S 2 Algèbre 4
S 2 Algèbre 4
S 2 Algèbre 4
Série 2
Exercice 1. Soit f ∈ End(E) et soit λ ∈ sp(f ). Montrer que
(i) fE(λ) = λIdE(λ)
(ii) χfE(λ) = (−1)dim(E(λ)) (X − λ)dim(E(λ)) .
(iii) mg (λ) ≤ ma (λ) : la multiplicité géométrique est inférieur à la multiplicité
algébrique.
⎛0 1 1⎞
A = ⎜1 0 1⎟
⎝1 1 0⎠
1. Diagonaliser A.
2. Trouver une solution X dans M3 (C) à l’équation X 2 = A. Indication :
trouver d’abord une solution Y dans M3 (C) à l’équation Y 2 = D où D est la
réduite diagonale de A.
⎛ 5 2 −2⎞
A = ⎜ 2 5 −2⎟
⎝−2 −2 5 ⎠
Exercice 4. Soit
⎛5 0 0⎞
A = ⎜1 5 0⎟
⎝0 1 5⎠
Déterminer la réduite de Jordan de A.
1
Exercice 6. Diagonaliser la matrice suivante
⎛0 0 0 a1 ⎞
⎜0 0 0 a2 ⎟
A=⎜ ⎟
⎜0 0 0 a3 ⎟
⎝a1 a2 a3 a4 ⎠
dans R et C.
Exercice 7. Soit
⎛1 2 3 14⎞
⎜0 1 5 7⎟
A=⎜ ⎟
⎜0 0 2 7⎟
⎝0 0 0 2⎠
1. A est-t-elle diagonalisable sur R, sur C ?
2. Déterminer la réduite de Jordan J de A.
3. Trouver une matrice inversible P tel que P −1 AP = J.
2
9. Montrer que CN est stable par f et que l’induit g = fCN est un endomor-
phisme nilpotent.
10. Montrer que HN est stable par f et que l’induit h = fHN est un endomor-
phisme bijectif.
1. Montrer que e0 = I.
2. Soit λ ∈ C. Calculer eλI .
3. Soit P ∈ Mn (C) une matrice inversible. Montrer que eP AP = P −1 eA P .
−1
A
11. En déduire une méthode de calcul de e par la réduction de Jordan.
12. Calculer eA où A est la matrice de l’exercice 7.
Df ∶ L(E) Ð→ L(E)
g Ð→ f ○ g
1. Montrer que Df est un endomorphisme de L(E).
2. Montrer que, pour tout entier p et tout endomorphisme g ∈ L(E), on a
(Df )p (g) = f p ○ g = Df p
3
5. Soit B = (ei )1≤i≤n une base de E. On note A = MB (f ) la matrice de f dans
la base B. Soit
dX
= AX
dt
2. On admet que dedt = AetA . Montrer que etA X0 est la solution du système
tA