Chap4 Red TD Etud
Chap4 Red TD Etud
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TD 4 : Réduction
1 Eléments propres
1.1 Niveau 1
1 x
Z
ϕ(f )(0) = 0, et ϕ(f )(x) = f (t) dt, pour x > 0
x 0
Exercice 3.
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
a b d −b
f : M2 (R) → M2 (R); 7→
c d −c a
Exercice 5.PSoit A = (ai,j ∈ Mn (R) vérifiant pour tout (i, j) ∈ [[1, n]]2 , ai,j > 0 et pour tout
i ∈ [[1, n]] : nj=1 ai,j = 1.
i) Montrer que 1 ∈ Sp(A).
ii) Justifier que si λ ∈ C est valeur propre de A, alors |λ| ≤ 1.
iii) Observer que si λ ∈ C est valeur propre de A et vérifie |λ| = 1, alors λ = 1.
Exercice 6. Donner un exemple d’un C-espace vectoriel E non réduit à {0} et d’endomorphisme
f ∈ L(E) sans valeur propre.
1.2 Niveau 2
(0) 0
et
M atC (g) = Diag(λ, λ + 1, ..., λ + n − 1)
Exercice 8.
Soit E = C ∞ (R) et
Φ : E → E; f 7→ Φ(f ) : t 7→ f (t) − tf 0 (t)
Déterminer les éléments propres de cet endomorphisme.
Exercice 9. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). on dit que A est à diagonale strictement dominante si
X
∀i ∈ [[1, n]], |ai,j | ≤ |ai,i |
j6=i
i) Montrer que si A est diagonale strictement dominante alors elle est inversible.
ii) Pour k ∈ [[1, n]], on note
X
Dk = {z ∈ C, |z − ak,k | ≤ |ak,j |}
j6=k
Exercice 10.
i) Soient A ∈ Mn (K) et H un hyperplan de Kn d’équation
c1 x1 + ... + cn xn = 0
Montrer que H est stable par l’endomorphisme canoniquement associé à A si, et seulement si le
vecteur (c1 , ..., cn )T est un vecteur propre de AT .
ii) Déterminer les espaces stables par
2 1 1
A = 1 2 1 ∈ M3 (R)
0 0 3
2 Diagonalisation
2.1 Niveau 1
Exercice 11.
Diagonaliser les matrices suivantes dans R ou C :
0 0 0 1
0 2 −1 0 0 −1 0
a)M = 3 −2 0 b)M =
0
1 0 0
−2 2 1
−1 0 0 0
1 1
Déterminer les éléments propres de A. Est-elle diagonalisable ? Que vaut son déterminant ?
1 a b
Exercice 13. Pour quelles valeurs des scalaires a, b, c, d, la matrice A = 0 2 c est-elle diago-
0 0 d
nalisable.
Exercice 14. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Pour f ∈ L(E), on définit
φf : L(E) → L(E), g 7→ f ◦ g
Exercice 15.
1 2 −2
On note A = 2 1 2 ∈ M3 (R).
−2 2 1
a) Montrer que A est diagonalisables et diagonaliser A.
b) Résoudre l’équation M 2 = A d’inconnue M ∈ M3 (R).
Exercice 16. Soit Φ l’endomorphisme de Mn (R) défini par
Exercice 17.
Soient (a1 , ..., an−1 , b1 , ..., bn−1 ) ∈ R2n−2 . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la
matrice
0 ... 0 b1
.. .. ..
A=. . .
0 ... 0 bn−1
a1 . . . an−1 0
Exercice 18.
Soit A ∈ Mn (C). Montrer que la matrice par blocs
4A 2A
B=
−3A −A
Exercice 19. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a et b pour que la matrice
suivante soit diagonalisable dans M3 (R) :
a −a b
A = −a a −b
b −b 2a − b
Exercice 20. On considère trois suites réelles (un ), (vn ) et (wn ) vérifiant
un+1 = −un + vn + wn
vn+1 = un − vn + wn
wn+1 = un + vn − wn
est diagonalisable.
Exercice 24.
Soit A ∈ GLn (C) une matrice inversible. Montrer que
2.2 Niveau 2
Exercice 25. Soient E un C-espace vectoriel et u ∈ L(E). Montrer que u est diagonalisable si, et
seulement si tout sous-espace F de E stable par u admet un supplémentaire stable par u.
Exercice 26.
Soit A ∈ Mn (C) telle que A2 est diagonalisable. Montrer qu’une CNS pour que A soit diagonalisable
est Ker(A) = Ker(A2 ).
Exercice 27.
Soient f et g deux endomorphismes de E espace vectoriel de dimension finie. Montrer que si f
et g commutent, alors il existe une base commune de diagonalisation. On dit que f et g sont co-
diagonalisables.
1 2 3 1 3 2
Exercice 28. Les matrices 3 1 2 et 2 1 3 sont-elles semblables ?
2 3 1 3 2 1
Exercice 29.
Soient E un C espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Soit
P ∈ C[X] tel que P 0 (u) ∈ GL(E).
Montrer que
u diagonalisable ⇔ P (u) diagonalisable.
Exercice 30. Pour A ∈ Mn (C), on note Com(A) la comatrice de A.
i) Comparer le polynôme caractéristique de A et de Com(A).
ii) Comparer Com(AT ) et (Com(A))T .
iii) Montrer que pour tout (A, B) ∈ Mn (C)2 :
Com(AB) = Com(A)Com(B)
iv) Si A ∈ Mn (C) est triangulaire supérieure, (reps. diagonale), que dire de Com(A) ?
v) Si A est diagonalisable, montrer que Com(A) aussi et comparer leurs éléments propres ? Que dire
de la réciproque ?
Exercice 31. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a1 , ..., an ∈ K pour que la matrice
0 . . . . . . a1
..
A= . a2 0
..
0 . an 0 . . . 0
soit diagonalisable.
Exercice 32. On note Nn l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn (C). Soit A ∈ Mn (C). Démontrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes.
i) A est diagonalisable.
ii) Pour tout P ∈ C[X], P (A) ∈ Nn implique P (A) = 0.
Exercice 33. i) Soient A ∈Mn (C)non inversible. Démontrer que A est semblable à une matrice
G 0
diagonale par blocs du type où G est une matrice inversible et N une matrice nilpotente.
0 N
ii) Soit A ∈ Mn (C) telle que An soit diagonalisable. Montrer qu’il en est de même de An+1 .
Exercice 34. Déterminer toutes les matrices A ∈ Mn (C) telles que pour tout P ∈ GLN (C), P A soit
diagonalisable.
3 Trigonalisation
3.1 Niveau 1
Exercice 37.
1 1 −1
On note A = 12 1 −1 1 ∈ M3 (R).
2 0 0
a) Calculer PA .
b) Est-ce que A est diagonalisable.
0 1 0
c) Montrer que A est semblable à T = 0 0 1.
0 0 0
2 −1 −1 0 1 1
Exercice 38. Soient A = 2 1 −2 et B = −1 1 1.
3 −1 −2 −1 1 2
i) Calculer les polynômes caractéristiques de A et de B.
ii) Trigonaliser ces matrices sous une forme de Jordan.
Exercice 39.
Soient n ∈ N∗ , A ∈ Mn (C). Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes.
i) A est nilpotente.
ii) SpC (A) = {0}
iii) PA = (−1)n X n
iv) An = 0
3.2 Niveau 2
Exercice 41. Soit M ∈ Mn (C). Soit ε > 0. Montrer qu’il existe une base C de Cn dans laquelle la
matrice de M est triangulaire supérieure avec tous les coefficients extra-diagonaux inférieurs à ε en
valeur absolue.
1 1 0
Exercice 42. Trouver les sous-espaces de R3 stables par u canoniquement associé à A = −1 2 1
1 0 1
Exercice 43. Soient A, B ∈ Mn (C) telles que AB = 0. Montrer que A et B sont cotrigonalisables.
4 Polynômes d’endomorphismes
4.1 Niveau 1
Exercice 44. Trouver toutes les matrices A ∈ Mn (R) diagonalisables dans Mn (R) telles que A3 +
2A = 3In .
Exercice 45.
Soient A et B dans Mn (R). Montrer que χAB = χBA en commençant par le prouver si A est une
matrice inversible
Exercice 46.
Soit A une matrice de Mn (R) tel que A3 + A2 + A = 0. Montrer que le rang de A est pair.
Exercice 47.
Montrer que toute matrice de taille n vérifiant A3 − 3A − 5In = 0 est de déterminant strictement
positif.
Exercice 48. Soient E un espace vectoriel de dimension 3, f ∈ L(E) tel que f 4 = f 2 admettant 1
et −1 pour valeurs propres. Montrer que f est diagonalisable.
C = A + B, C 2 = 2A + 3B, C 3 = 5A + 6B
Exercice 50. Soit u un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E de dimension finie tel qu’il existe
deux réels non nuls distincts a et b vérifiant (u − aId)(u − bId) = 0.
1 1
Soient p = b−a (u − aId) et q = a−b (u − bId).
a) Calculer p + q, p ◦ p, q ◦ q et q ◦ p.
b) Montrer que E = Ker(p) ⊕ Ker(q).
c) Trouver les éléments propres de u. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
Exercice 51. Soit A ∈ Mn (R) une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels telle que A5 = A2 et
T r(A) = n. Montrer que A = In .
Exercice 52. Soit E un R-espace vectoriel et f ∈ L(E) pour lequel il existe P ∈ R[X] tel que
P (0) = 0, P 0 (0) 6= 0 et P (f ) = 0. Montrer que E = Im(f ) ⊕ Ker(f ).
Exercice 53. Soit A ∈ Mn (R) telle que A3 = 4In − 3A. Montrer que det(A + In ) = 2n .
Exercice 55. Soient u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel admettant un polynôme minimal
Πu et P ∈ K[X].
Montrer que P (u) est inversible si, et seulement si P et Πu sont premiers entre eux.
Observer qu’alors P (u)−1 ∈ K[u].
4.2 Niveau 2
Exercice 56.
On considère la matrice circulante
a1 a2 . . . an
.. .
. ..
an a1
A=
.. .. ..
. . . a2
a2 . . . an a1
diagonaliser A.
Exercice 57.
Donner
une condition nécessaire et suffisante sur A ∈ Mn (K) pour que la matrice par blocs B =
A A
∈ M2n (K) soit diagonalisable.
0 A
Exercice 60. Soit f ∈ L(R3 ) tel que f 3 + f = 0 et rg(f ) = 2. Déterminer les sous-espaces de R3
stables par f . Déterminer le commutant de f .
Exercice 61.
Soient K un sous-corps de C et u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n.
Montrer que
u ∈ V ect(uk )k≥2 ⇔ E = Ker(u) ⊕ Im(u)
Qr
Exercice 62. Soit A ∈ Mn (C) de polynôme
minimal
π(X) = k=1 (X − λk )mk .
A I
Déterminer le polynôme minimal de B = ∈ M2n (C).
0 A
Exercice 63. Soit A ∈ M2n (R). Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.
i) 0 est une racine de χA (X) d’ordre de multiplicité
n.
N 0
ii) A est semblable à une matrice de la forme où N et S sont des matrices de Mn (R)
0 S
respectivement nilpotente et inversible.
Exercice 64. Soient A, B dans Mn (K) pour lesquelles il existe une matrice P ∈ Mn (K) de rang
r ≥ 1 vérifiant AP = P B. Démontrer que deg(χA ∧ χB ) ≥ r.