Exam1718 CC2
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MATH602 : Intégration
Exprimer I en fonction de J.
Exercice 2. Soit µ une mesure de probabilité sur (R, B(R)) telle que µ([−1, 1]) = 1. On
considère la fonction Z
L(z) = ezx µ(dx), z ∈ C.
R
1 Tournez S.V.P.
Exercice 3. On considère la fonction F définie par
Z +∞
2
F (t) = e−x cos(2tx) dx, t ∈ R.
0
∀t ∈ R, F 0 (t) + 2t F (t) = 0.
√
π
(b) En déduire que F (0) = .
2
(c) Donner une expression simple de F (t).
2. En utilisant le théorème de Fubini dont on justifiera l’emploi, en déduire que, pour A > 0,
Z A !
sin x Z +∞ Z A
−xy
dx = sin x e dx dy.
0 x 0 0
Z +∞
sin x π
(b) En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que dx = .
0 x 2
1. Justifier brièvement que Γ(a) et B(a, b) sont bien définis pour a > 0 et b > 0.
2. Montrer que, pour a > 0 et b > 0, Γ(a)Γ(b) = B(a, b) Γ(a + b).
x
Indication. On pourra faire le changement de variable u = x + y, v = .
x+y
2 Fin de l’épreuve