Définition du groupe

fondamental "par les

lacets"
La présentation du groupe fondamental à l’aide des lacets
commence ici.

La définition du groupe fondamental à l’aide des lacets est

déjà présente dans l’Analysis Situs même si Poincaré ne
dispose pas de la définition formelle d’homotopie (ce qui lui
complique un peu la tâche). Les aspects historiques sont
développés ici. L’idée est de comprendre la forme générale
d’un espace topologique à partir des courbes tracées cet
espace et considérées à déformation près. Cette partie
comprend la définition et les premières propriétés du
groupe fondamental. En particulier, on montre que le groupe
fondamental se comporte bien vis-à-vis des fonctions
continues

Dans toute cette partie X X, Y Y et Z Z sont des espaces

topologiques jolis c’est à dire des variétés ou des CW-
complexes et I I représente l’intervalle [0, 1] [0, 1].

Définitions
Commençons par préciser les notions de lacet tracé sur un
espace et de déformation. Comme on travaille avec des
espaces topologiques, on ne considère que des applications
continues.
Un chemin dans X X est une application continue γ : I → X
γ : I → X. Un lacet de point base x ∈ X x ∈ X un chemin γ γ tel
que γ(0) = γ(1) = x γ(0) = γ(1) = x. On note Ω(X, x) Ω(X, x)
l’ensemble des lacets de X X basés en x x.

Soient γ0 γ 0 et γ1 γ 1 deux chemins tels que γ0 (1) = γ1 (0)

γ 0(1) = γ 1(0). La concaténation γ0 ∗ γ1 γ 0 ∗ γ 1 de γ0 γ 0 et γ1 γ 1
est le chemin défini par

γ0 (2t) si t ∈ [0, 12 ]
{ γ1 (2t − 1)
γ0 ∗ γ1 (t) =
si t ∈ [ 12 , 1] .

{ [ ] 1
γ 0(2t) si t ∈ 0,
2
γ 0 ∗ γ 1(t) =

γ 1(2t − 1) si t ∈ [ ]
1
2
,1 .

Ce chemin relie γ0 (0) γ 0(0) à γ1 (1) γ 1(1) en parcourant γ0 γ 0

puis γ1 γ 1. Deux lacets ayant le même point base peuvent
toujours être concaténés.

¯
⎯⎯⎯
Si γ γ est un chemin, on note γ γ le chemin parcouru en sens
inverse, c’est à dire le chemin t ↦ γ(1 − t)t ↦ γ(1 − t).
Enfin, on note cx c x le lacet constant de point base x x.

Les animations suivantes présentent les chemins γ0 ∗ γ1

¯
⎯⎯⎯
γ 0 ∗ γ 1 et γ γ en montrant l’évolution du paramètre.

Analysis Situs. Concaténation de deux ch…

Regarder sur
 Analysis Situs. Chemin inverse.

Regarder sur

On considère la relation d’homotopie à extrémités fixées sur

l’espace des chemins. Deux chemins γ0 , γ1 γ 0, γ 1 ayant les
mêmes extrémités sont dits homotopes (à extrémités fixées)
s’il existe une application H : I 2 → X H : I 2 → X telle que :

H(0, t) = γ0 (t) H(0, t) = γ 0(t) et H(1, t) = γ1 (t)

H(1, t) = γ 1(t) pour tout t t,

H(s, 0) = γ0 (0) = γ1 (0) H(s, 0) = γ 0(0) = γ 1(0) et

H(s, 1) = γ0 (1) = γ1 (1) H(s, 1) = γ 0(1) = γ 1(1) pour
tout s s. En posant

γs (t) := H(s, t),

γ s(t) := H(s, t),

on peut penser à H H comme à une famille continues (γs )s∈I

(γ s) s ∈ I de chemins ayant les mêmes extrémités que γ0 γ 0 et
γ1 γ 1. On retiendra donc que γ0 γ 0 et γ1 γ 1 sont homotopes (à
extrémités fixées) si on peut passer de l’un à l’autre par une
famille continue (γs )s∈I (γ s) s ∈ I de chemins dans X X ayant les
mêmes extrémités.

Les opérations définies ci-dessus sont compatibles avec les

homotopies :

Proposition (Compatibilité entre concaténation et

homotopie)
i. Si γ0 γ 0, γ1 γ 1 et γ2 γ 2 sont trois chemins tels que
γ0 (1) = γ1 (0) γ 0(1) = γ 1(0) et γ2 (0) = γ1 (1)
 γ 2(0) = γ 1(1) alors les chemins (γ0 ∗ γ1 ) ∗ γ2
(γ 0 ∗ γ 1) ∗ γ 2 et γ0 ∗ (γ1 ∗ γ2 )γ 0 ∗ (γ 1 ∗ γ 2) sont
homotopes.

ii. Si les chemins γ0 γ 0 et γ1 γ 1 et les chemins δ0 δ 0 et δ1 δ 1

sont homotopes et vérifient γ0 (1) = δ0 (0)
γ 0(1) = δ 0(0) (et donc γ1 (1) = δ1 (0) γ 1(1) = δ 1(0))
alors les chemins γ0 ∗ δ0 γ 0 ∗ δ 0 et γ1 ∗ δ1 γ 1 ∗ δ 1 sont
homotopes.
¯
⎯⎯⎯
iii. Pour tout chemin γ γ, le lacet γ ∗ γ γ ∗ γ est homotope
au lacet constant cγ(0) c γ ( 0 ) .

iv. Pour tout chemin γ γ, les chemins cγ(0) ∗ γ c γ ( 0 ) ∗ γ et

γ ∗ cγ(1) γ ∗ c γ ( 1 ) sont homotopes à γ γ.
La preuve est présentée sous forme d’animations.

Analysis Situs. Associativité à homotopie…

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 Analysis Situs. Concaténation et homoto…

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Analysis Situs. Chemin inverse.

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 Analysis Situs. Chemin neutre.

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La relation d’homotopie à extrémités fixées se restreint à

l’ensemble des lacets basés en un point donné. Deux lacets
γ0 , γ1 γ 0, γ 1 basés en un même point x x sont homotopes (à
extrémité fixée) si on peut passer de l’un à l’autre par une
famille continue (γs )s∈I (γ s) s ∈ I de lacets basés en x x.

Corollaire (Structure du groupe fondamental)

Soit x ∈ X x ∈ X. On note respectivement π1 (X, x)
π 1(X, x) l’ensemble Ω(X, x) Ω(X, x) quotienté par la
relation d’équivalence induite par l’homotopie, et [γ] [γ] la
classe d’équivalence du lacet γ γ dans π1 (X, x)π 1(X, x).
L’ensemble π1 (X, x)π 1(X, x) est alors muni d’une structure
de groupe dont le produit est donné par la concaténation,
l’élément neutre par [cx ][c x] et l’inverse de [γ] [γ] par
¯
−1 ⎯⎯⎯
[γ ] = [γ ][γ] − 1 = [γ].

Définition
Le groupe π1 (X, x)π 1(X, x) est appelé groupe
fondamental de X X en x x.

Exemples
Pour tout n ≥ 1 n ≥ 1, π1 (ℝn , 0) = {0}π 1(R n, 0) = {0}
. En effet si γ γ est un lacet de ℝn R n basé en 0 0 alors

H: I×I ⟶ ℝn
(s, t) ⟼ (1 − s)γ(t)

H: I×I ⟶ Rn
(s, t) ⟼ (1 − s)γ(t)
 est une homotopie reliant γ γ à c0 c 0. Donc tout lacet est
homotope au lacet constant.

Plus généralement, si A ⊂ ℝn A ⊂ R n est étoilé par

rapport à l’origine alors π1 (A, 0) = {0} π 1(A, 0) = {0}.

On verra plus loin que le groupe fondamental du cercle est

ℤ Z. L’élément de ℤ Z associé à un lacet compte le nombre
de tours que fait ce lacet autour de l’origine. On peut
trouver ici une preuve du théorème de la boule chevelue en
dimension 2 2 utilisant le groupe fondamental du cercle

Le calcul de groupes fondamentaux non triviaux (comme

celui du cercle) n’est pas immédiat avec cette définition. Une
façon naturelle d’aborder cette question est d’utiliser les
théorèmes de relèvement des chemins et des homotopies.
Ces théorèmes permettent de traiter une large classe
d’exemples obtenus par quotient d’un espace topologique
sous l’action continue d’un groupe discret. Nous reportons
donc l’étude du groupe fondamental du cercle, toutefois le
lecteur pressé peut consulter [1] pour une preuve qui
redémontre les propriétés de relèvement dans ce cas
particulier ou [2] pour une preuve utilisant la théorie du
degré.

Le groupe fondamental dépend donc du choix d’un point

base pour les lacets. Nous allons maintenant voir ce qui se
passe si on change ce point base. On suppose que X X est
connexe par arcs. Soit x x et y y deux points de X X et δ δ un
chemin reliant x x à y y.

Proposition (Changement de point base)

L’application

ψδ : π1 (X, x) ⟶ π1 (X, y)
⎯⎯
⎯
[γ] ⟼ [δ ∗ γ ∗ δ]
 ψδ : π 1(X, x) ⟶ π 1(X, y)
¯
[γ] ⟼ [δ ∗ γ ∗ δ]

est un isomorphisme.

Démonstration

Par définition de la concaténation ψδ ψ δ est un morphisme

de groupe. De plus, l’application

ψ⎯δ⎯⎯ : π1 (X, y) ⟶ π1 (X, x)

⎯⎯
⎯
[γ] ⟼ [δ ∗ γ ∗ [δ]
¯
ψδ : π 1(X, y) ⟶ π 1(X, x)
¯
[γ] ⟼ [δ ∗ γ ∗ [δ]

est aussi un morphisme de groupe et vérifie ψδ ∘ ψ⎯δ⎯⎯ = Id

ψ δ ∘ ψ δ = Id et ψ⎯δ⎯⎯ ∘ ψδ = Idψ δ ∘ ψ δ = Id.
¯ ¯

Donc ψδ ψ δ est un isomorphisme d’inverse ψ⎯δ⎯⎯ ψ δ.

¯

Si X X est connexe par arcs, le groupe fondamental ne

dépend donc pas du choix de point base, on le notera parfois
un peu abusivement π1 (X) π 1(X).

Définition
On dit qu’un espace connexe par arcs est 1 1-connexe si
son groupe fondamental est trivial, c’est-à-dire si tout lacet
de cet epsace est homotope à un lacet constant.

Exemple
L’espace ℝn R n est 1 1-connexe.

Remarque
La terminologie 1 1-connexe est peu fréquente ; la plupart
des auteurs préfèrent utiliser le syntagme simplement
connexe. Nous profitons de ces deux termes pour
distinguer (provisoirement) nos deux approches du
groupes fondamental :

nous qualifions de 1 1-connexe un espace dans lequel tout

lacet est homotope à un lacet constant (c’est-à-dire un
espace dont le groupe fondamental « au sens des lacets »
est trivial) ;

nous qualifiions de simplement connexe un espace qui ne

 possède aucun revêtement connexe non-trivial (voir plus
loin) (c’est-à-dire un espace dont le groupe fondamental
« au sens des revêtements » est trivial) . Nous montrerons
plus tard que ces deux notions coïncident.

Nous allons maintenant voir comment certaines opérations

usuelles sur les espaces topologiques transforment le
groupe fondamental.

Morphismes induits
Soit x ∈ X x ∈ X et f : X → Y f : X → Y une application
continue. On définit l’application

f∗ : π1 (X, x) ⟶ π1 (Y, f (x))

[γ] ⟼ [f ∘ γ]
f∗ : π 1(X, x) ⟶ π 1(Y, f(x))
[γ] ⟼ [f ∘ γ]

L’application f∗ f ∗ est un morphisme de groupes car pour

tous lacets γ0 γ 0 et γ1 γ 1, on a f (γ0 ∗ γ1 ) = f (γ0 ) ∗ f (γ1 )
f(γ 0 ∗ γ 1) = f(γ 0) ∗ f(γ 1). Si f : X → Y f : X → Y et g : Y → Z
g : Y → Z sont des applications continues alors
(g ∘ f )∗ = g∗ ∘ f∗ (g ∘ f) ∗ = g ∗ ∘ f ∗ par définition.

Le groupe fondamental est donc invariant par

homéomorphisme. On verra un peu plus loin que c’est un
invariant bien plus général. Cette invariance permet de
montrer que des espaces topologiques ne sont pas
homéomorphes.

Groupe fondamental, catégories et foncteurs

En un sens, l’objet de la topologie algébrique est la définition

et l’étude de foncteurs entre la catégorie des espaces
topologiques et celle des groupes. Ainsi les propriétés des
morphismes induits se reformulent de façon plus algébrique
en le groupe fondamental définit un foncteur de la catégorie des
espaces topologiques pointés dans la catégorie des groupes.
L’homologie est un autre exemple fondamental de tel
foncteur. Plus formellement, notre foncteur
F : Top → GpsF : Top → Gps est défini par

F((X, x0 )) = π1 (X, x0 )

et
 F(f : (X, x0 ) → (Y, y0 )) = f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).

Groupe fondamental d’un produit

Soit x ∈ X et y ∈ Y . On note p et q les projections de
X × Y sur X et Y .

Proposition (Groupe fondamental d’un produit)

L’application

(p∗ , q∗ ) : π1 (X × Y, (x, y)) → π1 (X, x) × π1 (Y, y)

est un isomorphisme.

Démonstration

L’application ϕ = (p∗ , q∗ ) est un morphisme de groupes.

Il est injectif car si ϕ([γ, δ]) = 0 , il existe des homotopies
(γs )s∈[0,1] et (δs )s∈[0,1] reliant γ et δ aux lacets constants cx
et cy . Donc (γs , δs )s∈[0,1] est une homotopie reliant (γ, δ) au
lacet constant (cx , cy ).
Il est surjectif car ϕ([(γ, δ)]) = ([γ], [δ]) pour tous
(γ, δ) ∈ Ω(X, x) × Ω(Y, y).
Donc ϕ est un isomorphisme..

C.Q.F.D

Exemples
Le groupe fondamental du tore de dimension n ,
T n = S1 × ⋯ × S1 est ℤn .
Le groupe fondamental du tore plein D2 × S 1 est ℤ .

Homotopie et groupe fondamental

Nous avons vu que le groupe fondamental se comporte bien
sous l’action des fonctions continues. Nous allons voir que
l’effet d’une fonction continue ne dépend que de sa classe
d’homotopie.

Proposition (Invariance par homotopie)

Soit f : X → Y et g : X → Y deux applications
homotopes et x ∈ X . On note H une homotopie entre f
et g et δ = H(⋅, x) .
Alors
 g∗ = ψδ ∘ f∗

où ψδ : π1 (Y, f (x)) → π1 (Y, g(x)) est donné ici.

En particulier, si f et g sont homotopes relativement à x
alors f∗ = g∗ .

Démonstration

Soit γ un lacet de X de point base x . On veut montrer que

⎯⎯
⎯
f (γ) et δ ∗ g(γ) ∗ δ sont homotopes.

Pour tout s ∈ [0, 1] , on pose

δs : [0, 1] ⟶ Y
t ⟼ H(st, x).

Le chemin δs est un chemin de Y reliant f (x) à H(s, x) . En

particulier, δ0 est le lacet constant en f (x) et δ1 = δ.
L’homotopie

[0, 1] × [0, 1] ⟶ Y
⎯⎯⎯⎯⎯
(s, t) ⟼ δs ∗ H(s, γ(t)) ∗ δs
⎯⎯
⎯
relie f (γ) et δ ∗ g(γ) ∗ δ.
Cette homotopie est décrite dans l’animation suivante.
 Analysis Situs. Invariance par homotopie.

Regarder sur

Une application continue f : X → Y est une équivalence

d’homotopie s’il existe une application continue g : Y → X
telle g ∘ f soit homotope à I = IdX et f ∘ g soit homotope à
IdY . On dit alors que X et Y ont le même type d’homotopie.

Corollaire
Si f : X → Y est une équivalence d’homotopie alors f∗
est un isomorphisme. Deux espaces ayant le même type
d’homotopie ont donc des groupes fondamentaux
isomorphes.

Les rétractions sont un exemple particulier d’équivalence

d’homotopie. Soit A une partie de X . On dit que X se rétracte
par déformation sur A s’il existe une homotopie
H : I × X → X relative à A reliant IdX et une application r
telle que r(X) = A (r est alors appelée une rétraction).
L’application r : X → A est alors une équivalence
d’homotopie : il suffit de prendre pour application
« réciproque » l’inclusion de A dans X .

Exemples
L’anneau A = {(x, y) ∈ ℝ2 , 14 ≤ x 2 + y2 ≤ 4} se
rétracte par déformation sur le cercle unité. Son groupe
fondamental est donc ℤ . Par conséquent l’anneau et le
disque unité ne sont pas homéomorphes.
 Analysis Situs. Rétraction d'un anne…

Regarder sur

Pour tout n ≥ 1 , ℝn ∖ {0} se rétracte par déformation

sur S n−1 . Par conséquent, ℝ2 ∖ {0} et ℝn ∖ {0} et
donc ℝ2 et ℝn ne sont pas homéomorphes si n ≥ 3 .

On dit qu’un espace est contractile s’il se rétracte par

déformation sur un point. Les espaces contractiles sont 1 -
connexes.

Le ruban de Möbius se rétracte par déformation sur son

âme. Son groupe fondamental est donc ℤ .

Analysis Situs. Rétraction d'un ruba…

Regarder sur

Groupoïde fondamental
 On peut « oublier » le point base en définissant un objet plus
général appelé groupoïde fondamental. Formellement un
groupoïde est une catégorie dont les objets forment un
ensemble et dont tous les morphismes sont inversibles.
L’espace des classes d’homotopie de chemins à extrémités
fixées possède naturellement un structure de groupoïde
πX :

les objets sont les points de X

les morphismes de πX(x, y) sont les classes

d’homotopies de chemins reliant x à y et l’élément
neutre est le lacet constant

la composition est donnée par la concaténation. Ainsi,

tous les morphismes sont inversibles et l’inverse est
donnée par le chemin inverse.

Toute la théorie peut alors se développer dans le cadre des

groupoïdes : une application continue induit un morphisme
de groupoïdes, l’approche par les revêtements est bien
définie et il existe un théorème de van Kampen. Cette
approche est développée dans [3].

L’étude de groupe fondamental par les lacets se poursuit

avec les théorèmes de relèvement des chemins et des
homotopies.

[1] Hatcher, Algebraic topology

[2] Gramain, Topologie des surfaces

[3] Brown, Topology and groupoids

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