Ce document contient quatre exercices portant sur la cinétique des solides. L'exercice 1 concerne le calcul du centre d'inertie de différents solides. L'exercice 2 porte sur la détermination de la matrice d'inertie de solides. L'exercice 3 étudie le mouvement d'une barre dans différents référentiels. L'exercice 4 traite du mouvement d'un disque roulant à l'intérieur d'un cerceau.
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TD : La cinétique du solide
Exercice 1 Détermination du centre d'inertie G du solide (S) homogène, de masse m. Dans chaque question nous considérons le repère (O, x, y, z). 1. (S) est un demi-cercle de centre O et de rayon R (situé dans le plan vertical (O, y, z), 2. (S) est un demi-disque de centre O et de rayon R (situé dans le plan vertical (O, y, z), 3. (S) est une demi-sphère creuse S(O , R) « la base est située le plan horizontal (O, x, y) », 4. (S) est une demi-sphère pleine de rayon R (la base est située le plan horizontal (O, x, y).
Exercice 2 Dans chaque question le point O est centre d'inertie du solide S. Le calcul s’effectue dans le repère orthonormé (O, x , y , z ). On s’intéresse à la détermination de la matrice d’inertie de S au point O : 1. (S) est une barre AB rectiligne, de centre O, de longueur 2 l et d’axe porté par Oz. Déduire : la matrice d’inertie en A « extrémité de la barre », ainsi que le moment d’inertie par rapport à une droite quelconque (∆) qui passe par A et qui forme un angle θ avec AB 2. (S) est un cercle de centre O, de rayon R et d’axe (Oz). 3. (S) est un disque de centre O, de rayon R et d’axe (Oz). 4. (S) est une sphère creuse de centre O. Les axe Ox, Oy et Oz passent par les trois diamètres de la sphère. 5. (S) est une sphère pleine de centre O. Les axe Ox, Oy et Oz passent par les trois diamètres de la sphère. 6. (S) est un cylindre creux de rayon R, de hauteur h et d’axe porté par (Oz) 7. (S) est un cylindre plein de rayon R, de hauteur h et d’axe porté par (Oz)
Exercice 3 (Suite de l’exercice de la barre - TD Cinématique)
On reconsidère une barre AB rectiligne de longueur 2 l , dont l’extrémité A est en mouvement sur l’axe Oz0 d’un référentiel fixe R0(O, x 0 , y 0 , z 0 ). L’extrémité B est mobile dans le plan (O, x0y0).Pour étudier le mouvement de la barre, on se propose d’introduire deux référentiels mobiles par rapport à R0 : R1(O, x1 , y1 , z1 ) résultant de la rotation du point B, dans le plan (O, x0y0), d’un angle Ψ autour de l’axe Oz0 et R2 (G, x1 , y 2 , z 2 ) lié à S tel que : x1 , ∧ y 2 = z 2 ,G est le centre d’inertie de la barre AB et ( z1 , z 2 ) = θ
1. Déterminer la position du Point G au moyen des angles d’Euler.
2. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point A. Déduire les mêmes éléments au point G. 3. Exprimer, dans le repère lié à la barre, les éléments de réduction du moment cinétique par rapport à R0au point B. 4. Calculer l’énergie cinétique de la barre.
Exercice 4 Dans un plan fixe rapporté au repère orthonormé (O,x0, y0), on se donne : − Un cerceau (C) fixe de centre O et de rayon R. − Un disque (D) de centre G, de masse m et de rayon a<R, situés dans le même plan π. Le disque (D)roule sans glisser à l’intérieur de (C). 1. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique du disque au point G. 2. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinétique du disque au point G. 3. Déduire l’énergie cinétique du disque (D), en utilisant le Théorème de Koenig. 4. Déterminer la condition de roulement sans glissement. Déduire l’énergie cinétique de ce cas.
