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Intégration (suite)
Ce qui suit comporte trois parties : la première correspond à peu près à ce qui a été traité
lors du dernier cours, certains exemples du cours et d’autres calculs sont présentés dans
la deuxième, la troisième aborde la question des champs de vecteurs dans l’espace et les
théorèmes de Stokes et de Gauss-Ostrogradsky, dont il n’a pas été question en cours faute
de temps (aucune question ne portera sur ce paragraphe 3 à l’examen).

1 Champs de vecteurs et intégrales curvilignes

1.1 Définition

Définition 1.1. Soit U ⊂ Rn un ouvert.

Un champ de vecteurs sur U est une application F de U dans Rn de classe C 1 . L’ap-
plication F associe un vecteur à chaque point.

Exemples
(1) F (x , y) = (− y , x)
(2) F (x , y) = (1 , 0)
(3) F (x , y , z) = (x , y , z)
X
(4) F (X) = si X 6= 0
kXk
(5) Si f est une fonction de Rn dans R, soit F (x) =t 5f (x).
Ce champ de vecteurs est appelé champ gradient.

1.2 Intégrale curviligne

Définition 1.2. Soient r : [a , b] → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 et F un

champ de vecteurs défini sur l’image de r (qui est une courbe C).
Alors on pose : Z Z b
F dr = F (r(t)) · r0 (t) dt
C a
Cette quantité s’appelle intégrale curviligne de F sur C.

Exemples
r(t) = (t , tn ) , 0 6 t 6 1
F (x , y) = (− y , x)
Interprétation : notion de travail d’une force

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Proposition 1.3. Les principales propriétés sont :

Z Z Z
(aF1 + bF2 ) dr = a F1 dr + b F2 dr
C C C
Z
Si C est paramétré dans un sens par r, dans l’autre par s, on a : F dr =
Z C

− F ds .
C
Z Z Z
Si C = C1 + C2 alors : F dr = F dr + F dr .
C C1 C2

1.3 Champs gradient et indépendance de chemin

Définition 1.4. F champ de vecteurs est un champ gradient s’il existe f de U dans R
telle que F = 5f .

Exemple
F (x , y) = (y , x)
Z
Théorème 1.5. Si F est un champ de gradient alors F dr ne dépend que des extrémités
C
de C.

Théorème 1.6. On a équivalence entre :

- F est un champ de gradient.
Z
- F dr ne dépend que des extrémités de C et ceci pour tout chemin de C.
C

Proposition 1.7. Si F = (F1 , F2 , . . . , Fn ) est un champ de gradient alors :

∂Fi ∂Fj
∀i , ∀j , =
∂xj ∂xi

Théorème 1.8. Soit F un champ de vecteurs sur U .

∂Fi ∂Fj
Si U est un ouvert étoilé alors F est un champ de gradient si et seulement si =
∂xj ∂xi
pour tout i et tout j.

1.4 Théorème de Green-Riemann

Soit S ⊂ R2 un domaine compact délimité par une courbe fermée, simple et C 1 par
morceaux.
On oriente C = ∂S en disant que le sens direct est celui qui laisse S à gauche.

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Théorème 1.9. (de Green-Riemann)

Soient S un domaine compact, C = ∂S Z son bord orienté
Z Z positivement.
∂f2 ∂f1
Si F (x , y) = (f1 (x , y) , f2 (x , y)) alors F dr = − dx dy .
C S ∂x ∂y
Démonstration : Dans le cas d’un rectangle [a, b]×[c, d]. Il suffit de calculer successivement
les deux termes de l’égalité apparaissant dans l’énoncé du théorème et de constater qu’on
obtient le même chose.
Z Z b Z d
F dr = h(f1 (x, c), f2 (x, c)), (1, 0)i dx + h(f1 (b, y), f2 (b, y)), (0, 1)i dy
C a c
Z b−a
+ h(f1 (b − t, d), f2 (b − t, d)), (−1, 0)i dt
0
Z d−c
+ h(f1 (a, d − s), f2 (a, d − s)), (0, −1)i ds
0
Z b Z d
= f1 (x, c) dx + f2 (b, y) dy
a c
Z b
− f1 (u, d) du
a
Z d
− f2 (a, v) dv
c
Z b Z d
= (f1 (x, c) − f1 (x, d)) dx + (f2 (b, y) − f2 (a, y)) dy.
a c

Attention aux signes dans le calcul précédent (on a posé u = b − t et v = d − s après le

deuxième signe =).
ZZ   Z d Z b  Z b Z d 
∂f2 ∂f1 ∂f2 ∂f1
− dx dy = (x, y) dx dy − (x, y) dy dx
S ∂x ∂y c a ∂x a c ∂y
Z d Z b
= (f2 (b, y) − f2 (a, y)) dy − (f1 (x, d) − f1 (x, c)) dx.
c a

Notation
Voici une autre façon,
Z équivalente, d’énoncer
Z Z la conclusiondu théorème de Green-Riemann :
∂Q ∂P
Si F = (P , Q) : P dx + Q dy = − dx dy .
ZC I S ∂x ∂y
En plus, au lieu de on écrit parfois pour rappeler que le chemin C est une boucle.
C C
Z Z
1
Corollaire 1.10. Aire S = x dy = − y dx + x dy .
C 2

Application de Green-Riemann
Si G(u , v) = (x(u , v) , y(u , v)) est un changement de variables d’un domaine R à un

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domaine G(R) alors :

ZZ ZZ
dx dy = | det J(G)| du dv
G(R) R

1.5 Intégrales de surface

1.5.1 Surfaces dans R3

On peut décrire une surface de R3 de trois manières :

a) Surface de niveau
S = {(x , y , z) ∈ R3 / f (x , y , z) = 0} où f est une fonction de R2 dans R.
Exemple : f (x , y , z) = x2 + y 2 + z 2 − R2 = 0.
b) Graphe d’une fonction z = f (x , y)
Exemple : z = x2 + y 2 .
c) Surface paramétrée
Soit r : T → R2 où T ⊂ R2 : r(u , v) = {x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)}.
Exemple : sphère, cône en coordonnées sphériques ou cylindriques.

1.5.2 Aire de S = r(T )

ZZ
On a Aire (T ) = 1 du dv.

On cherche maintenant à définir l’aire d’une surface paramétrée.

Cas d’une partie plane.
Cas d’une surface paramétrée. Prenons une surface paramétrée par un carré pour simplifier
l’écriture.
F : [0, 1]2 → R3 : (s, v) 7→ F (u, v).
Comme dans le cas d’une courbe on essaye d’approcher la surface par une surface consti-
tuée par la réunion de morceaux de plans.

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Posons xi,j = F (i/n, j/n). Lorsque i et j varient de 0 à n on obtient ainsi n2 points

répartis sur la surface. Considérons la surface définie comme la réunion de tous les triangles
[xi,j xi,(j+1) , x(i+1),j ] et [x,ij xi,(j−1) , x(i−1),j ]. Cette surface colle de plus en plus à la surface
paramétrée lorsque n augmente.
Calculons l’aire d’un triangle [xi,j xi,(j+1) , x(i+1),j ]. C’est la moitié de la norme du produit
vectoriel des vecteurs xi,(j+1) − xi,j et x(i+1),j − xi,j . Un développement de Taylor donne

xi,(j+1) − xi,j = F (i/n, (j + 1)/n) − F (i/n, j/n)

= F 0 (i/n, j/n)(0, 1/n) + (1/n)/n
∂F
= (i/n, j/n)/n + (1/n)/n,
∂v

x(i+1),j − xi,j = F ((i + 1)/n, j/n) − F (i/n, j/n)

= F 0 (i/n, j/n)(1/n, 0) + (1/n)/n
∂F
= (i/n, j/n)/n + (1/n)/n.
∂u
Le produit vectoriel est donc égal à
 
1 ∂F ∂F
(i/n, j/n) ∧ (i/n, j/n) + (1/n) ,
n2 ∂u ∂v
et la norme de ce vecteur est
 
1 ∂F ∂F
(i/n, j/n) ∧ (i/n, j/n) + η(1/n) .
n2 ∂u ∂v

L’aire du triangle [xi,j xi,(j+1) , x(i+1),j ] est donc

 
1 ∂F ∂F
(i/n, j/n) ∧ (i/n, j/n) + η(1/n) .
2n2 ∂u ∂v

Le même calcul montre que l’aire du triangle [xi,j xi,(j−1) , x(i−1),j ] est aussi
 
1 ∂F ∂F
(i/n, j/n) ∧ (i/n, j/n) + η(1/n) .
2n2 ∂u ∂v
Lorsque l’on fait la somme des aires de tous ces triangles on obtient donc la somme
!
1 X ∂F ∂F
(i/n, j/n) ∧ (i/n, j/n) + η(1/n)
n2 i,j ∂u ∂v

et la différence de cette somme avec

!
1 X ∂F ∂F
(i/n, j/n) ∧ (i/n, j/n)
n2 i,j
∂u ∂v

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tend vers 0. Or lorsque n tend vers l’infini cette somme converge vers l’intégrale double
ZZ
∂F ∂F
∧ du dv.
[0,1]2 ∂u ∂v

C’est donc par cette intégrale double qu’on définit l’aire de la surface paramétrée.
ZZ
∂r ∂r
Définition 1.11. On pose : Aire (S) = ∧ du dv.
T ∂u ∂v
1) Si r est injective alors S = r(T ) est une surface paramétrée simple.
∂r ∂r
2) Si ∧ 6= 0 sur T , alors S = r(T ) est dite lisse (on suppose r de classe C 1 ).
∂u ∂v
s  2  2
ZZ
∂f ∂f
Cas particulier : S est définie par z = f (x , y) alors Aire(S) = 1+ + dx dy.
∂x ∂y

1.5.3 Intégrale de surface

Si f : R3 → R est bornée sur S = r(T ). Alors :

Définition 1.12. On appelle intégrale de surface

ZZ ZZ
∂r ∂r
f dS = f (r(u , v)) ∧ du dv.
r(T ) T ∂u ∂v

Exemple
Calcul d’aire
Recherche de centre de gravité

1.6 Changement de paramétrage

Proposition 1.13. L’intégrale de surface est inchangée quand on change de paramétrage.

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2 Aires et volumes de figures courantes

2.1 Boules

2.1.1 Le périmètre du cercle

La lettre grecque π est utilisée pour désigner le coefficient de proportionnalité entre le

diamètre d’un cercle et son périmètre. C’est sa définition. Mais pour que cette définition
ait un sens il faut montrer que le diamètre et le périmètre d’un cercle sont proportion-
nels. Pourquoi est-ce le cas ? On peut le constater expérimentalement. On peut définir la
longueur d’une courbe comme limite de longueur de lignes brisées qui approchent bien la
courbe. Dans le cas du cercle par exemple on peut approcher le cercle par la suite des
polygones réguliers inscrits dans le cercle. Le théorème de Thalès montre que la longueur
de ces polygones est proportionnelle au diamètre du cercle. La limite de ces longueurs,
c’est-à-dire le périmètre du cercle, l’est donc aussi.
Muni de cette définition de π, il est alors possible de montrer différentes formules donnant
les aires ou volumes de figures courantes.

2.1.2 L’aire du disque

Prenons un disque. Découpons le en quartiers égaux et réarrangeons les.

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Lorsqu’on augmente le nombre de parts la figure réarrangée s’approche d’un rectangle de

côtés πR et R et elle garde la même aire que le disque. On en déduit que le disque a une
aire égale à πR2 .
On peut retrouver ce résultat grâce au calcul intégral. En intégrant par tranche :
Z R√
Aire = 4 R2 − x2 dx
0
Z π/2
= 4 R cos(t)R cos(t) dt
0
Z π/2
2 1 + cos(2t)
= 4R dt
0 2
= πR2 ,

calculée grâce au changement de variable x = R sin(t). On peut aussi (et c’est plus simple
quand on connaît l’expression du jacobien du passage en polaires) utiliser les coordonnées
polaires
Z R Z 2π
Aire = r dr dθ
0 0
= 2π.R2 /2
= πR2 .

2.1.3 L’aire de la sphère

Comme archimède

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Avec les intégrales On peut calculer l’aire de S+ = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = a2 , z > 0}

en utilisant la représentation paramétrée f (u, v) = (a cos u cos v , a sin u cos v , a sin v).
L’application

f : [0, 2π[×[0, π/2[→ R3 : (u, v) 7→ (a cos u sin v, a sin u sin v, a cos v)

définit un paramétrage régulier bijectif de la demi sphère privée du point (0, 0, a). La
formule donnant l’aire d’une nappe paramétrée s’écrit
ZZ
∂f ∂f
Aire(S+ ) = k ∧ k dudv.
[0,2π[×[0,π/2[ ∂u ∂v

On a
∂f ∂f
= (−a sin u sin v, a cos u sin v, 0), = (a cos u cos v, a sin u cos v, −a sin v),
∂u ∂v
donc
∂f ∂f
∧ = (−a2 cos u sin2 v, −a2 sin u sin2 v, −a2 sin v cos v),
∂u ∂v
et
∂f ∂f
k ∧ k = a2 sin v.
∂u ∂v
On en déduit
ZZ Z 2π Z π/2
2 2
Aire(S+ ) = a sin v dudv = a ( du)( sin v dv) = 2πa2 .
[0,2π[×[0,π/2[ 0 0

Pour la sphère entière on trouve 4πa2 (v varie de 0 à π).

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Considérons deux plans sécants au centre de la sphère. Ils délimitent quatre secteurs
angulaires dans l’espace et quatre parties de la sphère. L’aire d’une telle partie est pro-
portionnelle à l’angle des demi-plans la définissant. Comme elle vaut 4πa2 pour un angle
de 2π, dans le cas d’un angle α elle vaut 2αa2 . On peut aussi le voir avec le calcul intégral
fait plus haut : au lieu d’intégrer entre 0 et 2π pour u on intègre entre 0 et α. Il faut
remarquer ensuite que seul l’angle des plans définissant une telle portion de la sphère
importe, pas leur orientation.
Cette remarque simple permet de démontrer le théorème de Girard sur les triangle géo-
désiques tracés sur la sphère. Un triangle géodésique sur la sphère est un triangle dont
les côtés sont formés de grands cercles de la sphère. On appelle géodésique d’une surface
les courbes de longueurs minimales entre leurs points. Pour une sphère ces courbes géo-
désiques sont les grands cercles, c’est-à-dire les intersections de la sphère avec les plans
passant par le centre de la sphère.

Théorème 2.1. (Girard) Soit ABC un triangle géodésique tracé sur la sphère de rayon
R d’angles aux sommets α, β, γ. Alors on a la relation suivante

α + β + γ = π + A/R2 ,

où A désigne l’aire du triangle ABC.

La relation liant les angles d’un triangle du plan doit donc être modifiée (on la retrouve
comme cas limite lorsque R tend vers l’infini).
Démonstration Il suffit de voir que les quartiers d’orange d’angles α, β et γ dont les
sommets sont ceux du triangle ABC recouvrent l’équivalent d’une demi-sphère plus deux
fois le triangle ABC on obtient donc 2(α + β + γ)R2 = 2πR2 + 2A ce qui donne l’égalité
souhaitée.

Corollaire 2.2. Soit P un polygone géodésique à n côtés tracé sur la sphère, α1 ,..., αn
les angles en ses sommets, A son aire. On a :
n
X
αi = (n − 2)π + A/R2 .
i=1

De ce théorème on déduit la formule d’Euler-Poincaré pour un polyèdre convexe.

Théorème 2.3. Soit P un polyèdre convexe. On appelle s le nombre de ses sommets, a

le nombre de ses arêtes, f le nombre de ses faces. On a :

a + 2 = f + s.

Démonstration Plaçons P à l’intérieur d’une sphère, le centre de la sphère étant à l’inté-

rieur de P . Projetons ensuite P sur la sphère à partir du centre. Les faces du polyèdre

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deviennent des polygones géodésiques. La somme des aires de ces polygones est l’aire de
la sphère 4πR2 . Lorsqu’on fait la somme de tous les angles on obtient 2π fois le nombre
de sommets de P . On obtient donc d’une part
!
X X
αS − (nF − 2)π = 4π,
F SF

d’autre part XX X
αS = αS = 2πs.
F SF S∈S

Cela fournit l’égalité X

2πs − nF π + 2πf = 4π.
F
P
Mais la somme F nF est égale à 2a (lorsqu’on fait la somme des nombres de côtés des
faces on compte deux fois chaque arête). Finalement, on a

2π(s − a + f ) = 4π,

soit
s + f = a + 2.

Exemples : Pour le cube on a a = 12, f = 6, s = 8 et 12+2=6+8. Pour le tétraèdre on

a a = 6, f = 4, s = 4 et 6+2=4+4. On pourra vérifier cette formule pour le dodécaèdre,
l’icosaèdre,...

2.1.4 Le volume de la boule

À la grecque En tranche En sphériques

2.1.5 Et en dimension plus grande ?

2.2 Solides de révolution

Soit f une fonction positive ou nulle définie sur un intervalle [a, b]. Considérons la partie
de l’espace définie de la façon suivante :
p
V = {(x, y, z) / x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ f (x)}.

C’est le solide obtenu en faisant tourner le graphe de f autour de l’axe des x. Le volume
de V est donné par l’intégrale triple
ZZZ
dxdydz.
V

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En intégrant par tranche (d’abord en y, z, puis en x) on obtient :

ZZZ Z b ZZ ! Z b
dxdydz = √ dydz dx = πf (x)2 dx.
V a {(y,z) / y 2 +z 2 ≤f (x)} a

Le calcul de l’intégrale triple se ramène donc à un calcul d’intégrale simple.

2.3 Cônes

Ce qu’on appelle un cône a un sommet et une base. La formule pour le volume d’un cône
est la suivante : aire de la base fois la hauteur divisé par trois. Montrons-le grâce au calcul.
C’est très simple
Z H Z H
Aire(hauteurh) dh = Aire(hauteurH)h2 /H 2 dh
0 0
Z H
2
= Aire(hauteurH)/H h2 dh
0
= Aire(hauteurH)/H .H 3 /3 = Aire(hauteurH)H/3.
2

2.4 Fenêtre et temple de Viviani

1
ENIGME GEOMETRIQUE DE LA MERVEILLEUSE CONSTRUCTION DE LA
VOUTE HEMISPHERIQUE QUARRABLE
proposée par D. PIO LISCI PUSILLO géomètre, le 4 avril 1692, dont on espère la réso-
lution par les arts secrets des fameux Analystes de l’âge présent, puisque l’homme versé
seulement dans les travaux de la pure Géométrie est incapable, semble-t-il, d’accéder à de
tels mystères.
Parmi les vénérables monuments de la savante Grèce antique, se dresse encore, destiné
à durer éternellement, un Temple très auguste à plan circulaire, dédié à la FÉCONDE
GEOMÉTRIE, qui est recouvert d’une coupole parfaitement hémisphérique à l’intérieur :
mais dans cette coupole quatre fenêtres d’aires égales (disposées autour et sur la base
de l’hémisphère même) sont construites de telle configuration, de telles grandeur, avec
une telle industrie et une telle intelligence que, celles-ci ôtées, la surface courbe restant
de la coupole, ornée d’un travail précieux, peut être quarrée géométriquement. On de-
mande simplement quelle est cette partie quarrable de la surface hémisphérique tendue
comme une voile marine gonflée, par quelle méthode ou par quel art fut-elle obtenue par
l’Architecte Géomètre, et à quelle surface plane quarrable enfin elle est égale ?
1. Pour plus de détails on pourra se reporter au document suivant : http://www.numdam.org:80/
numdam-bin/item?id=CSHM_1987__8__203_0.

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Calcul de l’aire de la fenêtre : À faire.

Calcul du volume du temple : Le calcul se fait en coordonnées polaires. Il s’agit de trouver
le volume de l’ensemble compact

D = {(x, y, z) / x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≤ x, z ≥ 0}.

En coordonnées polaires cet ensemble est décrit par :

∆ = {(ρ, θ, z) / ρ2 + z 2 ≤ 1, ρ ≤ cos(θ), z ≥ 0}.

Onpintégre par tranche : ρ est fixé entre 0 et 1, θ varie de − arccos(ρ) à arccos(ρ), z de 0

à 1 − ρ2 . La formule de changements de variables donne :
ZZ Z
dxdydz = ρdρdθdz
D ∆
Z "Z 1 Z √ 2
arccos(ρ)
! #
1−ρ
= ρdz dθ dρ
0 − arccos(ρ) 0
Z 1 p
= 2ρ 1 − ρ2 arccos(ρ)dρ
0
Z 1
2 3/2
= [−2/3.(1 − ρ ) arccos(ρ)]10 − 2/3. (1 − ρ2 )dρ
0
= π/3 − 4/9.

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3 Champs de vecteurs
Soient F (x , y , z) = (P (x , y , z) , Q(x , y , z) , R(x , y , z)) défini sur S = r(T ).
∂r ∂r N
Soit N = ∧ la normale à S, et n = la normale unitaire.
∂u ∂v kN k
ZZ
Définition 3.1. On appelle flux de F à travers S l’intégrale F · n dS.
ZZ ZZ  
∂r ∂r
Proposition 3.2. On a F · n dS = F (r(u , v)) · ∧ du dv.
S T ∂u ∂v

Exemple
Calculer le flux de (y , − x , 1) à travers la demi sphère x2 + y 2 + z 2 = a2 , z > 0.
ZZ
Notation : le flux se note P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy .

3.1 Théorème de Stokes

Définition 3.3. Soit F = (P (x , y , z) , Q(x , y , z) , R(x , y , z)) un champ de vecteurs

 1 dans R3 . Le rotationnel de F est
de classe C
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
rot(F ) = − , − , − .
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 
∂ ∂ ∂
Formellement, avec la notation ∇ = ∂x , ∂y , ∂z , on peut définir rot(F ) = ∇ ∧ F .

Théorème 3.4. (Stokes)

Soit F un champ de vecteurs de classe C 1 , défini sur un sous-ensemble ouvert de R3 qui
contient
Z S. Supposons
Z que le bord de S est une courbe C. Alors on a :
(rot F ) · n dS = F dα .
S C

Remarque
Dans le cas où S ⊂ R2 , on retrouve Green-Riemann.
Exemple
Vérification de Stokes avec S paraboloïde z = 4x2 − y 2 , z > 0 : F (x , y , z) = (z − y , z +
x , − x − y).

3.2 Interprétation physique - Notion de flux conservatif

3.3 Démonstration du théorème de Stokes

dans le cas où S est donnée par z = f (x , y)

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3.4 Divergence - Théorème de Gauss Ostrogradsky

Définition 3.5. Soit F = (F1 , F2 , F3 ) un champ de vecteurs de classe C 1 dans R3 . La

divergence de F est
∂F1 ∂F2 ∂F3
div(F ) = + + .
∂x ∂y ∂z
Formellement, on peut écrire div(F ) = ∇ · F .

Théorème 3.6. Soit V ⊂ R3 un volume délimité par une surface S fermée et orientée.
Soient n le vecteur unitaire normal vers l’extérieur et F un champ de vecteurs de classe
C 1.
Alors : ZZZ ZZ
div(F ) dx dy dz = F · n dS
V S

Démonstration. : D’abord dans le cas d’un cube.

ZZZ ZZZ
∂F1 ∂F2 ∂F3
div(F ) dx dy dz = ( + + )dx dy dz
[0,1]3 [0,1]3 ∂x ∂y ∂z
ZZ Z 1 ZZ Z 1
∂F1 ∂F2
= ( dx)dydz + ( dy)dxdz
[0,1]2 0 ∂x [0,1]2 0 ∂y
ZZ Z 1
∂F3
+ ( dz)dxdy
[0,1]2 0 ∂z
ZZ
= (F1 (1, y, z) − F1 (0, y, z))dydz
[0,1]2
ZZ
+ (F2 (x, 1, z) − F2 (x, 0, z))dxdz
[0,1]2
ZZ
+ (F3 (x, y, 1) − F3 (x, y, 0))dxdy
[0,1]2

Écrivons maintenant la deuxième intégrale. C’est la somme des intégrales correspondant

à chacune des six faces du cube.
ZZ ZZ ZZ
F · n dS = hF (1, y, z), (1, 0, 0)idydz + hF (0, y, z), (−1, 0, 0)idydz
S [0,1]2 [0,1]2
ZZ ZZ
hF (x, 1, z), (0, 1, 0)idxdz + hF (x, 0, z), (0, −1, 0)idxdz
[0,1]2 [0,1]2
ZZ ZZ
hF (x, y, 1), (0, 0, 1)idxdy + hF (x, y, 0), (0, 0, −1)idxdy
[0,1]2 [0,1]2

En exprimant les produits scalaires apparaissant dans ces intégrales on retrouve la même
expression que plus haut. Cela montre que le théorème est vrai pour le cube [0, 1]3 . Le
même calcul montre qu’il en est de même pour tous les cubes.

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L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

Si on colle deux cubes l’intégrale de volume sur la réunion des cubes est la somme des
deux intégrales. C’est la même chose pour l’intégrale de surface, mais les intégrales cor-
respondant à la face commune sont opposées l’une de l’autre (car les vecteurs normaux
correspondant sont opposés). La somme des intégrales de surface est donc l’intégrale de
surface du pavé obtenu comme réunion des deux cubes. De cette façon on montre que le
théorème est vrai pour toute réunion de cubes.
On peut approcher un domaine par une réunion de cubes. Les intégrales de volume (sur
le domaine et sur la réunion de cubes approchante) seront proches. Reste à voir que ce
sera aussi le cas pour les intégrales de surface.
Cas d’un volume de la forme V = {(x1 , x2 , x3 ) / (x1 , x2 ) ∈ [0, 1]2 , 0 ≤ x3 ≤ φ(x1 , x2 )}.
ZZ ZZ
∂φ ∂φ
F · n dS = hF (x, y, φ(x, y)), (− , − , 1)idxdy
S [0,1]2 ∂x ∂y

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