Suiteeno
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Convergentes ou divergentes ?
x2
x− ≤ ln(1 + x) ≤ x.
2
2. En déduire que
n + 1 (n + 1)(2n + 1) n+1
− 3
≤ vn ≤ .
2n 6n 2n
On admettra que
n
X n(n + 1)(2n + 1)
k2 = .
k=1
6
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Exercices - Suites - études pratiques : énoncé
1. Montrer que la suite (xn ) définie par xn = cos n + n1 π est divergente.
√ √
2. (a) Montrer que, pour tout n ∈ N, (3 + 5)n + (3 − 5)n est un entier pair.
√
(b) En déduire que la suite sin 3 + 5)n π converge et déterminer sa limite.
Exercice 8 - Une suite définie comme étant la racine d’un polynôme - L1/Math Sup
- ??
Pour n ≥ 1, on considère le polynôme Pn (X) = X n + X n−1 + · · · + X − 1.
1. Démontrer que Pn possède une seule racine dans R+ , que l’on note un .
2. Démontrer que la suite (un ) est décroissante, et en déduire qu’elle converge.
3. Démontrer que, pour tout n ≥ 1, un ≥ 21 .
4. Démontrer que (un ) converge vers 12 .
Exercice 9 s
- Radicaux itérés - L1/Math Sup - ???
r q √
Soit un = n+ n−1+ ··· + 1.
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Exercices - Suites - études pratiques : énoncé
7. Montrer que si l 6= 1, la suite (vn ) vérifie les mêmes conditions que la suite (tn ) de la
question précédente. En déduire la valeur de l.
Suites adjacentes
1. Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. On note e leur limite commune.
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Exercices - Suites - études pratiques : énoncé
a. xn ∼n n − ln(n) b. xn ∼n n − 2 ln(n)
√ ln(n)
c. xn = n − ln(n) + o( ln n) d. xn = n − ln(n) + .
n
Suites croisées
x2n
xn+1 =
xn + yn
yn2
yn+1
=
xn + yn
1. Montrer que (yn − xn ) est une suite constante.
2. En déduire que (xn ) est décroissante.
3. Montrer que les deux suites sont convergentes, et calculer leur limite respective.
√
1. Montrer que h ≤ g ≤ m et vérifier que mh = g.
2. On définit deux suites u et v par récurrence par la donnée de u0 et v0 , avec 0 < v0 < u0 ,
et par les relations de récurrence suivante :
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Exercices - Suites - études pratiques : énoncé
Suites récurrentes
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Exercices - Suites - études pratiques : énoncé
azn + b
zn+1 = ,
czn + d
où a, b, c, d sont des complexes tels que ad − bc 6= 0 et c 6= 0. On suppose dans toute la suite que
z0 est choisi de sorte que la suite (zn ) soit bien définie.
az+b
1. Montrer que la fonction f (z) = cz+d admet un ou deux points fixes dans C.
2. On suppose que f admet deux points fixes α et β et on pose
zn − α
wn = .
zn − β
Montrer que la suite (wn ) est géométrique. En déduire la nature de la suite définie par
1
z0 = i et zn+1 = 1−z n
.
3. On suppose que f admet un unique point fixe α et on pose
1
wn = .
zn − α
Calculer la valeur de α et prouver que
c(z − α)2
f (z) = z − .
cz + d
Montrer ensuite que la suite (wn ) est arithmétique. En déduire la nature de la suite définie
n −1
par z0 = i et zn+1 = 3z
zn +1 .
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