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ENCG Fs2010-2011
A. ALAOUI TAIB
MATHEMATIQUES FINANCIERES
Objet du cours (plan)
CHAPITRE 1 : Rappels essentiels de mathmatiques CHAPITRE 2 : Les intrts simples CHAPITRE 3 : Les intrts composs CHAPITRE 4 : Les emprunts indivis CHAPITRE 5 : Les rentes CHAPITRE 6 : Les emprunts obligataires
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
1. Les puissances 1.1 Dfinition
Pour n entier, suprieur ou gal 1, on appelle puissance nime du nombre rel a, le produit de n facteurs gaux a. On crit le produit : a x a x a x ax a, de n facteurs sous la forme de an : a x a x a x ax a = an n facteurs
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
1. Les puissances 1.2 Oprations sur les puissances
an x ap = an + p (a x b)n = an x bn (an)p = an.p
an a = n b b
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
1. Les puissances On rappelle,
a0 =1 1 m =a m a
am mp =a p a n
a =a1n
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
2. Les logarithmes On appelle logarithme nprien de la variable relle x, la fonction qui tout x, positif non nul, fait correspondre une image relle ln(x) et qui possde les proprits suivantes :
ln (1 ) = 0 Logarithme dun produit de rels strictement positifs :
(1)
ln ( ab ) = ln ( a ) + ln ( b )
(2)
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
2. Les logarithmes Logarithme dune puissance dun rel strictement positif :
ln ( a n ) = n ln ( a )
(3)
Logarithme dun quotient de rels, strictement positifs :
a ln = ln ( a ) ln ( b ) b 1 ln = ln ( a ) a
(4)
(5)
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
2. Les logarithmes Par dfinition, le nombre x ayant pour logarithme 1 (cest dire tel que x soit solution ln(x) = 1), est not e.
ln ( e ) = 1;
e 2, 71828
(6)
Ces proprits peuvent tre tendues :
ln
( q
a = ln ( a 1 n ) = q 1 p
1 ln ( a ) n q p
ln
) = ln (( a ) ) = ln ( a
q ) = p ln ( a )
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
2. Les logarithmes
La fonction rciproque de la fonction ln (x), cest dire la fonction permettant de calculer x, connaissant ln (x), est appele fonction exponentielle de x. Elle est note e x . On a :
x=e
ln( x)
(7)
NB : Dans tout ce quon va voir, on utilisera la fonction logarithme nprien.
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
3. Les suites arithmtiques
Dfinition On utilise frquemment des suites de nombres rangs dans un ordre dtermin : U1, U2, , Un. La suite est dite de terme gnral Un. On appelle suite arithmtique toute suite numrique dont chaque terme est obtenu en ajoutant au prcdent une constante note r et appele raison de la suite arithmtique.
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3. Les suites arithmtiques
Exemples La suite 1, 3, 5, 7, est une suite arithmtique de 1er terme 1 et de raison 2. La suite 10, 7, 4, 1, -2, est une suite arithmtique de 1er terme 10 et de raison -3. De faon gnrale : Un = Un-1 + r
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
3. Les suites arithmtiques
Proprits En notant U1 le premier terme, Un le terme gnral de rang n, et r la raison, une suite arithmtique possde les proprits suivantes : - Calcul du terme gnral dune suite arithmtique en fonction du premier terme de la raison : Un = U1 + (n-1) r - Dans une suite arithmtique, la somme de deux termes Up et Uq quidistants des extrmes est gale la somme des extrmes : Up + Uq = U1 + Un
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
3. Les suites arithmtiques Proprits
- La diffrence entre deux termes conscutifs dune suite arithmtique est gale la raison : Un Un-1 = r - Calcul de la somme Sn des n termes dune suite arithmtique :
n Sn = U1 +U2 + ... +Un = (U1 +Un ) 2
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4. Les suites gomtriques
Dfinition On appelle suite gomtrique une suite numrique dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme prcdent par une constante note q et appel raison de la suite gomtrique. Exemples La suite 1, 2, 4, 8, 16, est une suite gomtrique de 1er terme 1 et de raison 2. La suite 36, 12, 4, 4/3 est une suite gomtrique de 1er terme 36 et de raison 1/3. De faon gnrale : Un = Un-1 . q
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4. Les suites gomtriques
Proprits En notant U1, le premier terme, Un le terme gnral de rang n et q la raison, une suite gomtrique possde les proprits suivantes : - Calcul du terme gnral dune suite gomtrique en fonction du premier terme et de la raison : Un = U1 . qn-1 - Dans une suite gomtrique, le produit de deux termes Up et Uq quidistants des extrmes, est gal au produit des extrmes : Up . Uq = U1 . Un
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4. Les suites gomtriques
Proprits - Le quotient de deux termes conscutifs dune suite gomtrique est gal la raison : U n = q U n 1
- Somme des n premiers termes dune suite gomtrique :
qn 1 1 qn Sn = U1 +U2 +... +Un = U1 = U1 q 1 1 q
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4. Les suites gomtriques
Proprits - Suite gomtrique illimite raison positive. Deux cas de figure sont considrer selon que la raison est suprieure ou infrieure 1. Premier cas (raison suprieure 1) La somme des n premiers termes est : Sn =U1 +U2 +...+Un . Si q > 1 , lorsque n +, alors Sn +. Second cas (raison positive et infrieure 1) Si 0 < q<1, lorsque n +, alors Sn U 1
1 1 q
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
5. Rsolution dune quation par approximation Soit rsoudre lquation f(x) = 0 (cf. figure) - si sur lintervalle ferm [a,b], la fonction f est continue et monotone
f(b)
- si f(a) . f(b) < 0,
x0 c 0 a f(a) A x0 b
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
5. Rsolution dune quation par approximation
Alors il existe une valeur x0, comprise entre a et b, telle que : f(x0) = 0. ' x0 de x0 peut tre obtenue par Une valeur approche
interpolation linaire. En remplaant, sur lintervalle [a,b], la courbe par la droite AB, on a :
ba x =a f (a) f (b ) f ( a ) ' 0
' x0 trouve est une valeur approche de x0 . La valeur
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.1
Calculs directs (2)3 (2)5 = 28 En effet : 23 = 8 ; 25= 32 ; et on a bien : 28 = 256 et 8 x 32 = 256
(34)2 = 38 En effet : 34 = 81 ; 812= 6561 ; et on a bien : 38 = 6561 (3/5)2 = 32/ 52 En effet : 3/5 = 0,6 ; (0,6)2= 0,36 ; 32= 9 52= 25 ; et on a bien : 9/25 = 0,36.
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.1
(3 x 5)2 = (32) x (52) En effet : 3 x 5 = 15 ; 152= 225 ; 32 = 9 ; 52 = 25 et on a bien : 9 x 25 = 225 1/42 = 4-2 = 0,0625 35/32 = 35 -2 = 33 En effet : 35 = 243 ; 32 = 9 ; 243/9 = 27 et on a bien : 33 = 27 3
9 = 913 = 2,08
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.1
Expressions simplifier
3 Simplifier lexpression A : A = 5 A=
1 2 5
2 5
( 3) ( 5) 3
( 1) ( 2) 3
( 2) ( 5) 5
( 1) ( 3) ( 5) 3
( 1) ( 2)
( 2) ( 5) 3
( 1) ( 3) ( 2 ) A= 3 3 5 5) ( 2 ) ( 5) (
(1)( 3) ( 2 ) = 8 5) (
5 3
( 3) ( 2 ) = 8 5) (
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.1
Simplifier lexpression B :
( a b) B= ( ab ) ( a b ) 7 2
2 3 5
a 21b3 a 21b3 a21b3 B = 2 2 10 15 = 2 10 2 15 = 12 17 = a21a 12b3b17 = a9b14 ( a b )( a b ) a a b b a b
Sachant que x + y = 1, calculer x et y pour que 2x = 3y Si 2x = 3y , alors : x ln( 2) = y ln( 3)
ln( 3) x= y ln( 2) Puisque x + y = 1, y ln( 3) ln( 2) + y =1
et
y = 0,3869 x = 0,6131
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.3
Dterminer le cinquime et le vingtime terme dune suite arithmtique de premier terme 12 et de raison 3.
U5 = 12 + ( 5 1) 3 = 24
U 20 = 12 + (19 3) = 69
Dterminer la raison dune suite arithmtique de premier terme 4 et de neuvime terme 24.
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.3
Calculer la somme des vingt premiers nombres impairs.
Il sagit de calculer la somme des vingt premiers termes dune suite arithmtique de premier terme 1 et de raison 2 (suite : 1, 3, 5, 7, ).
20 (U1 + U20 ) S20 = 2
Cherchons U 20 = 1 + ( 20 1) 2 = 39
20 (1 + 39) S20 = = 400 2
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.3
La location dune voiture valant 60.000 DH revient 800 DH par mois pendant le premier trimestre, 750 DH par mois pendant le second trimestre et ainsi de suite jusquau sixime trimestre inclus. Au del, le tarif mensuel demeure le mme quau cours du sixime trimestre. 1) Quel est le prix de location mensuel au cours du sixime trimestre ? 2) Au bout de combien de trimestres la somme verse pour la location est-elle gale au prix de la voiture ?
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
1) Le prix de location mensuel est une suite arithmtique de premier terme U 1 = 800 et de raison r = -50. Pour U 6 (le prix de location mensuel au cours du 6ime trimestre), nous aurons : U 6 = 800 + ( 6 1) ( 50 ) = 550 2) Faisons le calcul pour les 6 premiers trimestres o le prix de location suit une suite dcroissante de raison -50 DH/ trimestre.
6 ( 2400 + 1650 ) S6 = = 12.150 2
Il manque donc 60.000 12.150 = 47.850 DH pour atteindre le prix de la voiture. A raison de 550 DH par mois, il faudra encore 87 mois soit 29 trimestres pour atteindre cette somme. Au bout de 35 trimestres, le prix de la location est gal au prix dachat de la voiture.
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.4
Dterminer le sixime et le quinzime terme dune suite gomtrique de premier terme 3 et de raison 2. U6 = 3 261 = 3 25 = 96
U15 = 3 214 = 49.152
Dterminer la raison dune suite gomtrique de premier terme 4 et de septime terme 2.916
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.4 Combien dascendants un individu possde-t-il la dixime gnration ?
Quel est le nombre total dascendants dun individu, de la premire gnration la dixime incluse ?
Soit une suite gomtrique de premier terme 1 et de raison ; 1) Calculer la somme des cinq premiers termes. 2) Calculer la somme des dix premiers termes. 3) Quelle est la limite de cette somme quand le nombre de termes tend vers linfini ?
Cette technique fastidieuse permet cependant de voir que, lorsque la raison est < 1, les termes successifs de la suite sont de plus en plus faibles et que la somme de ces termes augmente de moins en moins rapidement pour se rapprocher dune limite.
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
6. Applications 6.5
3 2 Rechercher une valeur de x telle que : 3x + x + 5x = 2
3 2 On pose : f (x) = 3x + x + 5x 2 = 0
x=0; x=1;
f(0) = -2 f(1) = 7
On affine lencadrement en retenant chaque fois deux valeurs de x donnant lune une image positive, lautre une image ngative : x= 0 +1 = 0,5 2
f ( 0,5) = 1,125
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
x=
0 + 0,5 = 0,25 2
f ( 0,25) =0,6406 ; f ( 0,375) = 0,1738
x=
0,25 + 0,5 = 0,375 2
Il existe donc une solution entre 0,25 et 0,375. Une valeur approche peut tre obtenue par interpolation linaire :
x' 0,25 0 + 0,6406 = 0,375 0,25 0,1738+ 0,6406
do,
x' = 0,3483
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CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques
On peut vrifier que : 3 2 3 ( 0,3484 ) + ( 0, 3484 ) + 5 ( 0, 3484 ) = 1,9903 ; rsultat assez proche de 2. Si lon veut un rsultat plus prcis, il faut chercher un encadrement plus fin : Pour x= 0, 375 + 0, 250 = 0, 3125 ; 2 x1'
