Concours Junior Polytech — Session 2019 — Mathématiques — Terminales

ECOLE POLYTECHNIQUE DE THIES

BP A10 Thiès Sénégal www.ept.sn Téléphone : 78 422 75 63

BUREAU DES ÉLÈVES / COMMISSION PÉDAGOGIQUE / CONCOURS JUNIOR POLYTECH

La clarté et la rigueur de démonstration seront prises en compte.

EXERCICE 1 : (3pts)

Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes.

1) Calculer l’ intégrale suivante :

𝜋
2 𝑑𝑢
𝐼 (𝑥 ) = ∫ .
0 𝑥 2 (𝑐𝑜𝑠𝑢)2 + (𝑠𝑖𝑛𝑢)2
2𝑖𝜋
2) Soit 𝑢 = 𝑒 . On pose 𝑆 = 𝑢 + 𝑢2 + 𝑢4 𝑒𝑡 𝑇 = 𝑢3 + 𝑢5 + 𝑢6 . Montrer que :
7

4𝜋 2𝜋
4𝑠𝑖𝑛 ( ) − 𝑡𝑎𝑛 ( ) = 𝑖(𝑇 − 𝑆) = √7.
7 7
3) Soit (𝑎 , 𝑏) ∈ 𝑅2 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 < 𝑏 , 𝑓 une fonction derivable sur
[𝑎, 𝑏] 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑏) = 0. On suppose que 𝑓 ′ est bornée sur [𝑎, 𝑏] et on
pose : |𝑓′(𝑡)| ≤ 𝑘 , 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].Montrer que :
𝑏
𝑘 (𝑏 − 𝑎)2
|∫ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡| ≤ .
4
𝑎
2
4) Soit (𝑎 , 𝑏) ∈ 𝑅 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 < 𝑏 ; 𝑓, 𝑔 𝑒𝑡 ℎ sont des fonctions continues et définies
+
de [𝑎, 𝑏] vers 𝑅 . Montrer que :
𝑏 4 𝑏 𝑏 2 𝑏
(∫ 𝑓𝑔ℎ ) ≤ (∫ 𝑓 ) (∫ 𝑔 ) (∫ ℎ4 ).
4 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
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EXERCICE 2 : (5pts)

On se place dans un plan complexe, rapporté à un repère orthonormé (𝑂; ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒1; 𝑒⃗⃗⃗2 ) et
note C le cercle de centre O et de rayon 1. Pour tout nombre réel t , on note 𝑀𝑡 le point
de C d’affixe 𝑒 𝑖𝑡 .
Pour toute partie S de C ayant n (n≥ 1) éléments A1, A2 ,….., An dont les affixes
respectives sont a1, a2 ,…., an , on désigne par 𝑃𝑠 (𝑋) le polynôme à coefficients
complexes défini par la relation :
𝑛

𝑃𝑠 (𝑋) = ∏(𝑋 − 𝑎𝑗 )
𝑗=1
et on désigne par 𝑓𝑠 la fonction définie sur R par la relation:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓𝑠 (𝑡) = ‖𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1 𝑀𝑡 ‖ × ‖𝐴2 𝑀𝑡 ‖ × … × ‖𝐴𝑛 𝑀𝑡 ‖.

PARTIE A :

1) Montrer que, pour tout nombre réel t ,

𝑓𝑠 (𝑡) = |𝑃𝑠 (𝑒 𝑖𝑡 )|
2) En déduire que 2𝜋 est une période de 𝑓𝑠 .
PARTIE B :

Soit 𝛼 un réel, 𝑟𝛼 la rotation de centre 𝑂 et d’angle 𝛼, et 𝑆𝛼 = 𝑟𝛼 (𝑆) l’image de

𝑆 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝛼 .

1) Calculer l’affixe du point 𝑟𝛼 (𝐴𝑗 ).

2) Prouver que :
𝑃𝑆𝛼 (𝑥 ) = 𝑒 𝑖𝑛𝛼 𝑃𝑆 (𝑋𝑒 −𝑖𝛼 ).
Et que , pour tout nombre réel t ,𝑓𝑆𝛼 (𝑡) = 𝑓𝑆 (𝑡 − 𝛼 ).
3) Prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes :
a ) Le nombre 𝛼𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑠 ;
b ) 𝑃𝑆 (𝑋) = 𝑒 𝑖𝑛𝛼 𝑃𝑆 (𝑋𝑒 −𝑖𝛼 );
c ) la partie S est globalement invariante par la rotation 𝑟𝛼 , c’est-à-dire,
𝑟𝛼 (𝑆) = 𝑆.

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PARTIE C: On fixe un entier 𝑁 > 1. Le but de cette partie est de calculer

1
𝑆𝑁 = ∑
1−𝑧
𝑧∈𝐸𝑁
où 𝐸𝑁 est l’ensemble des racines nièmes de l’unité privé de 1.

1) Démontrer que pout tout 𝜃 ≠ 2𝑘𝜋 , 𝑜𝑛 𝑎 :

1 1 𝑖 𝜃
= + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 ( ).
1 − 𝑒 𝑖𝜃 2 2 2
2) Montrer que :
𝑁−1
𝑘𝜋
∑ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 ( ) = 0.
𝑁
𝑘=1
3) En déduire une simplification de 𝑆𝑁 .

PROBLÈME : (12pts)
∞
𝟏 𝝅𝟐
𝐀𝐮𝐭𝐨𝐮𝐫 𝐝𝐞 𝛅(𝟐) = ∑ 𝟐 = .
𝒑 𝟔
𝒑=𝟏

Quelques notions :
*Une fonction f est dite de classe C1 sur un intervalle I si f est dérivable une fois sur I
et que sa dérivée est continue sur ce même intervalle.
𝑈𝑛
*Deux suites Un et Vn sont dites équivalentes ( Un~Vn) si et seulement si 𝑙𝑖𝑚 =1
𝑛→+∞ 𝑉𝑛
et que Vn ne s’annule pas.

*Soit (𝑢𝑛 ) une suite réelles . On pose 𝑈𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 , ∀𝑛 ≥ 0.

Les quantités 𝑈𝑛 forment une suite appelées série de terme général 𝑢𝑛 . Les 𝑈𝑛 sont
appelées sommes partielles d’ordre n et la série est notée ∑𝑛≥0 𝑢𝑛.

*Soit (𝑢𝑛 ) une suite de nombres réels :

- On dit que la série ∑ 𝑢𝑛 ( ou encore la serie de terme général 𝑢𝑛 ) est convergente

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si la suite ( 𝑆𝑁 ) =∑𝑁
𝑛=0 𝑢𝑛 =𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ 𝑢𝑁 tend vers une limite finie S. On note 𝑆 la
somme de la série :

+∞ 𝑁

𝑆 = ∑ 𝑢𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 (∑ 𝑢𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑆𝑁 ).
𝑁→+∞ 𝑁→+∞
𝑛=0 𝑛=0

Première partie : Par la méthode de WALLIS

1. On pose :
𝜋
2
𝐶𝑛 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 (𝑡)𝑑𝑡.
0

a) Calculer 𝐶0 𝑒𝑡 𝐶1.

b) Pour 𝑛 ≥ 2, exprimer 𝐶𝑛 en fonction de 𝐶𝑛−2.

c) En déduire les valeurs de 𝐶2𝑛 𝑒𝑡 𝐶2𝑛+1.

d) Calculer
𝐶2𝑛
lim .
𝑛→+∞ 𝐶2𝑛+1

e) En déduire :
(2𝑛)! 𝜋
~√ √2𝑛 + 1.
(2𝑛 − 1)! 2

2. On pose :
𝜋
2 𝑛
1
𝐼𝑛 = ∫ 𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑛 (𝑡)𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑈𝑛 = ∑ .
𝑝²
0 𝑝=1

a) Démontrer que : ∀ 𝑛 ≥ 1, 𝑈𝑛 ≤ 2 . En déduire que (𝑈𝑛 )admet une limite 𝛿.

b) Pour tout 𝑛 ≥ 1 , exprimer 𝐼𝑛 en fonction de 𝐼𝑛+1.

c) En déduire que:

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𝜋 𝜋6 (2𝑛)!
( − 𝑈𝑛 ) = 𝐼 .
4 6 (2𝑛 − 1)! 𝑛

d) Démontrer que :
𝜋2 1
𝐼𝑛 ≤ .
4 2𝑛 + 1
et en déduire que
𝜋²
𝛿= .
6
Deuxième partie : Par le lemme de Riemann –Lebesgue
Le lemme: Soit 𝑓 une fonction de classe C1 sur un intervalle [𝑎, 𝑏] à valeurs dans C.
Soit 𝛾 un réel alors
𝑏
lim ∫ 𝑒 𝑖𝛾𝑡 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 0.
𝛾→+∞ 𝑎

1. Démontrer le lemme 𝑓 pour de classe C1 .

2. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout n ∈ 𝑁 *:
𝜋
1
∫ (𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡) cos(𝑛𝑡 ) 𝑑𝑡 = 2 .
0 𝑛

3. Démontrer que pour tout 𝑡 ≠ 2𝑘𝜋 :

𝑛
𝑒 (𝑛+1)𝑖𝑡 − 𝑒 𝑖𝑡
∑ cos(𝑝𝑡) = 𝑅𝑒 .
𝑒 𝑖𝑡 − 1
𝑝=1

En déduire que:
𝑛 𝜋 𝑡(𝑡 − 2𝜋 )
1 1
∑ = 𝑅𝑒 ∫ 𝑖𝑡 − 1
(𝑒 𝑖(𝑛+1)𝑡 − 𝑒 𝑖𝑡 )𝑑𝑡.
𝑝² 2𝜋 0 𝑒
𝑝=1

𝑡(𝑡−2𝜋)
4. Démontrer que la fonction 𝑓 définie sur ]0, 𝜋] par 𝑓 (𝑡) = se prolonge
𝑒 𝑖𝑡 −1
en une fonction de classe C1 sur[0, 𝜋].
5. A l’aide du lemme , déduire des questions précédentes que :
∞
1 𝜋²
∑ = .
𝑝² 6
𝑝=1

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Troisième partie : Par la méthode de Holme et Papadimitriou

𝜋
1. Démontrer que pour tout θ ∈ ]0, [ et n ∈ 𝑁 *:
2
𝑛
2𝑛+1 2𝑗+1
sin(2n + 1) θ = 𝑠𝑖𝑛 θ ∑(−1)𝑗 𝐶2𝑛+1(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 θ)𝑛−𝑗 .
𝑗=0
∗
2. On considère, pour tout n ∈ 𝑁 , le polynome 𝑃𝑛 défini par:
𝑛
2𝑗+1
𝑃𝑛 = ∑(−1)𝑗 𝐶2𝑛+1𝑋𝑛−𝑗 .
𝑗=0

Démontrer que les n racines de 𝑃𝑛 sont les réels :

𝑘𝜋
𝛼𝑘 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.
2𝑛 + 1
3. Montrer que :
𝑛
𝑘𝜋 (2𝑛 − 1)
∑ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛² =𝑛 .
2𝑛 + 1 3
𝑘=1

𝜋
4. Démontrer que, pour tout 𝜃 ∈ ]0, [ , 𝑜𝑛 𝑎: sin(θ) < θ < tan(θ). En
2
2( 1
déduire que : cotan θ) < < 1 + cotan2 (θ).
θ2
5. Démontrer que :
𝑛
𝜋 2 𝑛(2𝑛 − 1) 1 𝜋 2 𝑛(2𝑛 + 2)
<∑ 2< .
3 (2𝑛 + 1)2 𝑘 3 (2𝑛 + 1)2
𝑘=1
6. En déduire :
∞
1 𝜋²
∑ = .
𝑘² 6
𝑘=1

Quatrième partie : A l’aide des séries de Fourier

Soit 𝑓: 𝑅 → 𝐶, 2𝜋 − 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒 , 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀ 𝑡 ∈ ]0, 𝜋[, 𝑓 (𝑡) =

1 𝑒𝑡 ∀ 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑓 (𝑛) = 0.

1.Calculer les coefficients de Fourier (trigonométriques ) 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 définis, pour tout

𝑛 ∈ 𝑁, par :

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1 2𝜋 1 2𝜋
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡.
( ) ( )
𝜋 0 𝜋 0

2. Démontrer que la série 𝑆𝑝 (𝑓) de Fourier de 𝑓 definie pour tout 𝑡 ∈ 𝑅 par :

𝑝
𝑎0
𝑆𝑝 (𝑓)(𝑡) = + ∑(𝑎𝑛 cos(𝑛𝑡 ) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑡))
2
𝑘=1

Converge vers 𝑓 𝑠𝑢𝑟 𝑅.

3. En déduire :
∞
(−1)𝑝 𝜋
∑ = .
2𝑝 + 1 4
𝑝=0

4. Démontrer que :
∞ 1 𝜋²
∑ = .
𝑝=0 (2𝑝 + 1)² 8

5.En déduire :
∞
1 𝜋²
∑ = .
𝑘² 6
𝑘=1

BON COURAGE

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