= min (inf A,inf B )
2. Montrer que :
Si A⊂ B alors sup(A)≤ sup (B) et inf(A)≥ inf(B)
3. On pose A+B={a+b /a ∈A ;b∈ B } Montrer que :
sup(A)+ sup (B)=sup(A+B) et inf(A)+inf(B)= inf(A+B)
4. On pose -A ={-a/ a ∈ A} Montrer que :
sup(A)=-inf(-A) et inf(A)=-sup(-A)
5. On suppose A et B deux parties de R et on note A.B={ab/a ∈ A, b ∈ B} Montrer que : sup(A.B)=sup(A)sup(B)
EXERCICE 10 Point xe
Soi f une application croissante de [a, b] → [a, b] càd ∀(x, y) ∈ [a, b]2 : x < y ⇒ f (x) ≤ f (y)
on pose E = {x ∈ [a, b]/f (x) ≤ x}
1- Montrer que E 6= Φ
2- Justier que E admet une borne inférieur α
3- Montrer que f (α) = α ; α est appelé point xe de f
EXERCICE 11 Montrer que :
1- ∀(x, y) ∈ R2 : E(x + y) = E(x) + E(y) + ε ; ε ∈ {0, 1}
2-∀(x, p) ∈ R × Z : E(x + p) = E(x) + p
E(nx)
3-∀(x, n) ∈ R × N∗ : E( ) = E(x)
n
n−1 k
On pose : f (x) =
P
EXERCICE 12 E(x + ) − E(nx)
k=0 n
1
1- Montrer que : ∀x ∈ R : f (x + ) = f (x)
n
1
2- Montrer que : ∀x ∈ [0, [: f (x) = 0
n
n−1 k
3- En déduire que :∀x ∈ R :
P
E(x + ) = E(nx)
k=0 n
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
∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y)

EXERCICE 13 Soit f une application telle que ∀x, y ∈ R f (x.y) = f (x).f (y)

∃x ∈ R telque f (x) 6= 0

1. Calculer f (0) , f (1) et f (−1) .

2. Determiner f (x) pour x ∈ Z puis pour x ∈ Q
3. Demontrer que ∀x ≥ 0 f (x) ≥ 0. En deduire que f est croissante.
4. Conclure que f = IdR
EXERCICE 14 Dans tout l'exercice, x0 désigne un réel strictement positif, et p un entier strictement supérieur
à 1. On etablit dans cet exercice, l'existence de la fonction racine p − ieme, il est donc interdit d'utiliser cette
fonction (ainsi que l'exponentielle, les logarithmes ou le theoreme des bijections).
On note : A(x0 ) = {y ∈ R+ /y p ≤ x0 }.
1. Montrer que A(x0 ) est non vide.
2. (a) Montrer que (1 + x0 )p ≥ 1 + px0 .
(b) En deduire que A(x0 ) est majore par 1 + x0 . Que peut-on en conclure ?
1 1
On note c = sup(A(x0 )), un = c(1 − ) et vn = c(1 + ).
n n
3. (a) Montrer que 0 < c.
1
Indication : on pourra montrer qu'on a toujours x0 ∈ A(x0 ) ou bien ∈ A(x0 ).
x0
(b) Justier l'existence d'un reel a ∈ A(x0 ) tel que un < a ≤ c.
(c) En deduire que un ∈ A(x0 ) puis que cp ≤ x0 .
4. (a) Justier que vnp > x0 .
(b) En deduire que cp = x0 .
Par denition, le reel c est appele racine p-ieme de x0 (note c = √p x0 )
.
5. (a) Soit B et C deux parties de R , non vides telles que B ⊂ C avec C majoree. Montrer que :sup(B) ≤
sup(C)
(b) En deduire que la fonction racine p-ieme est strictement croissante sur ]0; +∞[.
6. En utilisant la denition, montrer que l'ensemble A(x0 ) est un intervalle.
1 1
EXERCICE 15 Soit α et β deux réels tels que :α , β ∈]1, +∞[ ;α ∈/ Q ; et + = 1, On pose :
α β
A = {E(nα)/n ∈ N∗ } et B = {E(nβ)/n ∈ N∗
1. Soit x ∈ R∗+ et Ix = {n ∈ N/n < x}
(a) Montrer que Ix admet un plus grand élément . On pose F (x) = maxIx .
(b) Montrer que F (x) est l'unique entier naturel n tel que x − 1 ≤ n < x .
(c) Montrer que β ∈/ Q .
k k
(d) Etablir que ∀k ∈ N∗ , / N et ∈
∈ / N.
α β
k k+1
(e) Soit(k, n) ∈ N∗ × N∗ tel que k = E(nα) . Montrer que <n<
α α
2. Montrer que A ∩ B = ∅ (indication : raisonner par l'absurde en utilisant 1-3)
(
N∗ −→ N∗
3. Soit ϕ : . Montrer que ϕ est bien dénie et injective .
n 7−→ E(nα)
4. Soit m un entier naturel non nul . On poseam = A ∩ [|1, m|] et bm = B ∩ [|1, m|]
m+1
(a) Montrer que am = F ( )
α
(b) Etablir que am + bm =m
(c) Déduire de ce qui précède que {A, B} forme une partition de N∗
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EXERCICE 3 Montrer que ∀(a, b, c) ∈ R3 ab + ac + bc ≤ a2 + b2 + c2

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EXERCICE 8 Determiner inf {(x1 + .. + xn )( x11 + .. + 1

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1. Calculer f (0) , f (1) et f (−1) .

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