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    IPEST ABDOULI.

    Déterminants
    PCSI 2023-2024

    1. Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E


    vérifiant f 2 = −Id. Montrer que l’espace E est de dimension paire.
    2. Soit V = {x 7→ ex P (x) |P ∈ Rn [X]}
    (a) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de F(R, R) dont on déterminera la
    dimension.
    (b) Montrer que l’application D : f 7→ f ′ est un endomorphisme de V dont on
    calculera le déterminant.
    3. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) vérifiant
    X
    ∀i ∈ {1, . . . , n}, |ai,i | > |ai,j |
    j̸=i

    4. Montrer que A est inversible.


    5. Soit A une matrice antisymétrique réelle d’ordre 2n + 1. Montrer

    det A = 0
    Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre pair ?
    6. Soit A ∈ Mn (R) vérifiant

    ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ai,j ∈ {1, −1}

    Montrer
    2n−1 | det A
    7. Soit A ∈ Mn (K) de colonnes C1 , . . . , Cn .
    Calculer le déterminant de la matrice B de colonnes

    C1 − C2 , C2 − C3 , . . . , Cn−1 − Cn , Cn − C1

    8. Soient A ∈ Mn (R) (n ≥ 2) de colonnes A1 , . . . , An et B ∈ Mn (R) de colonnes


    B1 , . . . , Bn déterminées par X
    Bj = Ai
    i̸=j

    Exprimer det B en fonction de det A.


    9. Soit A ∈ Mn (C) (avec n ≥ 2) vérifiant pour tout X ∈ Mn (C),

    det(A + X) = det A + det X

    Montrer que det A = 0 puis A = 0.

    1
    IPEST ABDOULI.M

    10. Soient A ∈ M2n (R) antisymétrique et J ∈ M2n (R) la matrice dont tous les coefficients
    sont égaux à 1. Établir
    ∀x ∈ R, det(A + xJ) = det A
    11. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) vérifiant
    n
    X
    ∀1 ≤ i, j ≤ n, ai,j ≥ 0 et ∀1 ≤ i ≤ n, ai,j ≤ 1
    j=1

    Montrer
    | det A| ≤ 1
    12. Soit n ∈ N∗ . Calculer

    S1 S1 S1 . . . S1
    S1 S2 S2 . . . S2
    S1 S2 S3 . . . S3
    .. .. .. . . . ..
    . . . .
    S1 S2 S3 . . . Sn
    où pour tout 1 ≤ k ≤ n on a
    k
    X
    Sk = i
    i=1

    13. Soient a ̸= b et λ1 , . . . , λn . On pose

    λ1 + x a+x ... a+x


    ... ..
    b+x λ2 + x .
    ∆n (x) = .. .. ..
    . . . a+x
    b+x ... b + x λn + x
    (a) Montrer que ∆n (x) est une fonction affine de x.
    (b) Calculer ∆n (x).
    14. [Déterminant de Hurwitz]
    Soient a, λ1 , . . . , λn ∈ C. Calculer le déterminant de la matrice suivante
     
    a + λ1 (a)
    H=
     ... 

    (a) a + λn

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