Mention de MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE

Domaine : SCIENCES ET TECHNOLOGIE

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

TD GEOMETRIE DES SURFACES S4

Année : 2018

Conseil du jour : ”Celui qui aime la mathématique pourrait devenir un bon

mathématicien.” .

EXERCICE I( Formes différentielles et Produit extérieur)

Sur R4 , on définit les formes différentielles α, β et γ suivantes : quel que soit
(x, y, z, t) ∈ R4 on a α (x, y, z, t) = x2 ex+y dx − (4x3 + y 3 ) dy, β (x, y, z, t) = x2 ydx +
y 3 dy, γ (x, y, z, t) = x2 yez+t dz + (xyz − yzt) dt.  
2 ∂ ∂ ∂ ∂
Calculer α∧β, α∧α, d (β)∧γ, d (β), α∧β∧γ, d (β)∧d (γ), α. x +y +z +t
  ∂x ∂y ∂z ∂t
∂ ∂ ∂ ∂
ainsi que γ. 2xy − z2 +z + yz 2
∂x ∂y ∂z ∂t
EXERCICE II( Forme différentielle, Fermeture et Produits)
Soit ω la forme différentielle définie sur R3 \ {0} par :
r
ω = (x2 + y 2 + z 2 ) (xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy).
1. Pour quelle valeur de r la forme ω est-elle fermée (dω = 0) ?
 
∂ ∂ ∂ ∂
2. Pour r = 1, calculer ω. x +y +z +t .
∂x ∂y ∂z ∂t
3. Pour r = 1, calculer dω et ω ∧ dω.
EXERCICE III( Forme différentielle, Fermeture, Exactitude, Primitives
et Facteur intégrant)

1. Considérons la forme différentielle ω (x, y) = (2xy − y 2 ) dx + (x2 − 2xy) dx.

— a) La forme ω est-elle fermée ? exacte ? justifiez votre réponse.
— b) Trouver une primitive F de ω.
2. On consid‘ere la forme différentielle ω = (x2 + y 2 + 2x) dx + 2ydy.
— a) Montrer que ω n’est pas exacte.
— b) Trouver une fonction ϕ (x), non nulle, telle que ω1 = ϕ (x) ω soit exacte.
— c) Trouver alors une fonction f telle que df = ω1 . (On dit que ϕ est un
facteur intégrant.)
3. Même question sur ω = (x2 + 3y) dx + (−y 3 ) dy.
4. Même question sur ω = x2 dx + 2xydy + z 2 dx.
z

5. On considère la forme différentielle ω = (y 3 − 6xy 2 ) dx + (3xy 2 − 6x2 y) dy.

— a) Montrer que ω est exacte sur R2 .
— b) Calculer l’intégrale de ω sur le demi-cercle supérieur de diamètre [AB],
allant de A = (1, 2) vers B = (3, 4).
EXERCICE IV( Champ gradient, Potentiel et Circulation)
On donne le champ vectoriel V~ (x, y, z) = (y 2 cos (x) , 2ysin (x) + e2 z, 2ye2 z).
1. Montrer que ce champ est un champ de gradient.
2. Déterminer le potentiel U (x, y, z) dont dérive ce champ sachant qu’il vaut 1
à l’origine.
 π 
3. Quelle est la circulation de ce champ de A (0, 1, 0) à B , 3, 0 ?
2

EXERCICE V( Aire d’une surface définie par son équation explicite )

On veut calculer l’aire de S définie par {(x, y, z) ∈ R3 /z = x2 + y 2 et z ≤ 4}.
1. Quel est le domaine D ?
2. Calculer σ (x, y).
3. Calculer l’aire de S (il est conseillé d’utiliser les coordonnées polaires pour
calculer l’intégrale double).

EXERCICE VI( Intégrale de surface-application)

On définit la surface S par z = 2x + 2y, x > 0, y > 0, x + 2y < 4.
1. Calculer σ (x, y).
2. Faire une figure représentant D.
3. Que vaut l’aire de D ? En déduire l’aire de S
4. On suppose que S est homogène (c’est-à-dire sa masse surfacique est constante),
calculer les coordonnées du centre de gravité de S.
Indication :
On utilise les notations du théorème suivant :
Etant données une fonction f : R3 −→ R et une surface S dont l’équation cartésienne
explicite est z = ϕ (x, y) , ((x, y) ∈ D), où ϕ est différentiable. On pose : p (x, y) =
∂ϕ ∂ϕ p RR
(x, y) , q (x, y) = (x, y) , σ (x, y) = 1 + p2 (x, y) + q 2 (x, y) alors : S
f dσ =
R∂xR ∂y
D
f (x, y, ϕ (x, y)) σ (x, y) dxdy.
EXERCICE VII (Orientation d’une surface)

1. S est la demi-sphère de centre O et de rayon R, située dans le demi-espace

x ≥ 0, on oriente la surface par les normales unitaires qui font un angle obtus
avec Ox, déterminer le champ de vecteurs unitaires correspondant.
2. S est la surface d’équation z = x2 + y 2 , on oriente la surface par les normales
unitaires qui font un angle obtus avec Oz, déterminer le champ de vecteurs
unitaires correspondant.
3. S est le plan d’équation 2x3y + 5z = 8, on oriente la surface par les normales
unitaires qui font un angle aigu avec Oy, déterminer le champ de vecteurs
unitaires correspondant.
4. S est la surface d’équation x2 + y 2 + 2z 2 = 1, on oriente la surface vers
l’intérieur, déterminer le champ de vecteurs unitaires correspondant.
EXERCICE VIII ( Flux d’un champ de vecteurs à travers une sur-
face orientée)
Soit la surface S d’équation z =x2 + y 2 avec (z ≤ 1) et le champ de vecteurs
z2

V~ de composantes xz, z, − . On oriente S par les normales qui font un
2
angle aigu avec Oz.
(a) Faire une figure représentant S et D.
(b) Calculer p (x, y) , q (x, y) , V˜1 (x, y) , V˜2 (x, y) , V˜3 (x, y), que vaut  ?
(c) Calculer le flux du champ de vecteurs V~ à travers S.
Indication :
On reprend les notations de la proposition suivante :
La surface S est définie par l’équation (z = ϕ (x, y) , (x, y) ∈ D), on sup-
pose que ϕ est différentiable. La surface est orientée,  = 1 si le champ de
normales fait un angle aigu avec Oz,  = −1 sinon . On note p (x, y) =
∂φ ∂φ
(x, y) , q (x, y) = (x, y).
∂x ∂y
Le champ de vecteurs V~ a pour composantes V1 , V2 , V3 , on note V˜1 (x, y) =
V1 (x, y, ϕ (x, y)), V˜2 (x, y) = V2 (x, y, ϕ (x, y)), V˜3 (x, y) = V3 (x, y, ϕ (x, y)).
On a alors l’expression du flux du champ de vecteurs V~ à travers la surface
S orientée
  R: R RR  
~
φS V = ~ ˜ ˜ ˜
V .~ndσ =  D −p (x, y) V1 (x, y) − q (x, y) V2 (x, y) + V3 (x, y) dxdy
S