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Last modified : 27 octobre 2022
Avant propos
Ces notes de cours correspondent à l’enseignement de l’UE de mathématique de la licence de physique de troisième
année (PH05Y030). Il manque un premier chapitre sur l’algèbre tensorielle (qui sera rédigé ultérieurement).
Vous trouverez dans ce document 3 chapitres : ”analyse complexe”, ”espace de Fourier”, ”équation différentielles aux
dérivées partielles” qui, nous l’espérons, vous aiderons à comprendre l’intérêt de bien maı̂triser les outils mathématiques
pour faire de la physique.
Ces notes de cours ont été rédigées pas Ken SEKIMOTO (ken.sekimoto@espci.fr) en 2021 et corrigées en partie par
Pascal DAVID (davidp@in2p3.fr) et Charley Presigny. Elles ont été reprises, complétées, etc. par Pascal DAVID en 2022.
Malgré le soin que nous avons mis à rédiger ces notes, il peut traı̂ner des coquilles ou des erreurs. Il peut aussi y avoir des
manques ou au contraire des trivialités. Merci de nous les signaler.
Bibliographie :
-Les tenseurs. C. Carimalo
-La pratique des tenseurs. V. Drivas et all
-Tensor algebra and tensor analysis for engineers. M. Itskov
-Mathématiques pour la physique. M. Courbage, P. Benoist-Gueutal

1. Analyse complexe 2
1 Analyse complexe
1.1 Intégrale sur un chemin et le théorème de Green
(Définition : “courbe de Jordan”)

C est une courbe de Jordan à 2D (ouverte ou bouclée) ⇔ C ne se croise pas avec elle-même.
Sur une courbe de Jordan, l’intégrale n’a pas d’ambiguité : pour determiner le sens de l’intégration, il suffit de le
déterminer sur un point.
(Définition : “simplement connexe”)
Le domaine D est simplement connexe ⇔ tout lacet (boucle orientée) tracé dans D peut être continuement
réduit à un point dans D.
En 2D, cela signifie qu’il n’y a pas de “trou” enserré dans le lacet (voir schéma).
Dans la suite, on note S(C) le domaine borné par la courbe de Jordan fermée C. (C pour courbe, S pour surface)
Rb Rb
Pour une intégrale à 1D, e.g. a v(x)dx, on l’évalue comme la limite d’une intégrale finie 1D, e.g. a v(x)dx. Ainsi
on
PNévalue cette intǵrale comme la limite N → ∞ de la somme ;
−1 xi +xi+1
i=0 v( 2 )(xi+1 − xi ), où a = x0 < x1 < · · · < xN −1 < xN = b et maxi (|xi+1 − xi |) → 0 pour N → ∞.
Une intégrale de chemin est définie de manière identique ;
(Définition : Intégrale sur un chemin de Jordan)
Soit C un chemin (ouvert ou bouclé) dans R2 .
Z N −1
X ⃗xi + ⃗xi+1
⃗v (⃗x) · d⃗x = lim ⃗v ( ) · (⃗xi+1 − ⃗xi ), (1.1)
C N →∞ 2
i=0
où ⃗x0 , ⃗x1 , · · · , ⃗xN −1 , ⃗xN se trouve sur le chemin C et maxi (|⃗xi+1 − ⃗xi |) → 0 pour N → ∞. Si C est fermé,
⃗xN = ⃗x0 .
Lorsque le chemin est paramétrisé par (x(s), y(s)) avec 0 ≤ s ≤ 1, l’intégrale de ⃗v (⃗x) sur ce chemin est donnée par
Z Z 1
⃗v (⃗x) · d⃗x := ⃗ · d⃗x(s) ds
⃗v (x(s))
C s=0 ds
d
En effet le résultat de cette intégrale ne dépend pas de la paramétrisation
R : ds et ds se compensent localement. On n’ex-
plicitera plus le paramètre s dans l’intégrale et on écrira simplement C ⃗v (⃗x) · d⃗x.
Un example : l’intégrale de ⃗v (⃗x) = V0 (−y, x)t sur C, cercle centré en (0, 0)t et du rayon R, est évaluée par la pa-
ramétrisation,H (x, y) = (RR 1cos(2πs), R sin(2πs))
de sorte que C ⃗v · d⃗x = 0 V0 R(− sin(2πs), Rcos(2πs))t · 2πR(− sin(2πs), cos(2πs))t ds = 2πV0 R2 .
On verra plus tard comment faire le calcul de C ⃗v (⃗x) · d⃗x en version plan complexe.
1.1 Intégrale sur un chemin et le théorème de Green 3
(Théorème de Green)
vx
Soit C une courbe de Jordan fermée et S(C) son intérieur simplement connexe. Soit ⃗v (x, y) =
vy
fonction dérivable en C ∪ S(C). Alors
I Z
⃗v · d⃗x = (rot2⃗v ) dS, (1.2)
C S(C)
où le rotationnel (à 2D), rot2⃗v , est défini par
∂vy ∂vx
rot2⃗v ≡ − .
∂x ∂y
Le corollaire suivant est essentiel :

(Corollaire)
g vx
On va utiliser la notation plutôt que pour éviter toutes confusions.
h vy
Soit g(x, y) et h(x, y) des fonctions réelles, dérivables dans (R2 ⊃)D → R, où D est simplement connexe. C(⊂ D)
est une boucle de Jordan orientée dans
H le sens direct. H H H
Alors les intégrales sur le chemin, C g(x, y)dx ≡ C [g(x, y)êx ] · d⃗x et C h(x, y)dy ≡ C [h(x, y)êy ] · d⃗x peuvent être
réécrites I Z
∂g
g(x, y)dx = − dxdy,
C S(C) ∂y
I Z
∂h
h(x, y)dy = dxdy,
C S(C) ∂x
donc I Z
∂h ∂g
[g(x, y)dx + h(x, y)dy] = − dxdy, (1.3)
C S(C) ∂x ∂y
⋆ NB : la démonstration 1 ci-dessous ne sera pas abordée en cours.
1. L’intégrale sur le chemin C est donnée par la figure de gauche.
1. Une version plus générale de ce théorème est le théorème de Stokes.

1.1 Intégrale sur un chemin et le théorème de Green 4

R ∂g
2. L’intégrale à 2D est donnée par la figure de droite. Pour calculer S(C) − ∂y dxdy, on segmente S(C) en tranches
verticales pour chacun des dx, pour S(C) ∂h
R
∂x dxdy on segmente S(C) en tranches horizontales dy. on obtient
alors
Z
∂g
− dxdy
S(C) ∂y
"Z #
Z xmax ymax (x)
∂g
= − dy dx
∂y
Zx=xmin
xmax
y=ymin (x)
= [−g(x, ymax (x)) + g(x, ymin (x))]dx

Ix=xmin
= g(x, y)dx
C
(1.4)
et
Z
∂h
dxdy
S(C) ∂x
"Z #
Z ymax xmax (y)
∂h
= dx dy.
∂x
Zy=ymin
ymax
x=xmin (y)
= [h(xmax (y), y) − h(xmin (y), y)]dy

Iy=ymin
= h(x, y)dy,
C
(1.5)
respectivement. R xmax
Pour les dernières égalités, on a utilise la notation (par exemple) x=x min
[−g(x, ymax (x))]
R xmin
= x=xmax [+g(x, ymax (x))].
3. On a supposé implicitement que S(C) peut-être découpée verticalement en fines tranches pour chaque [x, x + dx]
où chaque tranche est limitée par (ymin (x), ymax (x)). Pareillement on découpe S(C) horizontalement pour chaque
[y, y + dy], limitée par (xmin (y), xmax (y)) (figure de droite).
Si certaines tranches se composent de plusieurs morceaux, on peut toujours décomposer S(C) en sous-domaines
Cα (α = 1, 2, . . . , αmax ) dont leurs bords s’annulent sauf sur C (voir le schema).
.
1.2 Base de nombres complexes et fonctions complexes 5
1.2 Base de nombres complexes et fonctions complexes
- Un nombre complexe, C, peut être représenté sur un “plan complexe”, mais pas seulement.
- On va distinguer une fonction complexe au sens large et au sens strict.
∂
- Comme outils on introduit ∂z et ∂∂z̄ .
1.2.1 Nombres complexes
* Soit i une des deux solutions de l’équation z 2 = −1.

L’autre solution doit être (−i). Nous allons utiliser la notation, C := {z|z = x + iy, x ∈ R, y ∈ R}.
* Théorème fondamental d’algèbre : L’équation nk=0 ak z k = 0 (n ∈ N) avec ak ∈ C et an ̸= 0 a ses solutions dans C.
P
* Pour chaque z = x + iy ∈ C il y a un complex conjugué z̄ = x − iy ∈ C.

* Le plan “complexe” est en effet le plan 2D réel R2 pour “représenter” un nombre C ; z 7→ (ℜ(z), ℑ(z)) = (x, y).
* Coordonnées polaires dans le plan complexe :
r cos θ + ir sin θ 7→ (r cos θ, r sin θ)
* Formule d’Euler :
cos θ + i sin θ = eiθ ,
P∞ zn
où ez := n=0 n! . En effet,
∞ ∞
iθ
X (iθ)2p X (iθ)2p+1
e ≡ +
(2p)! (2p + 1)!
p=0 p=0
∞ ∞
X (−1)p θ2p X (−1)p θ2p+1
= +i
(2p)! (2p + 1)!
p=0 p=0
Une des conséquences importantes - Formule de Moivre ;
(cos θ + i sin θ)n = einθ = cos(nθ) + i sin(nθ)
* Le i est, quand même, difficile à “imaginer” pour nous. Cependant il y a des manières de répresenter un nombre
complexe sans utiliser i. Par exemple, C̃ := {Ix + Jy|x ∈ R, y ∈ R, I = 10 01 , J = 01 −1

0 }.
Mn
En effet on a J 2 = −I et eJθ = I cos θ + J sin θ si eM := ∞
P
n=0 n! .
1.2.2 Fonction complexe au sens large
* Soit u(x, y) et v(x, y) deux fonctions réelles de (x, y) ∈ R2 dans R. Soit f une application de C dans C tel que :
f : z = x + iy (∈ C) 7→ u(x, y) + iv(x, y) (∈ C)
On l’écrit souvent f (z) mais il vaut mieux écrire f (z, z̄) parce qu’il y a deux étapes soujacentes :
z+z̄ z−z̄
(i) Décompostion : z 7→ (ℜ(z), ℑ(z)) ≡ (x, y), où ℜ(z) = 2 et ℑ(z) = 2i .
puis
(ii) Compostition : (x, y) 7→ u(x, y) + i v(x, y),
1.3 Fonction holomorphe et conditions de Cauchy-Riemann 6
f à ce niveau est essentiellement l’application de R2 ∋ (x, y) dans R2 ∋ (u, v).
Exemple. Pour f (z, z̄) ≡ 2x + i(y + 1) on trouve u(x, y) = 2x et v(x, y) = y + 1.

On peut l’écrire aussi comme f (z, z̄) = 32 z + 12 z̄ + i.
1.2.3 Dérivées formelles par z et par z̄

∂ ∂
* On définit formellement deux opérateurs, ∂z et
(sans rien à voir avec la limite, lim f (z+h)−f
∂ z̄ h
(z)
) par

∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂
:= −i , := +i .
∂z 2 ∂x ∂y ∂ z̄ 2 ∂x ∂y
∂ et ∂ plus directement comme si z et z̄ sont indépendants l’un de
Ces définitions nous permettent d’évaluer ∂z ∂ z̄
z+z̄ z−z̄
l’autre : Si on note que F (x, y) = F ( 2 , 2i ), l’application de ∂z∂ et ∂ à F (x, y) donne
∂ z̄

1 ∂ ∂ ∂ z + z̄ z − z̄
−i F (x, y) = F( , ),
2 ∂x ∂y ∂z 2 2i
1 ∂ ∂ ∂ z + z̄ z − z̄
+i F (x, y) = F( , ).
2 ∂x ∂y ∂ z̄ 2 2i
Bien que le terme de droite ne découle que de la définition de ∂z
∂ et ∂ , on pourrait retrouver les mêmes formules en
∂ z̄
appliquant “la dérivée partielle” par z ou par z̄ comme si z et z̄ sont indépendants.

* Par exemple, pour f = 2x + i(y + 1) = 32 z + 12 z̄ + i on peut obtenir ∂f 3 ∂f 1
∂z = 2 et ∂ z̄ = 2 par définition, mais aussi en
considérant z et z̄ indépendants.
— Intuitivement, il y aurait ni ℜ(z) ni ℑ(z) sans z̄. Tant qu’on admet deux degrés de liberté ℜ(z) ni ℑ(z), l’on doit
aussi admettre z et z̄ comme deux degrés de liberté.
* Une identité qui support l’idée d’indépendance entre z et z̄ est la suivante :

∂f ∂f
df ≡ dx + dy
∂x ∂y
∂f dz + dz̄ ∂f dz − dz̄
= +
∂x
2 ∂y 2i
1 ∂f ∂f 1 ∂f ∂f
= −i dz + +i dz̄
2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y
∂f ∂f
= dz + dz̄. (1.6)
∂z ∂ z̄
1.3 Fonction holomorphe et conditions de Cauchy-Riemann
1.3.1 Fonction holomorphe
Definition (Fonction holomorphe) :

Soit une fonction complexe f = u + iv : (C ⊃)D → C dérivable par x et par y en tant qu’application
R2 → R2 .
Si f satisfait la condition
∂f
= 0,
∂ z̄
on dit que f (z) est holomorphe [ou analytique] dans D.
[*] On va donc se focaliser sur les fonctions complexes telles que ∂∂z̄ s’annule : par exemple la fonction, f = 2x + i(y +
1) = 32 z + 12 z̄ + i, n’est pas holomorphe car ∂f /∂ z̄ = 12 ̸= 0. On verra que la condition ∂f /∂ z̄ = 0 impose beaucoup de
propriétés
h sur lai fonction complexe
f= u +iv. Pour le
moment, les deux conséquences immédiates sont, par définition,
∂ ∂
0 = ∂x + i ∂y (u + iv) = ∂u ∂x − ∂v
∂y + i ∂v
∂x + ∂u
∂y , donc
Les conditions suivantes sont nécessaires et suffisantes pour définir une fonction holomorphe f = u + iv :
∂u ∂v ∂v ∂u
= , =− . (1.7)
∂x ∂y ∂x ∂y
Ces conditions sont appelées conditions de Cauchy-Riemann (CR).
On n’a pas encore expliqué pourquoi “analytique” et holomorphe sont considérés ici comme des synonymes. On reviendra
sur cet aspect plus tard.
Quelques fonctions holomorphes :

zn
1. ez = exp(z) := ∞
P
n=0 n! dans C
C’est une extension de ex , originairement conçue pour x ∈ R, dans le domaine z ∈ C. Noter que le rayon de
z n+1 z n −1
convergence obtenu par le critère d’Alembert est ∞ : quelque soit le module |z|, on a limn→∞ (n+1)! n! =

z
limn→∞ n+1 =0
2. cos z = 12 (eiz + e−iz ) et sin z = 2i
1
(eiz − e−iz )
Ce sont des extension de cos x et sin x pour x ∈ R.
3. cosh z = 12 (ez + ez ) et sinh z = 21 (ez − e−z ) dans C
Idem.
Il existe des formules utiles 2 :
cos(iz) = cosh(z), cosh(iz) = cos(z)

sin(iz) = i sinh(z), sinh(iz) = i sin(z)
Log(z) et les fonctions associées à Log(z) :

1. Log(z) ≡ log |z| + i arg(z), où z = |z|ei arg z dans C − {0}
Pour un z donné, l’argument arg z n’est pas unique, on peut y rajouter 2πm (m ∈ Z). Donc il y a deux approches
possibles :
(a) Soit on traite Log(z) comme une fonction infiniment multivalante (i.e. ayant une infinité de valeurs) ;
Log(z) = {log |z| + (arg z + 2mπ)i }m∈Z .
(b) Soit on décide de rendre Log(z) monovalent en limitant le domaine de arg(z).
Par exemple, lorsqu’on impose le domaine −π < arg(z) ≤ π on définit la détermination principale/la cou-
pure sur le Log. Celle-ci est placée en z = −r − i0+ (r > 0). Voir figure.
Mais on peut aussi adopter le domaine (2m − 1)π < arg(z) ≤ (2m + 1)π avec un m ∈ N. On eput aussi
2. Astuce : pour ne pas se tromper dans les signes et sur la présence de i factorisant les termes, il suffit de se rappeler du premier terme du
développement limité de ces fonctions : cos(z) = 1 − . . . , sin(z) = z − . . . , cosh(z) = 1 + . . . , sinh(z) = z + . . . .
définir une coupure qui ne soit pas une droite.
Puisque le choix de la détermination est artificielle, l’introduction d’une coupure fait apparaı̂tre des phénomènes
“fictifs”.
(a) À travers une coupure, le saut du Log(z) est de ±2πi (le signe ± dépend du sens de la traversée). Par exemple,
avec la coupure en z = −r − i0+ (r > 0),
Log(−R + iϵ) − Log(−R − iϵ)

ϵ ϵ
≃ log R + i(π − ) − [log R + i(−π + )]
R R
→ 2πi (ϵ ↓ 0).
qui contiennent un Log peuvent définir une ”interférence” dans les coupures. Par exemple,
(b) Les fonctions
z−b
Log a−z et Log(z − b) − Log(a − z) apparemment exigent différentes coupures. Mais par l’annulation

z−b
des sauts à travers les coupures, les deux expressions, Log a−z et Log(z − b) − Log(a − z), définissent la
même fonction. Voir la figure 3 :

3. Si on choisit la coupure en z = −r − i0+ (r > 0) pour Log(z), la coupure induite par Log z−b
a−z
est montrée sur les figures de gauche.
Par contre pour Log(z − b) − Log(a − z) chaque terme logarithmique impose une coupure semi-infinie, et pour a < b les deux discontinuités
“s’annulent” sur le segment ]a, b[.
2. ⋆ 4
1
z p ≡ exp( p1 Log(z)) (p ∈ N, p ≥ 2) dans z ∈ C − {0}
1
Tandis que z p est monovalente et surjective dans C, la racine, z p , est beaucoup plus compliquée.
(a) Par la définition du Log(z) on a

1 1 1 1
i arg z
z = exp
p log |z| + i arg(z) = |z| p e p .
p p
1
(b) z p n’est pas une surjection. Quand l’argument, arg(z), est restreint dans (2m − 1)π < arg(z) ≤ (2m + 1)π,
1 1
l’image de C − {0} par z p fait un éventail (une part de camembert) qui correspond au domaine, arg(z p ) ∈
1
[ 2m−1
p π,
2m+1
p π]. Par exemple, quand arg(z) est restreinte à −π < arg(z) ≤ π, l’équation z = i n’a pas de
3
solution. 5
1 1
iπ
(c) z p est multivalante : si on se limite au domaine arg(z) ∈ ] − π, π], la valeur (−1 + 0+ i) p = e p n’a pas
1
−i π
de continuité avec (−1 + 0− i) p = e p . Plus généralement, selon le choix du domaine de arg(z) pour
1 1 1
i 1 (arg0 (z)+2mπ)
Log(z), la valeur de z p sera différente : z p = |z| p e p (m = m0 , m0 + 1, . . . , m0 + p − 1),
où arg0 (z) ∈] − π, π].
q
q
3. ⋆ 6 z p (q ∈ N, q > 1) sera une surjection si p > 1.
4. ⋆ 7 z α avec α irrationnel peut prendre de nombreuses valeurs selon m :
z α = |z|α eiα(arg0 (z)+2mπ) (m ∈ Z),
L’ensemble {eiα(arg0 (z)+2mπ) } se trouve sur le cercle unitaire (|z| = 1) de manière dense et homogène.
4. Ce niveau avancé, peut-être sauté.
5. On constate qu’on ne doit pas discuter d’une fonction complexe juste pour une valeur de z mais en tant qu’application définie sur un
domaine, D ⊂ C.
6. Ce niveau avancé peut être sauté.
7. Ce niveau avancé peut être sauté.
1.3.2 Fonction holomorphe et dérivée
- Si f (z) est une fonction holomorphe, la dérivée de f (z) en z = z0 existe et est unique. Elle est indépendante
du chemin suivi pour z → z0 .
- On écrira cette dérivée f ′ (z0 ) ou dfdz
(z)
comme fonction complexe de z0 .
z=z0
- Tant que f (z) est holomorphe autour de z = z0 , sa dérivée f ′ (z) l’est aussi.
Reprenons l’exemple f = 2x + i(y + 1), qui n’est pas holomorphe. Pour z = 0 on a f = i. Si on s’intéresse à la
dérivée de f autour de ce point, on calcule
f −i 2x + iy
lim = lim .
z→0 z x+iy→0 x + iy
On voit que la limite n’est pas unique mais dépend de la façon d’approcher le point 0 + i0. En coordonnées polaires
(x, y) = (r cos α, r sin α) la limite de r → 0 donnera 2cos
cos α+i sin α
α+i sin α , : elle varie donc avec le choix de α.
Pour une fonction holomorphe f (z)
f (z0 + (dx + idy)) − f (z0 )

= [u(x0 + dx, y0 + dy) − u(x0 , y0 )]
+i
[v(x0 + dx, y0+ dy) − v(x0 , y0 )]
∂u ∂u ∂v ∂v
= dx + dy + i dx + dy + . . .
∂x ∂y ∂x ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v
= +i dx + +i dy + . . .
∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂v ∂u
= +i dx + − +i dy + . . .
∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v
= +i (dx + idy) + . . . , (1.8)
∂x ∂x
où il est sous-entendu que toutes les dérivées partielles sont évaluées en z = z0 = x0 + iy0 et que + . . . désignent les
termes plus petits, ∼ dx2 , dxdy, dy 2 , etc. (qu’on écrira O(|dz|2 )). On a utilisé les conditions de CR dans l’écriture de la
3ème ligne à 4ème ligne. 8 Ci-dessous ce n’est pas le preuve mais ça nous aidera intuitivement :
∂f
8. Formellement on arrivera plus vite à (1.8) en passant par (1.6), i.e., df = ∂x
dx + ∂f
∂y
dy = ∂f
∂z
dz + ∂f
∂ z̄
dz̄. Avec la condition d’holomorphie,

∂f
∂ z̄
dz̄ = 0, on obtient df = ∂f
∂z
dz = 21 ∂(u+iv)
∂x
− i ∂(u+iv)
∂y
(dx + idy).
L’équation (1.8) montre que, quelque soit le chemin tel que dx + idy → 0, on aura une dérivée unique 9 ,
f (z0 + (dx + idy)) − f (z0 )
f ′ (z0 ) ≡ lim
dx+idy→0 dx + idy
∂u ∂v
= +i . (1.9)
∂x ∂x
Noter que l’on n’a pas besoin de spécifier le chemin dx + i dy → 0. Par contre, la dernière expression pour f ′ (z0 ) n’est
que représentative : grace aux conditions de CR, il y a au moins trois autres représentations pour f ′ (z0 ).
Finalement, il est claire que si f (z) est holomorphe en z = z0 , sa dérivée, f ′ (z), est aussi holomorphe donc dérivable.
′
(En fait ∂f∂ z̄(z) = 0. Dans l’analyse des fonctions réelles, ce n’est pas toujours le cas. (ex. g(x) = x2 pour x ≥ 0 et = 0
pour x ≤ 0.)
1.3.3 Une astuce pour retrouver les relations de CR
Sachant que f ′ (z0 ) peut être retrouvée par n’importe quel chemin z → z0 on s’attend à ce que
1 1
(f (z0 + h) − f (z0 )) = lim (f (z0 + ih) − f (z0 )) = f ′ (z0 ).
lim
h→0 h h→0 ih
Si on écrit f en coordonnées cartesiennes dans le plan complexe cette dernière égalité devient
1 1
lim (f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )) = lim (f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )) = f ′ (z0 ).
h→0 h h→0 ih
9. Si on avait une intuition réelle sur le monde des nombres complexes, l’unicité de la dérivée semblerait être naturelle pour une fonction sur
l’espace 1D (mais complexe)...
Puisque f = u + iv on obtient
∂(u + iv) 1 ∂(u + iv)
= = f ′ (z0 )
∂x i ∂y
Ce dernière égalité est équivalente aux CR (à vérifier.)
Cette même idée peut être appliqué en coordonnées polaires : pour s’approcher de z0 = r0 eiθ0 , on choisit 10 , z0 +
heiθ0 et z0 + iheiθ0 (voir la figure ci-dessous) ;
Donc
1 1
lim iθ0 (f (z0 + heiθ0 ) − f (z0 )) = lim (f (z0 + iheiθ0 ) − f (z0 )) = f ′ (z0 ).
h→0 he h→0 iheiθ0
Si on écrit f en coordonnées polaires dans le plan complexe cette dernière égalité devient

1 1 h
lim (f (r0 + h, θ0 ) − f (r, θ)) = lim f (r0 , θ0 + ) − f (r, θ0 ) = f ′ (z0 ).
h→0 heiθ0 h→0 iheiθ0 r
Puisque f = u + iv on obtient 11
1 ∂(u + iv) 1 ∂(u + iv)

= = f ′ (z0 )
eiθ0 ∂r ir0 eiθ0 ∂θ
(pour retrouver les conditions CR en coordonnées polaires développez l’expression).
10. NB : Le facteur i fait tourner eiθ0 de π/2 dans le plan complexe.

f [(r0 +h)eiθ0 ]−f [r0 eiθ0 ] 1 ∂f f [r0 ei(θ0 +η) ]−f [r0 eiθ0 ] 1 1 ∂f
11. Si vous n’aimez pas utiliser une figure : limh→0 heiθ0
= eiθ0 ∂r
et aussi limη→0 r0 eiθ0 (eiη −1)
= r0 eiθ0 i ∂θ
.
1.4 Théorème de Cauchy et primitive d’une fonction holomorphe 13
Remarques :
1. La première égalité, eiθ1 0 ∂(u+iv)
∂r = ir 1eiθ0 ∂(u+iv)
∂θ est essentiellement la définition de la fonction holomorphe, ∂∂z̄ (u +
0
iv) = 0, à un facteur eiθ0 près.
2. Le fait que la dérivée f ′ (z0 ) est unique indique que, si df2 et df2 sont les différentielles de f (z) pour dz1 et dz2 , res-
pectivement, c-à-d, df1 = f ′ (z0 )dz1 et df2 = f ′ (z0 )dz2 , les (mini) triangles ∆(dz1 , dz2 ) et son image ∆(df1 , df2 ) sont
similaires avec le taux d’accroissement, |f ′ (z0 )|, et l’angle de rotation relatif, arg(f ′ (z0 )). 12
• Grosso modo, la dérivée d’une fonction holomorphe f (z) peut être calculée comme si f (z) était une fonction réelle.
z n , ez , sin z, etc ... sauf si le domaine de validité est limité à cause d’une coupure.
Pour Log(z) avec une coupure sur {z = −r − i0+ }, la formule dLog(z)/dz = 1/z est valable dans D = C − R− .
1.4 Théorème de Cauchy et primitive d’une fonction holomorphe
1.5 Préparation
Avant que l’on aborde le théorème fondamental de l’analyse complexe, voici un petit résumé de l’algèbre de chemin
(d’intégration).
12. Les faisceaux orthogonaux de x =cte et y =cte dans le plan z donnent leurs images localement orthogonaux dans le plan w = f (z). Aussi
les faisceaux orthogonaux de u =cte et v =cte dans le plan w donnent-ils leur proto-images localement orthogonaux dans le plan z.
1.5 Préparation 14
On note aussi la formation d’une boucle fermée C par deux chemins C1 et C2 qui partagent leur point de départ et leur
point d’arrivée :
1.5 Préparation 15
1.5.1 Théorème de Cauchy
Soit f (z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D.

Alors quelque soit la boucle fermée C ⊂ D,
I
IC ≡ f (z)dz = 0.
C
1. On va écrire f (z) comme f (z) = u + iv.

2. Alors
I
IC = (u + iv)(dx + idy)
IC I
= (udx − vdy) + i (udy + vdx).
C C
3. L’intérieur de C, que l’on écrira S(C), est simplement connexe. 13 On peut donc appliquer le théorème de Green
(1.3), en choisissant (g, h) = (u, −v) ou bien (g, h) = (v, u). Le résultat est alors
Z Z
∂u ∂v ∂v ∂u
IC = − − dxdy + i − dxdy
S(C) ∂y ∂x S(C) ∂y ∂x
= 0, (1.10)
où les conditions de CR ont été utilisées.
1.5.2 Implication du théorème de Cauchy : primitive de f (z)
•Préparation : Le théorème de Cauchy rajoute une règle importante sur l’algèbre de chemin d’intégrale. Voici un petit
résumé.
13. La version plus générale de ce théorème est le théorème de Stokes.

1
1.6 Fonction z et formule de Cauchy 16
Dans un domaine simplement connexe, D, une fonction holomorphe f (z) a pour primitive F (z) telle que
Z z1
f (z)dz = F (z1 ) − F (z0 ), (1.11)
z0
quelque soit le chemin C(⊂ D) entre z0 et z1 .

Rz Rz
En effet pour deux chemins différents, C1 et C2 (voir schéma ci-dessus), on trouve que z01,C1 f (z)dz − z01,C2 f (z)dz =
−1
H
C f (z)dz = 0, où la boucle C est constituée par C = C1 + (C2 ) .
R z+dz
Naturellement, la dérivée de F (z) est f (z). En effet limdz→0 F (z+dz)−F
dz
(z) 1
= limdz→0 dz z f (z ′ )dz ′ = f (z).
Donc
— si f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe, elle est à la fois dérivable et intégrable.
Argument intuitif : Si on le regarde C f (z)dz = 0 comme une intégrale sur R2 , la situation est différente car à cause
H
des conditions de CR, f (z) n’a pas de degrés de liberté. Dans le §§suivant on verra que, si on connaı̂t les valeurs de
f (u) sur une boucle C(⊂ D), où D est simplement connexe, on peut prédire la valeur de f (z) pour ∀z ∈ S(C)
(Formule de Cauchy).
Importance de la connectivité simple

Ex.1 f (z) = z1 est holomorphe dans D = C − {0}, mais elle ne vérifie pas C f (z)dz = 0 quand C encercle l’origine :
H
D n’est pas simplement connexe.

Ex.2 f (z) = z12 sur D = C − {0} vérifie toujours C f (z)dz = 0 avec ∀C ⊂ D, 0 ∈ S(C) ou non. Mais f (z) n’est pas
H
holomorphe dans C.
1
1.6 Fonction z
et formule de Cauchy
1
- La formule de Cauchy vient d’une combinaison du théorème de Cauchy et de l’intégrale de z
- z1 possède une importance particulière par rapport à z1n (n > 1).
1
dz
H
1.6.1 Intégrale clef : z = 2πi
dz
H
On considère l’intégrale z où le chemin est un cercle centré en z = 0 et de rayon r(> 0), voir schéma.
Puisque z1 n’est pas holomorphe en z = 0, le théorème de Cauchy ne s’applique pas. En coordonnées polaires avec
z = reiθ , on obtient 14
I Z 2π
dz 1 h iθ i
= d re
|z|=r;sens direct z reiθ
Z0 2π
1 iθ
= ie dθ
0 eiθ
= 2πi.
1. On peut généraliser cette égalité I

dz
= 2πi,
z−a
où le centre du cercle est décalé en a, i.e. |z − a| = r.
2. Remarquer que le résultat ne dépend pas du rayon r.
H dzgénéraliser le résultat : quelque soit une boucle fermée autour de z = 0 parcourue dans le sens direct, on
3. On peut
aura z = 2πi. Le schéma suivant donne une démonstration intuitive :
Pour un chemin d’intégration, C, parcourru dans le sens direct autour d’un point x, l’intégrale est égale à la somme
d’un cercle arbitrairement petit autour de x (parcouru dans le sens direct) et d’un chemin dont l’intégrale s’an-
nule (ce chemin est simplement connexe, la fonction intégrée est holomorphe). On peut donc ”rétrécir” le chemin
d’intégration comme on veut tant que l’on respecte la “topologie” par rapport au “trou” du domaine. Ce type de
déplacement de chemin d’intégration est utilisé très fréquemment .
14. Une autre approche utilisera le fait que Log(z) est la primitive de z1 localement. Si on met la coupure de Log(z) sur {z|z = r−i0− , r > 0},
(2π+0− )i −
on trouve dz = [Log(z)]z=re = [Log(r) + iθ]θ=2π+0 = 2πi. Il est tres utile de savoir dz
H
z z=0 θ=0 z
= d(Log(z)) et, en particulier que,
dz iθ
z
= idθ sur un cercle, z = re .
1
1.6.2 Formule de Cauchy
Soit f (z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe, D, et C une boucle parcourue dans
le sens direct, qui encercle le point z.
1. Alors I
1 f (ζ)
dζ = f (z), z ∈ S(C) ⊂ D, (1.12)
2πi C ζ −z
2. et
d nf (z)
I
n! f (ζ)
dζ = , z ∈ S(C) ⊂ D, (1.13)
2πi C (ζ − z)n+1 dz n
pour n ∈ N ∪ {0}.
La formule (1.12) donne f (z) sous forme d’une intégrale qui ne passe pas par z. Autrement dit, la fonction holo-
morphe est sous contrainte non-localement. On propose deux versions pour cette démonstration :
[Démo 1] On décompose C de la manière montrée par le schéma ci-dessus §§1.6.1. H où les petitsdζcercles autour de z ont
des rayons arbitrairement petits. La première intégrale est alors réduite à limϵ→0+ |ζ−z|=ϵ f (ζ) ζ−z = f (z) (2πi), tandis
que la deuxième contribution est nulle grâce au théorème de Cauchy.
f (ζ)−f (z)
[Démo 2] La démonstration est un peu ad hoc. On considère g(ζ) = ζ−z . Celle-ci est holomorphe dans D, incluant
ζ = z parce que limζ→z f (ζ)−f
ζ−z
(z)
= f ′ (z) est holomorphe (règle de Bernoulli) 15 . Le théorème de Cauchy pour g(ζ)
permet d’obtenir
I
0 = g(ζ)dζ
IC I
f (ζ) dζ
= dζ − f (z)
IC ζ − z C ζ −z
f (ζ)
= dζ − 2πi f (z).
C ζ −z
Pour la démonstration de (1.13). On rappelle queH f (z) est holomorphe par définition. Donc elle est infiniment
d
dérivable. (on ne justifie pas ici l’échangeabilité entre dζ et dz , on l’admet.) Puisque (d/dz)n (ζ − z)−1 = n! (ζ −
z)−(n+1) , on obtient (1.13). 16
Théorème de Liouville (sur la fonction entière) :

Définition : f (z) est une fonction entière ⇔ f (z) est holomorphe ∀z ∈ C (sauf z = ∞).
Théorème : Si une fonction f (z) entière est bornée, alors f (z) =constante.
Démonstration : Soit maxz∈C (|f (z)|) = M. En utilisant (1.13) et en choisissant n = 1 et C = CR := {ζ : |ζ − z| = R},

on trouve que
I
′
1 f (ζ)dζ
|f (z)| = 2

2πi CR (ζ − z)
|dζ|
I
1
≤ |f (z)|
2π CR |ζ − z|2
15. Cette règle dit que, si h(ζ) → 0 et g(ζ) → 0 quand ζ → z et que g ′ (z) et f ′ (z) existent, alors limζ→z (h(ζ)/g(ζ)) = h′ (z)/g ′ (z). Petite
anecdote : Monsieur de l’Hôpital a “acheté” la découvert de Bernoulli, voir Wikipédia pour les détails.
16. Cette formule avec f (z) = (z 2 − 1)n relie la “formule de Rodrigues” pour les “polynômes de Legendre” à leurs fonctions génératrices.
1
Z 2π
M Rdθ M
≤ 2
= .
2π θ=0 R R
Parce que R peut être arbitrairement grand, cela implique que |f ′ (z)| = 0.
2
Q. Comment ce théorème s’applique à cos(z) ou e−z ?
1.6.3 Série entière et fonction holomorphe
Série entière
– On va oublierPpour l’instant les fonctions holomorphes et ne discuter que des séries entières, qui prennent la forme
suivante : ∞ n
n=0 cn z ou, plus généralement
∞
X
cn (z − z0 )n .
n=0
P∞ n
Si on la compare
P à une série numérique : n=0 cn , on
P voit nque le facteur z engendre une grande différence :
Exemple. n n est divergente mais la série entière, n nz , est convergente pour |z| < 1.
Rayon de convergence et disque de convergence :

Théorème de Cauchy-Hadamard
P∞ :
n
Pour une série entière, n=0 cn z , on définit le rayon de convergence R (0 ≤ R ≤ ∞) par l’équation suivante
1 1
= limn→∞ |cn | n
R
cf. limn→∞ fn signifie limn→∞ supk≥n fk . Cette série entière converge absolument pour |z| < R et diverge
pour |z| > R.
Le domaine {z : |z| < R} est appellé le disque de convergence.
Intuitivement, si |cn | < AR−n , on a |cn ||z|n < A n ( |z| n 17
P P
R ) , donc la série est convergente pour |z| < R.
n
1
autour de z = z0 s’écrit 18 ∞ (z−z0 )
P
Par exemple, le développement limité de z−a n=0 (a−z0 )n+1 . On trouve donc cn =
(a−z0 )−(n+1) . Le théorème de Cauchy-Hadamard montre que R = |a−z0 |. (ce qui est raisonnable, voir le schéma
ci-contre).
P∞ (z−z0 )n
Ce n’est pas seulement en z = a sur le disque de convergence que diverge. Dès que z dépasse le
n=0 (a−z0 )n+1
z−z0 n

1
disque de convergence (|z −z0 | > |a−z0 |), le module de chaque terme dans la somme, |a−z 0 | a−z0
diverge en n.
P∞ 2p ,
Remarque : Il vaut mieux de ne pas oublier “ ” en lim : Par exemple, pour p=0 z on a cn = 1 pour n = 2p
1
mais cn = 0 pour n = 2p + 1. Ici supk≥n |cn | = 1 donc R = 1.
n
(−1)n−1 P∞
17. Sur le cercle |z| = R la convergence n’est pas assurée. Par exemple, pour c0 = 0 et cn = n
, on a n=0 cn z n conditionnellement
convergente qui vaut Log(z + 1) sur |z| = R = 1 sauf en z = −1.
18. La dérivation en sera donnée plus bas.
1
– Le rapport entre la série entière et la fonction holomorphe est très etroit :

Soit une série entière convergente dans un disque de convergence (de rayon R > 0).
Alors elle définit une fonction holomorphe sur ce disque.
Dans ∞ n n
P
Pc∞
n=0 n z , chaque facteur z est dérivable. Quand la série est absolument convergente (i.e. |z| < R),
d
la somme n=0 et la dérivée dz sont commutative. Donc dans le disque de convergence cette série entière est
dérivable, ou holomorphe 19 .
– La série entière convergente est un des moyens importants pour construire des fonctions holomorphes. On peut se
donner les {cn } tant que R est fini. 20 Vous pouvez inventer une fonction holomorphe !
– On a vu que ”série entière convergente⇒holomorphe”, l’inverse est aussi vrai (voir ci-dessous).
De fonction holomorphe à série entire convergente :

Théorème : Si f (z) est holomorphe dans D simplement connexe, alors on peut représenter f (z) autour de
∀a ∈ D comme une série entière convergente, n cn (z − a)n , avec |z − a| < R(a) où R(a) > 0 est le rayon
P
de convergence.
1. On choisit a ∈ D. On peut trouver C ⊂ D telle que a ∈ S(C), c-à-d, a est à l’intérieur de C. Alors il existe un
R(a) = minζ∈C (|ζ − a|) qui est > 0. Voir schéma.
1
H f (ζ)
2. À partir de (1.12) on peut calculer f pour z ∈ S(C) f (z) = 2πi C ζ−z dζ.
3. Pour |z − a| < R(a) on construit l’identité convergente
X (z − a)n ∞
1 1
= = .
ζ −z (ζ − a) − (z − a) (ζ − a)n+1
n=0
4. En substituant cette identité dans l’expression intégrale de f (z) on obtient

∞ I
X 1 f (ζ)
f (z) = dζ (z − a)n
2πi C (ζ − a)n+1
n=0
∞
1 d nf

X
= (z − a)n .
n! dz n z=a
n=0
où on constate que le développement limité (ou de Taylor) autour de a est une série entière convergente au moins
pour |z − a| < R(a).
– Dans l’analyse de fonctions réelles, il faut distinguer entre (i) h(x) qui est infiniment dérivable autour de x = x0 et
(ii) h(x) qui permet d’obtenir la représentation en série entière convergente autour de x = x0 . Cette dernière est plus
1
exigeante. Un exemple classique est f (x) = 0 pour x ≤ 0 et f (x) = e− x pour x > 0 : celle-ci n’est pas développable en
série de Taylor autour de x = 0.
19. En effet la série ne contient pas de z̄.
1
20. Par exemple, cn = n2 + 2n 2 pour n = 3p et cn = 0 pour n ̸= 3p (p ∈ N). Ici R = 1.
1.7 Singularités 21
Fonction analytique⋆ :
21 Si la fonction holomorphe définie par une série entière est limitée dans sa zone de définition par le disque de conver-
gence, il peut exister d’autres séries entières dont les disques de convergence possèdent un chevauchement (voir schéma
1 1
gauche) pour la fonction z−a + z−b ). On peut imaginer une extension de la fonction holomorphe avec toutes les conver-
gence possibles. La fonction qui en résulte est appellée fonction analytique. Cette dernière est souvent confondue avec la
1
fonction holomorphe. Mais lorsque la fonction n’est pas une surjection, e.g. f (z) = z 2 , la prolongation de série entière
selon un chemin (comme il est montré dans le schéma à droite)) donne une fonction analytique qui est surjection, donc qui
est multivalente. Les mathématiciens utilisent la notion de surface de Riemann, qui est la superposition de deux feuillets
1
du plan complexe pour z 2 , pour rendre compte de la monovalence de la fonction.
1.7 Singularités
1.7.1 Série de Laurent
La série entière est une représentation locale d’une fonction holomorphe comme une somme des termes z n . Parfois
on utilise d’autres séries, e.g., une somme des termes z −m .
Motivation : On va exploiter la situation simple où une série des termes z −m apparaı̂t.
B
D’abord, prenons le développement limité de la fonction, b−z :
B B Bz Bz 2
= + 2 + 3 + ..., |z| < |b|.
b−z b b b
B
Ce développement reconstruit b−z au voisinage de z = 0, et cela de façon de plus en plus précise avec n (tant que |z/b|n
est décroissant). Voir le schéma à gauche :
Puisque chaque “z n ” est isotrope, la convergence est limitée dans le disque de convergence.
A
Prenons le développement d’une autre fonction, z−a :
A A Aa Aa2
= 0 + + 2 + 3 + ..., |z| > |a|.
z−a z z z
A
Ce développement reconstruit z−a au voisinage de z = ∞, de façon de plus en plus précise avec n (tant que |a/z|n est
décroissant). Voir le schéma ci-dessus à droite. Puisque “ z1n ” est isotrope, la convergence est limitée hors du “disque de
divergence”.
⋆
21. Sujet avancé.
A B
La fonction z−a + b−z où |a| < |b|, est holomorphe dans la couronne, |a| < |z| < |b|, où les développements
ci-dessus sont toujours valables :
A B Aa A B Bz
+ = ... + + + + 2 + ...,
z−a b−z z2 z b b
|a| < |z| < |b|
Voir le schéma à gauche :
La partie ∝ z −n (n > 0) donne l’information à l’intérieur, |z| < |a|, alors que la partie ∝ z +n (n ≥ 0) donne l’informa-
tion à l’extérieur, |z| > |b|. C’est un exemple de série de Laurent. Notez que seul le terme Az porte l’information exclusive
sur le paramètre, A. Plus tard on appellera ce terme le résidu.
Généralisation : si la fonction f (z) possède des points singuliers {bi } (Rb := |b0 | ≤ |b1 | ≤ . . .) à l’extérieur, et
aussi des points singuliersP{aj } (Ra := |a0 | ≥ |a1 | ≥ . . .) à l’intérieur, la forme la plus générale de la reconstruction
pour Ra < |z| < Rb sera ∞ n
n=−∞ cn z , où les termes n ≥ 0 reflètent des pôles extérieurs (au voisinage de z = 0) et les
termes n < 0 reflètent les pôles intérieurs (au voisinage de z = ∞). Voir le schéma ci-dessus à droite.
Définition :
Une série de Laurent est définie dans une couronne,
R1 < |z| < R2 (0 ≤ R1 , R2 ≤ ∞), et prend la forme :
∞ ∞
X
n
X c−m
cn z + .
zm
n=0 m=1
Il est possible que la série soit tronquée pour m ≤ N− et/ou n ≤ N+ .

−→ cf. “Série de Laurent” en l’analyse réelle
Théorème de la Série de Laurent :

Théorème :
Soit C1 = {z : |z| = R1 }, C2 = {z : |z| = R2 } avec R1 < R2 et aussi C := (C1 )−1 ∪ C2 . Si f (z) est
holomorphe univalente dans S(C), alors pour z ∈ S(C) on peut représenter f (z) par deux séries convergentes :
∞ ∞
X
n
X c−m
f (z) = cn z + ,
zm
n=0 m=1
où I
1 f (ζ)
cn = dζ, (1.14)
2πi C̃ ζ n+1
avec C̃ ⊂ S(C), n = 0, ±1, ±2, . . ..
Ici chacune des C1 , C2 et C̃ est orientée dans le sens directe, voir le schéma.
Pour C := (C1 )−1 ∪ C2 (voir le schéma), la formule de Cauchy avec S(C), un domaine simplement connexe, s’écrit
I
1 f (ζ)
f (z) = dζ
2πi IC ζ − z I
1 f (ζ) 1 f (ζ)
= dζ − dζ.
2πi C2 ζ − z 2πi C1 ζ − z
1 1 P∞ zn 1
Pour avec ζ ∈ C2 on utilisera l’identité,
ζ−z ζ−z = n=0 ζ n+1 , tandis que pour ζ−z avec ζ ∈ C1 on utilisera l’identité,
1 P∞ ζ n
− ζ−z = n=0 z n+1 . Alors
∞ I
X 1 f (ζ)
f (z) = dζ zn
2πi C2 ζ n+1
n=0
∞ I
X 1 m−1 1
+ ζ f (ζ)dζ m .
2πi C1 z
m=1
Puisque les fonctions à intégrer sont holomorphes dans S(C), les chemins C1 et C2 peuvent être déplacés continuellement
vers un chemin commun, C̃. On obtient alors
∞ I
X 1 f (ζ)
f (z) = n+1
dζ zn . Q.E.D.
n=−∞
2πi C̃ ζ
Nota bene : (i) Ce n’est pas la situation pour la formule de Cauchy, où f (z) serait holomorphe à l’intérieur de C̃ et où
1
les c−m sont tous nuls. (ii) Nous avons exclu ici le cas de f (z) = z 2 qui est dérivable dans S(C) mais qui n’est pas
univalente.
1.7.2 Singularités isolées
Singularités isolées :
z = 0 est dit la singularité isolée de f (z) si
(i) La boucle C1 du théorème précédent peut être réduite à un cercle infinitesimal autour de z = 0,
(ii) f (z) n’est pas holomorphe en z = 0.
Trois catégories de singularité isolée : On appelle ∞ c−m
P
m=1 z m dans la série de Laurent la partie principale.
Singularité amovible (= enlevable) : La partie principale est nulle.
Dans ce cas, on enlève cette singularité en redéfinissant(∗) : f (0) ≡ limz→0 f (z).
c−m
Pôle : La partie principale s’arrête aux termes finis K, K
P
m=1 z m (c−K ̸= 0). On dit que z = 0 est un pôle
d’ordre K de f (z).
Singularité singulière [isolée ] : On dit que z = 0 est une singularité singulière de f (z) si ce point est
ni holomorphe, ni un pôle, ni ignorable. Quand f (z) possède une série de Laurent avec la singularité
singulière isolée à z = 0, la partie principale doit être infinie (i.e. jusqu’à m → ∞).∗∗
Explications :
∗ 1. sin(z)
Le fameux exemple en est f (z) = z . Développée en série entière convergente, son rayon de convergence est
R = ∞.
2. Pôle, c’est le seul cas où f (z) tend vers ∞. 22
1 P∞
∗∗ 3. (a) Un des exemples typiques est f (z) = e z = −1 −n .
n=1 (n!) z
(b) La singularité singulière ne permet pas toujours un développement en série de Laurent infinie. Quand f (z)
possède des pôles {zn } qui s’accumulent sur z = 0, ce dernier point est une singularité singulière mais non
isolée. Il n’y a donc pas de série de Laurent autour de z = 0 (le rayon de C2 serait nul).
αf (z)+β
(c) Si f (z) possède une singularité singulière en z = 0, c’est aussi le cas pour γf (z)+δ .
(d) Un critère suffisant et nécessaire pour qualifier la singularité de singulière en z = 0 est que dans n’importe
petit domaine 0 < |z| < ϵ on peut trouver une valeur complexe à l’exception d’au moins deux valeurs 23 .
22. En analyse complexe l’infini, ∞ est traité comme un point unique qui correspond au pôle nord d’une sphère de Riemann.
1 1
23. Donc on ne peut pas dire que e z → ∞ pour z → 0. En effet, l’équation e z = w ∈ C\{0, ∞} a toujours une solution z. Il suffit de calculer
z = [Log(w)]−1 = [log(|w|) + i(arg0 (w) + 2πm)]−1 avec m(∈ Z) suffisamment grand.
1.7.3 Pôle et résidu

H
“L’origine des résidus” — Si f (z) est holomorphe autour du point z = 0, leH théorème de Cauchy conduit à C f (z)dz =
0, où C encercle z = 0. Par contre, si C encercle des singularités isolées, C f (z)dz n’est plus nulle, il reste quelque
chose qu’on appelle “résidus”.
Définition et notation de “résidu” :
Si z = 0 est une singularité isolée de f (z) dont la série de Laurent autour de z = 0 est f (z) = ∞ n
P
n=0 cn z +
P ∞ c−m
m=1 z m , le résidu de f (z) en z = 0 est définit et écrit par
Res(f, 0) = c−1 (1.15)

H
– Si z = 0 est la seule singularité à l’intérieur de C, on aura donc C f (z)dz = 2πi cP −1 = 2πi Res(f, 0). P
– Si la singularité isolée de f (z) se trouve en z = a avec la série de Laurent, f (z) = ∞ n
n=0 cn (z − a) +
∞
m=1
c−m
(z−a)m ,
le résidu y associé est Res(f, a) = c−1 .
La particularité de l’intégral, dz — Quand on étudie les fonctions de type z1n (n ∈ N), on peut croire que, plus n est
H
z
grand, plus “forte” est sa singularité. Cependant, dans l’intégrale autour de z = 0, c’est plutôt z1 qui doit être distinguée
des autres. Voici quelques observations intéressantes :

1. Seul n = 1 donne une primitive multivaluée ; zdzn = d − (n−1)z 1
n−1 pour n > 1 tandis que dz z = d(Log(z)).
H dz H
2. ⇒ (z) z n = 0 pour n > 1 mais = 2πi pour n = 1, où la boucle (z) se fait autour de z = 0 dans le sens direct.
3. Seul pour n = 1 l’intégrale reste invariante sous la transformation z = ζ1 : (z) z1 dz = (ζ) ζ1 dζ.
H H
Théorème des résidus :

Soit C une boucle fermée orientée dans le sens direct. Si f (z) est holomorphe dans S(C) ∪ C sauf un nombre
fini de pôles {a(ν) } dans S(C), alors
I a(ν) ∈S(C)
X
f (z)dz = 2πi Res(f ; a(ν) ).
C ν
Voir schéma :
1.7.4 Calcul de résidu (c−1 ) et liaison avec la formule de Cauchy

Lorsque la fonction ϕ(z) a un pôle d’ordre k en z = a, le résidu est :

" #
1 d(k−1) k

Res(ϕ; a) := c−1 = (z − a) ϕ(z) .
(k − 1)! dz k−1
z=a
En particulier pour un pôle simple (k = 1),
Res(ϕ; a) := c−1 = lim ((z − a)ϕ(z)).

z→a
P∞ Pk c−m
Démonstration ad hoc : si on substitue la série de Laurent, ϕ(z) = n=0 cn (z − a)n + m=1 (z−a)m (c−k ̸= 0),
dans cette formule, on peut vérifier que c’est le cas. −→
On peut, cependant, comprendre la formule ci-dessus par la formule de Cauchy (1.13) : Quand ϕ(z) a un seul pôle
d’ordre k en z = a à l’intérieur d’une boucle C, on a f (ζ) ≡ (ζ − a)k ϕ(ζ) qui est holomorphe sur C et dans S(C). La for-
dk−1
mule de Cauchy (1.13) appliquée à f (z) avec {z, n} 7→ {a, (k−1)}, donne (k−1)! k
H
C ϕ(ζ)dζ = dz k−1 [(z − a) ϕ(z)] ,

2πi z=a
f (ζ)
où on a utilisé (ζ−a)k
= ϕ(ζ). Par ailleurs (1.15) permet d’identifier le membre de gauche de cette formule à (k − 1)! c−1 .
//
sin z 1
Remarque : (z−a) 2 a un pôle d’ordre 2 en z = a et il n’y a pas dans le dénominateur de terme ∝ (z − a) . On pourrait
penser que le résidu c−1 est nul. Mais en fait sin z = sin a + (cos a)(z − a) + . . . engendre un terme dans la série de
Laurent, cos a sin z
z−a . Par contre, le résidu de z−a est nul pour a = nπ (n ∈ Z).
Quelques astuces :
g(z) (z−a)g(z)
1. Lorsque z = a est un pôle simple de ϕ(z) = h(z) , on cherche à évaluer c−1 = limz→a h(z) . Parfois le calcul
π
i
est long. (e.g. g(z) = 1, h(z) = z 20
− 1 et a = e .) 10
Or, h(z) et (z − a)g(z), s’annulent en z = a. L’application du théorème de Bernoulli (dit “de l’Hôpital”) donne 24
(z − a)g(z) [(z − a)g(z)]′ g(a)

c−1 = lim = lim ′
= ′
z→a h(z) z→a [h(z)] h (a)
(e.g. Res(ϕ; a) = 1/(20a19 ) = a/20 pour ϕ(z) = 1/(z 20 − 1). 25

1
2. Inversion de variable, z = w. Par cette opération,
I I
1 dw
f (z)dz = f( ) 2 ,
|z|=R 1
|w|= R w w
où les intégrales sur un cercle se font dans le sens direct. 26 En particulier,
(i) si toutes les singularités de f (z), disons {a(ν) }, sont isolées et qu’elles se trouvent à l’intérieur du cercle
|z| = R,
(ii) et si limw→0 f ( w1 ) w12 est finie (zéro inclu),
alors on aura ν Res(f, a(ν) ) = 0.
P
24. Souvent g(z) =cte. et h(z) = (z − a)H(z). Alors, h′ (a) = H(a).

25. Si on n’avait pas utilisé cette technique, (z − a)g(z)/h(z) = (z − a)(z 20 − 1) = [(z − a2 )(z − a3 ) · · · (z − a19 )(z − 1)]−1 dont la valeur
en z = a est difficile à calculer directement.)
1 −iθ
26. Si z = Reiθ on a w = R e .
Raison : D’une part |z|=R f (z)dz = 2πi ν Res(f, a(ν) ) par le théorème des résidus. D’autre part, si la fonction
H P
g(w) ≡ f ( w1 ) w12 est finie pour w → 0, elle est holomorphe pour |w| ≤ R1 car toutes ses singularités (isolées) sont à
l’extérieure de |w| = R1 . Ceci dit |w|= 1 g(w)dw = 0. Puisque ces deux doivent être identiques, ν Res(f, a(ν) )
H P
R
doit être zéro.
Ci-dessous, nous raffinons quelque peu.
⋆Comportement de f (z) en z = ∞ : 27
1
Si z = ∞ n’est pas un point d’accumulation des singularités de f (z) (donc on ne parle pas de sin(z) etc.) , alors il y a
essentiellement trois possibilités :
z = ∞ est un point holomorphe de f (z) : il existe R(> 0) tel que f (z) = c0 + ∞ c−m
P
m=1 z m série convergente pour
|z| > R. Le cas où z = ∞ est une singularité amovible est inclu dans cette remarque. Dans ce cas-là, la redéfinition,
f (∞) ≡ limz→∞ f (z), rend f (z) holomorphe en z = ∞.
z = ∞ est le pôle d’ordre k de f (z) : il existe R(> 0) tel que
k ∞
X
n
X c−m
f (z) = cn z + ,
zm
n=0 m=1
est une série convergente pour |z| > R, où ck ̸= 0.
z = ∞ est la singularité singulière (isolée) de f (z) : il existe R(> 0) tel que
∞ ∞
X X c−m
f (z) = cn z n + ,
zm
n=0 m=1
est une série convergente pour |z| > R, où il existe de nombreux cn non-nuls. Par exemple f (z) = ez .
Soit f (z) holomorphe en |z| > R avec la série de Laurent 28 f (z) = c0 + ∞ c−m
P
m=1 z m . Alors on aura (par le
changement z = w1 )
I I
1 dw
f (z)dz = f( ) 2
|z|=R 1
|w|= R w w
∞
I !
X
m 1
= c0 + c−m w dw
1
|w|= R w2
m=1
= 2πic−1
Définition de résidu pour z = ∞ :

Soit z = ∞, la seule singularité de f (z) dans |z| > R(> 0) dont la série de Laurent est f (z) = c0 + ∞ c−m
P
m=1 zm .
Le résidu de f (z) en z = ∞, Res(f ; ∞) est défini par
Res(f ; ∞) = −c−1 ,
Remarque :
f (z) = z n’a qu’un pôle d’ordre 1 en z = ∞. Mais Res(f, ∞) = 0.
En revanche, g(z) = z1 est holomorphe autour de z = ∞, mais Res(g, ∞) = −c−1 = (−1). H
29
Pourquoi une telle définition de Res(f; ∞) ? Rappelez-vous la “particularité de l’intégral, dz/z” et voir le règle suivante :
27. Sujet avancé ; on peut sauter cette partie.
28. R1 = R et R2 = ∞.
29. Donc Res( z1 , ∞) + Res( z1 , 0) = 0 !
Règle de ”zéro-sum” pour les résidus

Quand les seules singularités de f (z) dans C sont des pôles, {a(ν) }, alors
X
Res(f ; ∞) + Res(f ; a(ν) ) = 0. (1.16)
ν
Pour la démontrer, prenons un cercle fermé (toujours dans le sens directe) ; C = {z ∈ C; |z| = R′ < maxν |a(ν) |}. Donc
C encercle tous les pôles finis. Par le théorème des résidus, on a (voir schéma)
I a(ν)
X ̸=∞
C ν
Si on change la variable z en ζ1 . L’intégrale devient C f (z)dz = C ′ f ( ζ1 ) ζ12 dζ, où C ′ est l’image de C par z = 1
H H
ζ,
toujours définie dans le sens direct. Donc la dernière intégrale devient = 2πic−1 = − Res(f ; ∞).
Résumé : Le théorème des résidus va jouer un rôle majeur par la suite. Nous allons donc revoir la logique derrir̀e
ce théorème encore une fois :
1. Soit D un domaine dans C simplement connexe.
2. Soit f (z) holomorphe dans D, sauf en quelques singularités isolées (i.e. de nombre fini), {a(ν) } ∈ D.
3. Soit C(⊂ D) une boucle fermé orientée de sens direct et que S(C) ∈ D aussi.
H
4. Alors, par l’algèbre de chemin avec le théorème de Cauchy, C f (z)dz reste la même lorsque on modifie C dans
D\{a(ν) }.
5. En particulier, on peut déformer C de telle façon qu’elle constitue l’ensemble des cercles autour de chaque singu-
larité isolée.
6. Autour d’une singularité, e.g. z = a(ν) , la série de Laurent f (z) = ∞ (ν) n
P
n=−∞ cn (z −a ) existe, et donc l’intégrale
autour de cette singularité donne 2πic−1 = 2πiRes(f, a(ν) ). (cf. Quand une singularités est amovible, son résidu
est zéro.)
7. L’intégrale d’origine C f (z)dz est la somme des intégrales autour de chaque a(ν) (∈ S(C)).
H
8. Donc
Z a(ν) ∈S(C)
X
C ν
1.8 Intégrales sur (une partie de) R qui peuvent être réduites au calcul des résidus 29
1.8 Intégrales sur (une partie de) R qui peuvent être réduites au calcul des résidus
Introduction :
— Certaines intégrales réelles et complexes peuvent être réduites au calcul des résidus de la fonction à intégrer en
transformant l’intégrale d’origine en intégrale complexe.
— La méthode de calcul par résidus n’est qu’une technique astucieuse dans la plupart de cas
— Certains cas correspondent étroitement à des phénomènes physiques.
1. Certaines intégrales réelles et complexes peuvent être réduites au calcul des résidus de la fonction à intégrer, où la
transition des questions non-locales (d’intégrale) en questions locales (résidus) simplifie beaucoup l’évaluation de
R +∞ β
l’intégrale. Par exemple, Iβ := 0 xnx+1 dx (n ∈ N et n − 1 > β ≥ 0 est difficile à évaluer si l’on n’avait pas
l’analyse complexe.
2. Par contre, quantitativement, les intégrales transformables au calcul des résidus et d’autres cas qui y sont mal
R +∞ β
adaptés ne feront pas beaucoup de difference : Par exemple l’intégrale 0 xn +10x−10 |x|+1 dx donnera presque la
même valeur que Iβ ci-dessus. Dans ce sens là l’intégrale complexe sous-jacente n’est pas essentiel pour le résultat
quantitatif.
3. Neanmoins, certaines intégrales réelles peuvent
R têtre mieux comprises dans un contexte intégrale complexe dont le
sens physique est clair. Par exemple, x(t) = 0 e−ν(t−s) f (s)ds est la réponse de x(t) à la solicitation f (s) sous
R +∞ 1 ˆ
l’équation différentielle, dx/dt = −νx + f (t), où l’expression complexe, x(t) = −∞ eiωt ν+iω f (ω) √dω
2π
, avec
R +∞ −iωt
fˆ(ω) = e
−∞ f (t) √dt , montre comment la réponse à chaque fréquence ω est superposée et aussi montre que
2π
le pôle ω = iν corresponde au temps de réponse d’amortissement inversé.
4. En cours, on parlera des principes de cette méthode avec quelques outils de calcul. Les détails seront données en TD
avec des applications au cas par cas. Ci-dessous on discutera les trois exemples basiques et typiques par lesquels
plusieurs élements communs de traitement seront expliqués.
1.8.1 1er exemple :
Prenons
+∞
eikx
Z
I1 (k) ≡ dx, k∈R
−∞ x2 + 1
I1 (k) 1
En effet √
2π
est la transforme de Fourier de x2 +1
(on en parlera ultérieurement).
— Analyse de convergence :
ikx R +∞
La fonction xe2 +1 avec k ∈ R est absolument intégrable. 30 Donc la limite, limk→0 , et l’intégrale, −∞ , sont échangeable :
R +∞
Par exemple lim|k|→0 I1 (k) = I1 (0) ≡ −∞ x21+1 dx = π.
— Analyse de symétrie :
Avant que l’on n’entame le calcul, il est souvent efficace de diagnostiquer les symétries sous-jacentes de l’intégrale autant
que possible.
30. On dit que c’est dans L1 (R). C’est aussi carré-intégrable, dit dans L2 (R).
R +∞ (kx) R +∞ (kx)
1. On voit que ℜ(I1 (k)) = −∞ cos x2 +1
dx est paire en k tandis que ℑ(I1 (k)) = −∞ sin
x2 +1
dx est impaire en k.
Donc ℜ(I1 (−k)) = ℜ(I1 (k)) et ℑ(I1 (−k)) = −ℑ(I1 (k)).
sin (kx)
2. D’ailleurs, la fonction x2 +1
dans ℑ(I1 (k)) est impaire par rapport x = 0, donc ℑ(I1 (k)) = 0.
3. Puisque ℑ(I1 (k)) = 0, on a I1 (k) = ℜ(I1 (k)) et celle-ci est paire en k.
4. (Étape importante !) Donc il suffit d’étudier I1 (k) avec k ≥ 0 ; pour k < 0 on aura I1 (|k|). (On peut s’économiser
le temps d’étudier le cas k < 0 à part.)
— Introduire une fonction complexe associée et faire un diagnostic :

ikz
On prendra f (z) = ze2 +1 comme extension de la fonction réelle.
1. Dans le plan C on repère deux pôles simples, z = ±i.
2. Dans le demi-plan ℑ(z) > 0 le numérateur eikz avec k ≥ 0 est “anodin” car |eikz | = e−kℑ(z) . Par contre dans le
demi-plan ℑ(z) < 0 le facteur eikz peut diverger pour |z| → ∞.
3. Dorénavant on se concentra sur le cas de k ≥ 0. Un fois que I1 (k) est trouvé pour k ≥ 0, il suffit de le remplacer
par I1 (|k|) pour k ∈ R.
— Completer le chemin d’intégrale :

1. Sachant la convergence d’intégral, on a l’égalité ;
+∞ R
eikx eikx
Z Z
dx = lim dx.
−∞ x2 + 1 R→∞ −R x2 + 1
eikx
RR
On va introduire I1,[−R,R] (k) ≡ −R x2 +1 dx
2. À l’aide du diagnostic ci-dessus, on complète I1,[−R,R] (k) par une intégrale sur un demi-cercle en ℑ(z) > 0. (Noter
que |eikz | = e−kℑ(z) ) :
Z π
eikz

I1,demi-arc:R (k) ≡ 2
dz , k ≥ 0.
θ=0 z + 1

z=Reiθ
L’évaluation de I1,demi-arc:R (k) sera faite plus tard.
3. Intégrale complexe :
En rajoutant I1,[−R,R] (k) et I1,demi-arc:R (k) le chemin est bouclé :
I
˜
I1;R (k) ≡ f (z)dz ≡ I1,[−R,R] (k) + I1,demi-arc:R (k)
Voir schéma.
— Evaluation de l’intégrale complexe :

Par le théorème des résidus, 31
I˜1;R (k) = 2πi Res(f ; i) = 2πi lim[(z − i)f (z)]

z→i
e−k
= 2πi = πe−k , k > 0, R > 1.
2i
— Evaluation de l’intégrale rajoutée :

On va montrer que limR→∞ |I1,demi-arc:R (k)| = 0.
Premier lemme de Jordan :
Soit γ(R), tout ou partie du cercle de rayon |z| = R. Si f (z) satisfait limR→∞,z∈γ(R) zf (z) = 0, on aura
Z
lim f (z)dz = 0.
R→∞ γ(R)
dz
R R R
Très intuitivement, | γ(R) f (z)dz| ≤ γ(R) |zf (z)|| z | = γ(R) |zf (z)|dθ → 0, où on a utilisé ; dz/z = idθ pour
z = Reiθ .
Dans notre contexte, la condition de ce lemme est satisfaite ;|zf (z)| = e−kℑ(z) | z 2z+1 | < | z 2z+1 | → 0 pour R → ∞. Donc
limR→∞ |I1,demi-arc:R (k)| = 0 a été vérifiée. //
— Synthèse : On combine (i) I˜1;R (k) = πe−k pour k ≥ 0, (ii) I1,[−R,R] → I1 , et (iii) I1,demi-arc:R (k) → 0 pour R → ∞.
Avec la symétrie pour k < 0, on trouve finalement,
I1 (k) = πe−|k| , k ∈ R.
R +∞ ikx R +∞ ikx
Remarque 1 : Si on arrive à l’évaluation de −∞ xe2 +1 dx, il y a un moyen pour trouver rapidement −∞ xe2 +a2 dx
R +∞ ikx
(a > 0) et −∞ (xe2 +1)2 dx : D’abord, en employant x = ay,
+∞
eikx +∞
ei(ka)y e−a|k|
Z Z
dx = ady = π .
−∞ x2 + a2 −∞ a2 (y 2 + 1) a
Par la suite,
+∞ +∞
eikx eikx
Z Z
d
2 2
dx = − dx
−∞ (x + 1) d(a2 ) 2
−∞ x + a
2
a=1
π d e−a|k|
= − ( )
2a da a
a=1
π
= (1 − |k|)e−|k| .
2
Ce sont des techniques communes.
31. R > 1 est nécessaire pour avoir le pôle z = i à l’intérieur de la boucle.
Remarque 2 : Due à la “particularité de dz/z” , le premier lemme de Jordan a aussi une version petit-arc :
Premier lemme de Jordan (Bis) :
Soit γ(ϵ), tout ou partie du cercle de rayon |z| = ϵ. Si f (z) satisfait limϵ→0, z∈γ(ϵ) zf (z) = 0, on aura
Z
lim f (z)dz = 0.
ϵ→0 γ(ϵ)
Il suffit d’utiliser le lemme précédent, pour g(w) = w−2 f (w−1 ) et w = 1

z. On a une transformation, wg(w) =
zf (z),g(w)dw = f (z)dz, où ϵ = R−1 .
1.8.2 2ème exemple :
Prenons
Z −ϵ Z R
sin x sin x
I2 = lim lim dx + dx
R→∞ ϵ→0+ −R x ϵ x
Z +∞
sin x
≡ v.p. dx.
−∞ x
sin x
Bien que x ne soit pas intégrable dans le sens de L1 (R) 32 I2 existe comme la valeur principale (v.p.).
— Introduire une fonction complexe associée :

A la place de traduction directe, sinz z , on va prendre
eiz
f (z) =
z
dont la parti imaginaire est sinz z . On se demande si ce sera une modification dangereuse car z = 0 est maintenant une
iz
vraie singularité 33 . En fait on profitera de l’emergence du pôle. (z = 0 est le pôle de ez ou cosz z .)
— Compléter le chemin d’intégrale :

En rajoutant à I2 d’origine plusieurs H morceaux de chemin, on considère une intégrale complexe telle qu’il n’y a aucune
singularité à l’intérieur. On a donc f (z)dz = 0, voir schema.
Symboliquement on écrira I
(0 =) f (z)dz = I˜2:R + I2,demi-arc:ϵ + I2,demi-arc:R ,
où Z +∞
cos x sin x
I˜2:R ≡ v.p. +i dx,
−∞ x x
R +∞
32. L1 (R) est l’ensemble des fonctions sur R dont −∞ |f (x)|dx existe finie.
33. Pour sinz z le point z = 0 n’est qu’une singularitè amovible (enlevable) ; Puisque sin(ϵeiθ ) ≃ ϵeiθ pour z = ϵeiθ et ϵ ≪ 1, on a
lim|z|→0 sinz z = 1.
R +∞
et on précisera I2,demi-arc:ϵ et I2,demi-arc:R ultérieurement. Déjà par l’analyse de symétrie, on trouve que v.p. −∞ cosx x dx = 0
car la fonction intégrée est impair. Donc I˜2:R est purement imaginaire et
I˜2:R → iI2 , R → ∞.
— Demi cercle autour d’un pôle :

On va évaluer l’intégrale sur un demi cercle du rayon |z| = ϵ dans le sens rétrograde en mettant z = ϵeiθ . Sachant
eiz → 1 + iz + . . . la seule contribution vient de
Z θ=0 ikz
e
I2,demi-arc:ϵ ≡ dz
z
Zπ0 z=ϵeiθ
1
= iθ
d(ϵeiθ ) + O(ϵ)
θ=π
Z 0 ϵe
= idθ + O(ϵ) = −iπ + O(ϵ),
θ=π
où O(ϵ) représente des termes qui s’effacent pour ϵ → 0+ . (Quid si le demi cercle passait par dessous z = 0 ?)
— Demi cercle |z| = R dans le sens direct :
π
eikz
Z
I2,demi-arc:R ≡ dz
θ=0 z z=Reiθ
Le premier lemme de Jordan ne s’applique pas car limR→∞ |eikz | → 0 n’est pas assurée pour z = Reiθ lorsque
θ = 0, π. Donc on utilisera un autre outil :
(Deuxième lemme de Jordan )
Soit f (z) continue dans ℑ(z) ≥ 0 et limR→∞ f (Reiθ ) = 0 pour 0 ≤ θ ≤ π.
Alors l’intégrale sur l’arc z = Reiθ avec 0 ≤ θ ≤ π donne
Z π
eiz f (z)dz z=Reiθ = 0.

lim
R→∞ 0
iθ
(Attention, il ne s’agit pas de eiθ mais de eRe .) Très intuitivement, on utilise le fait que |eiz | = e−ℑ(z) diminue
exponentiellement avec ℑ(z) > 0. Voir schéma à gauche. (Détails en Annexe. )
1
En revenant à notre contexte, la condition de ce lemme est satisfaite ; |f (z)| = |z| → 0 pour R → ∞. Donc
limR→∞ |I2,demi-arc:R (k)| = 0 a été vérifiée.
— Synthèse :
eiz
= I˜2:R + I2,demi-arc:ϵ + I2,demi-arc:R → (0 + iI2 ) + (−iπ) + 0 pour R → ∞, d’où on
H
Tout pris en compte, 0 = z dz
a trouvé
I1 = π.
Autres choix de boucle En TD on va voir des choix différents de chemin complexe adapté à l’intégrale à évaluer. À
titre d’exemple, , ,
1 zα 2
sont associés, respectivement, aux fonctions contenant (z 2 +a2 )Log(z)
, (TD6) 1+z n (TD6) et eikz−az (ℜ(a) > 0)
(TD5).
1.8.3 3ème exemple :
Prenons 34 Z π
cos(nθ)
I3 (a) ≡ dθ, n ∈ Z, a > 0.
0 1 − 2a cos θ + a2
À la différence des exemples précédents, l’intégrale réele se fait sur l’angle, θ. C’est naturellement traduit comme
l’intégrale complexe avec z = eiθ .
— Symétrie ±θ :
Puisque la fonction à intégrer est paire en θ on peut élargir la zone d’intégration à −π ≤ θ ≤ π avec le facteur
Rπ cos(nθ)
demi ; I3 (a) = 21 −π 1−2a cos θ+a2
dθ
— Changement de variable : z = eiθ :
L’intégrale résultante sur l’angle réel est transformable en intégrale sur un cercle unitaire dans C par z = eiθ :
1 π
Z
cos(nθ)
I3 (a) = dθ
2 1 − 2a cos θ + a2
I −π
1 z n + z −n dz
= −1 2
4 1 − a(z + z ) + a iz
I|z|=1
1 z n + z −n dz
= 1
,
|z|=1 4 (z − a) z − a iz
z n +z −n 1
où on a utilisé dz = izdθ pour z = eiθ . cf. La symétrie de (z−a)( z1 −a)
sous la transformation z 7→ z vient de la
cos(nθ)
symétrie de 1−2a cos θ+a2
sous le changement, θ 7→ −θ.
— Tentative de z = w1 : H
z −n dz wn wn
− dw dw
H H
On trouve que |z|=1 (z−a)( 1 −a) iz = − |w|=1 ( 1 −a)(w−a) iw = |w|=1 1
(w−a)( w −a) iw
, où on a utilisé
z w
1
dw
1 = − dww et que w fait un tour de sens rétrograde lorsque z le fait de en sens direct. Donc en rénommant w = z
w
on trouve
zn
I
1 dz
I3 (a) = 1
.
|z|=1 (z − a) z − a iz
2
Cette opération préalable nous permet d’éviter le calcul du résidu en z = 0. On a beaucoup gagné 35 .
Le reste est un calcul de résidu... I3 (a) possèse aussi l’autre propriété : I3 ( a1 ) = a2 I3 (a).
34. Le dénominateur, 1 − 2a cos θ + a2 , a un sens trigonométrique et on le rencontre assez souvent (cf. le “noyau de Poisson”, la fonction
génératrice pour
H les polynôme de Legendre, ...
35. Pour |z|=2 z16dz+1 on gagnera encore beaucoup !
§Annexe. Deuxième Lemme de Jordan : détail de la démonstration
On récapitule le Lemme :
(Deuxième lemme de Jordan )
Soit f (z) continue dans ℑ(z) ≥ 0 et limR→∞ f (Reiθ ) = 0 pour 0 ≤ θ ≤ π.
Alors l’intégrale sur l’arc z = Reiθ avec 0 ≤ θ ≤ π donne
Z π
eiz f (z)dz z=Reiθ = 0.

lim
R→∞ 0
R π Rizla quantité
En fonction de MR ≡ max0≤θ≤π |f (Reiθ )| est décroissante à 0 avec R →
R π∞.izDonc il s’agit de l’évaluation
de limR→∞ 0 e dz z=Reiθ . Si c’est un nombre fini, P , l’intégrale en question sera | 0 e f (z)dz z=Reiθ | < P MR →

0 avec R → ∞.
On note que |eiz | = e−y pour z = x + iy. Dans le plan complexe (voir le schéma ci-dessous),
|eiz | dans la partie bleue vaut effectivement

R πzéro. Quand R ∞ R, plupart de cercle est dans
on fait un demi-cercle de rayon
cette zone “zero”. Pour R ≫ 1 l’intégrale 0 eiz dz z=Reiθ est donc tres proche de 2 0 e−y dy = 2. (le facteur 2 vient

de deux zones “non-zéro”.) L’épreuve n’est qu’une sotisphication de ce fait.
Z π Z π
| eiz f (z)dz| ≤ e−R sin θ |f (Reiθ )| |d(Reiθ )|
θ=0 θ=0
Z π
= e−R sin θ |f (Reiθ )|Rdθ.
θ=0
Z π
≤ MR × e−R sin θ Rdθ
θ=0
D’ailleurs 36
π
Z π Z
2
−R sin θ
e R dθ = 2 e−R sin θ R dθ
θ=0 θ=0
Le plus grand est R le moins grande la partie de demi-cercle s’echappe de cette zone. Donc en fonction de θ le grandeur
de |eiz | est comme dans le schéma ci-dessous :
36. On utilisera le changement de variable, R sin θ 7→ η.
Mathematiquement on utilisera l’inégalité de Jordan (voir schéma )

2 π
θ ≤ sin θ, 0≤θ≤ .
π 2
Avec cet outil 37 ,

Z π
2
e−R sin θ R dθ
θ=0
Z π
2 π
≤ e−R sin θ R d( sin θ)
θ=0 2
π R −η
Z
π
= e dη = (1 − e−R ).
2 0 2
Rπ −R sin θ |f (Reiθ )|Rdθ
Donc θ=0 e tend vers zéro dû à la propriété f (z) → 0 pour |z| = R → ∞ par définition.
(Note ajoutée)
Néanmois l’inégalité de Jordan n’est pas indispensable pour le deuxième lemme de Jordan : À la place du demi-cercle,
on peut considérer une partie de rectangle, (R → R + iR → −R + iR → −R). Si on introduit par M (R) le max
de |f (z)| sur ses trois côtés (donc M (R) → 0 pour R → ∞), la contribution des trois côtés sont évaluée comme
R R+iR iz RR
| R e dz| ≤ M (R) 0 e−y dy,
R R−iR
| R+iR eiz dz| ≤ M (R)(2R)e−R ,
R −R RR
et | −R+iR eiz dz| ≤ M (R) 0 e−y dy.
37. On utilise d(Reiθ ) = Reiθ idθ donc |d(Reiθ )| = Rdθ.

2. Série de Fourier 37
2 Série de Fourier
Dans ce chapitre on introduit la série de Fourier comme une généralisation de l’analyse vectoriel en espace nD
(n = 2, 3, ...n) à l’espace ∞D.
2.1 Introduction— Trois raisons pratiques d’utiliser la série de Fourier (SF)
1. SF est un outil pour reconstruire (presque) toutes les fonction f (x) par les mêmes éléments. Par exemple, pour
f (x) = x2 sur [0, π], on utilisera “une base orthogonale,” ec,m (x) = cos(2mx) (m = 0, 1, . . . ,) et es,m (x) =
sin(2mx) (m = 1, 2, . . . ,) pour construire a0 + ∞
P
m=1 m(a cos(2mx) + bm cos(2mx)). Voir schéma qui montre le
résultat avec les meilleurs am et bm , où la somme s’est arrêtée à max(m) = 20, c-à-d ;
20
X
fapprox (x) = a0 + (am cos(2mx) + bm cos(2mx)).
m=1
Dans la limit de max(m) → ∞ on sait que, si am et bm sont choisis “proprement”,

1
lim fapprox (x) → [f (x + 0+ ) + f (x − 0+ )]
max(m)→∞ 2
(convergence simple),
Effectivement les seules discontinuités se trouve en x = 0 et π.

2. Par SF on peut démontrer des rapports “mystérieux.” Par exemple,
∞
π 2 X (−1)n
0= + .
12 n2
n=1
Ce dernier viens de SF de x2 valable sur −x0 /2 < x < x0 /2 :

∞
x20 x20 X (−1)n

2 2πnx
x = + cos ,
12 π 2 n2 x0
n=1
pour −x0 /2 < x < x0 /2.
En mettant x = 0 on retrouve le rapport ci-dessus.

3. SF est reliée aux ondes uni-dimensionnelles. Une corde acoustique sur − x20 ≤ x ≤ x20 peut subir un déplacement
transversal u(x, t) au temps t(> 0). La corde est fixée aux limites, u( x20 , t) = u(− x20 , t) = 0. L’évolution de
u(x, t) est donnée par une équation différentielle partielle ;
∂2u ∂u ∂2u
ρ0 2
+ γ0 = T0 2 ,
∂t ∂t ∂x
2.1 Introduction— Trois raisons pratiques d’utiliser la série de Fourier (SF) 38
où (ρ0 , γ0 , T0 ) sont des paramètres associés à la masse volumique, le frottement et la tension dans la corde, respec-
tivement. Alors par l’aide de série de Fourier, on peut décrire la solution, u(x, t) pour t > 0, dans la forme :
∞
X x
u(x, t) = a2p (t) sin 2pπ
x0
p=0

x
+a2p+1 (t) cos (2p + 1)π ,
x0
∂u
où a0 = 0 et la forme de coefficients an (t) sont fixés par les conditions initiales 38 , u(x, 0) et ∂t (x, 0) pour
− x20 ≤ x ≤ x20 .
38. Un peu plus de détail

h : i P h
i,σ i,σ i
Ppd P σ x −ω2p t σ x −ω2p+1 t ∞ x −ω2p t r
u(x, t) = p=0 σ=± a 2p sin(2pπ x0 )e +a 2p+1 cos((2p + 1)π x0 )e + p=pd +1 a2p sin(2pπ x0 )e sin(ω2p t + ϕ2p )
i
i
+a2p+1 cos((2p + 1)π xx0 )e−ω2p+1 t sin(ω2p+1
r
t + ϕ2p+1 ) , où a0 = 0, et iωni,σ (σ = ±) sont les deux solutions purement imaginaires
(ωni,σ ≥ 0) de l’équation, −ρ0 (ω)2 + iγ0 ω + (nπ)2 = 0 pour n ≤ 2pd + 1, tandis que ω r ± iω i sont les deux solutions conjuguées complexes
(ωni ≥ 0) de la même équation pour n > 2pd + 1. (cf. Pour les modes sous-amortis il faut éliminer des paramètres ajustables redondants par
A sin(θ + α) + B sin(θ + β) = C sin(θ + γ). Tous les paramètres réels, {aσn , an }, sont fixés par les conditions initiales, u(x, 0) et ∂u
∂t
(x, 0) pour
− x20 ≤ x ≤ x20 .
2.2 Espace fonctionnel 39
2.2 Espace fonctionnel
— Comment peut-on traiter une fonction comme un vecteur ?

— Comment peut-on définir le produit scalaire entre deux fonctions ?
2.2.1 Orthogonalité des fonctions
— Meilleure approximation d’un f (x) par un ensemble des fonctions qui sont mutuellement orthogonales.
≃ Meilleure approximation d’un vecteur ⃗v par un ensemble de vecteurs qui sont mutuellement orthogonaux. 39
Supposons que l’on veuille trouver une meilleure approximation de f (x) sur −π ≤ x ≤ π en forme de α 1 + βϕ(x)
avec ϕ(x) donnée. Ici “1” signifie une fonction unitaire constante. (e.g. f (x) = x2 et ϕ(x) = cos x.) Le MSD (mean-
square-deviation : déviation quadratique moyen),
Z π
f (x) − α − βϕ(x)2 dx.

∆(α, β) :=
−π
∂∆ ∂∆
Les meilleurs choix de α et β doivent être tels que ∂α = ∂β = 0. Plus concrètement,
Z π
−2 1 [f (x) − α 1 − βϕ(x)]dx = 0,
Z−π
π
−2 ϕ(x)[f (x) − α 1 − βϕ(x)]dx = 0.
−π
Si on introduit la notation pour “le produit scalaire” des fonctions réeles g et h par
Z π
(g, h) = g(x)h(x)dx,
−π
on trouve ∆(α, β) = ([f − α 1 − βϕ], [f − α 1 − βϕ]), et les équations ci-dessus seront récrites comme
(1, [f − α 1 − βϕ]) = 0
(ϕ, [f − α 1 − βϕ]) = 0 (2.1)
et les deux équations nous permettent l’interprétation géométrique comme montrée dans le schéma ci-dessous :
On peut dire que

Si on définit (g, h) = 0 comme l’orthogonalité d’entre g et h, la meilleure approximation α 1 + βϕ est telle que le reste,
f − α 1 − βϕ soit orthogonale á la fois à “1” et aussi à ϕ. Autrement dit, la meilleure approximation est la projection
orthogonal de f dans le sous-espace engendré par 1 et ϕ.
êi êti = 1 Voir p.5.)
P
39. (cf. i
Exercice : Trouver α et β pour l’exemple mentionné plus haut.

Réponse : Eqs (??) peuvent être réécrites comme

(1, f ) (1, 1) (1, ϕ) α
= (2.2)
(ϕ, f ) (ϕ, 1) (ϕ, ϕ) β
En plus, on note que 1 et ϕ sont mutuellement orthogonals,
(1, ϕ) = (ϕ, 1) = 0, (2.3)
donc on trouve (1, f ) = (1, 1)α et (ϕ, f ) = (ϕ, ϕ)β. Donc la meilleure approximation de f (x) sur −π ≤ x ≤ π par 1 et
ϕ(x) est fapprox = 1 (1,f ) (ϕ,f )
(1,1) + ϕ (ϕ,ϕ) , ou,
1 (1 ϕ (ϕ
fapprox = , f) + , f) (2.4)
(1, 1) (ϕ, ϕ)
1 (1 ϕ (ϕ
Les equations (??) et (??) montrent que (1,1) et sont des projecteurs orthogonaux (de f ) dans le sous-espace 1D
(ϕ,ϕ)
t en Rn , qui
P
engendré par 1 et dans celui-ci engendré par ϕ, respectivement. Il faut rappeler les identités i êi êi = 1
montrent la complétude de la base orthonormée, {êi }. Ici on n’a que deux vecteurs orthogonaux donc approximation
(grossière) :
ê1 êt1 + êϕ êtϕ ≃ 1
π2
Pour l’exemple, f (x) = x2 et ϕ(x) = cos x sur −π ≤ x ≤ π, on a α = 3 et β = −4, qui donne la meilleure
approximation parmi la forme, f = α + βϕ, comme ;
π2
fapprox (x) = − 4 cos x.
3
Voir le schéma :
2.2.2 L’analyse “vectoriel” dans l’espace fonctionnel L2 ([a, b])
Définition :Espace fonctionnel, L2 ([a, b]) :

Rb
C’est l’ensemble des fonctions définies sur le domaine [a, b] dont la “norme carrée,” ||f ||2 := a |f (x)|2 dx est
finie.
L2 ([a, b]) est un espace vectoriel.
Définition : Produit scalaire et la norme en L2 ([a, b]) :

Z b
(g, h) = g(x)h(x)dx
a
lorsque g ∈ L2 ([a, b]) et h ∈ L2 ([a, b]).
La norme de g ∈ L2 ([a, b]) est définie par
∥g∥2 = (g, g).
C’est ainsi qu’on regarde f (x) comme un vecteur : x est l’indice de composante de ce vecteur, f, par une répresentation
particulière. Il peut y avoir différentes représentations de f ;
Définition : Base orthogonale {en } (n ∈ Z ou ∈ N) de L2 ([a, b]) :
(i) Elles sont des fonctions dans L2 ([a, b]),

||en ||2 (n = m)

(ii) Elles sont orthogonales mutuellement, c-à-d, (en , em ) = ,
0 ̸ m)
(n =
(iii) La base est complète dans le sens que
(en , f ) = 0 pour ∀n ⇔ ||f ||2 := (f, f ) = 0.
Commentaire : Pour l’espace vectoriel de dimension finie (e.g. D pour RD ), il suffit d’avoir une base explicitement,
{⃗e1 , . . . , ⃗eD }, pour sa complétude. Pourtant pour D = ∞ ce n’est pas si simple. Grosso modo, (iii) est équivalent à
PD en (en
n (en ,en ) = 1 mais D = ∞.
Base complexe :
Nous élargissons la classe des fonctions : Le domaine reste toujours sur l’axe réel, i.e. [a, b], mais les fonctions f (x)
peuvent prendre la valeur complexe (f (x) ∈ C). 40
Rπ
Il nous faut adapter le produit scalaire de la façon qu’il soit toujours utile pour la minimisation du MSD 41 , −π |f (x)−
α − βϕ(x)|2 dx. où la valeur absolue est
|z|2 := z ∗ z pour z ∈ C,
et z ∗ est la conjuguée complexe de z. 42 Le produit scalaire qui convient est donc la suivant :
Définition — Le produit scalaire et la norme pour les fonction f : [a, b] → C en L2 ([a, b]), sont
Z b
(f, g) := f ∗ (x)g(x)dx = (g, f )∗ ,
a
Z b
∥f ∥2 := |f (x)|2 dx.
a
La définition de la base reste toujours la même sauf le produit scalaire (en , em ) sera évalué par le règle ci-dessus.
40. On verra l’utilité d’une telle généralisation. cf. Le traitement de aeiα + beiβ = ceiγ est parfois plus facile que a cos α + b cos β = c cos γ.
41. §§?? Orthogonalité des fonctions
42. On va utiliser la notation z ∗ plutôt que z̄ car on rencontre souvent des objets comme (f (x))∗ .
2.3 L’égalité de Parseval et l’inégalité de Bessel 42
Une base dans L2 ([0, 2π]) pour les fonctions [0, 2π] → C ;
{en (x) = einx } (n ∈ Z).

P∞ inx
La représentation f (x) = n=−∞ cn e donne des coefficients complexes, {c0 }n∈Z .
2π
ix nx
Attention, ici n prend 0, ±1, ±2,. . .. Sa généralisation pour L2 ([0, x0 ]) sera donc {en (x) = e 0 }, (n ∈ Z).
Remarque : Mérite de base orthogonale :

Le mérite d’une base orthogonale par rapport à l’autre base non-orthogonale est la détermination définitive de compo-
santes : Soit f ∈ L2 [D], i.e., une fonction carré integrable sur un domaine, D. Quand on fait une approximation de f par
la somme partielle,
XM
f (x) ≃ an en (x),
n=1
avec sa base orthogonale {en } de L2 [D], les coefficients {an } pour la meilleure approximation ne dépend pas de la valeur
de M.
En effet, la minimisation de ∥f − M 2 2
P
n=1 an en ∥ implique (en , f ) = an ∥en ∥ (n = 1, . . . , M ) pour la base orthogo-
nale, donc Pan optimal est indépendants de M. Si la base était non-orthogonale, il faudrait résoudre les équations couplées,
(en , f ) = M k=1 ak (en , ek ) (n = 1, . . . , M ).
2.3 L’égalité de Parseval et l’inégalité de Bessel
L2 P
Une fois que la série de Fourier, f (x) = m am em (x), est établie, l’orthogonalité de base {em } assure une égalité
“pythagoricienne” et les inégalités suivantes :
L2 P
Soit f ∈ L2 ([a, b]) et {en } est la base pour cet espace. Si f = (tout)
m an en est la série de Fourier, alors
X
||f ||2 = |an |2 ∥en ∥2 (Egalité de Parseval),
m
où la somme se fait sur tout les vecteurs de base, et

(partiel)
X
2
||f || ≥ |an |2 ∥en ∥2 (Inégalité de Bessel).
m
où la somme se fait sur une partie des vecteurs de base.

— Pour la base orthonormée, on met ∥en ∥2 = 1.
Un des applications de l’égalité de Parseval est la dérivation de sommes un peu surprenantes : e.g. f (x) = x et
g(x) = x2 dans −π < x < π, ce théorème donne, respectivement,
∞ ∞
i(−1)n 2 π 2 2(−1)n 2 4π 4
X X
n = 6, n2 = 90 .

n=1 n=1
2.3.1 Complétude — comment trouver une base ?
La question est comment on peut trouver, d’une manière systématique, un ensemble de fonctions {en } qui engendrent
l’espace L2 , i.e., la complétude de l’ensemble ?
Une approche très importante, aussi en mécanique quantique, est d’utiliser des fonctions propres d’un opérateur
hermitien. Cette approche permet de trouver une base orthogonale, pas seulement complète :
Définition — Opérateur hermitien :
Soit L un opérateur différentiel définit sur un domaine D.
L sous une condition aux limites spécifiée est l’opérateur hermitien

⇔
Pour ∀f et ∀g suffisamment dérivables dans L2 (D) et conformes à la condition aux limites, l’égalité (f, Lg) =
(Lf, g) est vérifiée.
La condition,(f, Lg) = (Lf, g), se traduit
Z Z
∗
∗
f (x)(Lg(x))dx = Lf (x) g(x)dx.
D D
Ça implique que les termes qui apparaissent lors de l’intégrale par partie sont éliminés par la condition aux limites. (Voir
l’annexe de ce chapitre.)
Théorème — Soit L un opérateur hermitien sur le domaine D avec des conditions aux limites spécifiés.
⇒ L’ensemble de fonctions propres de L peuvent se constituer en base orthogonale de L2 (D).
C’est un théorème homologue à un théorème pour la matrice hermitienne : La matrice correspond à l’opérateur différentielle
complété par la condition aux limites. (→ Annexe)
2.3.2 Composition de Base par l’opérateur hermitien
On verra quelques examples de base orthogonale retrouvés par différents choix d’opérateur hermitien mais aussi par
différents choix de condition aux limites.
Exemple 1 : Série de Fourier réelle :

L’opérateur
d2
L=−
dx2
(“l’énergie cinétique d’une particule libre”) sur [0, 2π] est hermitien sous les conditions périodique aux limites 43 :
f (2π) = f (0), f ′ (2π) = f ′ (0).
Par cet opérateur on trouve la base suivante :
Pour L2 ([0, 2π]), pour les fonctions f : [0, 2π] → R, la suivante constitue une base :
e0 (x) = 1;
en (x) = cos(nx) (n ∈ N+ );
dn (x) = sin(nx) (n ∈ N+ )
La représentation
∞
X
f (x) = a0 + [an cos(nx) + bn sin(nx)]
n=1
donne des coefficients réels, {a0 , an , bn }n∈N+ .

La même base est valable aussi pour L2 ([−π, π]) ou L2 ([α, α + 2π]) en général. 44
Chaque valeur propre n2 (n ∈ N+ ) de L est dégnérée ayant un sous-espace bidimensionnel, on a choisi deux
“vecteurs” orthogonaux, cos(nx) et sin(nx). 45
Pour trouver a3 , par exemple, il suffit de calculer (cos(3x), f ) = a3 ∥ cos(3x)∥2 = πa3 .
On peut généraliser la base ci-dessus, par exemple, pour L2 [0, x0 ] :

Pour L2 ([0, x0 ]), la suivante est une base :
e0 (x) = 1;
2π
en (x) = cos( nx) (n ∈ N+ );
x0
2π
dn (x) = sin( nx) (n ∈ N+ ).
x0
R 2π
43. 0 f (x)(−g ′′ (x))dx =
R 2π
[f (x)(−g ′ (x)) + f ′ (x)g(x)]2π ′′
0 + 0 (−f (x))g(x)dx.
′ ′
Le terme au bord, [f (x)(−g (x)) + f (x)g(x)]2π 0 , peut être éliminé par les conditions périodiques aux limites. (Added on 20201121) : La solution
√
générale pour Lf = λ2 f est f = aeiλx +be−iλx . (On pourrait mettre λ = µ mais rien ne change.) Alors, f (0) = f (2π) impose a+b = aei2πλ +

1 − e+ 1 − e− a 0
be−i2πλ , tandis que f ′ (0) = f ′ (2π) impose a−b = aei2πλ −be−i2πλ . Si on écrit e± ≡ e±i2πλ on a = ,
1 − e+ −1 + e− b 0
2 inx −inx 2 2
donc (1 − e+ )(1 − e− ) ∝ sin (πλ) = 0, d’où λ = n ∈ Z. Puisque {e , e } sont dégénérés avec λ = n (sauf n = 0), on peux aussi
choisier {cos(nx), sin(nx)}, excepté sin 0x = 0.
44. cf. (an + bn i)einx = [e−iα (an + bn i)]ein(x+α) .
45. On peut choisir une phase arbitraire pour chaque n, i.e., {cos(nx + αn ), sin(nx + αn )}.
La même base est valable aussi pour L2 ([− x20 , x20 ]), voir même pour L2 ([a, a + x0 ]) (a ∈ R est arbitraire).
Exemple 2 : Série de Fourier complexe :
Une base complexe pour L2 ([0, 2π]) peut être retrouvée par
d
L = −i
dx
(“la quantité de mouvement d’une particule quantique”) sous la condition aux limites, 46
f (2π) = f (0).
Une base dans L2 ([0, 2π]) pour les fonctions [0, 2π] → C est
{en (x) = einx } (n ∈ Z).
Sa généralisation pour L2 ([a, a + x0 ]) est

2π
ix nx
{en (x) = e 0 }, (n ∈ Z).
d
Pour trouver la dernière base la condition périodique f (a + x0 ) = f (a) était imposée avec L = −i dx .
Remarque : Nous avons choisi la base trigonométrique dont le période est égale à la largeur de domaine. Cet aspect n’est
pas une règle nécessaire pour la base. Voir exemples ci-dessous.
R 2π R 2π
46. Pour L = −i dx d
, on a 0 f ∗ (x)(−ig ′ (x))dx = [−if ∗ (x)g(x)]2π ′ ∗ ∗ 2π
0 + 0 (−if (x)) g(x)dx. Donc la condition [f (x)g(x)]0 = 0 est
imposée pour que L soit hermitien. (Voir Annexe pour les détails.)
2.4 Recomposition de f par une série de Fourier 46
Exemple 3 : Série de Fourier réelle avec une souplesse :

Dans l’espace fonctionnel L2 ([0, π]) on peut construire différentes bases, comme fonctions propres de l’opérateur,
d2
L=− ,
dx2
mais sous différents choix des C.B. 47 :
1. ϕ(0) = ϕ(π) = 0 ⇒ Base : ϕn = sin nx (n ∈ N+ ).
2. ϕ′ (0) = ϕ′ (π) = 0 ⇒ Base : ϕn = cos nx (n ∈ N0 48 ).
3. ϕ(0) = ϕ′ (π) = 0 ⇒ Base : ? ? (Voir TD)
4. ϕ′ (0) = ϕ(π) = 0 ⇒ Base : ? ? (Voir TD)
5. ϕ(0) = ϕ(π) et ϕ′ (0) = ϕ′ (π) ⇒ Base : ϕn = e2inx (n ∈ Z) (cf. Exemple 1 avec x0 = π).
Exemple 4 : Polynôme de Legendre :

Dans L2 ([−1, 1]) on définit
d d
L=− (1 − x2 ) .
dx dx
Sous la condition 49 :
“f (x) : finie pour x → ±1 ”
L est hermitien. Les polynômes de Legendre, {Pn (x)}n∈N∪{0} , sont ses fonctions propres :
LPn (x) = n(n + 1)Pn (x)
et donc se constitue une base orthogonale de L2 ([−1, 1]). Les premiers sont 50 :
3x2 − 1
P0 (x) = 1, P1 (x) = x, P2 (x) = ,
2
5x3 − 3x 4 2
35x − 30x + 3
P3 (x) = , P4 (x) = ,...,
2 8
R1 R1
Remarque 1 : La specification du domaine [a, b] est crucial. Par exemple, −1 P3 (x)P4 (x)dx = 0, mais 0 P3 (x)P4 (x)dx ̸=
0.
Remarque 2 : Notez que Pn (x) est un polynôme d’ordre n. Puisque le groupe {Pm (x) (∀m > n)} est orthogonaux à
groupe {Pk (x) (∀k ≤ n)}, n’importe quel polynôme de l’ordre n (e.g. xn ) peut être recomposé seulement par le dernier
groupe.
2.4 Recomposition de f par une série de Fourier
Une fois que la bonne base orthogonale est trouvée, on s’attend à ce que n’importe quel “vecteur” f peut étre
recomposée comme une somme :
L2
X
f (x) = an en (x).
n
47. Le terme de bord de l’intégrale par partie est [f (x)(−g (x)) + f ′ (x)g(x)]π0 .
′
48. N0 ≡ N+ ∪ {0}
1
Le terme aux bords de l’intégrale est (x2 − 1)(f (x)g ′ (x) − f ′ (x)g(x)) −1 . Voir Annexe pour les détails.

49.
1
50. Elles sont générées par la relation inductive Pn+1 (x) = n+1 [(2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x)] (n ≥ 1).
L2
Il faut, quand-même, savoir le sens de l’égalité “ =”.
Soit {en } la base pour l’espace L2 ([a, b]).

1. La “série de Fourier” n an en (x), a ≤ x ≤ b pour une f ∈ L2 ([a, b]) est donnée avec les coefficient de
P
Fourier,
(em , f )
am = .
||em ||2
2. Cette série de Fourier reconstitue f dans le sens L2 ([a, b]), c-à-d 51 ;
∞
X
∥f − an en ∥ = 0,
n
Intuitivement, la différence, X
∆(x) := f (x) − am em (x),
m
Rb
peut rester non-zéro pour certaines valeurs de x tant que l’intégrale (sa norme carrée), ||∆||2 = a |∆(x)|2 dx, soit zéro. 52
Il y en a encore quelques précisions :
(Théorème (Dirichlet)) Soit f ∈ L1 ([a, b]) bornée(*) et que f , f ′ sont continues par morceaux (i.e., continues
pour x ∈ [a, b] excepté des points dénombrablement finis). Alors...
1. En x où f (x) est continue ∆(x) = 0, i.e.,
X
an en (xj ) = f (x)
n
et la série de Fourier converge simplement vers f (x). (*) 53

2. En x = xj où f (x) est discontinue,
X 1
an en (xj ) = f (xj − 0) + f (xj + 0) ,
n
2
indépendamment de la valeur de f (xj ).
Annexe – Matrice hermitienne

1. Soit L une matrice carrée. En général, (⃗u, L⃗v ) = (L† ⃗u, ⃗v ) où L† est la matrice adjointe (ou conjugué hermitienne)
de L.
→ i u∗i ( j Lij vj ) = j ( i L∗ij ui )∗ vj .
P P P P
2. Quand L† = L, on dit que L est hermitienne. Dans ce cas-là, (⃗u, L⃗v ) = (L⃗u, ⃗v ) (ou ⟨⃗u|L|⃗v ⟩ = ⟨⃗v |L|⃗u⟩ par la notation
de Dirac.)
3. Si L est hermitienne et si elle a des valeurs propres λi et λj et les vecteurs propres ⃗ui et ⃗uj y associés, alors
i) Les valeurs propres sont réelles
52. Par exemple, ∆(x) = 1 pour x : rationnel, et ∆(x) = 0 pour x : irrationnel.
53. f ∈ L2 ([a, b]) implique f ∈ L1 ([a, b]) pour le domaine fini, [a, b].
→ En effet
λ∗i ⟨⃗ui |⃗uj ⟩ = ⟨(λi ⃗ui )|⃗uj ⟩ = ⟨(L⃗ui )|⃗uj ⟩ ≡ ⟨⃗ui |L|⃗uj ⟩ = λj ⟨⃗ui |⃗uj ⟩ veut dire que (λ∗i − λj )⟨⃗ui |⃗uj ⟩ = 0. En mettant
i = j on trouve que les valeurs propres sont réelles.
ii) Les sous-espaces associes aux différentes valeurs propres sont mutuellement orthogonales.
→Pour λi ̸= λj (mais réeles) on trouve ⟨⃗ui |⃗uj ⟩ = 0, λi ̸= λj .
4. Lorsque une valeur propre est dégénérée, on peut trouver des vecteurs orthogonaux qui engendre le sous-espace
associé à telle valeur propre.
Annexe – Exemple de l’opérateur hermitien et sa condition aux limites
En général, l’intégrale par partie appliquée à D f ∗ (x)Lg(x)dx prend la forme :

R
Z
f ∗ (x)Lg(x)dx = [(termes aux bords)]∂D
D Z
+ (L† f (x))∗ g(x)dx,
D
(2.5)
où l’opérateur adjoint, L† , n’est pas (toujours) identique à L. Ci-dessous, on examinera deux cas où L† = L. Pour que tel
opérateur L devienne hermitien, la condition aux limites doit être choisie proprement.
Exemple 1 :
Soit L2 ([a, b]) l’espace fonctionnel pour les fonctions f : [a, b] → R de carrée intégrable. Soit l’opérateur
d d
L= d(x)
dx dx
sur L2 ([a, b]).
Z b
d d
(f, Lg) = f (x)
d(x) g(x) dx
dx dx
a b
d
= f (x)d(x) g(x)
dx a
Z b
d
− f ′ (x)d(x) g(x)dx
a dx
b
d ′
= f d(x) g − f d(x)g
dx
Z b a
d ′
+ (d(x)f (x)) g(x)
a dx
b
= d(x)(f g ′ − f ′ g) a + (Lf, g),

(2.6)
Si et seulement si [d(x)(f (x)g ′ (x) − f ′ (x)g(x))]ba = 0 est imposée, on aura (f, Lg) = (Lf, g) et l’opérateur L = L† =
d d
dx d(x) dx est hermitien.
Quand on dit L est hermitien les objets de l’opérateur sont supposés satisfaire la condition aux limites spécifiée. 54
Mais ça n’a rien à voir avec les fonctions dans L2 dont on cherche les séries de Fourier.
cas 1 .
D = [0, π], d(x) = −D0 et f (0) = f (π) = 0
d2
⇒ L = −D0 dx 2 est hermitien. La base : {sin(nx)}n∈N .
cas 2 .
D = [−1, 1], d(x) = x2 − 1 et f (±1) et f ′ (±1) sont finis.
d d
⇒ L = − dx (1 − x2 ) dx est hermitien.
La base : { polynômes de Legendre : Pℓ (x)}.
54. On dit, symboliquement, que un opérateur sans condition aux limites est une matrice où il manque certaines lignes et colonnes.
Exemple 2 :
Soit L2 ([a, b]) l’espace fonctionnel pour les fonctions f : [a, b] → C de carrée intégrable. Soit l’opérateur
d
L = −i
dx
sur L2 ([a, b]).
Z b
d
(f, Lg) = f ∗ (x) −i g(x) dx
a dx
Z b
∗ b d ∗
= −i[f (x)g(x)]a + i f (x) g(x)dx
dx
Z ba ∗
∗ b d
= −i[f (x)g(x)]a + −i f (x) g(x)dx
a dx
= −i[f ∗ (x)g(x)]ba + (Lf, g). (2.7)
Donc ssi [f ∗ (x)g(x)]ba = 0, l’opérateur L = −i dx

d
est hermitien :
(f, Lg) = (Lf, g).
Puisque L est la dérivée première, une seule condition aux limites peut être imposée ⇒ f (a) = f (b) (condition périodique).
d
Alors que l’équation −i dx ϕ = kϕ admet une solution générale ϕ ∝ eikx pour n’importe quelle valeur de k, la condition
2πn
f (a) = f (b) choisit k = b−a où n ∈ Z.
cas 3 .
D = [0, 2π], et f (0) = f (π)
d
⇒ −i dx est hermitien. La base ={einx }n∈Z .

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Last modified : 27 octobre 2022

-Mathématiques pour la physique. M. Courbage, P. Benoist-Gueutal

1.1 Intégrale sur un chemin et le théorème de Green

(Définition : “courbe de Jordan”)

où le rotationnel (à 2D), rot2⃗v , est défini par

Le corollaire suivant est essentiel :

1. Une version plus générale de ce théorème est le théorème de Stokes.

= [−g(x, ymax (x)) + g(x, ymin (x))]dx

= [h(xmax (y), y) − h(xmin (y), y)]dy

1.2 Base de nombres complexes et fonctions complexes

1.2.1 Nombres complexes

* Soit i une des deux solutions de l’équation z 2 = −1.

* Pour chaque z = x + iy ∈ C il y a un complex conjugué z̄ = x − iy ∈ C.

r cos θ + ir sin θ 7→ (r cos θ, r sin θ)

Une des conséquences importantes - Formule de Moivre ;

(cos θ + i sin θ)n = einθ = cos(nθ) + i sin(nθ)

1.2.2 Fonction complexe au sens large

f à ce niveau est essentiellement l’application de R2 ∋ (x, y) dans R2 ∋ (u, v).

Exemple. Pour f (z, z̄) ≡ 2x + i(y + 1) on trouve u(x, y) = 2x et v(x, y) = y + 1.

1.2.3 Dérivées formelles par z et par z̄

appliquant “la dérivée partielle” par z ou par z̄ comme si z et z̄ sont indépendants.

* Une identité qui support l’idée d’indépendance entre z et z̄ est la suivante :

1.3 Fonction holomorphe et conditions de Cauchy-Riemann

1.3.1 Fonction holomorphe

Definition (Fonction holomorphe) :

Quelques fonctions holomorphes :

cos(iz) = cosh(z), cosh(iz) = cos(z)

Log(z) et les fonctions associées à Log(z) :

définir une coupure qui ne soit pas une droite.

Log(−R + iϵ) − Log(−R − iϵ)

z α = |z|α eiα(arg0 (z)+2mπ) (m ∈ Z),

1.3.2 Fonction holomorphe et dérivée

Pour une fonction holomorphe f (z)

f (z0 + (dx + idy)) − f (z0 )

1.3.3 Une astuce pour retrouver les relations de CR

1 ∂(u + iv) 1 ∂(u + iv)

10. NB : Le facteur i fait tourner eiθ0 de π/2 dans le plan complexe.

1.4 Théorème de Cauchy et primitive d’une fonction holomorphe

1.5.1 Théorème de Cauchy

Soit f (z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D.

1. On va écrire f (z) comme f (z) = u + iv.

où les conditions de CR ont été utilisées.

1.5.2 Implication du théorème de Cauchy : primitive de f (z)

13. La version plus générale de ce théorème est le théorème de Stokes.

quelque soit le chemin C(⊂ D) entre z0 et z1 .

Importance de la connectivité simple

D n’est pas simplement connexe.

1. On peut généraliser cette égalité I

1.6.2 Formule de Cauchy

Théorème de Liouville (sur la fonction entière) :

Démonstration : Soit maxz∈C (|f (z)|) = M. En utilisant (1.13) et en choisissant n = 1 et C = CR := {ζ : |ζ − z| = R},

1.6.3 Série entière et fonction holomorphe

Rayon de convergence et disque de convergence :

– Le rapport entre la série entière et la fonction holomorphe est très etroit :

De fonction holomorphe à série entire convergente :

4. En substituant cette identité dans l’expression intégrale de f (z) on obtient

1.7.1 Série de Laurent

Voir le schéma à gauche :

Il est possible que la série soit tronquée pour m ≤ N− et/ou n ≤ N+ .

Théorème de la Série de Laurent :