TD2.Séries Entiã Res
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Boukour
2AP- Analyse 4 2020-2021
1
+∞
X (−1)n n
Exercice 6. Soit f : x 7→ x .
n(n − 1)
n=2
1. Déterminer le domaine de convergence de f.
2. Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.
+∞
X (−1)n
3. En déduire .
n(n − 1)
n=2
Calcul d’intégrales
Z 1 +∞
X (−1)n
dt
Exercice 8. Montrer que ∀a > 0; = .
0 1 + ta na + 1
n=0
+∞ +∞
X (−1)n X (−1)n
En déduire les sommes et .
n+1 2n + 1
n=0 n=0
Z 1 +∞
X (−1)n−1
ln(1 + x)
Exercice 9. Montrer que dx = .
0 x n2
n=1
Z 1 +∞
X 1
Etablir que : ex ln xdx = .
0 n.n!
n=1
Fonctions DSE
arcsin x
Exercice 10. Soit f définie psur ] − 1, 1[ par f (x) = √ .
1 − x2
1. Justufier que f est développable en série entière en 0.
2. Montrer que f est solution de l’équation différentielle (1 − x2 )y 0 − xy = 1.
3. Déterminer le développement en série entière en 0 de f et son rayon de convergence.
1 − x2
Exercice 11. Soit t ∈]0, π[. Former le DSE(0) de x 7→ .
1 − 2x cos t + x2
Exercice 12. Former le DSE(0) de x 7→ ln(x2 + x + 1).