Activités Résumé du cours Evaluations et remarques

Activité I) Limite infinie et limite infinie d’une fonction au voisinage de 

1) 1) Limite infinie d’une fonction au voisinage de 
a) Compléter le tableau suivant Définition
10 10 4 1012 10 25 1012 10 25
Soit f une fonction numérique définie dans un voisinage de 
x
*Si f ( x ) tend vers  quand x tend vers  alors on écrit lim f ( x)   ou
x 
x² lim f   et se lit la limite de la fonction f si x tend vers  est  .


x3 *Si f ( x ) tend vers  quand x tend vers  alors on écrit lim f ( x)   ou

x 

lim f   et se lit la limite de la fonction f si x tend vers  est  .

b) Que remarquez-vous pour x ² et x 3 quand 
x prend des valeurs positives plus en plus Définition 
grandes ? Soit f une fonction numérique définie dans un voisinage de  .
c) Que remarquez-vous pour x ² et x 3 quand Si f ( x ) tend vers  quand x tend vers  alors on écrit lim f ( x)   ou
x 
x prend des valeurs négatives plus en plus
petites ? lim f   et se lit la limite de la fonction f si x tend vers  est  .

2) Si f ( x ) tend vers  quand x tend vers  alors on écrit lim f ( x)   ou
x 
a) Compléter le tableau suivant
x 10 10 4 1012 1036 lim f   et se lit la limite de la fonction f si x tend vers  est  .


x Propriété
b) Que remarquez-vous pour x quand Soit n  * et soit k  on a
x prend des valeurs positives plus en  lim x n    lim x 2 n  
x  x 
plus grandes 2 n 1
 lim x    lim x  
x  x 

 ; si k  0
 ; si k  0 ;  lim k.x 2 n 1  

 lim k.x  n

x 
  ; si k  0 x 
  ; si k  0
 
 lim k .x 2 n   si k  0  lim k .x 2 n   si k  0
x  x 

Exemples :
 lim x 2   ;  lim x15    lim x 2   (car 2 est pair)
x  x  x 

 lim x35   (35 est impair)

x 
 Activité02  lim 2 x 2  
x 
;  lim  2 x 4  
x 
;  lim 3x15  
x 
; Application
La figure ci-dessous présente la 2 x3  x
 lim  2 x35   1) Montrer que lim 2
représentation graphique de la fonction x  x  x3
définie par f ( x) 
1
dans un repère 2 x²  5 1
x² 2) Limite finie d’une fonction au voisinage de  2) Montrer que lim 
x  4 x² 2
orthonormé. Propriété 01 : Remarque
Soit n  * et soit k  on a Pour calculer lim f ( x) ; on
x a
k k k
 lim n  0 ;  lim n  0 ;  lim 0 remplace x par a :
x  x x  x x  x
Si f (a )  alors
Propriété 02
lim f ( x)  f (a) .
Soit f une fonction numérique et soit l  on a : x a

''0 ''
 lim f ( x)  l  lim  f ( x)  l   0 Si f (a )  , il faut chercher
x  x  0
1) Que remarquez-vous pour les valeurs de
f ( x ) si x tend vers  Ou des méthodes (factorisation
2) Que remarquez-vous pour les valeurs de  lim f ( x)  l  lim  f ( x)  l   0 par  x  a  ; multiplier par le
x  x 
f ( x ) si x tend vers  conjugué……) pour éliminer
II) Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point
1 1 ''0 ''
3) Peut-on conclure lim 3 ; lim 3 ;
x  x x  x
1) Limite finie d’une fonction en un point .
0
Définition
lim 4 ;
1
 Les formes
x  x Soient a et l deux nombres réels
''0 '' ''  ''
Activité03 Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert de forme indéterminées : ; ;
0 
Soit ABC un triangle de surface 18cm² et a   ; a    sachant que   * ou définie sur un ensemble de forme ''0  '' ; ''    ''
soit E  x  un point se déplace sur le segment a   ; a    \ a .
 BC  . Si f ( x ) tend vers l quand x tend vers a alors on écrit lim f ( x)  l Application (L.finie)
x a
On désigne par f ( x ) la surface du triangle Calculer les limites suivantes
ABE
Propriété
x 3
Soit f une fonction numérique et Soient a et l deux nombres réels. lim x²  4 ; lim
x 2 x 3 x  9
Si f admet une limite l en a alors cette limite est unique.
x²  2 x  3 x3 2
2) Limite infinie d’une fonction en un point lim
x 1 x 1
; lim
x 1 x ²  2 x  3
;
Définition x 1  2
Soit f une fonction numérique et a un nombre réel. lim
x 5 3  x  4

Si f ( x ) tend vers  quand x tend vers a alors on écrit lim f ( x)   ou Remarque

x a

lim f   .
a
1) Que remarquez-vous si x approche Si f ( x ) tend vers  quand x tend vers a alors on écrit lim f ( x)   ou On peut définir d’une manière
x a
plus en plus de 6
lim f   . analogue lim f ( x)   et
x a
2) Que remarquez-vous si x approche a xa

plus en plus de 0. Limite à gauche et limite à droite d’une fonction en un point lim f ( x)  
x a
xa
Définition
Soit f une fonction numérique et a un nombre réel. Application (L.infinie)
Si f ( x ) tend vers l quand x tend vers a à droite alors on écrit lim f ( x)  l Calculer les limites
x a
xa
x²  2 x  3
suivantes : lim ;
ou lim f ( x)  l x 1x 1
x a 
x²  3 x3  1
Si f ( x ) tend vers l quand x tend vers a à gauche alors on écrit lim f ( x)  l lim ; lim ;
x a x  2 2  x x 1 x ²  x
xa
x²  x  1 1 x
ou lim f ( x)  l . lim ; lim .
x a  x 3 x3 x2 4  2 x

Limites usuelles Application

Soit n  *
on a 1) Soit f une fonction
1 1 1 1 numérique définie par
 lim   ;    lim
;  lim    lim  
x 0 x x 0 x x 0 x x 0 xn  f ( x)   x  2; x  4

1 
Si n est pair alors lim n  
x 0 x
 f ( x)  x ²  2 x  10; x  4


1 Calculer lim f ( x) et lim f ( x) .

x  4 x  4
Si n est impair alors lim n  
x 0 x Conclure
Propriété : 2) Soit g une fonction
Soit f une fonction numérique et a un nombre réel numérique définie par
lim f ( x)  l  lim f ( x)  lim f ( x)  l  g ( x)  1  2ax; x  2
x a x a x a 
 x ²  3x  1
lim f ( x)    lim f ( x)  lim f ( x)    g ( x)  ;x2
x a x a x a  x  3
III) Opérations sur les limites Déterminer le nombre réel a
Dans cette paragraphe l et l ' désignent des nombres réels et a désigne un pour que f admet une
réel ou  limite en 2
1) Limite d’une somme
lim f ( x) l l l   
x a

lim g ( x) l     
x a

lim  f ( x)  g ( x)  l  l    F.I 
x a
 2) Limite d’un produit Application (opérations)
lim f ( x) l l  0 l  0 l  0 l  0    0 0 Calculer les limites
x a
suivantes :
lim g ( x) l          1
x a lim x ²  ; lim x3  x ;
x 0 x² x 

lim  f ( x)  g ( x)  l  l        F.I F.I

lim
x²  2 x  4
;
xa
x 1 x
3 x 4  x  1
3) Limite d’un quotient lim ;
x  2 x2  5
lim f ( x)
x a
l l l         x2 x( x  1)  1
lim ; lim
lim g ( x) l  
  l   0 l   0 l   0 l   0     x
3 2x  3 x  x 1
x a 2

 f ( x)  l Application
lim   0 0     FI FI FI FI
Calculer les limites
x a g ( x )
  l
suivantes :
IV) Limite d’une fonction polynôme – Limite d’une fonction lim  5 x 7  4 x²  9 ;
x 
rationnelle Limite d’une fonction de forme
1. Limite d’une fonction polynôme  
lim  3  2 x 4  2 x  1
x 

Propriété ;
1
Soit f une fonction polynôme et a un nombre réel. lim x5  2 x  1
x  2 3
* lim f  x   f  a 
x a

* La limite d’une fonction polynôme au voisinage de  c’est la limite du

Application
terme le plus dominant (plus haut degré).
Calculer les limites
Exemples suivantes :
 lim 4 x²  2 x  5  4  3²  2  3  5  37 . 4  2 x²
x 3
lim
 
 lim 1  2 x  2 x²  1  lim 1  2 x  
x 
3
x 
  3 x  3x3  5 x²  1
 3x ²  4 x  1
 lim 5x²  3x  4  lim 5x²   . lim
x  x  x  2 x²  1
2. Limite d’une fonction rationnelle 2 x ²  3 x  5
lim
Propriété x 3 2x  4
Soit f une fonction rationnelle et a un nombre réel. Remarque :
P( x) P(a) La propriété (**) est reste
 Si f ( x)  alors lim f  x   valable pour x tend vers 
Q( x) x a Q(a)
ou a ou a  ou a 
 La limite d’une fonction rationnelle au voisinage de  c’est la limite Application
du quotient de termes les plus dominant (plus haut degré au numérateur et Calculer les limites suivantes
plus haut degré au dénominateur). lim x²  3x  5 ;
x 1
3. Limite d’une fonction de la forme f
lim 4 x 3  3 x ²  7 ;
x 
Propriété (**):
Soit f une fonction définie sur un intervalle de forme  a;   a   telle lim 3 x3  2 x  1
x 

que x   a;  ; f ( x)  0 Remarque

 Si lim f ( x)  l alors lim f ( x)  l Les propriétés (+*) sont
x  x 
valables pour x tend vers 
 Si lim f ( x)   alors lim f ( x)  
x  x  ou x tend vers à droite ou à
V) Limites et ordre gauche de a
Propriétés (+*)
Soient f , g et h définies sur un intervalle de forme a   ; a    ou   *
et
soit l 
 x  I  ; f  x   g ( x)
 Si  alors lim f ( x)   . Application
lim g ( x)  
 xa
x a
1) Montrer que
1 1
 x  I  ; g  x   f ( x)  x   ;  1
 Si  alors lim f ( x)   3 2  sin( x)
lim g ( x)   x a
x a Calculer les limites suivantes
 x  I  ; g  x   f ( x)  h( x) lim
x
et
 Si  alors lim f ( x)  l x  2  sin( x)
lim g ( x)  lim h( x)  l
 xa
x a
x a
x3
 x  I  ; f ( x)  l  g ( x)
 lim
x  2  sin( x )
 Si  alors lim f ( x)  l
lim g ( x)  0 x a
 x a
Remarque
Exemple : Calculons xlim x²  cos( x)
 Les fonction x cos( x) ,
On a 1  cos( x)  1  1  x ²  x ²  cos( x)  1  x ² x sin( x) et x tan( x )
Or on a lim x²  1  lim x²  1   n’admettent pas de limite au
x  x 

Donc lim x²  cos( x)   voisinage de 

x 

VI) Limites trigonométriques

Propriété 
Soit a on a
 limcos( x)  cos(a) ;  limsin( x)  sin(a) ;
x a x a Application
  
 lim tan( x)  tan(a) /  a   k / k   Calculer les limites suivantes
x a
 2  sin(3 x ) sin(2 x)
lim lim ;
x 0 
Exemple 4x x 0 sin(4 x)
  2 1  cos(3 x) tan(3 x)
lim cos( x)  cos    ; lim tan( x)  tan    0 ; lim
x 0 x
; lim
x  0 sin( x)
x
4
4 2 x 

   1
lim sin( x)  sin  

x
6
 6  2
Propriété 
sin( x) tan( x) 1  cos( x)
 lim  1 ;  lim  1 ;  lim 1 ou
x 0 x x  0 x x 0 x²
2
1  cos( x) 1
 lim 
x 0 x² 2
Démonstration
sin( x)
a. Montrer que  lim 1
x 0 x
   
On a  x   0;   ;sin( x)  x  tan( x)
  2 
1 1 1
Donc  
tan( x) x sin( x)
cos( x 1 1
Alors  
sin( x) x sin( x)
   
Or  x   0;   ;sin( x)  0
 
2
sin( x)
D’où cos( x)  1
x
sin( x)
Puisque lim cos( x)  lim1  1 alors lim 1
x 0 x 0 x 0 x
tan( x)
b. Montrer que  lim 1
x 0 x
 
On a  x   k / k   ; tan( x) 
sin( x)
 2  cos( x)
tan( x) sin( x) sin( x) 1 sin( x) 1
Donc    et Puisque lim  1
x x.cos( x) x cos( x) x 0 x cos( x)
tan( x)
Alors  lim 1
x 0 x
1  cos( x)
c. Montrer que  lim 1
x 0 x²
2
x
2sin ²  
1  cos( x) 2
On a  lim  lim
x 0 x² x 0 x²
2 2
x
On pose X  donc si x  0 alors X  0
2
x
2sin ²  
2sin ²  X  sin ²  X   sin  X  
2
 2
 lim  lim  lim 
lim
x 0 x² X 0 X 0 X 0
 1
2X ² X²  X 
2
1  cos( x)
D’où lim 1
x 0 x²
2
Résultats :
Soit a  *
on a
sin(ax) tan( ax) 1  cos(ax) 1
 lim 1 ;  lim 1 ;  lim  ;
x 0 ax x 0 ax x 0  ax  ² 2
1  cos(ax)
 lim 1
x 0  ax 
 ²
 2 
Exercice 01 4  2 x3 (2  3) x3  x 2  x3  x 2  1 
 lim  lim  lim  4 
Soit f une fonction numérique définie par sa représentation graphique x  3 x  5 x  1
3 2 x  2x2  3 x   5 x  3 x  6
 
(voir la figure).
2 x4  x2  -3x 5  2 x 2  3  2 x4
 lim  lim  7 
 x  4
lim
x   3x 2  3 x  + 5 x  2 x  6
  2 x  5x2  3
Exercice 05
Calculer les limites suivantes
 lim x 2  x  5  lim x  1  x  lim x2 x4
x  x  x 

 lim 3x 2  2  x  lim 3x  2 x 2  3  lim 2 x  3  x

x  x  x 

x
 lim x 2  x  2  2 x 2  1  lim
Calculer les limites suivantes x  x 
x 1
2

 lim 𝑓 (𝑥)  lim 𝑓 (𝑥)  lim+ 𝑓 (𝑥)

𝑥→+∞ 𝑥→−∞ 𝑥→1  lim 2 x  3x  1  x  lim
2
x  x  3  2x
2
x  x 
 lim− 𝑓 (𝑥)  lim+ 𝑓 (𝑥)  lim− 𝑓 (𝑥)
𝑥→1 𝑥→−1 𝑥→−1 Exercice06
Exercice 02 Soit f une fonction numérique définie sur  3 par :
Calculer les limites suivantes
 lim
x3  2 x 2  x  2
 lim 2
2x2  x  1
 lim 2
x3  8  f  x   x 2  4 x ; x  ,1
x 2 x2 x 1 x  x  3 x 2 x  4 
 2
x x2 x 1 1 x x 1  f  x  x  3  ; x  1,3  3, 
 lim  lim 2  lim  x3
x 2 x2 x  0 x x x 1 1  x2 1) Calculer lim f  x  ; lim f  x  ; lim f  x  et lim f  x 
x  x  x 3 x 3
4 x  4 x 3 5 x x 1  7  x x 3 x 3
 lim  lim  lim
x 0 x x  4 1 5  x x  3 2 x  3  15  2 x 2) Montrer que f admet une limite en 1
Exercice 03 Exercice 07
Calculer les limites suivantes
Soit f une fonction numérique définie sur  1;1 par
3x 2  x  1 2x 1 x3  6
 lim  lim  lim  x 3
x
1 2x 1 x 1 1  x 2
x 1
x 0 x 2  2 x
x0  f  x  ; x  ; 1  1;0
1
2
 x²  1
x
2 
 f  x   2 x ; x   0; 
x2  5x  6 x2  4 x  3  3x  1 
 x²  2
 lim  lim  lim
2  x x2 x 1 1) Calculer lim f  x  ; lim f  x  ; lim f  x  et lim f  x 
x 2 2 x 2 x 1
x2 x2 x 1
x  x  x 1 x 1
x 1 x 1
Exercice 04
Calculer les limites suivantes 2) f admet-elle une limite en 0 ?
puis calculer lim  f  x   x 
1 1
 lim 1  5 x²  8 x  lim  5 x3  1  lim x  (1  2) x 2  4
x  x  x  3) vérifier que x   ; 1 ; f  x   x   2
x 1 x 1 x 
Exercice 08 Exercice 09
1 3  2sin x 5 3  2sin x
1) Montrer que  x  ;
Calculer les limites suivantes :   puis déduire lim
sin  x 2  3x  1  x² 1  x² 1  x² 1  x²
x 
sin 4 x 7x
 lim  lim  lim 2 x sin x 2x 2 x sin x
x 0 x x 0 x x 0 sin 5 x 2) montrer que  x  1 ;  puis déduire lim
x²  1 x²  1 x  x ²  1
sin 4 x 1  cos 2 x sin  x  1
 lim  lim  lim 1 1
x 0 sin 3 x x 0 x² x 1 x 1 2  sin 2  sin
1
3) montrer que  x  * ;  x puis déduire lim x
 x  1
2
tan 5 x 1  cos x x x x 0 x
 lim  lim  lim
x 0 3x x 1 cos  x  1  1 x 0 x
sinx  cosx 1   1 ‫ وغذ عقلك‬.... ‫"غذ قلبك باآليات‬
 lim  lim xsin    lim x 1  cos   
π π x  
 x  x     x
x
4 x "‫بالرياضيات‬
4