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Université Cheikh Anta-Diop de Dakar Année 2018-2019
Faculté des Sciences et Techniques

Département de Maths et Informatique
Licence 2 Maths-Physique-Informatique
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Travaux Dirigés Algèbre Série I
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Exercice 1
1.) On désigne par E l’ensemble des réels strictement positifs. On définit sur E les lois + et . par :
∀x, y ∈ E, x + y = xy et ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ E, α.x = xα .
Montrer que (E, +, .) est un espace vectoriel sur R.
2.) Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle :

(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) et de la multiplication externe ? par les complexes définie par :
(a + i.b) ? (x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x). E × E est-il un C-espace vectoriel.
Exercice 2
Déterminer les quels des ensembles E1 , E2 , E3 , E4 ,E5 et E6 sont des sous-espaces vectoriels de Ri . Avec
i=3 , 4
E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = 0}.
E2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; ex ey = 0}.
E3 = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y − z − t = 0, z − t = 0}.
E4 = {(x, y, z) ∈ R3 ; z(x2 + y 2 ) = 0}.
E5 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + a = 0, x + 3az = 0}.avec a ∈ R.
E6 = {(un )n≥0 | limn−→+∞ (un ) = 0}
Exercice 3
Soit E = F(R, R) l’espace vectoriel des fonctions réelles définies sur R. Soit n ∈ N et En l’ensemble des
fonctions f : R −→ R définies par
n
X
f (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx)
k=1
ou les ai et bi sont des nombres réels.

1. Montrer que En est un sous espace vectoriel de E.
2. Si f ∈ En , déterminer f 00 + n2 f .
3. Montrer par récurrence sur n que si f ∈ En est l’application nulle, alors tous les coéfficients ai et
bi sont nuls.
4. En déduire que les 2n + 1 fonctions 1, cos kx, sin kx, (1 ≤ k ≤ n) forment une base de En .
Exercice 4
Soient E un K− espace vectoriel, F, G, H trois sous espaces vectoriels de E.

1. Montrer (F ∩ G) + (F ∩ H) ⊂ F ∩ (G + H).
2. Montrer que si G ⊂ F ou H ⊂ F alors (F ∩ G) + (F ∩ H) = F ∩ (G + H).
Exercice 5
1
Soient E et F deux K- espaces vectoriels et f : E −→ F une application linéaire. Soit V un sous espace
vectoriel de E et W un sous espace vectoriel de F , montrer que:
1. f −1 (f (V )) = V + ker(f ).
2. f −1 (f (V )) = V si et seulement si ker(f ) ⊂ V .
3. f (f −1 (W )) = W ∩ im(f ).
4. f (f −1 (W )) = W si et seulement si W ⊂ im(f ).
Exercice 6
Soit E un espace vectoriel sur K; α, β ∈ K tel que α 6= β. Soit f ∈ L(E) un endomorphisme de E tel
f − α idE f − β idE
que (f − α idE ) ◦ (f − β idE ) = 0. On pose p = et q = .
β−α α−β
1. Montrer que p et q sont des projecteurs de E.
2. Exprimer f en fonction de p et q.
3. Pour n ∈ N? exprimer f n en fonction de p et q.
4. Montrer que si αβ 6= 0 alors f est un automorphisme et exprimer f −1 en fonction de p et q.
Exercice 7
Soit E un espace vectoriel sur R, on dit que s ∈ L(E) est une involution s2 = idE . Soit s une involution
on pose F + (s) = {x ∈ E/s(x) = x} et F − (s) = {x ∈ E/s(x) = −x}.
1. Montrer que s est un automorphisme et que s = s−1
2. Montrer que F + (s) et F − (s) sont des sous espaces vectoriels supplémentaires de E.
3. Soit F et G deux sous espaces supplémentaires de E. Si x ∈ E, il existe un unique couple (x1 , x2 ) ∈
F × G tel que x = x1 + x2 . Montrer que l’application s : E −→ E définie par s(x) = x1 − x2 est
une involution telle F + (s) = F et F − (s) = G.
Exercice 8
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et x0 = a < x1 < · · · < xn−1 < xn = b une subdivision de l’intervalle [a, b].
Soit E l’ensemble des applications f : [a, b] ←− R qui sont affines sur chaque intervalle [xk , xk+1 ].
1. Montrer que E est un sous espace vectoriel du R espace vectoriel des applications de [a, b] vers R.
2. On considère
ϕ: E −→ Rn+1
f 7−→ (f (x0 ), f (x1 ), · · · , f (xn ))
Montrer que ϕ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
3. En déduire la dimension de E.
Exercice 9
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que f 2 = 0.

1. On suppose qu’il existe un endomorphisme g de E tel que g ◦ f + f ◦ g = idE . Montrer que la
restriction de g à ker f est injective.
2. Montrer que ker f = im f .
3. On suppose réciproquement que ker f = im f et soit F le supplémentaire de ker f dans E.
Montrer que ∀x ∈ E il existe un unique couple (y, z) ∈ F 2 tel que x = y + f (z).
4. Soit g l’application qui à x ∈ E associe le vecteur z dans l’écriture précédente. Montrer que g est
un endomorphisme de E tel que g ◦ f + f ◦ g = idE .
2
Exercice 10
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur l’intervalle [−1, 1] et soit u l’application de E
dans E définie par Z x
∀g ∈ E, ∀x ∈ [−1, 1], u(g)(x) = g(t) dt
−1
1. Montrer que u est un endomorphisme de E.

2. Déterminer ker u et im u
3. L’application u est elle injective? est elle bijective?
Exercice 11
Soit E un R espace vectoriel de dimension finie . Soient f ∈ L(E) un endomorphisme non nul de E et
Jf = {u ◦ f /u ∈ L(E)}.
1. Montrer que Jf est un sous espace vectoriel de L(E).

2. Montrer que pour tout g ∈ Jf et pour tout ϕ ∈ L(E), on a ϕ ◦ g ∈ Jf .
3. Soit g ∈ Jf . Montrer que ker f ⊂ ker g.

4. Soit g un endomorphisme de E tel que ker f ⊂ ker g.
(a) Montrer qu’il existe une unique application linéaire v : im f → E telle que v(f (x)) = g(x)
pour tout x ∈ E.
(b) Soit S un sous espace vectoriel de E tel que E = im f ⊕ S. Montrer qu’il existe un endomor-
phisme u de E tel que u(x) = v(x) pour tout vecteur x ∈ im f .
(c) En déduire que g ∈ Jf .
5. Montrer qu’il existe un projecteur p de E tel que ker p = ker f .
6. En déduire qu’il existe un projecteur p 6= 0 tel que p ∈ Jf . Soient p et q deux projecteurs de E tels
que q ◦ p = 0. Posons r = (idE − p) ◦ q.
(a) Montrer que r et p + r sont des projecteurs de E.
(b) Supposons que rg(p + q) ≤ rg(p) où rg(p) est le rang de p . Montrer que r = 0. En déduire
que q = 0.
On admettra que si h est un projecteur alors le rang de h est égal à la trace de h
(rg(h) = tr(h)).
7. Soit I un sous espace vectoriel de L(E) contenant un endomorphisme non nul f qui a la propriété
suivante:
pour tout g ∈ I et pour tout u ∈ L(E), on a u ◦ g ∈ I.
Démontrer que pour tout endomorphisme g ∈ I, on a Jg ⊂ I. En déduire qu’il existe un projecteur

p non nul tel que p ∈ I.
8. Soit p un projecteur de E tel que p ∈ I.
(a) Montrer que pour tous g ∈ I ∩ JidE −p et u ∈ L(E), on a u ◦ g ∈ I ∩ JidE −p .

(b) Montrer que I = Jp ⊕ JidE −p .
(c) Soit q ∈ I ∩ JidE −p . Montrer que q ◦ p = 0 et que p + r ∈ I, où r = (idE − p) ◦ q.
lis,relis,pris,et tu trouveras

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Université Cheikh Anta-Diop de Dakar Année 2018-2019

Faculté des Sciences et Techniques

2.) Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle :

ou les ai et bi sont des nombres réels.

Soient E un K− espace vectoriel, F, G, H trois sous espaces vectoriels de E.

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que f 2 = 0.

1. Montrer que u est un endomorphisme de E.

3. L’application u est elle injective? est elle bijective?

1. Montrer que Jf est un sous espace vectoriel de L(E).

3. Soit g ∈ Jf . Montrer que ker f ⊂ ker g.

pour tout g ∈ I et pour tout u ∈ L(E), on a u ◦ g ∈ I.

Démontrer que pour tout endomorphisme g ∈ I, on a Jg ⊂ I. En déduire qu’il existe un projecteur

(a) Montrer que pour tous g ∈ I ∩ JidE −p et u ∈ L(E), on a u ◦ g ∈ I ∩ JidE −p .

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