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    TD3 Integration

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    sur 3

    Licence de Mathématiques L2 Université de Lorraine

    2022-2023 Rédactrice : Anne de Roton

    Analyse 2 - TD 3
    Intégration

    1. Sommes de Riemann
    Exercice 1 Calculer la limite des suites (un )n≥1 définies par :
          nπ 
    1 π 2π
    (1) un = sin + sin + · · · + sin .
    n n n n
     
    1 1
    (2) un = n + ··· + .
    (n + 1)2 (n + n)2
    √ √ √
    1 + 2 + ··· + n − 1
    (3) un = √ .
    n n
    v
    u  2 !  2 !   n 2 
    u
    n 1 2
    (4) un = t 1+ 1+ ... 1 + .
    n n n
    n
    1Y
    (5) un = (k + n)1/n .
    n k=1
    2n
    X k
    (6) un = .
    k=1
    n2 + k2

    2. Primitives et techniques usuelles


    Exercice 2 Donner une primitive de la fonction f dans les cas suivants (on précisera les domaines
    sur lesquels on travaille)
    1
    (a) f (x) = xn , n ∈ Z (b) f (x) = xa , a ∈ R \ Z (c) f (x) =
    1 + x2
    1
    (d) f (x) = sin x (e) f (x) = cos x (f ) f (x) = 1 + tan2 x =
    cos2 x
    1
    (g) f (x) = chx (h) f (x) = shx (i) f (x) = √
    1 − x2
    1
    (j) f (x) = √ (k) f (x) = tan x (l) f (x) = sin x cos x
    1 + x2
    x
    (m) f (x) = x2 cos x3 (n) f (x) = √
    1 + x2
    x2 1
    (o) f (x) = (p) ∗ f (x) =
    (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x2+ 2x + 3)
    Exercice 3 Calculer les intégrales suivantes :
    Z 1 Z 2 Z 1 Z 1
    x ln x
    e cos x dx ; dx pour n ∈ N ; x arctan x dx ; (x2 + x + 1)ex dx.
    0 1 xn 0 0

    R ln 2 √
    Exercice 4 Calculer l’intégrale ex − 1 dx en effectuant le changement de variables u =
    √ x 0
    e − 1.

    Exercice 5* Calculer les primitives ou les intégrales suivantes :


    Z 1
    tan x + 2 sin3 x
    Z
    dx, (arcsin x)2 dx,
    3 + 2 cos x −1

    √
    Z
    1 6
    √ √ dx (poser t = 2 + x).
    2+x+ 32+x
    Rπ
    Exercice 6** (Intégrales de Wallis) Soit In = 2
    0
    sinn t dt.
    (1) Établir une relation de récurrence entre In et In+2 .
    (2) En déduire I2p et I2p+1 pour p ∈ N.
    (3) Montrer que (In )n∈N est décroissante et strictement positive.
    (4) En déduire que In ∼ In+1 .
    (5) Calculer (n + 1)In In+1 .
    (6) Donner alors un équivalent simple de In .
    Exercice 7 Soit f , u et v trois fonctions de R dans R, avec f continue et u, v dérivables. Calculer
    les dérivées des fonctions
    Z v(x) Z b Z b
    x 7→ f (t) dt x 7→ f (t + u(x)) dt, x→7 f (t + x) cos t dt.
    u(x) a a

    Exercice 8 Soit f continue de [0, 1] dans R+ positive telle que


    Z 1
    f (u)du = 0.
    0

    Montrer que f est identiquement nulle sur [0, 1].

    3. Majorations, minorations, formule de la moyenne


    R 1 xn
    Exercice 9* Soit In = 0 1+x dx.
    (1) En majorant la fonction intégrée, montrer que lim In = 0.
    n→∞

    (2) Calculer In + In+1 .


     n 
    P (−1)k+1
    (3) Déterminer lim k
    .
    n→+∞ k=1
    Exercice 10* Soit f : [0, 1] → R une application continue strictement croissante telle que :
    f (0) = 0, f (1) = 1.
    Calculer : Z 1
    lim (f (t))n dt.
    n→∞ 0
    R1
    Exercice 11* Soit f une fonction continue de [0, 1] and R telle que 0
    f (t) dt = 21 . Montrer qu’il
    existe a ∈]0, 1[ telle que f (a) = a.
    Exercice 12 Déterminer les limites des suites suivantes :
    Z 1 Z π  n Z π  2
    n x x
    (a) un = nx dx (b) un = n dx (c) un = exp dx
    0 0 2 0 n
    Z n Z n3 √ Z 3n 2
    exp(x2 /n) arctan x ln x
    (d∗) un = 2
    dx (e) un = dx (f ) un = 5 dx
    0 √ x +1
    Z n+ n x ln x n x4
    n 2n 2n
    arctan x2 cos2 x
    Z Z
    cos x
    (g) un = √ dx (h∗) un = √ dx (i) un = √ dx
    n x n x n x
    4. Autres

    Exercice 13* (seconde formule de la moyenne) Soit f et g deux fonctions réglées sur [a, b].
    On suppose que f est monotone sur [a, b] et que g est positive sur [a, b]. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b]
    tel que Z b Z c Z b
    f (t)g(t) dt = f (a) g(t) dt + f (b) g(t) dt
    a a c
    Rx Rb
    (considérer φ(x) = f (a) a g(t) dt + f (b) x g(t) dt).
    Rβ
    Exercice 14 Soit f : [a, b] → R continue telle que, pour tout (α, β) ∈ [a, b]2 , on ait α
    f (x)dx = 0.
    Montrer que f ≡ 0.
    R x+y
    Exercice 15** Déterminer toutes les fonctions continues f : R → R vérifiant 2yf (x) = x−y
    f (t) dt,
    pour tout (x, y) ∈ R2 .
    Exercice 16** Soit (a, b) ∈ R2 (a < b), et f continue de [a, b] dans R. Montrer que
    Z b  n1
    n
    lim |f (t)| dt = sup |f (t)| .
    n→∞ a t∈[a,b]

    Exercice 17*** Soit f continue de [0, 1] dans R, non identiquement nulle, et n ∈ N tels que :
    Z 1
    ∀k ∈ {0, ..., n}, f (u)uk du = 0.
    0
    Montrer que f s’annule en changeant de signe au moins n + 1 fois dans ]0, 1[.
    On pourra dans le cas où f change au plus n fois de signe chercher un polynôme P de Rn [x] tel que
    P f soit positive sur [0, 1].

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