Cours Electromagnétisme

ELECTROMAGNETISME IT CT 15h TD 15h
Prérequis
Cours d’électromagnétisme 1ère année
Système de coordonnées, Calculs vectoriels, opérateurs différentiels
Objectifs généraux
A l’issue des enseignements, les étudiants devraient être capables de :
1. comprendre les lois de l’électromagnétisme
2. appliquer les lois de l’électromagnétisme
L’interaction électromagnétique est une des quatre interactions fondamentales : ces interactions
régissent à elles seules tous les phénomènes physiques de l’univers.
Les trois autres interactions connues sont la gravitation (qui se manifeste surtout avec des corps
massiques), l’interaction forte (celle qui assure la cohésion des noyaux des atomes) et l’interaction faible
(qui permet notamment les réactions nucléaires).
Interaction faible. Interaction forte Interaction Interaction
électromagnétique gravitationnelle
Echelle d’action 10 m -8 -15
10 m de 10-15 à 100 m de 100 à 1026 m
Portée Très courte courte infinie infinie
Rôle Radioactivité Cohésion du Cohésion de Cohésion des
noyau l’atome galaxies
L’électromagnétisme consiste en l’étude des phénomènes qui font intervenir des charges en mouvement
(courants électriques, antenne radio, conductimétrie, courants de Foucault,...). Quand on étudie les
phénomènes indépendants du temps cela permet de séparer l’étude des effets magnétiques et électriques.
L’électromagnétisme est aussi l’étude des «modifications de l’espace» provoquées par des charges
électriques en mouvement, modifications traduites par un «champ électromagnétique» défini en tout point
 
par deux vecteurs : le champ électrique E et le champ magnétique B . Ces deux vecteurs sont déterminés
par un système d’équations, faisant intervenir les positions et les vitesses des charges, système établi par
Maxwell en 1876.
Pr Issa ZERBO
Professeur Titulaire en Physique des semi-conducteurs/Energie Solaire Photovoltaïque
Département de Physique/UFR-SEA/ Université Joseph KI-ZERBO
Dr SOURABIE Idrissa Hermann

Maître Assistant en Physique des semi-conducteurs/Energie Solaire Photovoltaïque
Electromagnétisme, Pr I. ZERBO, Dr SOURABIE , ISGE, Ing. Travaux SE/RST/MSI Page

Programme
I. ÉQUATIONS DE MAXWELL-ÉNERGIE ELECTROMAGNETIQUE
Chapitre 1 : Equations de Maxwell
– Equations de Maxwell
– Equations de propagation des champs dans le vide
– Energie du champ électromagnétique
II. PROPAGATION ET RAYONNEMENT

Chapitre 2 : Ondes électromagnétiques dans le vide
– Généralités sur les ondes
– Onde électromagnétique plane progressive dans le vide
– Onde électromagnétique plane progressive et monochromatique dans le vide
– Polarisation rectiligne d’une onde électromagnétique
– Étude énergétique des OPP électromagnétiques
Chapitre 3 : Sources des ondes électromagnétiques

– Rayonnement d’un dipôle électrique oscillant (dipôle de Hertz)
– Rayonnement d’un dipôle magnétique oscillant
Chapitre 4 Ondes électromagnétiques dans les milieux

– Classification électrique et magnétique des matériaux
– Ondes électromagnétiques dans les milieux matériels, homogènes, linéaires et isotropes
Chapitre 5 Propagation guidée des ondes électromagnétiques : le câble coaxial
Bibliographie :
1) Physique Tout-en-un MP/MP‫٭‬, Bernard Salamito, Marie-Noëlle Sanz, François Vandenbrouck, Marc
Tuloup, Dunod, 2014.
2) Physique Tout-en-un MPSI/PTSI, Bernard Salamito, Damien Jurine, Stéphane Cardini, Marie-Noëlle
Sanz, Dunod, Paris 2013.
3) Physique Tout-en-un MP, Jean-Christophe Tisserand, Pierre Brenders, Christophe Clerc, Pascal Clerc,
Jacques Marteau, Guillaume Paulin, Michael Sauzeix, Bernard Seghezzi, Bréal 2014.
4) Electromagnétisme Cours et exercices, Pr. DJELOUAH Hakim, Faculté de Physique, Université des
Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Année Universitaire 2012-2013
5) Ondes et électromagnétismes, M. Nicolas, Dunod, Paris, 2009
6) CAPES de Sciences physiques, Tome 1-Physique, 3è édition, N. Billy, J. Desbois, M. A. Duval, M.
Elias, P. Monceau, A. Plaszczynski, M. Toulmonde, Belin, Paris, 2004
7) Physique générale Tome II Champs et Ondes, 1ère édition, M. Alonso ; E. J. Finn,Inter European
Editions, Amsterdam, 1975
8) Electromagnétisme CPGE MP3, Jean-Laurent Graye xxxxx
9) Electromagnétisme, Fondements et applications, 4è édition, J. P. Pérez, R. Carles, R. Fleckinger, Dunod,
Paris 2002.
10) Propagation des ondes. Impédances. 29/10/2009
11) Propagation guidée des ondes électromagnétiques dans le vide. 03/02/2013
12) Electromagnétisme, chapitre 19 propagations guidées 03/02/2013

Chapitre 1 : Equations de Maxwell
Objectifs spécifiques :
OS1 : Enoncer les équations de Maxwell dans le vide;
OS2 : Etablir les équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide,
OS3 : Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique et le vecteur de Poynting
Introduction
Les équations de Maxwell sont l’expression la plus générale des lois de l’électromagnétisme classique et
peuvent, à ce titre, être considérées comme des postulats de base de cette théorie. Elles ont été établies par
J. C. Maxwell en 1876.
I Equations de Maxwell
1. Induction électromagnétique
L’induction électromagnétique est le couplage entre le champ électrique et le champ magnétique. Le
phénomène d’induction électromagnétique découvert par Michael Faraday en 1831 permet d’obtenir une
f.é.m. grâce au mouvement d’un conducteur ou au mouvement d’un circuit par rapport à un champ
magnétique indépendant du temps ou variable au cours du temps
L’induction électromagnétique est le principe de base des générateurs électriques, des transformateurs et de
nombreux autres dispositifs.
1.1 Approche expérimentale
On appelle inducteur la source de champ magnétique. Cela peut être un aimant ou un électroaimant.
On appelle induit le circuit électrique, siège du phénomène d’induction, il peut être ouvert (fermé par un
voltmètre parfait par exemple) ou fermé (fermé par un ampèremètre par exemple).
Deux types d’inductions

Le phénomène d’induction, c’est l’apparition d’une f.é.m. induite (induit ouvert ou fermé) et/ou d’un
courant induit (induit fermé seulement) dans un circuit grâce à un champ magnétique.
Il y a deux façons d’obtenir cela :
- soit en déplaçant un champ magnétique stationnaire au voisinage d’un circuit électrique fixe ;
- soit en déplaçant (ou déformant) un circuit électrique au voisinage d’un champ magnétique stationnaire
fixe.
Expériences : On déplace progressivement un aimant vers une bobine fixe (Figures 1.1 et 1.2).
Circuit Ouvert
Figure 1.1 Induit fixe en circuit ouvert et inducteur mobile

Observations :
- Le voltmètre indique une tension positive.
- La tension s’annule si le déplacement cesse.
- La tension est d’autant plus grande que le déplacement est rapide.

- Le signe de la tension s’inverse si on inverse les pôles de l’aimant.
Circuit fermé
Figure 1.2 Induit fixe en circuit fermé et inducteur mobile

Observation : Le milliampèremètre permet de mettre en évidence la circulation d’un courant électrique.
Conclusion :
La variation de la valeur du champ magnétique entrainant la variation du flux magnétique à travers la
bobine est à l’origine d’un courant induit si le circuit est fermé et d’une f.é.m. induite si le circuit est
ouvert.
Remarque
Ces expériences peuvent être effectuées de la même manière en considérant l’aimant fixe et en déplaçant la
bobine (on change de référentiel). Les résultats seront similaires.
1.2 Loi de modération de Lenz : sens du courant induit

Énoncé 1 : dans un circuit, un courant induit prend naissance lorsqu’on fait varier le flux du champ
magnétique dans ce circuit. Le sens du courant induit est tel qu’il s’oppose à la variation du flux inducteur
en créant un champ magnétique Bi .
Énoncé 2 : le sens du courant induit est tel qu’il tend par ses effets à s’opposer aux causes qui lui donnent
naissance.
Figure 1.3 a et b Illustration de la loi de Lenz

Si on approche l’aimant il y a répulsion SN↔N. Le sens du courant induit est tel qu’une face Nord apparait
pour s’opposer au pôle Nord de l’aimant.
Si on éloigne l’aimant il y a attraction SN↔S. Le sens du courant induit est tel qu’une face Sud apparait
pour attirer le pôle Nord de l’aimant.

Dans les deux cas le champ magnétique Bi apparait pour s’opposer à la variation B du champ inducteur,
donc à la variation du flux inducteur.
1.3 Loi de Faraday

1.3.1 Notion de force électromotrice
Une force électromotrice (f.é.m.) est homogène à une tension, elle s’exprime donc en Volt (V). Dans un
circuit, c’est elle qui permet de mettre en mouvement les charges électriques et d’obtenir un courant
électrique.

Si F est la force qui s’exerce sur la charge q pour la mettre en mouvement dans le circuit C, alors :
 E
F
e=  dl = m  dl
q
C C
C’est le travail fournit par unité de charge ou encore la circulation du champ électrique induit appelé
champ électromoteur ("champ qui fait bouger les électrons").
Pour un générateur, la f.é.m. est la tension à vide aux bornes de celui-ci, c’est-à-dire quand il n’est pas
engagé dans un circuit.
1.3.2 Expression de la loi de Faraday

Cette loi exprime le fait que le courant induit apparaît par l’intermédiaire d’une force électromotrice
induite. Et celle-ci provient de la variation du flux magnétique à travers la surface orientée constituée par le
circuit électrique.
On écrira donc:
d
e=−
dt
Si c’est la variation du flux magnétique qui permet la création d’un courant induit, pour créer celui-ci, on

peut faire varier S car  = B  ndS (en déformant le circuit) ou bien B (en approchant ou éloignant la
S
source du champ, ou bien en changeant sa direction, en changeant sa valeur).
Remarque
Le signe - qui apparaît dans la loi de Faraday montre qu’il y a opposition entre la f.é.m. induite et la
variation de flux, ceci est la traduction de la loi de Lenz : les effets s’opposent aux causes.
Exemples d’application
Soit une spire, de surface S, mobile autour d’un axe Δ au niveau duquel on ménage deux connections
éventuelles, en A et B, avec un circuit extérieur.

Immergé dans un champ magnétique uniforme B , perpendiculaire à Δ, la spire est mise en rotation à vitesse
angulaire ω constante.
Figure 1.4 alternateur

 
Si θ est l’angle de B avec la normale N à la spire, celle-ci est traversée par un flux :  = BS cos( ) (avec
 = t +  ) variable dans le temps comme θ. Une f.é.m. d’induction :
d
= − BS cos(t +  ) = BS sin (t +  )
d
e=−
dt dt
apparaît dans la spire : elle peut faire circuler un courant, ici sinusoïdal, dans un circuit branché entre A et
B. Nous avons fabriqué un alternateur.

Par un dispositif convenable, le commutateur(appareil destiné à couper, à rétablir, à inverser le sens du
courant électrique, ainsi qu’à le distribuer à volonté dans différents circuits), on peut faire en sorte que la
d.d.p entre A et B soit non plus sinusoïdale, donc alternativement positive ou négative, mais de sens
constant. On réalise ainsi un générateur de courant continu : magnéto ou dynamo.
- Dans une dynamo, le changement d’orientation du champ magnétique obtenu avec la rotation du rotor va
permettre l’apparition d’un courant induit dans les bobines du stator ;
- Dans un transformateur, ce sont deux bobines aux caractéristiques différentes (nombre de spires qui
permettent d’augmenter ou de diminuer les tensions à l’entrée et à la sortie : la première bobine parcourue
par un courant créé un champ magnétique qui induit un courant dans la deuxième bobine.
- Dans le freinage par courants de Foucault, un conducteur se déplace dans un champ magnétique, donc du
point de vue du conducteur, le champ magnétique varie. Il apparaît alors des courants induits dans le
conducteur appelés courants de Foucault. D’après la loi de Lenz-Faraday, l’apparition de ces courants doit
s’opposer aux causes qui leur ont donné naissance, donc au mouvement : il y a donc freinage. Celui-ci
s’effectue par l’intermédiaire des forces de Laplace qui s’exerce sur le conducteur puisqu’il est parcouru
par des courants et est plongé dans un champ magnétique.
1.3.3 Forme différentielle de la loi de Faraday
La loi de Faraday peut s’écrire sous la forme suivante:
d
 
d
, Em  dl = − =− B  ndS
dt dt
c S
 ( )
B
et en utilisant le théorème de Stokes E
C
m
S
 ( )
 dl = rot E  ndS , on a l’égalité: rot E  ndS = −
S
 t  ndS
S
B
et donc: ( )
rot E = −
t
Cette relation fondamentale, appelée équation de Maxwell-Faraday, traduit localement une propriété du
champ électromagnétique qui montre qu’un champ magnétique variable dans le temps implique l’existence
d’un champ électrique au même endroit.
L’ensemble de ces deux champs ( E,B ) constitue le champ électromagnétique.
2. Equations de Maxwell
Ce qu’on appelle équations de Maxwell est un ensemble de quatre équations qui rassemblent les
contributions de Coulomb, Œrsted, Faraday, Gauss et bien sûr Maxwell (1837–1879). Quand Maxwell
s’intéresse à l’électricité et au magnétisme, il a à sa disposition les lois de l’électrostatique, de la
magnétostatique et également la loi de l’induction. Dans son célèbre ouvrage A treatise on electricity and
magnetism publié en 1873, il remarque que le théorème d’Ampère n’est pas compatible avec le principe de
conservation de la charge et propose une théorie pour corriger ce problème.
Mathématiquement, la conservation de la charge s’exprime au travers d’un bilan des charges qui rentrent
ou sortent d’un volume de contrôle. Si la densité volumique de charges ρ varie dans ce volume au cours du
temps, c’est qu’il y a eu ajout ou perte de charges par le biais d’un courant j . La conservation de la charge
s’exprime :

  E  ndS = 0
d
( )
div j +
t
= 0 ou sous forme intégrale j  ndS +  0
dt
S S

C’est la loi de conservation de l’électricité pour les régimes variables.
En régime stationnaire  t = 0 ce qui limite donc la portée du théorème d’Ampère aux seuls régimes
permanents.
Maxwell s’est beaucoup intéressé aux analogies entre les champs E et B . Mais seule la loi de Maxwell-
Faraday (formes différentielle et intégrale) comporte un terme instationnaire portant sur le champ
électrique et établit une relation entre le champ magnétique et le champ électrique dans une même région
de l’espace. La relation étroite qui existe entre les champs E et B suppose qu’une relation étroite devrait
exister entre la variation du champ électrique et celle du magnétique au même point. Maxwell a donc
proposé de modifier le théorème d’Ampère pour y ajouter un terme instationnaire portant sur le champ
magnétique.
On doit donc modifier le théorème d’Ampère qui est :  B  dl =   j  ndS

C
0
S
en remplaçant l’intégrale de
 j  ndS par   E  ndS .

d
surface j  ndS +  0
dt
S S S
 B  dl =   j  ndS +  dt  E  ndS
d
On obtient alors l’équation de Maxwell-Ampère : 0 0 0
C S S
  E  
et en utilisant le théorème de Stokes, on a l’égalité:  ( )
S
S 


rot B  ndS = 0   j +  0   ndS 
t  

 E 
et donc: ( )
rot B = 0  j +  0 
t 

C’est Maxwell qui a suggéré la modification du théorème d’Ampère sous la forme des équations ci-dessus,
c’est pourquoi elles sont appelées loi de Maxwell-Ampère ; loi compatible avec le principe de
conservation de la charge.
Le théorème d’Ampère relie un courant continu au champ magnétique qu’il crée, alors que la loi de
Maxwell-Ampère indique qu’un champ électrique dépendant du temps (variable dans le temps) contribue
également au champ magnétique.
E
En l’absence de courant j = 0 , on a rot B = 0  0
t
( )
Un champ électrique variable dans le temps entraine l’existence d’un champ magnétique au même endroit.
Equations de Maxwell du champ électromagnétique (présence de charges et de courants)
Loi Forme différentielle

1- Maxwell- Gauss
Les charges électriques sont les sources du champ électrique
div E =
0
( )
2- Maxwell-Thomson (ou Maxwell flux)
Le flux du champ magnétique est conservatif
div B = 0 ()
B
rot ( E ) = −
3- Maxwell-Faraday
Un champ magnétique variable dans le temps est à l’origine d’un t
champ électrique
4- Maxwell-Ampère  E 
Un champ électrique variable dans le temps contribue également rot B = 0  j +  0 t  ( )
au champ magnétique.  
La théorie du champ électromagnétique est condensée dans ces quatre lois. On les appelle équations de
Maxwell car c’est Maxwell qui, en plus d’avoir formulé la quatrième loi, a reconnu que leur ensemble
formait, avec la force de Lorentz, la base de la théorie des interactions électromagnétiques.
En effet, une charge qui se déplace dans un champ électromagnétique est soumise à la force de Lorentz. A
ces équations de Maxwell, on doit ajouter la force de Lorentz :

(
F = q E+vB )
Ainsi, les équations de Maxwell sont l’expression la plus générale des lois de l’électromagnétisme
classique et peuvent, à ce titre, être considérées comme des postulats de base de cette théorie. Elles ont été
établies par J. C. Maxwell en 1876.
Le couplage entre les phénomènes électriques et magnétiques qui apparaît dans les équations de Maxwell
permet d’expliquer la propagation du champ électromagnétique ( E,B ) . Cependant, dans le cas des régimes
lentement variables, la propagation peut être négligée.
II Equations de propagation des champs dans 

le vide
On se place dans le cas où il n’y a ni charges ni courants ( = 0 , j = 0 ) et où le milieu de propagation est le
vide (μ0 ; ε0). Les équations de Maxwell s’écrivent :
E
( )
div E = 0 ( )
div B = 0
B
t
( )
rot E = − ( )
rot B =  0 0
t
A partir de la définition du Laplacien vectoriel on montre que: rot  rot ( v )  = grad  div ( v )  − v
( ) ( )
Appliquons cette relation au champ électrique : rot  rot E  = grad  div E  −  E
( ) ( )
En tenant compte de div( E ) = 0 on a grad  div E  = 0 et l'équation initiale devient rot  rot E  = − E
 B  
( )
ou rot  −  = − E ou encore − rot B = − E et finalement
 t  t
² E
 E −  0 0 =0
t²
( )
Appliquons la même relation au champ magnétique rot  rot B  = grad  div B  −  B ( )
( ) ( )
En tenant compte de div( B ) = 0 on a grad  div B  = 0 et l'équation initiale devient rot  rot B  = − B
 E  
ou rot  0  0 ( )
 = − B ou encore 0  0 rot E = − B et finalement
t  t

² B
 B −  0 0
=0
t²
Ainsi, les champs E et B sont tous régis par la même équation aux dérivées partielles appelée Equation
de d’Alembert à 3 D.
Nous montrerons dans le cours sur les ondes électromagnétiques que cette équation caractérise la
1
propagation du champ ( E,B ) à la célérité c =
 . 0 0
Remarque
La propagation des champs E et B est liée à l’existence d’un couplage des équations de E et B .
"L’extinction" de ce couplage dans l’une des équations de MF et MA au moins entraine la disparition de la
propagation
III Energie du champ électromagnétique

Un champ électromagnétique transporte de l’énergie et la densité volumique d’énergie transportée s’écrit :
dW  0 E 2 B2
uem = = +
d 2 2 0
La densité volumique d’énergie électromagnétique (J.m ) est constituée respectivement des contributions
-3
électrique et magnétique,

La puissance transportée par le champ électromagnétique ( E,B ) ou puissance rayonnée à travers une
surface normale à la direction de propagation est égale au flux du vecteur de Poynting à travers cette
surface.
dWR
PR =
dt
= R  dS 
S
avec
B
R = E = E  H vecteur de Poynting
0
Le vecteur de Poynting, représente le vecteur densité de courant électromagnétique ou encore la puissance
par unité de surface (W.m-2).
Quelques ordres de grandeur de flux électromagnétique rayonnés :
▪ flux surfacique solaire reçu par la Terre : 1368 W.m-2
▪ flux surfacique d’un laser He-Ne : 104 W.m-2
▪ flux surfacique d’une LED : 103 W.m-2
▪ flux surfacique d’un téléphone émettant un appel: 0,5 W.m-2

Chapitre 2 : Ondes électromagnétiques dans le vide
OS1 : Expliquer le phénomène de propagation d’une OPPM électromagnétique dans le vide
OS2 : Déterminer les caractéristiques d’une OPPM électromagnétique dans le vide
Introduction
Prévues théoriquement dès l’établissement des équations de Maxwell en 1876, la propagation des ondes
électromagnétiques n’a été étudiée expérimentalement qu’en 1888 par H. Hertz qui réalisa le premier
générateur d’ondes électromagnétiques. Des expériences décisives, telles que celle de A. Michelson,
avaient mis en évidence l’aspect essentiel des ondes lumineuses, lesquelles ne sont qu’un cas particulier
d’ondes électromagnétiques : elles sont caractérisées par l’invariance de leur vitesse de propagation (ou
célérité) c par changement de référentiel galiléen, et par l’absence de support matériel pour cette
propagation, ce qui les distingue fondamentalement des ondes mécaniques.
I. Généralités sur les ondes

On appelle onde un phénomène physique dans lequel une perturbation locale se déplace dans l’espace sans
qu’il y ait de déplacement de matière en moyenne. Toute grandeur physique, nulle dans l’état de repos et
apparaissant avec la perturbation, est appelée signal physique transporté par l’onde.
On peut citer quelques exemples d’ondes :
1. les «ronds dans l’eau» générés à la surface de l’eau par une action locale comme l’impact d’un projectile
: le signal physique est le déplacement vertical de la surface de l’eau. Les articules d’eau ont un
mouvement vertical « sur place » et elles retrouvent leur position initiale après le passage de l’onde de sorte
que le phénomène n’entraîne aucun déplacement global de l’eau.
2. il existe des ondes élastiques se propageant dans les milieux solides. Le signal transporté par ces ondes
est une déformation locale et réversible de la matière. L’onde est qualifiée de :
• transversale lorsque le mouvement local de la matière est perpendiculaire à la direction dans laquelle
l’onde se propage ;
• longitudinale lorsque le mouvement local de la matière est parallèle à la direction dans laquelle l’onde se
propage.
3. les ondes acoustiques se propagent dans tous les milieux matériels, solides ou fluides.
Dans un solide il s’agit d’ondes élastiques longitudinales. Dans un fluide, la perturbation est une
modification très faible de la pression due à un mouvement longitudinal imperceptible des couches de
fluide. Les signaux transportés par l’onde acoustique sont la variation de pression par rapport à l’état de
repos, appelée surpression acoustique, et la vitesse de vibration. Les microphones sont sensibles à l’un ou
l’autre de ces signaux.
4. à la différence des exemples précédents, les ondes électromagnétiques n’ont pas besoin de milieu
matériel pour se propager : elles traversent par exemple l’espace vide entre une galaxie lointaine et la
Terre. Les deux grandeurs physiques associées à ces ondes sont un champ électrique et un champ
magnétique. La lumière est une onde électromagnétique.
Ces ondes peuvent être guidées, par exemple le long d’un câble de transmission constitué par deux
conducteurs. Dans ce cas, on peut associer à l’onde deux signaux électriques : la tension entre les deux
conducteurs et l’intensité passant à travers leurs sections (dans des sens opposés). On peut parler alors
d’«onde de courant » le long du câble.
Une onde est donc une variation d’une grandeur physique (exemples: tension ou courant électrique) en
fonction du temps et de l’espace (déplacement dans l’espace).
Tableau 2.1 – Quelques ondes et les signaux associés.

Type d’onde Milieu de propagation Signaux physiques
Ondes élastiques Solide déplacement transversal ou longitudinal
Ondes sonores Fluide surpression acoustique, vitesse (longitudinale)
Ondes électromagnétiques Vide champ électrique, champ magnétique
Ondes de courant Câble de transmission tension électrique, intensité électrique

1. Onde plane progressive à une dimension
1.1 Observations expérimentales
Lorsqu’on jette une pierre dans un étang (rivière, lagune), on observe à la surface de l’eau des rides
circulaires, les « ronds dans l’eau ». La perturbation engendrée par la pierre se transmet de proche en
proche à des points de plus en plus éloignés du lieu de l’impact.
Figure 2.1a Illustration des Figure 2.1b Illustrations de l’amplitude de

fronts d’onde sphérique l’onde sphérique
Le son d’une guitare par exemple ou de tout autre bruit nous parvient parce qu’il se déplace.
1.1.2 Vitesse de propagation ou célérité
Les deux situations précédentes illustrent le phénomène de propagation. Un signal physique (ébranlement
de l’eau, surpression de l’onde sonore) créé en un point de l’espace, se transmet de proche en proche dans
la matière (l’eau, l’air) et peut être ainsi observé à distance de l’endroit où il a été produit, et ceci sans qu’il
y ait de déplacement de matière entre le point où le signal est produit et celui où il est mesuré.
La vitesse de déplacement du signal est appelée vitesse de propagation ou encore célérité noté c.
Pour modéliser le phénomène de propagation, on introduit dans ce paragraphe l’onde progressive à une
dimension, qui se propage sans atténuation ni déformation à la vitesse constante c dans la direction d’un
axe (Ox). Cette onde est représentée mathématiquement par une fonction s(x, t) de deux variables: la
coordonnée x selon l’axe (Ox) et le temps t. s (x, t) est la valeur du signal, mesurée à l’abscisse x, à l’instant
t.
1.1.3 Expression de l’onde progressive
On considère une onde progressive, se propageant avec la célérité c dans la direction de l’axe (Ox) et dans
le sens positif de cet axe, c’est-à-dire vers les x croissants. La figure 2.2 représente le signal mesuré à une
abscisse x0, en fonction du temps, ainsi que le signal mesuré à une abscisse x1 > x0.
Figure 2.2 Onde se propageant sans atténuation ni déformation dans le sens positif de (Ox), en deux points
différents
Les valeurs observées en x0 au cours du temps sont observées aussi en x1, mais avec un retard τ. Ceci
s’écrit:
s ( x1 ,t ) = s ( x0 ,t −  )
La durée τ est celle qu’il faut à l’onde pour se propager de x0 à x1. La vitesse de propagation étant c on a:
x −x
= 1 0
c
Il vient donc :

 x −x 
s ( x1 ,t ) = s  x0 ,t − 1 0  (*)
 c 
On peut remarquer que la formule (*) est valable aussi quand x1 < x0. Elle s’écrit en effet :
 x −x 
s ( x1 ,t ) = s  x0 ,t + 0 1  et signifie alors que l’on trouve en x1 le même signal qu’en x0 avec une avance
 c 
x0 − x1
. Si on écrit la formule (*) en posant x0 = 0 et x1 = x, valeur quelconque, on trouve :
c
 x
s ( x,t ) = s  0,t − 
 c
 x
Le membre de droite de cette équation est simplement une fonction d’une seule variable,  t −  . Pour
 c
 x
simplifier l’écriture on le note f  t −  .
 c
Une onde progressive se propageant à la vitesse c dans la direction de l’axe (Ox), dans le sens positif de cet
axe, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique suivante :
 x
s ( x,t ) = f  t − 
 c
où f est une fonction quelconque dont l’argument a la dimension d’un temps.
Une onde progressive se propageant à la vitesse c dans la direction de l’axe (Ox), dans le sens négatif de
cet axe, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique suivante :
 x
s ( x,t ) = g  t + 
 c
où g est une fonction quelconque dont l’argument a la dimension d’un temps.
Figure 2.3 Illustration de la propagation de deux solutions de l’équation d’onde simple.
 x
s ( x,t ) = f  t −  correspond à un déplacement de l’onde (fonction en forme de bosse) sans déformation
 c
dans le sens des x positifs
 x
s ( x,t ) = g  t +  correspond à un déplacement de l’onde (fonction en forme de créneau) sans déformation
 c
dans le sens des x négatifs.
1.2 Equation de propagation

L’équation de propagation d’une onde qui se déplace à la vitesse c s’écrit :
² ( x,t ) 1 ² ( x,t )
=
x² c² t²
 (x, t ) est une fonction de la position et du temps.

La solution de cette équation différentielle est une combinaison linéaire ou superposition de deux
mouvements ondulatoires qui se propagent dans des sens opposés (figure 2.3).
 x  x
 ( x,t ) = f  t −  + g  t + 
 c  c
f et g étant des fonctions périodiques ou non.
1.3 Ondes sphériques
Si une perturbation produite en un point donné se propage avec la même vitesse dans toutes les directions
(milieu isotrope) il en résulte des ondes sphériques.
Les fronts d’ondes sont des cercles concentriques centrés sur le point ou la perturbation est créée. A chaque
instant, le phénomène se retrouve identique en tout point de la sphère de centre O et de rayon r.
L’équation différentielle à laquelle obéit l’onde sphérique est :
²  r ( r,t )  1 ²  r ( r,t ) 
=
r² c² t²
1  r 1  r
La solution d’une telle équation s’écrit :  ( r,t ) = f1  t −  + f 2  t + 
r  c r  c
Une telle solution s’interprète comme la somme de deux ondes sphériques, l’une divergente fonction de
 r  r
 t −  et l’autre convergente fonction de  t +  se propageant de manière isotrope à la même vitesse.
 c  c
Contrairement à une onde plane, une onde sphérique se déforme parce qu’elle s’atténue avec la distance r.
1.4 Ondes stationnaires
On appelle onde stationnaire une solution de l’équation de propagation telle que les dépendances
temporelle et spatiale soient séparées. On a :
 ( x,t ) = f ( x )  g (t )
 x
L’expression  t   n’apparait plus et la solution de l’équation de propagation ne représente pas une onde
 c
progressive.
On réalise une onde stationnaire en superposant deux ondes progressives qui se propagent dans des sens
opposés.
II. Onde électromagnétique plane progressive dans le vide

1. Définition d’une onde plane progressive
On appelle onde plane toute solution d’une équation de propagation (l’équation de d’Alembert par
exemple) non constante prenant des valeurs uniformes sur tous les plans perpendiculaires à une direction
u . Les plans perpendiculaires à u sont appelés plans d’onde (voir figure 2.4)
Figure 2.4.1 Onde plane Figure 2.4.2 Illustrations des fronts d’onde plane (a) et de
l’amplitude d’une onde se propageant selon l’axe x (b).

Les plans d’onde ont des équations de la forme u  OM = constante , où O est un point origine.
Ainsi une onde plane dépend uniquement du temps et de u  OM qui est la coordonnée de M sur l’axe
( Ou ) . Dans un repère cartésien tel que uz = u , elle ne dépend que de la coordonnée z et du temps t.
On appelle onde plane et progressive (en abrégé OPP) toute solution d’une équation de propagation
(l’équation de d’Alembert par exemple) non constante de la forme :
 u  OM 
 ( M ,t ) = f  t − 
 c 
 
Où u un vecteur unitaire et c une constante. Cette onde se propage dans la direction et le sens du vecteur u
avec la célérité c.
Dans l’espace à trois dimensions, l’équation différentielle (ou équation de d’Alembert) à laquelle satisfait
une fonction d’onde  ( M ,t ) en dehors des sources qui créent la perturbation est :
1 ² ( M ,t )
 ( M ,t ) =
c² t²
L’équation des ondes a pour solution soit une onde plane, soit une combinaison linéaire d’ondes planes se
propageant sans déformation dans un milieu isotrope et non dispersif avec la même vitesse.
 u  OM   u  OM 
 ( M ,t ) = f1  t −  + f 2  t + 
 c   c 
2. Structure de l’OPP électromagnétique dans le vide

Une onde électromagnétique est composée de deux champs E et B qui doivent vérifier non seulement
l’équation de d’Alembert, mais aussi vérifier les équations de Maxwell.
Les champs E et B d’une OPP électromagnétique dans le vide sont perpendiculaires à la direction de
propagation. On dit qu’ils sont transversaux et que l’onde est transversale. Ceci provient de la nullité de
leur divergence.
En prenant en compte les équations et Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère on arrive à la conclusion
suivante :
La structure de l’OPP électromagnétique dans le vide est la suivante :

• les champs E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation u ,
• les champs E et B sont perpendiculaires entre eux,
( )
• le trièdre u ,E,B est direct ;
E
• B =
c
Figure 2.5 Structure d'une OPP

Tout ceci est donné par les deux relations vectorielles dites relations de structure :

1
B = uE et E = cB  u
c
Remarque :
A côté des ondes planes, les équations de Maxwell admettent pour solution des OEM sphériques ou
cylindriques. A grande distance de la source de production des OEM, une portion limitée d’une onde
cylindrique ou sphérique peut être pratiquement considérée comme plane et dans ce cas les champs
électrique et magnétique sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation qui est radiale.
Ainsi, l’OPP électromagnétique est un modèle idéal qui décrit convenablement la structure locale de l’onde
électromagnétique produite par un émetteur à grande distance de celui-ci.
III. Onde électromagnétique plane progressive et
monochromatique dans le vide
1. Définition d’une onde plane progressive et monochromatique (OPPM)
Une onde monochromatique est une onde qui est décrite par une pulsation unique ω correspondant à un
nombre d’onde k. On peut représenter mathématiquement cette fonction d’onde par une écriture réelle :
 (x,t ) =  m cos(t  kx)
Le signe + désigne une onde qui se propage dans le sens des x décroissants tandis que le signe − désigne
une propagation dans le sens des x croissants.
Si l’onde est une onde électromagnétique alors on a une onde électromagnétique plane, progressive et
monochromatique en abrégé « OPPM électromagnétique ».
L’OPPM est une fonction sinusoïdale à la fois de la variable t avec pour pulsation temporelle ω et de la
variable x avec pour pulsation spatiale le module d’onde :

k=
c
La période spatiale est la longueur d’onde :
2 2 c
= = = cT
k 
Où T est la période temporelle. La fréquence spatiale est le nombre d’onde :
1
=

Les grandeurs relatives à la double périodicité de l’OPPM sont rassemblées dans le tableau :
Période Fréquence Pulsation
Temps T f ω
Espace λ σ k
La fonction  ( r ,t ) est périodique dans le temps et dans l’espace.
2
- Périodicité temporelle :  ( M ,t + T ) =  ( M ,t ) avec T = la période temporelle

Pour une position donnée la fonction d’onde varie en fonction du temps avec une période T.
( ) (
- Périodicité spatiale :  u  OM +  ,t =  u  OM ,t avec  =
2
k
)
période spatiale
À un instant t donné la fonction d’onde varie en fonction de la position avec une période λ.
On peut remarquer que la longueur d’onde λ est égale à la distance parcourue par l’onde pendant une
période T.

λ représente la période spatiale de l’onde et signifie que l’onde se reproduit identique à elle-même tous les
λ.
 = cT montre que la longueur d’onde est la distance sur laquelle le mouvement ondulatoire a progressé
durant une période.
L’onde se reproduit à la fois périodiquement au bout d’un temps T donné et sur une distance λ donnée.
2. Expression générale d’une OPPM et notation complexe

Plus généralement, l’expression des champs électrique et magnétique d’une OPPM se propageant dans le

vide dans la direction et le sens d’un vecteur u quelconque est :
  u  OM  
E = E0 cos   t −
 
(
 +   = E0 cos t − k  r +  ) et B =
1 1
uE = k E

c   c
en posant r = OM et k = ku .
Ce vecteur k ayant pour norme le module d’onde k et pour direction et sens la direction et le sens de
propagation de l’onde est appelé vecteur d’onde.
L’expression (2.14) est lourde à manipuler. On a une expression plus légère en notation complexe. Le
champ électrique complexe est :
(
E ( M ,t ) = E 0 exp i t − k  r )
où E0 = E0 exp ( i ) .
Remarque :
( )
1. Dans le cas où le facteur exponentiel est de la forme i t − k  r , l’opérateur nabla s’écrit  = −ik et

= i . Les équations de Maxwell pour les champs complexes s’écrivent dans le cas général :
t

(MG) −ik  E = (MΦ) −ik  B = 0 (MF) −ik  E = −i B (MA) −ik  B = 0 j + i0  0 E
0
2. L’OPPM est un modèle idéalisé qui n’existe pas dans la réalité mais toute onde réelle est superposition
d’OPPM.
3. Spectre des ondes électromagnétiques

La gamme de fréquences (ou de longueurs d’onde) couverte par les ondes électromagnétiques est très
vaste. Selon les valeurs de la fréquence f ou de la longueur d’onde λ=c/f, on classe les ondes
électromagnétiques dans différents domaines répertoriés sur la figure 2.6.
Les ondes électromagnétiques ont des applications multiples qui diffèrent suivant le domaine spectral :
• Les rayons γ, produits par les désexcitations des noyaux atomiques, sont utilisés pour la radiostérilisation
à froid du matériel médico-chirurgical (seringues jetables, etc.) car ils détruisent les micro-organismes
(champignons, bactéries, virus...).
• Les rayons X, produits dans des tubes à rayons X par le freinage d’un faisceau d’électrons, sont utilisés
en radiothérapie pour soigner le cancer, et en radiographie médicale parce qu’ils ont la capacité de traverser
la matière. Cette propriété est appliquée aussi dans les aéroports pour le contrôle des bagages ou dans
l’industrie pour repérer des défauts dans un matériau. Les rayons X sont aussi utilisés en recherche pour
sonder la matière à l’échelle atomique (cristallographie par exemple).
• Les ultraviolets, présents dans la lumière solaire ou produits par des lampes à décharge (dont l’ampoule
doit être en quartz car le verre ne laisse pas passer les ultraviolets) sont utilisés pour la spectroscopie et la
microscopie de fluorescence en laboratoire, le contrôle d’authenticité des billets de banque, la fabrication
des masques de gravure des circuits intégrés électroniques.
• Les ondes électromagnétiques du domaine visible sont omniprésentes dans l’activité humaine, y compris
dans des applications qui n’ont pas de rapport avec la vision comme les disques optiques numériques.

• Les infrarouges sont produits par les corps chauffés. Les infrarouges sont utilisés pour les
télécommandes domestiques (longueur d’onde 850 nm), pour les télécommunications par fibre optique
(longueur d’onde entre 0,7 et 1,4µm). La caméra thermique, sensible aux infrarouges, sert au contrôle
d’installations industrielles (détection de point chaud) ou de l’isolation thermique d’un bâtiment.
• Les micro-ondes, comme les ondes radios, sont produites par des dispositifs électriques macroscopiques.
L’application la plus connue est le four à micro-ondes (fréquence de 2,4 GHz). Les micro-ondes sont
utilisées dans les radars, pour la communication avec les satellites car elles traversent facilement
l’ionosphère terrestre (voir chapitre suivant), dans le protocole de communication Wi-Fi (fréquences autour
de 2,4 GHz) et en téléphonie mobile (par exemple le système GSM utilise deux bandes de fréquences
situées autour de 900 et 1800 MHz).
• Les ondes radio sont utilisées pour la radiodiffusion à modulation d’amplitude (ondes longues de 30 à
300 kHz, ondes courtes de 3 à 30 MHz) ou à modulation de fréquence (fréquence comprise entre 87,5 et
108 MHz) et pour la télédiffusion sur les bandes de fréquence VHF (174 à 230 MHz) et UHF (470 à 860
MHz).
Figure 2.6 Spectre électromagnétique
IV. Polarisation rectiligne d’une onde électromagnétique

Par définition :
Une onde électromagnétique a une polarisation rectiligne si, en tout point M, le champ électrique E ( M ,t )
garde une direction fixe au cours du temps.
La direction du champ électrique est appelée direction de polarisation.
Lorsqu’une polarisation est rectiligne, les composantes du champ électrique (et magnétique) oscillent en
phase durant la propagation, le vecteur garde donc une direction fixe dans le temps et l’espace.
Exemple :
La figure 2.7 représente, à l’instant t = 0, le champ électromagnétique de l’OPPM se propageant selon le
vecteur u z et polarisée rectilignement dans la direction du vecteur u x suivante:
k  E u z  E E0
E ( M ,t ) = E0 cos (t − kz ) ux et B ( M ,t ) = = = cos (t − kz ) u y
 c c
On peut y observer la périodicité spatiale de période λ, la structure de l’onde avec le trièdre direct u ,E,B ( )
et le fait que les deux champs sont en phase avec E = c B .

Figure 2.7 OPPM se propageant selon le vecteur u z et polarisée rectilignement dans la direction de u x
Dans notre exemple c’est l’axe (Ox) qui est la direction de polarisation. On appelle plan de polarisation
le plan (xOz) parallèle au champ électrique.
Remarque : 
1. L’onde peut être polarisée circulairement ou elliptiquement, dans ce cas l’extrémité du champ E décrit
respectivement un cercle ou une ellipse dans le plan d’onde.
Les champs E et B restent constants en amplitude et tournent autour de la direction de propagation.
2. Si la direction du champ E ne vérifie aucune des conditions précédentes, l’onde électromagnétique est
dite non polarisée, comme par exemple la lumière du Soleil ou celle des lampes, car les vecteurs E sont
créés aléatoirement les uns par rapport aux autres lors des désexcitations d’atomes.
V. Étude énergétique des OPP électromagnétiques

1. Vecteur de Poynting d’une OPPM
Considérons l’OPPM de la figure 2.7 qui se propage dans le sens des z croissant et polarisée selon u x :
E0
E ( M ,t ) = E0 cos (t − kz ) ux et B ( M ,t ) = cos (t − kz ) u y
c
EB
E02
Le vecteur de Poynting est donc : R = = cos 2 (t − kz ) u z =  0 cE02 cos 2 (t − kz ) u z
0 0 c
La valeur moyenne du vecteur de Poynting est donc :
E  B E02 E2  cE 2
R = = cos 2 (t − kz ) u z = 0 u z = 0 0 u z
0 0 c 2 0 c 2
L’énergie se déplace dans la direction et le sens de la propagation.
2. Densité volumique d’énergie d’une OPPM

0 E 2 B2   E2 E02 
La densité volumique d’énergie est : uem = + = 0 0 +  cos (t − kz )
2
2 2 0  2 2 0 c 2 
B2
uem =  0 E02 cos 2
(t − kz ) =  0 E 2
=
0 (2.17)
Il y a équipartition de l’énergie électromagnétique entre les deux formes, électrique et magnétique.
 0 E02
La valeur moyenne de la densité volumique d’énergie est donc : uem =  0 E0 cos (t − kz ) =
2 2
2

Chapitre 3 : Sources des Ondes électromagnétiques
OS1 : Expliquer le phénomène de rayonnement d’un dipôle électrique oscillant
OS2 : Expliquer le phénomène de rayonnement d’un dipôle magnétique oscillant
Introduction
Les sources des OEM sont les mêmes que les sources du champ électromagnétique c’est-à-dire les charges
en mouvement. Etant donné un ensemble de charge en mouvement les équations de Maxwell nous donnent
en principe le champ électromagnétique qu’elles produisent et par conséquent la nature des OEM
résultantes.
I. Rayonnement d’un dipôle électrique oscillant (dipôle de Hertz)

1. Définition d’un dipôle électrique oscillant
En des points A et B placés sur un axe (Oz), symétriques par rapport à O, de côté  − z0 ;+ z0  sont disposées
 2 2
des charges ponctuelles –q et +q.
  
p = qAB = qz0.e z Moment électrique dipolaire.
Les charges –q et +q varient de manière sinusoïdale en fonction du temps : q(t ) = q sin (t ) . Il en résulte
alors une variation sinusoïdale du moment dipolaire électrique en fonction du temps. Alors on a :
p(t ) = q(t )z0 = qz0 sin(t ) = p0 sin(t ) avec p0 = qz 0 , z 0 étant fixe.
Le système de charge ainsi constitué est appelé dipôle électrique oscillant et on étudie les effets de ce
dipôle en un point M repéré par ses coordonnées polaires. Dans la pratique on a un dipôle électrique
oscillant lorsqu’un courant oscille dans l’antenne linéaire d’une station radio.
2. Champ électromagnétique crée par un dipôle électrique oscillant

Le moment dipolaire électrique étant oscillant, le champ électrique crée par le dipôle oscille également,
donc dépend du temps. Cela implique qu’il existe en plus un champ magnétique comme le veut la relation
de Maxwell-Ampère. On peut également le déduire du fait qu’un dipôle électrique oscillant est équivalent à
un courant linéaire oscillant car la variation sinusoïdale de q engendre entre les deux charges le passage
d’un courant sinusoïdal qui crée un champ magnétique dépendant du temps (variable) et par conséquent
aussi un champ électrique dépendant également du temps (variable).
 2 p cos( )  2 p cos( ) sin(t )
 Er =  Er =
 4 0 r 3
 4 0 r 3
E E
 E = p sin( )  E = p sin( ) sin(t )

 4 0 r 3
  4 0 r 3
(3.1)
et le champ magnétique est négligeable
Dipôle électrostatique dipôle électrique oscillant (en des points très proches)
En des points très proches du dipôle électrique ( z0 OM = r  ) oscillant le champ électrique crée par le
dipôle électrique oscillant est identique au champ électrique crée par un dipôle électrostatique et le champ

B est négligeable.
A grande distance ( r ), la propagation à vitesse finie des ondes produit une modification du champ
électrique.
La solution de l’équation d’onde pour des ondes sphériques d’amplitude identique dans toutes les
1
directions suggère que le champ électrique dépend asymptotiquement de la distance selon une loi en au
r

1
lieu de comme dans le cas des faibles distances. De plus à grande distance une petite portion du front
r3
d’onde (onde sphérique) peut être assimilée à une onde plane et le champ électrique doit être
perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde qui est suivant le rayon de telle sorte que Er = 0 .
L’intensité du champ électrique est alors donnée par l’expression :
p sin(  )      r 
2
E= 0   sin   t − 
4 0 r  c    c 
Le champ magnétique perpendiculaire au champ électrique a pour intensité :
E p0 sin(  )      r 
2
B= =   sin   t − 
c 4 0 rc  c    c 
Figure 3.1 Champs électrique et magnétique crées par un dipôle électrique oscillant
→ →
Les vecteurs E et B sont nuls pour  = 0 ou  =  c’est-à-dire pour des points situés sur l’axe (Oz) qui est

la direction d’oscillation. Pour  = , sin( ) = 1 et l’O.E.M a une intensité maximale dans le plan (xOy).
2
A grande distance de la source ( r ), l’O.E.M d’un dipôle électrique oscillant est assimilable à une onde
monochromatique plane polarisée rectilignement.
→ →
L’énergie et la quantité de mouvement se propagent dans la même direction de E B . Il faut donc fournir
de l’énergie pour maintenir le dipôle en oscillation.
1.3 Energie et puissance rayonnées

La densité volumique de l’énergie transportée par l’onde s’écrit :

0 B² 0  2
E2
W= .E² + W= .E +
2 2. 0 soit 2 2. 0 c 2
    
Or  0  0 c 2 = 1   0 c 2 = 1 W = 0 .E 2 + 0 .E 2 =  0 E 2
 0 donc 2 2
 p sin 2 (  )   
2 4
  r 
W =  0 E 2 = 0 2 2 2   sin 2   t − 
4  0r  c    c 
La valeur moyenne de la densité volumique d’énergie est :
p0 sin 2 (  )    2  r 
2 4
W  = 2    sin   t − 
16  0 r  c 
2
  c 
  r  1
Or  sin 2   t −   =
  c  2

p0  4
2
W  = sin 2 ( )
32 2  0 r 2 c 4
La puissance moyenne rayonnée dans tout l’espace par le dipôle centré au point O est égal au flux du
vecteur de Poynting à travers tout l’espace entourant le point O. On montre que :
p 4
2
dW
P= = 0
dt 12 0 c 3
Application à la puissance émise par l’antenne d’une station radio

Une antenne est simplement constituée d’un fil de longueur z 0 dans laquelle est maintenu un courant
oscillant (courant sinusoïdal) comme le courant qui traverse le dipôle électrique oscillant dans le sens du

vecteur p .
q(t ) = q  sin(  t ) donc le courant s’écrit i(t ) = =   q  cos(  t ) soit i(t ) = I0  cos(  t )
dq( t )
dt
I0
L’amplitude du courant I 0 = q   et p0 = q  z0 =  z0

p 4
2
dW
L’équation P = = 0 devient
dt 12 0 c 3
I 02 2 z 02
P=
12 0 c 3
1   2 z 02  2 I 02   2 z 02 
P=  I 0 =  
2  6 0 c 3  2  6 0 c 3 
I0 I 02
On sait que I eff = soit I 2
eff = donc la puissance rayonnée par l’antenne est :
2 2
  2 z02  2
P =  I
3  eff
 6  0 c 
Par analogie avec P = R  I 2 puissance dissipée par effet joule dans une résistance, on écrira :
 2 z02
R=
6 0 c 3
1
2   0  2  z 0 
2
R=    
3   0    
Cette quantité est appelée résistance de rayonnement de l’antenne pour la longueur d’onde  .
En introduisant les valeurs numériques on obtient :
2
 z0 
R = 787  

Ainsi, la puissance rayonnée par une antenne linéaire est :
2
 z0  2
P = RI eff = 787  I eff
2

Les équations précédentes ont été établies pour une antenne linéaire dans l’approximation dipolaire et elles
ne sont valables que si z 0   .
Exemple :
Soit une antenne linéaire de 30 m de longueur qui rayonne des O.E.M de fréquence f = 510 5 Hz , la
valeur maximale du courant étant 20A. Calculer la puissance rayonnée par cette antenne.
Réponse :

c 3  108
La longueur d’onde est  =  = = 600m
f 5  10 5
z0 = 30 m 
  z0   . On peut donc utiliser les formules établies pour une antenne linéaire dans
 = 600m
l’approximation dipolaire.
Puissance rayonnée par l’antenne :
2
z 
2
 30 
R = 787  0  soit R = 787    R = 1,9675
  600 
2
 20 
P = R  I eff
2
soit P = 1,9675    P = 393.5W
 2
II. Rayonnement d’un dipôle magnétique oscillant

Une autre source d’O.E.M est le dipôle magnétique oscillant dont l’étude est similaire à celle du dipôle
électrique à l’exception d’une interversion des rôles du champ électrique et magnétique.
1. Définition d’un dipôle magnétique oscillant

Soit une petite boucle de courant (spire) placée dans le plan (xOy) avec son centre à l’origine des
coordonnées. Si le courant qui traverse la boucle oscille suivant une loi I = I 0 sin (t ) alors le moment
magnétique s’écrit : M = IA = I 0 A sin(t )
On pose M 0 = I 0 A ; A étant la surface de la boucle
M = M 0 sin(t )
Le dipôle magnétique ainsi constitué est un dipôle magnétique oscillant.
2. Champ électromagnétique crée par un dipôle magnétique oscillant

Un dipôle magnétique oscillant crée en tout point de l’espace un champ magnétique oscillant c’est-à-dire
dépendant du temps. Cela implique qu’il existe également un champ électrique en vertu de la relation de
→
B
Maxwell-Faraday rot E  = −
→
.
  t
En des points proches du dipôle magnétique oscillant, le champ magnétique créé est similaire à celui d’un
dipôle magnétique statique r  .
  0 2 M cos( )   0 2 M 0 cos( )
→ Br = 4  Br = 4
→
sin(  t )
B r3 B r 3
 B =  0 M sin( )  B =  0 M 0 sin( ) sin(  t )

  4 r3   4 r3
Dipôle magnétique statique et le champ électrique est négligeable.
Dipôle magnétique oscillant (en des points très proches z 0 r   )
A grande distance r , la propagation à vitesse finie des ondes produit une modification notable du
champ. Comme dans le cas du dipôle électrique le champ électromagnétique solution des équations de
1 1
Maxwell doit dépendre asymptotiquement de au lieu de 3 avec les champs électrique et magnétique
r r
situés dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation des ondes. Le rôle respectif des champs
magnétique et électrique est opposé à ce qu’il est dans le cas du dipôle électrique.
Dans cette approximation on a :

 0 c M 0 sin( )      r  →
2
→
E=−   sin   t −  u 
4 r c   c 
0 M 0 sin( )      r  →
2
→
B=   sin   t −  u 
4 r c   c 
Figure 3.2 Champs électrique et magnétique d’un dipôle magnétique oscillant
L’O.E.M produit par un dipôle magnétique oscillant est monochromatique plane et polarisée
rectilignement. Le plan de polarisation est tourné de 90o par rapport à celui des ondes d’un dipôle
électrique oscillant.
3. Energie et puissance rayonnées

 M 02 4
La densité volumique d’énergie s’écrit W =  0 E 2 et sa valeur moyenne est W  = sin 2 ( ) .
32  0 c r
2 6 2
dW M 02 4
La puissance rayonnée dans tout l’espace par le dipôle magnétique oscillant est : P = =
dt 12 0 c 5
Appliquons la formule précédente à l’étude du rayonnement magnétique dipolaire d’une antenne émettrice.
La puissance moyenne nécessaire pour alimenter l’antenne est
(I 0 A)2  4 1  A 2 4  2  A 2 4  2
 I
P= = I soit P =
12 0 c 5 2  6 0 c 5  5  eff
 6 0 c 
0
1
A 2 2 8 3   0  2  A 
2
Par analogie avec P = R  I on tire R =

2
=    
6 0 c 5 3   0   2 
qui est la résistance de rayonnement d’une antenne en forme boucle (circulaire).
2
 A
R = 31,170 2 
 
Application :
Une antenne circulaire de 30 m de longueur est parcourue par un courant d’amplitude I0=20 A, oscillant à
la fréquence f = 510 5 Hz . Calculer la résistance de rayonnement de l’antenne puis la puissance moyenne
rayonnée.
Calcul de la surface de la boucle de courant
2
30  30 
C = 2r = 30 soit r = et A = r 2 =    = 71,6 m
2
2  2 

c 3  108
La longueur d’onde est  =  = = 600m
f 5  10 5
z0 = 30 m 
  z0   . On peut donc utiliser les formules établies pour une antenne circulaire dans
 = 600m
l’approximation dipolaire.
Puissance rayonnée par l’antenne :
2 2
 A  71,6 
R = 31,17 2  soit R = 31,17 2 
 R = 1,23.10 −6 
   600 
2
 20 
−6
P = RI 2
eff soit P = 1,23.10    P = 0 ,24 mW
 2
Comparons le rayonnement dipolaire électrique et le rayonnement dipolaire

magnétique
2
Pmag  A   2
=   avec =k= et A est de l’ordre de grandeur de z02, z0 étant la longueur de l’antenne
Pélect  z 0 c  c 
linéaire.
Pmag  2z 0  2 Pmag
=  Comme z 0   alors  1 soit Pmag  Pélect
Pélect    Pélect
Pour des antennes d’émission radio, le mode de rayonnement magnétique est beaucoup plus faible que le
mode de rayonnement électrique.

Chapitre 4 : Ondes électromagnétiques dans les milieux
OS1 : Expliquer le phénomène de propagation d’une OPPM électromagnétique dans les milieux matériels
OS2 : Déterminer les caractéristiques d’une OPPM électromagnétique dans les milieux matériels
Introduction
Constituée de charges libres ou liées, la matière interagit avec les ondes électromagnétiques. Le champ
électrique peut induire une densité locale de courant et également induire une polarisation des atomes et
molécules du milieu. La permittivité électrique ε décrit cette polarisation. Le champ magnétique peut
modifier la structure magnétique de la matière, décrite par une perméabilité μ. Dans un milieu matériel, les
équations de Maxwell modifiées permettent d’écrire une équation de propagation d’onde
électromagnétique.
I. Classification électrique et magnétique des matériaux

La matière est constituée d’atomes et de molécules et, à plus petite échelle encore, de charges positives (les
protons du noyau) et de charges négatives (les électrons).
Un matériau traversé par une onde électromagnétique va se trouver en présence simultanée d’un champ
électrique variable et d’un champ magnétique variable.
1. Classification électrique des matériaux
Du point de vue électrique, on distingue deux grandes classes de matériaux : les conducteurs et les
isolants, aussi appelés diélectriques. Un matériau est conducteur quand il dispose de charges libres
capables de se mouvoir sous l’effet d’un champ électrique. La capacité conductrice des matériaux est
déterminée par la conductivité γ, ou son inverse, la résistivité.
La conductivité électrique γ d’un matériau est le rapport entre la densité de courant et le champ électrique.
 
Elle intervient dans la loi d’Ohm locale : j = E .
Les matériaux conducteurs sont caractérisés par une faible résistivité ou une forte conductivité. Au
contraire, les isolants sont caractérisés par une forte résistivité.
Pour être complet, il faut également citer les matériaux semi-conducteurs (le silicium par exemple) qui ont
une conductivité intermédiaire entre les conducteurs et les isolants. Les supraconducteurs sont eux des
matériaux conducteurs parfaits qui ont cette propriété généralement à très basse température.
Remarque: contrairement à la résistance électrique (qui mesure l’opposition au passage d’un courant
l
électrique) qui dépend de la géométrie de l’échantillon de matériau considéré ( R =   ), la résistivité
S
électrique qui caractérise la facilité pour un matériau de laisser passer le courant, est indépendante de la
géométrie de l’échantillon de matériau. Ainsi, la résistivité électrique ou la conductivité électrique est une
constante pour un matériau et elle dépend de la température.
2. Polarisation macroscopique d’un milieu matériel

Un milieu matériel composé d’un grand nombre d’atomes soumis à un champ électrique externe va générer
un grand nombre de dipôles électriquement induits, chaque dipôle contribuant à la création d’un champ
électrique de polarisation. Pour décrire cet effet de façon macroscopique, on propose une relation linéaire
entre le champ électrique induit E pol et le champ externe E : E pol =  e E
Le paramètre  e est la susceptibilité diélectrique du matériau. C’est un nombre positif sans dimension qui
décrit la réaction macroscopique du milieu matériel. Le champ électrique de polarisation est relié à la
polarisation macroscopique P par : P = 0 E pol = 0 e E
En utilisant le vecteur déplacement électrique D défini par : D = 0 E + P = 0 (1 + e ) E = 0 r E =  E
on obtient l’expression de la permittivité relative  r = (1 + e )

C’est un nombre sans dimension qui vaut 1 dans le vide, et est supérieur à 1 dans un milieu matériel.
3. Classification magnétique des matériaux

Les matériaux ont des propriétés magnétiques très variables. Les principales propriétés magnétiques sont
résumées par les définitions suivantes :
• Un matériau est amagnétique lorsqu’il ne possède pas de propriétés magnétiques.
• Un matériau est ferromagnétique quand il porte une aimantation permanente ou de longue durée plus
importante que le champ inducteur.
• Un matériau est paramagnétique quand il présente une aimantation en présence d’un champ extérieur
seulement. L’aimantation est alignée avec le champ extérieur.
• Un matériau est diamagnétique quand il présente une aimantation opposée au champ inducteur (exemples:
bismuth, graphite, antimoine). L’aimantation est en général faible.
Pour rendre compte mathématiquement de ces différentes propriétés, on utilise la susceptibilité

magnétique. Quand un milieu matériel est soumis à un champ d’excitation magnétique externe H , il
résulte une aimantation M reliée linéairement au champ inducteur par : M =  m H , où  m est la
susceptibilité magnétique du matériau. Elle est nulle pour les matériaux amagnétiques, négative pour les
matériaux diamagnétiques, positive pour les matériaux paramagnétiques et ferromagnétiques.
Le champ magnétique induit se superpose au champ magnétique inducteur, ce qui donne pour le champ
( )
total B = 0 H +  m H = 0 r H =  H
On retrouve ici la constante  0 qui est la perméabilité magnétique du vide et on a introduit la perméabilité
relative  r = 1 +  m , nombre sans dimension. La perméabilité relative est très importante dans les
matériaux ferromagnétiques (  r  10 4 pour le fer par exemple) et proche de l’unité pour les matériaux
paramagnétiques.
II. OEM dans les milieux matériels, homogènes, linéaires et

isotropes
En présence d’un champ électromagnétique, un milieu matériel subit deux effets : un effet de polarisation
dû au champ électrique et un effet d’aimantation dû au champ magnétique. Ces deux effets sont décrits par
deux fonctions complexes ε et μ qui décrivent la relation entre le champ incident ( E, B ) et le milieu
matériel.
Un milieu matériel est homogène si ε et μ ne dépendent pas de la position.
Dans le cas des milieux homogènes, linéaires et isotopes, les équations de Maxwell s’écrivent :

( )
div E =
 ( )
div B = 0 ( )
rot E = −
B
t
( )

rot B =   j + 
E 

t 

où
– ε=ε0εr est la permittivité absolue du milieu diélectrique,
– εr est la permittivité relative du milieu diélectrique.
– ε0= 8.854 187 817×10−12 F m−1 est la permittivité du vide
– µ=µ0µr est la perméabilité absolue du milieu
– µr est la perméabilité relative du milieu.
– µ0= 4π×10−7= 1.256 637 061 4×10−6H m−1 est la perméabilité magnétique du vide,
– Dans le cas d’un conducteur ohmique on a: j =  E où γ est la conductivité électrique du milieu.
On peut remarquer ici que la forme des équations de Maxwell dans le vide et celle des équations de
Maxwell dans un milieu matériel sont identiques. Du point de vue électromagnétique, le vide est donc
assimilé à un cas particulier de la matière avec des propriétés électriques et magnétiques telles que :
 =  0 et  =  0 .

1. Réflexion et réfraction sur des surfaces métalliques : effet de peau (effet
Kelvin)
Dans un conducteur la densité volumique de charge est nulle  = 0 et la densité de courant s’écrit j =  E ,
avec γ qui est la conductivité du conducteur. Les métaux sont caractérisés par une forte conductivité
assurée par les électrons libres.
Les équations de Maxwell deviennent :
 E 
( )
div E = 0 ( )
div B = 0 ( )
rot E = −
B
t
( )
rot B =    E +  
t 

 
Les équations de propagation de E et B sont:
 ( )  ( )
rot  rot E  = grad  div E  −  E
( )
En tenant compte de div( E ) = 0 on a grad  div E  = 0 et l'équation initiale devient
 B 
 ( )
rot  rot E  = − E ou rot  −
  = − E ou encore
 t 
    E  
−
t
( )
rot B = − E  −     E + 
t  
  = −E
t  
et finalement
E ² E
 E −  −  = 0 (*)
t t²

On obtient également pour le champ B une équation d’onde similaire à la précédente :
B ² B
 B −  −  = 0 (**)
t t²
 
E B
Le nouveau terme  ou  étant une dérivée première par rapport au temps est similaire à un terme
t t
d’amortissement. Il indique donc que l’onde est amortie au cours de sa propagation dans le métal.
L’intensité de l’onde diminue donc rapidement lorsqu’elle pénètre dans le métal.
  −x
La solution de l’équation (*) peut se mettre sous la forme : E = E0 .e cos(t − kx ) (***)

où la vitesse de propagation et le coefficient d’amortissement α sont des fonctions de γ, μ et ε.
v=
k
L’exponentielle indique que l’onde est amortie au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu. Si la
fréquence est assez petite pour que ω² puisse être négligée et si le matériau est très bon conducteur de sorte
que   , par substitution de l’équation (***) dans (*) on obtient :

k = 
2
La vitesse de propagation est alors
 2
v= =
 k
Déterminons l’épaisseur de peau ou profondeur de pénétration de l’onde dans le milieu.
La profondeur de pénétration ou distance d’atténuation est la distance sur laquelle l’amplitude de l’onde
décroit d’un facteur e (exponentiel) où est divisé par e :
E0
E0 e − =  e − = e −1   = 1 soit
e
1 2
= =
 

Dans un milieu non magnétique où  =  0 = 4 10 −7 on a   500
f

Ainsi, l’onde ne pourra pas se propager dans la « masse » du conducteur : elle s’éteindra sur une distance
de l’ordre de δ. δ est appelée épaisseur de peau.
Conséquence : on voit que plus ω est grand (tout en satisfaisant à   ), plus δ est faible. Ainsi, un
courant de fréquence suffisamment élevée circulera à la surface des conducteurs (effet de peau).
  −x
L’équation (***) s’écrit : E = E0 .e  cos(t − kx)
Cette analyse explique deux faits importants relatifs aux conducteurs.

Le premier fait est leur opacité qui résulte de la forte absorption des ondes de sorte qu’aucune onde
n’est transmise à travers le conducteur à moins qu’il ne constitue une couche très mince.
Les conducteurs sont donc excellents pour protéger une région de l’espace des OEM. Cela se réalise en
entourant par exemple la région d’une grille métallique.
Le deuxième fait est le pouvoir réfléchissant des conducteurs qui est dû à ce que seule une petite
fraction de l’onde incidente pénètre dans le conducteur, la plus grande partie de l’énergie se retrouvant
dans l’onde réfléchie. Ce grand pouvoir réfléchissant est caractéristique des métaux.
Une couche ionisée de gaz peut également se comporter comme un conducteur réfléchissant les ondes qui
tombent sur elle.
Ce principe est utilisé dans la communication radio tout autour de la Terre. Le signal est réfléchi
vers la Terre lorsqu’il atteint une couche fortement ionisée de l’atmosphère terrestre appelée ionosphère qui
se situe entre 80 et 100km au-dessus de la surface de la Terre. La communication est ainsi possible entre
points A et B de la Terre alors qu’elle serait impossible à réaliser avec une onde qui se propage en ligne
droite entre ces points.
Figure 4.1 Réflexion des ondes radios par l’ionosphère
2. Propagation dans les milieux diélectriques

Les milieux diélectriques sont des milieux isolants. Leur conductivité est extrêmement faible, de l’ordre de
10−20 à 10−12 S m−1, celle d’un conducteur métallique étant de l’ordre de 107 S m−1, à température ambiante.
Il est donc tout à fait raisonnable de prendre pour γ la valeur γ= 0. Par ailleurs dans de tels milieux, ρlibre=
0.
Les équations de Maxwell se simplifient alors :
B E
( )
div E = 0 ( )
div B = 0 ( )
rot E = −
t
( )
rot B = 
t
En utilisant la même démarche que dans le paragraphe précédent, on peut montrer que le champ électrique
et le champ magnétique satisfont les équations de propagation suivantes :
² E ² B
 E −  = 0 et  B −  =0
t² t²
1 1 1 c
où la vitesse de propagation de l’onde est: v = =  =
r 0  r  0  r r 0 0 n

n =  r  r est l’indice de réfraction (ou indice optique) du milieu. Dans les milieux réels n est constant
pour les grandes longueurs d’onde, tandis que pour les hautes fréquences il faut faire intervenir le
phénomène de dispersion qui entraîne une dépendance de n avec la fréquence.
Dans la plupart des diélectriques µr= 1, d’où n =  r
Ainsi, la vitesse de propagation d’une OEM dans un isolant est plus faible que dans le vide d’un facteur n.
  
Considérons une solution de l’équation de propagation de E de la forme : E = E 0 cos(t − kx )
² E  ² E  
on a = −k ² E et = −² E . L’équation de propagation du champ E devient : −k² E + ² E = 0 et la
x² t²
relation de dispersion dans un diélectrique s’écrit: k =  soit k =   ou k =  
2 2
Le vecteur d’onde k dans un isolant est réel donc il n’y a pas d’atténuation de l’onde dans l’isolant :
l’amplitude des champs E et B reste constante au cours de la propagation et l’onde électromagnétique a la
structure d’une onde plane.
3. Réflexion normale des OEM sur un conducteur parfait : onde

stationnaire
En 1888, H. Hertz réalisa un générateur d’ondes électromagnétiques (dipôle électrique oscillant) qui lui
permit de produire des OEM stationnaires et de calculer la longueur d’onde λ et la vitesse des OEM.
Considérons une OEM plane se propageant suivant (Oz), donc normale à la surface de séparation et

polarisée rectilignement : le champ E est parallèle à l’axe (Ox).
Pour l’onde incidente on a :
   z  
E1 (z , t ) = E0 cos  t − u x
  c 
   z   E   z  
B1 (z , t ) = B0 cos  t − u y = 0 cos  t − u y
  c  c   c 
Figure 4.2 OEM stationnaires produites par réflexion sur une surface conductrice
On admet l’existence d’une onde plane réfléchie de même pulsation que l’onde incidente et se propageant
dans la même direction mais dans le sens opposé à l’onde incidente.
 
Soient E1 et B1 les champs après réflexion dans le vide. A la surface du métal (z=0) le champ électrique
résultant

est constamment nul (propriété

d’un conducteur parfait)
     
ET = 0  ET = E1 ( z = 0 ) + E1 ( z = 0 ) = 0  E1 ( z = 0 ) = − E1 ( z = 0 )
Le champ électrique réfléchi s’écrit :
   z  
E1 (z , t ) = − E0 cos  t + u x
  c 
   
Le trièdre (E1' , B1 , n1 ) étant direct ; on en déduit que B1 est parallèle à B1
A un instant quelconque on a :

- Onde incidente
   z      z  
E1 (z , t ) = E0 cos  t − u x , B1 (z , t ) = B0 cos  t − u y
  c    c 
- Onde réfléchie
   z      z  
E 1 (z , t ) = − E 0 cos  t + u x , B' 1 (z , t ) = B0 cos  t + u y
  c    c 
La réflexion a lieu avec un changement de signe pour le champ électrique et sans changement de signe
pour le champ magnétique.
En un point M de l’axe (Oz) situé dans le vide on aura donc superposition des ondes incidentes et
réfléchies.
  
E = E 1 + E' 1
    z    z      z  
E = E0 cos  t −  − E0 cos  t +  u x soit E = 2 E 0 sin  sin(t )u x
   c    c    c
  2z  
E = 2 E0 sin  sin(t )u x
  
  
B = B1 + B'1
    z    z      z  
B = B0 cos  t −  + B0 cos  t +  u y soit B = 2 B0 cos  cos(t )u y
   c    c    c 
  2z  
B = 2 B0 cos  cos(t )u y
  
Ces expressions ne correspondent pas à celle d’une onde progressive mais plutôt à celle d’une onde
stationnaire.
 
On appelle nœud tous les points de (Oz) pour lesquels les champs E ou B sont nuls à tout instant.

- Nœuds du champ E
 2  2 n
sin z = 0  z = n ou encore z = ,n entier
    2

- Nœuds du champ B
 2  2  
cos z = 0  z = + n ou encore z = (2n + 1)
    2 4
 
On appelle ventre tous les points de (Oz) pour lesquels. les amplitudes du champ E ou B sont maximales
en valeur absolue à un instant donné

- Ventre du champ E
 2  2  
sin z = 1  z = + n ou encore z = (2n + 1)
    2 4

- Ventre du champ B
 2  2 n
cos z = 1  z = n ou encore z =
    2
  
Les nœuds et les ventres et les ventres sont intervertis par les champs E et B . En un point M les champs E
 
et B sont distants de : on dit qu’ils sont en quadrature de phase.
4

Sur la surface métallique réfléchissante (z=o) on a un nœud pour le champ E et un ventre pour le

champ B .
A la surface du conducteur métallique on a :
2E0
js ( 0,t ) = cos (t ) u x
0 c

Le champ magnétique est tangentiel et d'amplitude maximale à la surface du conducteur, d'où l'existence
d'un courant surfacique.
La surface du conducteur est donc parcourue par un courant sinusoïdal de même pulsation que l’onde.
Remarque
 
On montre que : R = E² 0 sin ² (t ) sin(2kz )u z  R = 0 et w =  0 E²
0 c
L’onde stationnaire ne propage donc pas de l’énergie.

Chapitre 5 : Propagation guidée des OEM : le câble coaxial
OS1 : Expliquer la propagation guidée d’une OEM dans un câble coaxial
OS2 : Etablir l’équation des télégraphistes dans le cas d’une propagation guidée sans perte
Introduction
La propagation guidée consiste à canaliser un signal électromagnétique dans un espace délimité par des
interfaces conductrices ou diélectriques, depuis la source jusqu’au détecteur. Son principal avantage est de
transmettre l’énergie électromagnétique avec un faible taux d’atténuation et de véhiculer l’information
correspondante à l’abri des phénomènes parasites.
Le guidage est réalisé dans des guides d’ondes dont la constitution varie suivant le domaine de fréquence
des ondes : pour λ~1 cm (f~30 GHz), ce sont des tubes métalliques creux (rectangulaires ou circulaires),
alors que dans le domaine optique ce sont des fibres de matériaux diélectriques transparents.
Figure 5.1 a) Tube métallique creux b) Fibre optique à saut d’indice c) Fibre optique à gradient d’indice
Dans la plupart des cas, la structure de l’onde électromagnétique guidée n’est pas la même que dans le vide
; en particulier, l’onde n’est jamais plane et pas toujours transversale pour les champs électrique ou
magnétique. Un exemple important de propagation d’onde TEM (Transverse Electro-Magnétique) guidée
c’est-à-dire telles que le champ électrique et le champ magnétique soient tous deux orthogonaux à la
direction de propagation, est la transmission des signaux électriques dans un câble coaxial.
La transmission de l’énergie électromagnétique grâce à la connexion entre les éléments constitue un
problème technique intéressant. Dans les circuits à basse fréquence, la connexion se fait à l’aide de fils
conducteurs, mais cette méthode ne marche pas très bien en haute fréquence parce que dans ces conditions
les circuits rayonnent de l’énergie dans tout l’espace environnent, et il est difficile de savoir ou passe
l’énergie. Les champs s’étalent autour des fils ; les courants et les tensions ne sont pas très bien «guidés»
par les fils.
La ligne électrique ordinaire qui traverse le paysage de pylône en pylône rayonne une partie de son énergie,
mais les fréquences (50-60 Hz) sont si basses que cette perte n’est pas importante. On pourrait arrêter ce
rayonnement en entourant la ligne d’un tube métallique, mais cette méthode ne serait pas commode pour
des lignes de transport d’énergie parce que les tensions et les courants utilisés nécessiteraient un tube très
grand, très cher et très lourd. On utilise alors de simples «lignes nues».
Pour des fréquences un peu plus élevées (quelques kHz) le rayonnement est plus important. On peut le
réduire en utilisant des lignes de transmission à «fils torsadés» comme on le fait en téléphonie en ligne
torsadée. Cependant, à de plus hautes fréquences, le rayonnement devient vite intolérable soit à cause des
pertes d’énergie, soit parce que l’énergie apparait dans d’autres circuits où elle est indésirable.
Pour les fréquences comprises entre quelques kHz et quelques centaines de MHZ les signaux et l’énergie
électromagnétiques sont généralement transmis à l’aide de câbles coaxiaux constitués par un fil placé au
milieu d’un cylindre.
I. Présentation du câble coaxial
Un câble coaxial est constitué d’un mince cylindre creux (conducteur centrale) et un conducteur externe
qui est un autre cylindre mince de même axe que le conducteur interne.
Les deux conducteurs sont séparés par un isolant dont le plus couramment utilisé est le polyéthylène de
permittivité relative εr. Le conducteur externe sert en général de référence de potentiel et est relié à la
masse lorsque le câble est connecté. On a ainsi un effet de blindage vis-à-vis des électromagnétiques
extérieurs perturbateurs.
Figure 5.2 Coupe transversale d’un câble coaxial

Lorsqu’on travaille en hautes fréquences (quelques kHz à quelques centaines de MHz) et que la longueur
 
du câble coaxial est grande devant la longueur d’onde, la tension et le courant (ou les champs E et B )
varient le long du câble. Le mode de propagation dans les câbles

coaxiaux est un mode TEM (Transversal
Electric and Magnetic fields) c’est-à-dire que les champs E et B se trouvent dans des plans perpendiculaires
à la direction de propagation. Les phénomènes de propagation peuvent alors être facilement analysés à
partir des concepts de tension et de courant.
II. Capacité linéique du câble coaxial

Un câble coaxial est constitué de deux cylindres conducteurs l’un creux de rayon R2 et l’autre plein de
rayon R1, de même axe, séparés par un isolant de permittivité εr.
Figure 5.3 Coupe transversale d’un câble coaxial
La capacité C d’un condensateur dont l’armature au potentiel V1 porte la charge Q l’autre armature au
potentiel V2 porte la charge - Q est Q = C  (V2 − V1 )
Le câble coaxial se comporte comme un condensateur cylindrique portant la charge + Q sur la surface de
l’armature interne et la charge -Q sur la partie intérieure de l’armature externe. 
Pour déterminer l’expression de la capacité du câble coaxial, on détermine d’abord le champ E en un point
M de l’isolant situé à une distance r tel que R1 r  R2 .

La symétrie du problème fait que le champ E est radial. On applique le théorème de Gauss à un cylindre de
rayon r compris entre R1 et R2 et de même longueur que le câble coaxial.
a) Nature de la surface de Gauss : cylindre de rayon r compris entre R1 et R2 et de même longueur que le
câble coaxial
Figure 5.4 Surface de Gauss
b) Calcul du flux du champ électrique à travers la surface de Gauss

             
 = E  nSb1Sb1 + E  nSb2 Sb2 + E  nSL S L avec E ⊥ n1  E  n1 = 0  Sb1 = 0 et E ⊥ n2  E  n2 = 0  Sb2 = 0
 = E  SL = E  2rh
donc
c) Charges intérieures à la surface de Gauss : q int =   S R1 =   2 .R1 h

d) Application du théorème de Gauss :  =
q int

  2  R1  h   R1 →   R1 →
E  2  rh =  E (r ) = et E (M ) = n SL
  r  r
Calcul de la capacité du condensateur
→
  R1
E = − grad (V )  E = −  dV = − E (r )dr
dV V2 R2
 
dr
dV = −
dr V1  R1 r
  R1  R2    R1  R2 
V2 − V1 = − ln   V1 − V2 = ln 
  R1    1
R
Q   2R1 .h 2 0  r h
C= = =
V1 − V2   R1  R2  R 
ln  ln 2 
  R1   R1 
2 
C C = 0 r
La capacité par unité de longueur ou capacité linéique du câble coaxial est : 0 R 
h ln 2 
 R1 
Dans un câble coaxial, on a généralement R1 ≈ 0,5 mm et R2 ≈ 1,5 mm. Le diélectrique le plus courant est
le polyéthylène de permittivité εr=2,25. Dans ce cas C0 ≈ 100 pF.m-1
III. Inductance propre linéique du câble coaxial

Lorsque les courants qui se propagent dans le câble sont de fréquences élevées, les courants sont
pratiquement surfaciques si le métal est bon conducteur (effet de peau). On cherche dans un premier temps
l’expression du champ magnétique crée par le fil central parcourue par un courant I en un point situé à la
distance r tel que R1 r  R2 . Le champ magnétique est ortho-radial c’est-à-dire orthogonal au rayon de la
courbe d’Ampère et il ne dépend que de r.
Figure 5.5.a Câble coaxial parcouru par des Figure 5.5.b Câble coaxial parcouru par des
courants courants surfaciques (effet de peau)

L’expression du champ magnétique se détermine à partir du théorème d’Ampère :  B  dl =  0  I int
(C )
a) Nature de la courbe d’Ampère : cercle de rayon r tel que R1 r  R2 et centré sur le câble coaxial.
Figure 5.6 Courbe d’Ampère


b) Circulation du champ magnétique le long de la courbe d’Ampère : B et dl étant colinéaires on a :

 
C = B  dl = B dl = B  2
(C ) (C )
c) Courants intérieurs à la courbe d’Ampère : I int = +I

( )B  dl =   I
 I
d) Théorème d’Ampère : 0 int soit B.2r =  0 I ou encore B(r ) = 0
2r
C
Pour calculer l’inductance propre, on calcule d’abord l’énergie magnétique emmagasinée dans le câble
(énergie par unité de volume)
dW B2 B2 d R2
B2  0 I 2 h 2 dr
R
= d or  = r h 
2 =  Wm = 
4 R1 r
 dW = 2 rh 2hrdr =
d 2 0 2 0 dr 2 0
R1
 0 I 2 h  R2  1  h R 
Wm = ln   or Wm = LI 2  L = 0 ln  2  inductance propre du câble
4  R1  2 2  R1 
 0  R2 
L L0 = ln 
L’inductance propre par unité de longueur h ou inductance linéique est : 2  R1 
AN : μ0 = 4π10-7 SI Si R1 ≈ 0,5 mm et R2 ≈ 1,5 mm alors L0 = 0,22 μH
IV. Equation d’onde dans le câble coaxial

Si on néglige les pertes, un élément du câble coaxial de longueur dx peut être représenté par le schéma de
la figure 5.7:
Figure 5.7 Courants et tensions dans un câble coaxial
I(x, t) et V(x, t) sont respectivement le courant et la tension en fonction de la position x et du temps ;

I(x+dx, t) et V(x+dx, t) sont respectivement le courant et la tension en fonction de la position x + dx et du
temps. L0dx et C0dx sont respectivement l'inductance et la capacité de l'élément de câble de longueur dx.
- Lois des mailles :

I ( x, t ) I ( x, t )
V ( x, t ) − L0 dx − V ( x + dx, t ) = 0 ou V ( x, t ) − V ( x + dx, t ) = L0 dx
t t
V ( x, t ) − V ( x + dx, t ) I ( x, t ) V ( x + dx, t ) − V ( x, t ) I ( x, t )
= L0 ou = − L0
dx t dx t
V ( x, t ) I ( x, t )
= − L0 (1)
x t
- Lois des nœuds :
V ( x, t ) I ( x + dx, t ) − I ( x, t ) V ( x, t )
I ( x, t ) = I ( x + dx, t ) + C0 dx ou = −C0
t dx t

I ( x, t ) V ( x, t )
= −C0 (2)
x t
On dérive l’équation (1) par rapport à x et l’équation (2) par rapport à t :
 2V  2 I ( x, t )  2 I ( x, t )  2V ( x, t )
= − L et = −C
x 2 xt tx t 2
0 0
 2V ( x, t )  2V ( x, t )
= L C
x 2 t 2
0 0
On dérive l’équation (1) par rapport à t et l’équation à x et on obtient :

 2 I ( x, t )  2 I ( x, t )
= L C
t 2 t 2
0 0
On retrouve l'équation de propagation classique ou équation des télégraphistes. La solution générale de cette équation
est la combinaison d'une onde progressive et d'une onde régressive. Pour une ligne uniforme la tension et le
courant se propage sous forme d'onde le long de la ligne. La vitesse de propagation est donnée par la relation
1 1 1 1 1 c c
= L0C0  v = = ou v = . = soit v =
v 2
L0C0 0 . 0 . r 0 0  r r r
AN : c = 3.108 m.s −1 ,  r = 2, 25 v = 2.108 m.s −1
V. Impédance caractéristique de la ligne
On considère une onde sinusoïdale progressive de fréquence f se propageant le long du câble supposé très long.
L’impédance caractéristique est celle qui annule le coefficient de réflexion en bout de ligne, il n’y a pas d’onde
réfléchie et le régime qui s’établit dans la ligne est celui de l’onde progressive. Dans ce cas l’impédance est constante
dans toute la ligne et égale à l’impédance caractéristique Z(x) = ZC
  x 
La tension dans le câble est de la forme V ( x, t ) = V0 cos   t −  
  v 
V ( x, t )    x  V ( x, t ) I ( x, t ) I ( x, t ) V   x 
= V0 sin   t −   or = − L0 donc = − 0 sin   t −   soit
x v   v  x t t L0v   v 
V0   x 
I ( x, t ) = cos   t −  
L0 v   v 
V ( x, t ) L0 1 0 R 
Zc = = L0v = = ln  2 
I ( x, t ) C0 2  0 r  R1 
Cette impédance est purement résistive et indépendance de la fréquence.
Pour la plupart des lignes Zc a des valeurs typiques allant de 50 ohms à quelques centaines d'ohms.
Dans notre cas Zc = 46,9 Ω
Remarque :
Lorsque la fréquence des O.E.M devient supérieur au GHz, les conducteurs métalliques, coaxiaux ou
non, deviennent peu utilisables pour trois raisons :
- une O.E.M pénètre mal à l'intérieur d'un conducteur en haute fréquence (effet de peau)
- le conducteur extérieur formé de brins fins de fils tressés devient un écran imparfait et les lignes de
fuite entre brins rayonnent de l'énergie
- le diélectrique continu servant de support au conducteur central devient absorbant à cause des
bandes de fréquence de résonance du CO2 qu'il contient presque nécessairement par fabrication
On est donc amené à rigidifier l'enveloppe extérieure sous forme d'un tuyau métallique et à supprimer le
diélectrique ainsi que le fil central qu'il supportait. On obtient ainsi un tube de section rectangulaire ou
circulaire, guidant une OEM qui se propage dans le milieu intérieur, généralement de l'air : on parle de
guide d'onde rectangulaire ou circulaire.

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ELECTROMAGNETISME IT CT 15h TD 15h

Dr SOURABIE Idrissa Hermann

Electromagnétisme, Pr I. ZERBO, Dr SOURABIE , ISGE, Ing. Travaux SE/RST/MSI Page

II. PROPAGATION ET RAYONNEMENT

Chapitre 3 : Sources des ondes électromagnétiques

Chapitre 4 Ondes électromagnétiques dans les milieux

Chapitre 5 Propagation guidée des ondes électromagnétiques : le câble coaxial

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Deux types d’inductions

Figure 1.1 Induit fixe en circuit ouvert et inducteur mobile

- La tension s’annule si le déplacement cesse.

- La tension est d’autant plus grande que le déplacement est rapide.

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Figure 1.2 Induit fixe en circuit fermé et inducteur mobile

1.2 Loi de modération de Lenz : sens du courant induit

Figure 1.3 a et b Illustration de la loi de Lenz

1.3 Loi de Faraday

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1.3.2 Expression de la loi de Faraday

Figure 1.4 alternateur

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On doit donc modifier le théorème d’Ampère qui est :  B  dl =   j  ndS

 j  ndS par   E  ndS .

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II Equations de propagation des champs dans 

III Energie du champ électromagnétique

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I. Généralités sur les ondes

Tableau 2.1 – Quelques ondes et les signaux associés.

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Figure 2.1a Illustration des Figure 2.1b Illustrations de l’amplitude de

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Figure 2.3 Illustration de la propagation de deux solutions de l’équation d’onde simple.

1.2 Equation de propagation

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II. Onde électromagnétique plane progressive dans le vide

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2. Structure de l’OPP électromagnétique dans le vide

Figure 2.5 Structure d'une OPP

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2. Expression générale d’une OPPM et notation complexe

3. Spectre des ondes électromagnétiques

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Figure 2.6 Spectre électromagnétique

IV. Polarisation rectiligne d’une onde électromagnétique

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V. Étude énergétique des OPP électromagnétiques

2. Densité volumique d’énergie d’une OPPM

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I. Rayonnement d’un dipôle électrique oscillant (dipôle de Hertz)

2. Champ électromagnétique crée par un dipôle électrique oscillant

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1.3 Energie et puissance rayonnées

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Application à la puissance émise par l’antenne d’une station radio

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