TD1 Analyse1

Université Bordeaux 1 Année 2011-2012
M1MI2011 Analyse 1
Feuille d’exercices no 1 — Suites
Exercice 1 (suites arithmétiques, suites géométriques)

1. Soit (un ) une suite arithmétique de raison 2, telle que u5 = 7. Calculer u100 .
2. Quelle est la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique ?
3. Soit (un ) une suite géométrique, de raison q strictement positive, telle que u3 = 2 et
u7 = 18. Calculer u20 .
4. Quelle est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique ?
Exercice 2
On considère les suites
2 + cos n √ √
αn = , βn = (2 + cos n)n, γn = (−1)n (2 + cos n)n, n+1− n.
n
1. Les suites ci-dessus sont-elles bornées ?
2. Sont-elles convergentes ?
Exercice 3
On pose, pour n ∈ N∗ , un = nπ + n1 .
1. La suite (un ) est-elle bornée ?
2. La suite (un ) est-elle convergente ?
3. Montrer que la suite (vn ) définie par vn = sin(un ) converge vers 0.
Exercice 4 (suites complexes)

Etudier la convergence des suites de terme général ci-dessous.
n ni n2 in
1. zn = 4 + ni, 2. zn = − , 3. zn = 3 , 4. zn = (−1)n einπ
n + 3i n + 1 n +1
π (1 + i)n n iπ
5. zn = eni 4 , 6. zn = n
, 7. zn = e(−1) n .
2
Exercice 5 (Définition de la limite d’une suite)
1. Montrer que si (un ) converge alors la limite est unique.
2. Montrer qu’une suite (un )n est convergente si et seulement si les deux sous-suites (u2n )n
et (u2n+1 )n sont convergentes vers la même limite.
3. Étudier la convergence des suites (un )n de terme général
X (−1)k+1
un = (−1)n , un = in , unj = .
k
1≤k≤n
√
4. Montrer que (1/ n)n≥1 converge vers 0 en utilisant la définition de la limite.
Exercice 6
Soit (un ) la suite définie par
un
u1 = 1 et, pour tout n ≥ 1, un+1 = 1 + .
2
1. Montrer que ∀n ∈ N, un < 2.
2. Montrer que (un ) est croissante.
3. En déduire que (un ) converge et déterminer sa limite.
Exercice 7 (Moyenne de Cesàro)

Soit (un )n≥1 une suite. Pour tout n ∈ N∗ , on pose
u1 + u2 + ... + un
cn = .
n
On dit que (un ) converge au sens de Cesàro si la suite (cn ) converge.
1. Montrer que la suite un = (−1)n converge au sens de Cesàro vers une limite que l’on
déterminera.
2. Montrer que si (un )n convergente vers l alors (cn )n est également convergente de limite l.
Exercice 8 (suites de Cauchy)

n
1. Montrer que la suite un = (−1)n n+1 n’est pas une suite de Cauchy.
2+(−1)n
2. Montrer que la suite un = n est de Cauchy.
P 1
3. Soit (un )n montrer que la suite définie par un = 1≤k≤n k n’est pas une suite de Cauchy.
Vers quoi tends un quand n → +∞ ?
4. Montrer qu’une suite (un )n vérifiant, ∀n, |un+1 − un | ≤ 2−n est de Cauchy.
Exercice 9
Pour n ∈ N∗ , on note
n
X 1
un = .
k=1
(2 + k1 )k
Montrer que la suite (un ) est une suite de Cauchy. En déduire qu’elle converge.
Exercice 10
Soit (Hn )n≥1 la suite définie par
n
X 1 1 1
Hn = = 1 + + ··· +
k 2 n
k=1
1. En utilisant une intégrale, montrer, pour tout n ≥ 1, l’inégalité double

1 1
≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤
n+1 n
2. En déduire que ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln(n) + 1.

3. Déterminer la limite de Hn .
4. Montrer que la suite un := Hn − ln(n) converge (indication : on montrera que (un ) est
décroissante).
Exercice 11
1. Démontrer qu’une suite réelle (un ) converge si et seulement si (u2n ) et (u2n+1 ) convergent
vers une même limite.
2. Pour n ≥ 1, on pose
n
X (−1)k+1
un = .
k
k=1
Montrer que la suite (un ) converge (indication : on pourra montrer que les suites (u2n ) et
(u2n+1 ) sont adjacentes).
Exercice 12
Soient 0 < a < b, (un )n et (vn )n les deux suites définies par
√ un + vn
u0 = a, v0 = b, un+1 = un vn , vn+1 = .
2
Montrer que ces suites sont adjacentes.
Exercice 13
On considère les deux suites
n
X 1 1
un = , vn = un +
k! n! · n
k=0
1. Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même
limite, notée e.
2. Montrer que e est irrationnel.
Exercice 14
Calculer sup {up , p ≥ n}, inf {up , p ≥ n}, limn un et limn un pour les suites (un )n suivantes :
1. un = (−1)n ;
n

2. un = (−1)n 1 + (−1) n ;
n

3. un = 2 + (−1) sin πn

n 2 ;
n
4. un = n(−1) .
Exercice 15
Soit f une application de [0, 1] dans lui-même telle qu’il existe un réel positif 0 < k < 1 tel que
∀x, y ∈ [0, 1] , |f (x) − f (y)| ≤ k |x − y| .
Soit a ∈ [0, 1]. On considère la suite (xn )n définie par x0 = a, xn = f (xn−1 ), pour n ≥ 1.
1. Montrer que, ∀n, |xn+1 − xn | ≤ k n |x1 − x0 | et conclure que la suite (xn )n est une suite de
Cauchy.
2. Montrer que l = limn→+∞ xn est l’unique point fixe de la fonction f .

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Exercice 1 (suites arithmétiques, suites géométriques)

Exercice 4 (suites complexes)

Exercice 7 (Moyenne de Cesàro)

Exercice 8 (suites de Cauchy)

1. En utilisant une intégrale, montrer, pour tout n ≥ 1, l’inégalité double

2. En déduire que ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln(n) + 1.

∀x, y ∈ [0, 1] , |f (x) − f (y)| ≤ k |x − y| .

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