ELECTRONIQUE POUR LE 1ère année

TRAITEMENT DE L'INFORMATION 2011/2012

CORRIGE
Examen du 12 janvier 2012

AVEC CALCULATRICE

DOCUMENTS AUTORISES :
une feuille A4 recto-verso manuscrite à rendre avec votre copie

Durée : 2 heures
Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 1 (3 points)

On considère le montage ci-dessous. La tension d'entrée Ve(t) est un signal triangulaire, de

valeur moyenne nulle, de période 1ms et d'amplitude crête à crête 10V. Les AO seront
considérés comme idéaux et alimentés par les alimentations Vcc+ et Vcc-. On supposera que
les tensions de saturation des AO sont égales aux tensions d'alimentation. Tracer sur un même
graphique les évolutions temporelles de Ve(t) et Vs(t) en justifiant votre réponse.

Vcc+
Vcc+ = +15V
Vcc- = -15V R1
R1 = 100 kΩ
R2 = 15 kΩ D1
-
R3 = 500 kΩ AO1
Les diodes D1 et D2 sont +
considérées comme idéales. Ve Vs
R2
D2
-
AO2
+

R1 R3

Vcc-

Les deux AO fonctionnent en simple comparateur puisqu'il n'y a pas de rétroaction sur
la borne d'entrée inverseuse.
On a pour l'AO1 :
V- = Vcc- + (R1+R2)/(2R1+R2) (Vcc+ - Vcc-) = 1,05 V

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Donc Vs1 = +Vsat=+15 V si Ve > 1,05V et Vs= -Vsat = -15V si Ve < 1,05V
On a pour l'AO2 :
V+ = Vcc- + R1/(2R1+R2) (Vcc+ - Vcc-) = - 1,05 V
Donc Vs2 = +Vsat=+15 V si Ve < - 1,05V et Vs= -Vsat = -15V si Ve > -1,05V
D1 (resp D2) est passante si Vs1 (resp VS2) est à +Vsat et bloquée sinon.
La sortie Vs du circuit vaut 0V si les deux diodes sont bloquées et +Vsat sinon.
On a donc :
- pour Ve < -1,05, Vs = +15V
- pour -1,05V < Ve < 1,05V, Vs = 0V
- pour Ve > 1,05, Vs = +15V

On en déduit l'évolution temporelle de Vs(t) suivante :

Tension (V)
Vs
15

Ve
1,05 1 ms
t
-1,05

-15V

Exercice 2 : Luxmètre (6 points)

On souhaite réaliser un luxmètre, c'est-à-dire un montage qui convertisse en Volts

l'éclairement (en lux) mesuré par une photodiode. On choisit pour cela une photodiode
BPW21 qui possède une sensibilité de 10 nA/lux, et on propose le montage suivant. Ce
luxmètre doit être utilisé pour mesurer l'éclairement moyen à l'intérieur de bâtiment ayant une
ambiance d'éclairage fluorescent qui produit une composante alternative à 100 Hz.

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R2
R1

-
R2 C
+ -
AO1 +
AO2 Vs

On donne : R1 = R2 = 100kΩ et C = 10µF.

Les circuits AO1 et AO2 sont des amplificateurs opérationnels alimentés en -5V / +5V.
La photodiode pourra être modélisée par une source de courant idéale.

1) Quel est le rôle du premier étage ? Préciser quelles sont les grandeurs d'entrée et de sortie
et calculer sa fonction de transfert.
Le rôle du premier étage est de convertir le courant généré par la photodiode en tension
(convertisseur courant-tension). La grandeur d'entrée est le courant ID généré par la
photodiode et la grandeur de sortie est la tension Vs de sortie de l'AO1. Le courant
généré par une photodiode circulant en inverse, la fonction de transfert est donnée par :
Vs1 = - R1 ID

2) Quel est le rôle du second étage ? Donner sa fonction de transfert et tracer son diagramme
de Bode en amplitude.
Le second étage est un filtre passe-bas de constante de temps R2C=1s). Son rôle est de
supprimer la composante alternative de l'éclairage pour donner en sortie la valeur
moyenne de l'éclairement.
Sa fonction de transfert est : Vs/Vs1 = - 1 / (1 + jωR2C)
Il s'agit d'un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure
fc=1/2πR2C=0,16Hz. Le diagramme de Bode en amplitude est le suivant :
20 log |Vs/Vs1|
fc 10fc fréquence
0dB
-3dB

-20dB

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3) Rappeler les principaux défauts d'un ampli-op réel. Quel est celui qui doit être minimisé
dans le choix de l'AO1 pour l'application visée ?
Les principaux défauts d'un AO réel sont :
- la tension de décalage (offset)
- les courants de polarisation sur les bornes d'entrée
- la vitesse de balayage maximale (slew rate)
- l'impédance d'entrée
- l'impédance de sortie
Pour l'application visée (luxmètre) et compte tenu de la sensibilité de la photodiode
(10nA/lux), il faut choisir un AO avec de très faibles courants de polarisation car ces
courants vont s'ajouter à celui généré par la photodiode et créer un décalage de la
tension de sortie.

4) Calculer l'étendue de mesure (en lux) et la sensibilité totale du montage (en Volt/lux). Que
faut il modifier dans le montage pour obtenir une sensibilité dix fois plus importante ? Que
vaut alors d'étendue de mesure ?
L'impédance de sortie du premier étage étant faible (du fait de la rétroaction) devant
l'impédance d'entrée du second (R2 = 100kΩ), on peut écrire :
Vs= R1 ID / (1 + jωR2C).
La valeur moyenne de la tension de sortie est donc Vs= R1 ID (on néglige les courants de
polarisation de l'AO1).
La sensibilité du montage vaut donc : σ = (100kΩ) *(10-8 A/lux) = 1 mV/lux
La tension de sortie minimale sera donc 0V lorsque en l'absence d'éclairage.
La tension de sortie maximale sera atteinte lors de la saturation de l'AO, soit Vs=5V.
Cette tension sera atteinte pour un éclairage de 5V/σ = 5000 lux.
L'étendu de mesure du luxmètre est donc [0 lux - 5000 lux].

Pour obtenir une sensibilité dix fois plus importante, il suffit de remplacer R1 par une
résistance de 1MΩ. Dans ce cas, l'étendu de mesure sera [0 lux - 500 lux].

Exercice 3 : capteur de température et montages associés (6 points)

On considère un capteur de température dont la résistance Rc varie en fonction de la

température T suivant la loi suivante :
Rc = R0 (1 + a ΔT) où R0 représente la résistance du capteur pour T=25°C, et ΔT=T-25°C.
On donne a = 10-2 et R0 = 10 kΩ.

On s'intéresse ici à la mise en œuvre de ce capteur à l'aide d'un pont de Wheatstone.

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On choisit les résistances du pont égales à R0 (10 kΩ) et +E

on donne E = +9V.

1) Exprimer V2-V1 en fonction de ΔT et tracer la fonction

de transfert du montage sur la plage [0 ; 50°C].
R0 R0
V1 V2
2) Déterminer la sensibilité pour T=25°C ainsi que la
linéarité du montage dans la plage [0 ; 50°C]. R0 RC

On a V2-V1 = (Rc/(Rc+R0) – ½) E = [(1 + a ΔT) / (2 + a ΔT) – ½ ] E

= [a ΔT / (4 + 2a ΔT)] E

ΔT (°C) V2-V1 (V)

-25 -0,64
-20 -0,50
-15 -0,36
-10 -0,24
-5 -0,12
0 0,00
5 0,11
10 0,21
15 0,31
20 0,41
25 0,50

0,6

0,4

0,2
V2-V1 (V)

0
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0,2

-0,4

-0,6

-0,8
Delta T (°C)

On peut déterminer graphiquement à partir de cette courbe la sensibilité et la linéarité

du montage. On obtient :
Sensibilité à 25°C : σ = 23 mV/°C (on peut aussi la calculer numériquement en dérivant
l'équation précédente)
L'écart maximal à la droite de pente σ est de 70mV en ΔT = -25°C. L'erreur relative de
linéarité est donc de 0,07/50 sur la plage [0-50°C], soit 0,14%.

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On ajoute, après le pont de Wheatstone, l'amplificateur différentiel représenté ci-dessous.

R4

R3
V1 + AO
- - AO
+
V2 Vs

R2
R1

On notera α = R2/R1 et β = R4/R3.

3) Exprimer Vs en fonction de V1, V2, α et β.

On obtient : Vs = (1+β) [V2 – V1 β (1+α)/(1+β)]

4) En déduire l'expression du gain différentiel Ad et du gain de mode commun Ac. On

rappelle que Vs peut s'écrire sous la forme : Vs = Ad (V2-V1) + Ac (V2+V1)/2.
Pour calculer le gain différentiel, on pose V2=-V1=Vd/2.
On a alors Ad = Vs/Vd = (1 + 2β + αβ) / 2
Pour calculer le gain de mode commun, on pose V2=V1=Vc.
On a alors Ac = Vs/Vc = 1 - αβ

5) Comment faut il choisir les résistances R1, R2, R3 et R4 pour avoir Ac=0 ? Que vaut alors
Ad ?
Pour obtenir Ac=0 il faut fixer α = 1/β, c'est-à-dire : R2/R1 = R3/R4.
On a alors : Ad = 1 + β = 1 + R4/R3.

Exercice 4 : Conception d'un filtre actif (5 points)

Soit le cahier des charges du filtre passe-haut suivant :

- fréquence de coupure = 210 kHz,
- gain minimum dans la bande passante = 7 dB,
- gain maximum dans la bande passante = 10 dB,
- fréquence de coupure de la bande atténuée = 105 kHz
- gain maximum dans la bande atténuée = - 13dB
On souhaite réaliser un filtre de Butterworth satisfaisant à ce gabarit.

1) Tracer le gabarit de ce filtre ainsi que le gabarit normalisé du filtre passe-bas équivalent.
Gabarit du passe-haut :

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G (dB)

10
7

0 Freq (kHz, éch. log)

105 210

-13

Gabarit normalisé du passe-bas équivalent :

G (dB)

10
7

0 f/fc (éch. log)

1 2

-13
2) Peut-on satisfaire ce gabarit avec un filtre passif ?
Non car le gain dans la bande passante est supérieur à 0dB. Il est donc nécessaire
d'amplifier le signal, ce qui n'est pas possible avec un filtre passif.

3) Déterminer l'ordre du filtre n permettant de satisfaire le gabarit tracé au 1.

On obtient avec la formule du cours : n > 3,8. On choisit donc n=4

4) Donner la fonction de transfert du filtre passe-haut (on rappelle ci-dessous les formes des
polynômes de Butterworth).
La fonction de transfert de ce filtre est :
T(s) = 3.16 * [s²/(1+0.765s+s2)]*[ s²/(1+1.848s+s2)] avec s = j f/fc

Formes des polynômes de Butterworth d'ordre 1 à 4

Ordre (n) P(s)
1 (1+s)

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2
(1+ 2 s+s2)
3 (1+s) (1+s+s2)
= 1+2 s+2 s2+ s3
4 (1+0.765s+s2) (1+1.848s+s2)
= 1+2.613 s+3.414 s2+ 2.613s3+ s4